北师大新版八年级下册第1章 三角形的证明单元测试卷（word版含解析）

北师大新版八年级下册《第1章三角形的证明》 2022年单元测试卷（3）
副标题
题号 一 二 三 总分
得分
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃那么最省事的办法是带 去配．
A. B. C. D. 和
如图，，、都是等腰三角形，如果，，那么长为
A.
B.
C.
D.
如图，在等边中，，分别是，上的点，且，与相交于点，则的度数是
A.
B.
C.
D.
如图，在中，，，和分别是和的平分线，且相交于点在图中，等腰三角形不再添加线段和字母的个数为
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
如图，，，表示三条相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有
A. 处
B. 处
C. 处
D. 处
要测量河两岸相对的两点、的距离，先在的垂线上取两点，，使，再作出的垂线，使，，在同一条直线上如图，可以证明≌，得因此，测得的长就是的长，在这里判定≌的条件是．
A. B. C. D.
三角形中，到三边距离相等的点是
A. 三条高线的交点 B. 三条中线的交点
C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点
等边的两条角平分线和交于点，则等于
A. B. C. D.
下列说法正确的是
A. 等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是底边上的高
B. 等边三角形不是轴对称图形
C. 等腰三角形两腰相等
D. 两腰相等的三角形是等腰三角形
已知：如图，中，，点为的三条角平分线的交点，，，，点、、分别是垂足，且，，，则点到三边、和的距离分别等于
A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、
二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）
等腰三角形的一个内角是度，则另外两个角的度数分别是______ ．
如图，中，，在上，且，，则 ______
用反证法证明“一个三角形不能有两个角是直角”时应首先假设______ ．
若一个直角三角形两直角边之比为：，斜边长，则两直角边为______．
如图，在中，，是的垂直平分线，若，，则的周长为______．
三、解答题（本大题共6小题，共58.0分）
如图，已知线段，求作：，使，，高不写作法，保留作图痕迹，写出结论
如图，内部求作一点，使，并且点到两边的距离相等．尺规作图，保留作图痕迹，不写作法
如图，在中，，、在上，且，求证：．
已知：如图，，，，，是垂足，．
求证：；．
如图，在中，，点是的中点，，，，为垂足，求证：在的角平分线上．
已知，如图，是平分线上的一点，，，垂足分别为，求证：
；
是的垂直平分线．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的应用，熟记全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定方法解答．
【解答】
解：带去可以根据“角边角”配出全等的三角形．
故选C．

2.【答案】
【解析】
解：，都是等腰三角形，，，
，，
．
故选：．
根据等腰三角形的性质和勾股定理求解．
考查等腰三角形的性质及勾股定理的运用．
3.【答案】
【解析】
解：在等边中，，，，
≌，
，
而，
．
故选：．
在等边中，，，，由此可以证明≌，根据全等三角形的性质得到，而，所以．
本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定等内容，比较简单．
4.【答案】
【解析】
解：在中，，，
，
、分别为与的角平分线，
，
，，，
，，，是等腰三角形，
，，，
，
，，，
，，，是等腰三角形．
图中的等腰三角形有个．
故选：．
由在中，，，根据等边对等角，即可求得与的度数，又由、分别为与的角平分线，即可求得，然后利用三角形内角和定理与三角形外角的性质，即可求得，由等角对等边，即可求得答案．
本题考查了等腰三角新的判定与性质、三角形内角和定理以及三角外角的性质．此题难度不大，解题的关键是求得各角的度数，掌握等角对等边与等边对等角定理的应用．
5.【答案】
【解析】
解：作直线、、所围成的三角形的外角平分线和内角平分线，外角平分线相交于点、、，内角平分线相交于点，根据角平分线的性质可得到这个点到三条公路的距离分别相等．
故选：．
根据角平分线上的点到角的两边的距离相等作出图形即可得解．
本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并是解题的关键，作出图形更形象直观．
6.【答案】
【解析】
【分析】
根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、，做题时注意选择．
注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
【解答】
解：因为证明在≌用到的条件是：，，，
所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即这一方法．
故选A．
7.【答案】
【解析】
解：三角形中，到三边距离相等的点是三条角平分线的交点．
故选：．
根据角平分线上的点到角的两边距离相等解答．
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
8.【答案】
【解析】
解：如图，
等边三角形中，，分别是，的角的平分线，交于点，
，
．
故选C．
由已知条件根据等边三角形的性质、角平分线的性质求解．
本题考查了：、等边三角形的性质，三角均为，、角的平分线的性质，、三角形内角和定理．做题时，要综合运用这些知识．
9.【答案】
【解析】
解：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是底边上的高所在的直线，原说法错误，故本选项不合题意；
B.等边三角形是轴对称图形，原说法错误，故本选项不合题意；
C.等腰三角形两腰相等，说法正确，故本选项符合题意；
D.两边相等的三角形是等腰三角形，原说法错误，故本选项不合题意；
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
10.【答案】
【解析】
解：
连接，
点为的三条角平分线的交点，，，，点、、分别是垂足，
，
又是公共边，
≌，
，
同理，，，
，，，，，
是正方形，
设，则，，，
，即，
解得．
则．
故选：．
由角平分线的性质易得，，，，设，则，，，所以，解答即可．
此题综合考查角平分线的性质、全等三角形的判定和性质和正方形的判定等知识点，设未知数，并用未知数表示各边是关键．
11.【答案】
，或，
【解析】
解：如图，，
，
当底角时，则，
；
当顶角时，
，，
；即其余两角的度数是，或，．
故答案为：，或，．
根据等腰三角形的性质推出，分为两种情况：当底角时，当顶角时，根据和三角形的内角和定理求出即可．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，注意此题有两种情况：当底角时，当顶角时．
12.【答案】
【解析】
解：设，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
解得．
．
故答案为：．
先设，由可知，，由可知，由三角形外角的性质可知，根据可知，再在中，由三角形内角和定理即可得出关于的一元一次方程，求出的值即可．
本题考查的是等腰三角形的性质，解答此类题目时往往要用到三角形内角和定理、三角形外角的性质等隐含条件．
13.【答案】
这个三角形中有两个角是直角
【解析】
解：用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”第一步应假设这个三角形中有两个角是直角．
故答案为：这个三角形中有两个角是直角．
根据反证法的第一步是从结论的反面出发进而假设得出即可．
此题主要考查了反证法，正确掌握反证法的第一步是解题关键．
14.【答案】
、
【解析】
解：设直角三角形两直角边分别为、，
由勾股定理得，，
解得，，
则、，
直角三角形两直角边分别为、，
故答案为：、．
根据勾股定理列出方程，解方程即可．
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
15.【答案】
【解析】
解：是的垂直平分线，
，
的周长，
故答案为：．
根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
16.【答案】
解：如图，为所作．
【解析】
作线段，再作的垂直平分线，垂足为，接着在上截取，然后连接、即可．
本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
17.【答案】
解：如图，作线段的垂直平分线，作的平分线，交于点，点即为所求．
【解析】
如图，作线段的垂直平分线，作的平分线，交于点，点即为所求．
本题考查作图复杂作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
18.【答案】
证明：，，
，，
，，
，
在和中，
≌，
．
【解析】
此题主要考查等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质的综合运用．
根据等腰三角形的性质可得到，，再根据三角形外角的性质可推出，从而可利用判定≌，根据全等三角形的性质即可证得结论．
19.【答案】
证明：，，
，
在和中，
≌；
，
即
；
≌，
，
．
【解析】
利用定理即可证明≌，证明，据此即可得到；
根据≌即可证得，然后利用平行线的判定定理证明．
本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的判定，正确证明≌是关键．
20.【答案】
解：点是的中点，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
而，，
在的角平分线上．
【解析】
证明≌得到，然后根据角平分线的性质定理的逆定理得到结论．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；在角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．也考查了全等三角形的判定与性质．
21.【答案】
解：证明：是平分线上的一点，，，
，
在与中，
≌，
；
证明：是平分线上的一点，
由知，，
在与中，
，
≌，
，，
即是的垂直平分线．
【解析】
先根据是平分线上的一点，，得出，由定理得出≌，故可得出；
根据是平分线上的一点得出，根据定理得出≌，由此可得出结论．
本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．
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