2021-2022学年江苏省南通市如皋实验初中九年级（下）第一次学情监测数学试卷（Word版 含解析）

2021-2022学年江苏省南通市如皋实验初中九年级（下）第一次学情监测数学试卷
副标题
题号 一 二 三 总分
得分
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
计算的最后结果是
A. B. C. D.
“大国点名、没你不行”，第七次全国人口普查口号深入人心，统计数据真实可信，全国大约人，数“”用科学记数法表示为
A. B. C. D.
下列运算正确的是
A. B.
C. D.
若是二元一次方程组的解，则为
A. B. C. D.
若关于的不等式组的整数解共有个，则的取值范围是
A. B. C. D.
已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是
A. B. 且
C. D. 且
已知方程的两根分别为，，则的值为
A. B. C. D.
如图，为的直径，弦于点，直线切于点，延长交于点，若，，则的长度为
A.
B.
C.
D.
如图，在菱形中，，，点，同时从点出发，点以的速度沿的方向运动，点以的速度沿的方向运动，当其中一点到达点时，两点停止运动设运动时间为，的面积为，则下列图象中能大致反映与之间函数关系的是
A. B.
C. D.
如图，矩形中，，，点、分别为、边上的点，且，点为的中点，点为上一动点，则的最小值为
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共30.0分）
已知，满足等式，则 ______ ．
已知：，，则 ______ ．
已知，且则的值是______．
一道来自课本的习题：
从甲地到乙地有一段上坡与一段平路．如果保持上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从甲地到乙地需，从乙地到甲地需甲地到乙地全程是多少？
小红将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设未知数，，已经列出一个方程，则另一个方程是______．
如图，在中，，是斜边上的中线，过点作交于点若，的面积为，则的值为______．
无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为的处测得试验田右侧边界处俯角为，无人机垂直下降至处，又测得试验田左侧边界处俯角为，则，之间的距离为______参考数据：，，，，结果保留整数
如图，，，，，交于，则的长是______．
在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点，我们把点称为点的“倒影点”，直线上有两点，，它们的倒影点，均在反比例函数的图象上．若，则________．
三、解答题（本大题共8小题，共90.0分）
计算：．
先化简，再求值：，其中．
解方程：；
已知是不等式的解，不是不等式的解，求实数的取值范围．
如图，半圆形薄铁皮的直径，点为圆心不与，重合，连接并延长到点，使，作，交半圆、于点，，连接，，随点的移动而变化．
当时，求证：；
当时，将扇形剪下并卷成一个圆锥的侧面，求该圆锥的底面半径．
定义：如图，若点在的边上，且满足，则称点为的“理想点”．
如图，若点是的边的中点，，，试判断点是不是的“理想点”，并说明理由．
如图，在中，，，，若点是的“理想点”，求的长．
猕猴嬉戏是王屋山景区的一大特色，猕猴玩偶非常畅销小李在某网店选中，两款猕猴玩偶，决定从该网店进货并销售两款玩偶的进货价和销售价如下表：
类别
价格 款玩偶 款玩偶
进货价元个
销售价元个
第一次小李用元购进了，两款玩偶共个，求两款玩偶各购进多少个．
第二次小李进货时，网店规定款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半小李计划购进两款玩偶共个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？
小李第二次进货时采取了中设计的方案，并且两次购进的玩偶全部售出，请从利润率的角度分析，对于小李来说哪一次更合算？
注：利润率
已知二次函数的图象与轴的交点坐标为和．
求和用的代数式表示；
若在自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值的最大值为，求的值；
已知点和点若二次函数的图象与线段有两个不同的交点，直接写出的取值范围．
【方法提炼】
解答几何问题常常需要添辅助线，其中平移图形是重要的添辅助线策略．
【问题情境】
如图，在正方形中，，，分别是，，上的点，于点求证：．
小明在分析解题思路时想到了两种平移法：
方法：平移线段使点与点重合，构造全等三角形；
方法：平移线段使点与点重合，构造全等三角形；
【尝试应用】
请按照小明的思路，选择其中一种方法进行证明；
如图，正方形网格中，点，，，为格点，交于点求的值；
如图，点是线段上的动点，分别以，为边在的同侧作正方形与正方形，连接分别交线段，于点，．
求的度数；
连接交于点，求的值．
如图，点与分别是两个函数图象与上的任一点．当时，有成立，则称这两个函数在上是“相邻函数”，否则称它们在上是“非相邻函数”例如，点与分别是两个函数与图象上的任一点，当时，，通过构造函数并研究它在上的性质，得到该函数值的范围是，所以成立，因此这两个函数在上是“相邻函数”．
判断函数与在上是否为“相邻函数”，并说明理由；
若函数与在上是“相邻函数”，请求出的最大值与最小值．
若函数与在上是“相邻函数”，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
解：．
故选：．
根据绝对值的性质以及有理数的减法法则计算即可；有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．
本题考查了有理数的减法以及绝对值，掌握有理数减法法则是解答本题的关键．
2.【答案】
【解析】
解：，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数．
此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
3.【答案】
【解析】
解：，故选项A错误；
，故选项B正确；
，故选项C错误；
，故选项D错误；
故选：．
根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．
4.【答案】
【解析】
解：把代入方程组得：，
得：，
解得：，
把代入得：，
，
故选：．
把与的值代入方程组计算求出与的值，即可求出所求．
此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
5.【答案】
【解析】
解：，
由解得：，
由解得：，
故不等式组的解集为，
由不等式组的整数解有个，得到整数解为，，，
则的范围为．
故选：．
分别求出不等式组中不等式的解集，利用取解集的方法表示出不等式组的解集，根据解集中整数解有个，即可得到的范围．
此题考查了一元一次不等式组的整数解，表示出不等式组的解集，根据题意找出整数解是解本题的关键．
6.【答案】
【解析】
解：根据题意解分式方程，得，
，
，即，解得，
，
，解得，
综上，的取值范围是且，
故选：．
先解分式方程，令其分母不为零，再根据题意令分式方程的解大于等于，综合得出的取值范围．
本题考查分式方程的解和解一元一次不等式，需要注意分式方程的解要使得分母不为．
7.【答案】
【解析】
解：方程的两根分别为，，
，，，
，
，
，
，
．
故选：．
由题意得出，，，将代数式变形后再代入求解即可．
本题考查了根的定义及根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，，熟练掌握代数式的求值技巧是解题的关键．
8.【答案】
【解析】
解：为的直径，弦于点，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
直线切于点，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
故选：．
根据垂径定理求得，，即可得到，则是等腰直角三角形，得出，根据切线的性质得到，得到是等腰直角三角形，进而即可求得．
本题考查了垂径定理，等弧所对的圆心角和圆周角的关系，切线的性质，勾股定理的应用，求得是解题的关键．
9.【答案】
【解析】
解：四边形为菱形，
，．
、都是等边三角形，
．
如图所示，当时，，，
作于，
，
，
故D选项不正确；
如图，当时，，，
作于点，
，
，
故B选项不正确；
如图，当时，，，
，
作于点，
，
．
故C选项不正确，
故选：．
先证明、都是等边三角形，再分、、三种情况画出图形，根据图形得到函数解析式，由二次函数、一次函数的图象与性质逐项排除即可得到正确解．
本题考查了菱形的性质，等边三角形性质，二次函数、一次函数的图象与性质，利用三角函数解直角三角形等知识，综合性比较强．根据题意分类讨论列出各种情况下函数的解析式是解题的关键．
10.【答案】
【解析】
解：，点为的中点，
，
是以为圆心，以为半径的圆弧上的点，
作关于的对称点，连接，交于，交以为圆心，以为半径的圆于，
此时的值最小，最小值为的长；
，，
，
，
，
的最小值为，
故选：．
因为，点为的中点，根据直角三角形斜边上中线的性质得出，所以是以为圆心，以为半径的圆弧上的点，作关于的对称点，连接，交于，交以为圆心，以为半径的圆于，此时的值最小，最小值为的长；根据勾股定理求得，即可求得，从而得出的最小值．
本题考查了轴对称最短路线问题，判断出点的轨迹是解题的关键．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
11.【答案】
【解析】
解：，
，
，，
解得：，，
则．
故答案为：．
利用非负数的性质以及二次根式的性质得出，的值，进而得出答案．
此题主要考查了非负数的性质，正确得出，的值是解题的关键．
12.【答案】
【解析】
解：，，
，
故答案为：．
先计算出，的值，然后代入所求式子即可求得相应的值．
本题考查二次根式的化简求值、平方差公式、零指数幂、负整数指数幂，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
13.【答案】
或
【解析】
【分析】
此题考查了因式分解相关知识，熟练掌握利用十字相乘法因式分解是解本题的关键．
将已知等式的左边利用十字相乘法分解因式，可得与的关系，从而可得结论．
【解答】
解：，即，
可得或，
或，
即的值是或；
故答案为：或．
14.【答案】
【解析】
解：设未知数，，已经列出一个方程，则另一个方程正确的是：．
故答案为：．
直接利用已知方程得出上坡的路程为，平路为，进而得出等式求出答案．
此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意得出等式是解题关键．
15.【答案】
【解析】
解：如图，连接，
是斜边上的中线，，
是的垂直平分线，
，，
，
，
，
在中，，，
，
，
，
又，
，
，
，
．
故答案为：．
根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半可得，进而得到，从而有，根据三角形的面积公式求出，由勾股定理，在中，求出，再根据锐角三角函数的定义求解即可．
本题考查了解直角三角形，勾股定理，三角形的面积，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质以及直角三角形斜边上的中线的性质，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的关键．
16.【答案】
【解析】
解：由题意得：，，，，
在中，
，
，
在中，
，
，
．
故答案为：．
根据题意得两个直角三角形、，通过解这两个直角三角形求得、的长度，进而即可求出答案．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题．解决本题的关键是结合图形利用三角函数解直角三角形．
17.【答案】
【解析】
解：连接，
，，，
，∽，
，，
，
∽，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
根据题目的已知可得，∽，从而得两个直角边对应成比例，从图形分析可知，所以想到连接，构造“手拉手”相似模型，再证明∽，继而求出的长，易证，最后放在中利用勾股定理求出即可．
本题考查了勾股定理，含的直角三角形，相似三角形的判定与性质，添加辅助线构造手拉手相似模型是解题的关键．
18.【答案】
【解析】
解：设点，，则，，
，
，即．
点，均在反比例函数的图象上，
，
解得：．
故答案为：．
设点，，则，，由可得出，再根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于、、的方程组，解之即可得出值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征以及两点间的距离公式，属于中档题．
19.【答案】
解：
；
，
当时，原式．
【解析】
先化简各式，然后再进行计算即可解答；
先算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答；
本题考查了分式的化简求值，分母有理化，负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20.【答案】
解：去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
分式方程的解为；
是不等式的解，
把代入得：，
解得：，
不是不等式的解，
把代入得：，
解得：，
则的范围是．
【解析】
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解；
根据题意列出不等式，求出不等式的解集即可确定出的范围．
此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
21.【答案】
证明：，
是直角三角形斜边上的中线，
，
又，
即，
，
又，，
，
，
∽∽，
：：：：，
；
解：当时，，
的长，
即圆锥的底面周长为，
圆锥的底面半径，
【解析】
证∽∽，根据线段比例关系即可证；
当时，，根据弧长公式求出弧的长度，即可确定圆锥的底面半径．
本题考查了相似三角形的判定和性质，圆的周长及圆锥的底面半径等知识点，熟练掌握圆和圆锥的基础概念以及相似三角形的判定和性质是解题的关键．
22.【答案】
解：点是的“理想点”，理由如下：
是中点，，
，，
，
，
，
，
，
∽，
，
点是的“理想点”；
在上时，如图：
是的“理想点”，
或，
当时，
，
，
，即是边上的高，
当时，同理可证，即是边上的高，
在中，，，，
，
，
，
，，
有，
“理想点”不可能在边上，
在边上时，如图：
是的“理想点”，
，
又，
∽，
，即，
，
综上所述，点是的“理想点”，的长为或．
【解析】
由已知可得，从而∽，，可证点是的“理想点”；
由是的“理想点”，分三种情况：当在上时，是边上的高，根据面积法可求长度；当在上时，∽，对应边成比例即可求长度；不可能在上．
本题考查相似三角形、勾股定理等知识，解题的关键是理解“理想点”的定义．
23.【答案】
解：设款玩偶购进个，款玩偶购进个，
由题意，得，
解得：．
个．
答：款玩偶购进个，款玩偶购进个；
设款玩偶购进个，款玩偶购进个，获利元，
由题意，得．
款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半．
，
，
．
，
随的增大而增大．
时，元．
款玩偶为：个．
答：按照款玩偶购进个、款玩偶购进个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是元；
第一次的利润率，
第二次的利润率，
，
对于小李来说第二次的进货方案更合算．
【解析】
本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一次函数的的运用，解答时由销售问题的数量关系求出一次函数的解析式是关键．
设款玩偶购进个，款玩偶购进个，由用元购进了，两款玩偶建立方程求出其解即可；
设款玩偶购进个，款玩偶购进个，获利元，根据题意可以得到利润与款玩偶数量的函数关系，然后根据款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半，可以求得款玩偶数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润元；
分别求出两次进货的利润率，比较即可得出结论．
24.【答案】
解：由题意知，方程的两根：，，
，
；
由题意可知，二次函数图象开口向下，顶点坐标为，
当，即时，在中，随的增大而减小，
当时，的值最大为：，
解得，舍去，或舍去；
当，即时，有最大值为，
解得，，或舍去；
当，即时，在中，随的增大而增大，
当时，的值最大为：，
解得，，或舍去．
综上，或．
设线段的解析式为，
把，代入得，解得，
线段为：，
由，整理得，
当时，，
二次函数的图象与线段有两个不同的交点，
，，
，
综上所述，的取值范围为．
【解析】
由题意知，方程的两根：，，再通过根与系数的关系求得结果；
求得顶点坐标为，分三种情况：当；当；当根据二次函数的性质与最大值列出的方程进行解答；
把、的坐标分别代入解析式求得的值，然后根据题意即可求得．
本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
25.【答案】
解：平移线段至交于点，如图所示：
由平移的性质得：，
四边形是正方形，
，，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，，
≌，
，
；
平移线段至交于点，如图所示：
则四边形是矩形，，
，，
四边形是正方形，
，，
，，
，
，
，
，
在和中，，
≌，
；
将线段向右平移至处，使得点与点重合，连接，如图所示：
，
设正方形网格的边长为单位，
则，，，，，，
根据勾股定理可得：，，，
，
，
，
；
平移线段至处，连接，如图所示：
则，四边形是平行四边形，
，
四边形与四边形都是正方形，
，，
，
，
在和中，，
≌，
，，
，
，
，
；
如图所示：
为正方形的对角线，
，
，
，
，
∽，
．
【解析】
平移线段至交于点，证明四边形是平行四边形，得出，由证得≌，即可得出结论；
平移线段至交于点，则四边形是矩形，由证得≌，即可得出结论；
将线段向右平移至处，使得点与点重合，连接，设正方形网格的边长为单位，由勾股定理求得，，，得出，则，由即可得出结果；
平移线段至处，连接，由证得≌，得出，，证明，得出，即可得出结果；
证明∽，得出．
本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平移的性质等知识；熟练掌握平移的性质、证明三角形全等与三角形相似是解题的关键．
26.【答案】
解：是“相邻函数”．
理由如下：
，构造函数．
在上随着的增大而增大，
当时，函数有最大值，当时，函数有最小值，即．
．
即函数与在上是“相邻函数”；
反比例函数在上是减函数，
当时，；当时，，
当时，；当时，．
，
有，
解得：．
若函数与在上是“相邻函数”，的最大值为，最小值为；
．
与在上是“相邻函数”，
．
由二次函数的性质可知：
当时，有最大值，
当时，有最小值．
，
解得：．
【解析】
判定函数与在上为“相邻函数”，利用给定的证明过程，将、替换成、即可得出结论；
根据一次函数与反比例函数的单调性，分别找出当、时，、的值，再根据“相邻函数”的定义即可得出关于的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论；
将两函数解析式做差，找出，结合二次函数的性质找出其最大值与最小值，再根据“相邻函数”的定义即可得出关于的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
本题考查了一次函数的性质、反比例函数的性质以及二次函数的最值问题，解题的关键是：
构造函数，利用一次函数的性质解决问题；
由“相邻函数”的性质得出关于的一元一次不等式．本题属于中档题，难度不大，但较繁琐，解决该题型题目时，结合给定的新定义，找出关于函数系数的方程不等式或不等式组是关键．
由“相邻函数”的性质得出关于的一元一次不等式．
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