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第十八章 平行四边形
1．选择题：（本题共12小题，每小题3分，共36分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1．【答案】B
【解析】【解答】解：A、平行四边形的内角和为360°，故A不符合题意；
B、平行四边形是中心对称图形，故B符合题意；
C、平行四边形的邻边不一定相等，故C不符合题意；
D、平行四边形的对角相等，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用平行四边形的性质：内角和为360°，可对A作出判断；根据平行四边形的对称性，可对B作出判断；利用平行四边形的对边相等，对角相等，可对C，D作出判断.
2．【答案】C
【解析】【解答】∵直线AB∥CD，P是AB上的动点，
∴当点P的位置变化时，
点P到CD的距离不变即△PCD的边CD上的高不变.
∴△PCD的面积不变.
故答案为：C.
【分析】根据平行线间的距离相等，可知当点P的位置变化时，CD不变且CD边上的高也不变，根据三角形的面积公式即可判断.
3．【答案】B
【解析】【解答】解：连接AC、BD，
在△ABD中，
∵AH=HD，AE=EB，
∴EH=BD，
同理FG=BD，HG=AC，EF=AC，
又∵在矩形ABCD中，AC=BD，
∴EH=HG=GF=FE，
∴四边形EFGH为菱形.
故答案为：B.
【分析】连接AC、BD，根据三角形中位线定理可得EH=BD，FG=BD，HG=AC，EF=AC，由矩形的性质可得AC=BD，即得EH=HG=GF=FE，根据菱形的判定即证.
4．【答案】C
【解析】【解答】连接BD，过点E作EM⊥AD，
∵，，
∴ME=AE×sin60°=2×=，AM= AE×cos60°=2×=1，
∵在菱形ABCD中，
∴AD＝AB＝BC＝CD，∠C＝∠A＝60°，
∴△ABD和△BCD均为等边三角形，
∴∠DBF=∠A=60°，BD=AD，
又∵，
∴△BDF≌△ADE，
∴∠BDF=∠ADE，DE=DF，
∴∠ADE＋∠BDE＝60°＝∠BDF＋∠BDE，即：∠EDF=60°，
∴是等边三角形，
∵的周长为，
∴DE=×=，
∴DM=，
∴AD=AM+DM=1+．
故答案为：C．
【分析】连接BD，过点E作EM⊥AD，先证明△BDF≌△ADE，可得∠BDF=∠ADE，DE=DF，再证明∠EDF=60°，可得是等边三角形，然后利用勾股定理求出DM的长，最后利用线段的和差可得AD=AM+DM=1+。
5．【答案】D
【解析】【解答】解：延长BD交AC于点F，如图
AD平分，
D是BF的中点，
E是BC中点，
故答案为：D．
【分析】延长BD交AC于点F，根据平分线的性质得出，再由，证出，得出，再由E是BC中点，即可得解。
6．【答案】A
【解析】【解答】解：如上图，∵四边形是OABC平行四边形，
∴BCAO，
∴∠CDO=∠DOA，
∵∠COA的平分线是OD，
∴∠COD=∠DOA，
∴∠CDO=∠COD，
∴OC=OD，
∵D(2，3)，
∴ED=2，EO=3，
∴CE2+OE2=CO2，
CE2+32=（CE+2）2，
解得：CE= ，
∴C(-，3)，
故答案为：A．
【分析】由平行四边形的性质可得∴BCAO，利用平行线的性质及角平分线的定义求出∠CDO=∠COD，从而得出OC=OD.由点D坐标可得ED=2，EO=3，在Rt△CEO中，由勾股定理可得CE2+OE2=CO2，即得CE2+32=（CE+2）2，求出CE的长即得结论.
7．【答案】B
【解析】【解答】如图，连接，交于点，
在菱形ABCD中，∠ADC=120°，AB=4，
，， ，，
是等边三角形，
，
在中，，
，
，
CF=CD，
．
故答案为：B
【分析】如图，连接BD，交AC于点O，由菱形的性质，， ，，从而得出△ABD是等边三角形，可求BD=AB=4，利用勾股定理求出AO=2，即得，根据AF=AC-CF即可求解.
8．【答案】B
【解析】【解答】解：连接BE，如图，
由题意知，BE=BC=25，
四边形ABCD是矩形，
，AB=DC=24， AD=BC=25，
在中，，
，
在中，，
四边形的周长=AB+BC+AE+CE=24+25+7+30=86．
故答案为：B．
【分析】根据矩形的性质和勾股定理求出AE、CE即可。
9．【答案】C
【解析】【解答】四边形ABCD是菱形，
AB=BC=CD=AD，BO=DO，
又点E是CD的中点，
OE是△BCD的中位线，
BC=2OE=2×2=4，
菱形ABCD的周长=4×4=16，
故答案选：C．
【分析】由菱形的性质可得AB=BC=CD=AD，BO=DO，由点E是CD的中点可得OE是△BCD的中位线，根据三角形中位线定理可得BC=2OE=4，从而求出菱形的周长.
10．【答案】C
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD，AC=12cm，
∴AO=BO=6cm，
∵∠AOB=60°，
∴△ABO是等边三角形，
∴AB=AO=BO=6cm.
故答案为：C.
【分析】根据矩形性质，结合AC=12cm，求得AO=BO=6cm，进而可证明△ABO是等边三角形，由等边三角形三边相等即可求得短边AB的长.
11．【答案】D
【解析】【解答】解：∵S1＝4，S3＝12，
∴AB＝2，CD＝2 ，
过A作AE∥CD交BC于E，
则∠AEB＝∠DCB，
∵AD∥BC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴CE＝AD，AE＝CD＝2 ，
∵∠ABC+∠DCB＝90°，
∴∠AEB+∠ABC＝90°，
∴∠BAE＝90°，
∴BE＝ ，
∵BC＝2AD，
∴BC＝2BE＝8，
∴S2＝（8）2＝64.
故答案为：D.
【分析】根据S1，S3的值可得AB、CD，过A作AE∥CD交BC于E，则四边形AECD是平行四边形，得到CE＝AD，AE＝CD＝2，易得∠BAE＝90°，利用勾股定理求出BE，根据BC＝2AD可得BC，然后根据正方形的面积公式进行计算.
12．【答案】C
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
，
，
∴，
△AOD是等边三角形，
，
在Rt△ADB中，，
∴
矩形ABCD的面积是
故答案为：C.
【分析】根据矩形的性质可得OA=OB=OD，∠DAB=90°，根据邻补角的性质可得∠AOD=60°，推出△AOD是等边三角形，得到∠ADB=60°，则∠ABD=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得BD=2AD=4，利用勾股定理求出AB，然后根据矩形的面积公式进行计算.
2．填空题（本题共6小题，每题3分，共18分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
13．【答案】3
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，AD=BC=9cm，
∴∠BFA=∠DAF，
∵AF平分∠BAD，
∴∠DAF=∠BAF，
∴∠BAF=∠BFA，
∴AB=FB=6cm，
∴EC=BC-BF=9-6=3cm.
故答案为：3.
【分析】利用平行四边形的性质及平行线的性质可证得AD∥BC，AD=BC=9cm，利用角平分线的定义可证得∠DAF=∠BAF，由此可推出∠BAF=∠BFA，利用等角对等边可求出FB的长；然后根据EC=BC-BF，代入计算取出EC的长.
14．【答案】10；
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD，CD=6cm，AD=8cm，
∴∠ADC=90° ，AC=BD=2OD，
AC=BD= =10cm，OD=5cm，
又∵E，F分别是AO，AD的中点，
∴EF为△AOD的中位线，
∴EF= OD= cm.
故答案为：10； .
【分析】先根据矩形性质得∠ADC=90° ，AC=BD=2OD，再利用勾股定理求得AC和BD的长，进而得OD的长，根据E，F分别是AO，AD的中点，得EF为△AOD的中位线，再利用三角形的中位线性质即可求出EF的长度.
15．【答案】
【解析】【解答】解：连接OP，如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，OA=OC，OB=OD，AC=BD，
∴OA=OB，AC= =10，
∴S矩形ABCD=AB BC=48，S△AOB= S矩形ABCD=12，OA=OB=5，
∴S△AOB=S△AOP+S△BOP= OA PE+ OB PF= OA（PE+PF）= ×5×（PE+PF）=12，
∴PE+PF= ；
故答案为： .
【分析】连接OP，根据矩形的性质可得∠ABC=90°，OA=OC=OB=OD，AC=BD，利用勾股定理求出AC，然后计算出矩形ABCD的面积以及△AOB的面积，接下来根据S△AOB=S△AOP+S△BOP结合三角形的面积公式就可求出PE+PF的值.
16．【答案】
【解析】【解答】解：连接 ，如图，
设 ，
四边形 是矩形
， ， ，
，
，则
在 中，
故答案为： ．
【分析】连接BD，设 ，根据矩形的性质得出 ， ， ， ，利用勾股定理得出EC、BD的值，由此即可得解。
17．【答案】
【解析】【解答】解：如图，
∵∠B=∠D=∠ACE=90°，
∠BAC+∠ACB=90°，∠ECD+∠ACB=90°，
∴∠BAC=∠ECD，
∵AC=CE，
∴△ABC≌△CBE，
∴BC=DE=2，
∴AC=，
∴正方形的边长为.
故答案为：.
【分析】先证出△ABC≌△CBE，得出BC=DE=2，再根据勾股定理求出AC的长，即可得出答案.
18．【答案】（4，-1）或（2，3）或（-4，1）
【解析】【解答】解：如图，
O、A、B的坐标分别是
设，使得以点O、A、B、M为顶点的四边形是平行四边形，
①当OA为对角线时，，解得，则
②当AB为对角线时，，解得，则
③当BO为对角线时，，解得，则
综上所述，点M的坐标为（4，-1）或（2，3）或（-4，1）.
故答案为：（4，-1）或（2，3）或（-4，1）.
【分析】设M（x，y），然后分①OA为对角线；②AB为对角线；③BO为对角线，结合平行四边形的对角线互相平分进行计算即可.
三．解答题（共7题，共66分，19-20每题8分，21-25每题10分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
19．【答案】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，OB=OD=BD=3，OA=OC=AC=4，
在Rt△OBC中，∵OB=3，OC=4，
∴BC==5，
∵OE⊥BC，
∴OE BC=OB OC，
∴OE=.
故答案为.
【解析】【分析】 由菱形的性质可得AC⊥BD，OB=OD=BD=3，OA=OC=AC=4，在Rt△OBC中，利用勾股定理求出BC=5，根据△OBC的面积=OE BC=OB OC即可求出OE的长.
20．【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD，AB∥CD，
∴∠AGC=∠DCF，
∵∠AEF=∠DAB，
∴∠AGC=∠AEF+∠EAG=∠DAB+∠EAG=∠DAE，
∴∠DAE=∠DCF，
∵∠ADC=∠EDF，
∴∠ADE=∠CDF，
∴△ADE≌△CDF，
∴AE=CF
【解析】【分析】由菱形的性质可得AD=CD，AB∥CD，利用平行线的性质可得∠AGC=∠DCF，根据三角形外角的性质及∠AEF=∠DAB，可得∠DAE=∠DCF，由∠ADC=∠EDF可得∠ADE=∠CDF，从而证得△ADE≌△CDF，根据全等三角形的性质即得结论.
21．【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形,
∴AB//CD,OD=OB,∠COD=90°.
∵DH⊥AB,
∴OH=OB,
∴∠OHB=∠OBH.
又∵AB//CD,
∴∠OBH=∠ODC,
∴∠OHB=∠ODC.
∵在Rt△COD中,∠ODC+∠DCO=90°,
在Rt△DHB中,∠DHO+∠OHB=90°
∴∠DHO=∠DCO.
【解析】【分析】(1)根据菱形的性质可得AB∥CD，OD=OB，BD⊥AC，根据平行线的性质得出DH⊥CD， 然后根据直角三角形斜边上的中线的性质可得OH=OB， 则得∠OHB=∠OBH，然后由平行线的性质求出∠OBH=∠ODC，等量代换则可求出∠OHB=∠ODC ，最后根据余角的性质求出∠DHO=∠DCO即可.
22．【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形,
∴ .
∵
∴
∴
【解析】【分析】根据菱形的性质得出AB=AD，∠B=∠D，结合BE=DF，然后利用SAS证明△ABE∽△ADF，则可得出AE=AF.
23．【答案】证明：∵ 是BC边上的中线,
∴ ,
∴ .
又∵四边形ADBE是平行四边形,
∴四边形ADBE是矩形.
【解析】【分析】由等腰三角形的“三线合一”性质，得AD⊥BC，即∠ADB=90°，再根据矩形的定义，即有一个角是直角的平行四边形为矩形即可求证结论.
24．【答案】证明： ∵ 四边形ABCD是矩形,
∴
∴ ,
∴ ,
∴ ,
即 .
在 与 中,
∵
∴
∴
【解析】【分析】先根据矩形性质得OD=OC，即得∠ODC=∠OCD，进而求得∠EDO=∠FCO，再结合DE=CF利用“SAS”可证明△ODE≌△OCF，再由全等性质即可证明结论成立.
25．【答案】证明：∵E，F是AB，BD的中点，
∴EF＝AD，
同理，GH＝AD，HE＝BC，FG＝BC，
∵AD＝BC，
∴EF＝GH＝HE＝FG，
∴四边形EFGH是菱形．
【解析】【分析】根据三角形中位线的性质可得 GH＝AD，HE＝BC，FG＝BC， 再结合AD=BC，即可得到EF＝GH＝HE＝FG，因此四边形EFGH是菱形．
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第十八章 平行四边形
1．选择题：（本题共12小题，每小题3分，共36分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1．平行四边形一定具有的性质是（ ）
A．内角和为180° B．是中心对称图形
C．邻边相等 D．对角互补
2．如图，直线AB∥CD，P是AB上的动点，当点P的位置变化时，三角形PCD的面积将（ ）
A．变大 B．变小 C．不变 D．无法确定
3．顺次连接矩形的各边中点，所得的四边形一定是（ ）
A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．梯形
4．如图，在菱形ABCD中，，点E，F分别在边AB，BC上，，的周长为，则AD的长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，中，AD平分，E是BC中点，，，，则DE的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
6．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点，点A在x轴的正半轴上，∠COA的平分线OD交BC于点，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在菱形ABCD中，∠ADC=120°，AB=4，连结AC，在AC上取一点F，使CF=CD，连结DF，则AF的长是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在矩形中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，则四边形的周长为（ ）
A．79 B．86 C．82 D．92
9．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为DC的中点，若OE=2，则菱形的周长为 （ ）
A．10 B．12 C．16 D．20
10．如图所示，矩形ABCD的两条对角线AC，BD的一个夹角∠AOB=60°，AC=12cm，则这个矩形的一条较短边为（ ）
A．12cm B．8cm C．6cm D．5cm
11．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠DCB＝90°，且BC＝2AD，以AB、BC、DC为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，若S1＝4，S3＝12，则S2的值为（ ）
A．16 B．24 C．48 D．64
12．如图，矩形中，对角线交于点O，，则矩形的面积是（ ）
A．2 B． C． D．8
2．填空题（本题共6小题，每题3分，共18分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
13．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E．若AB=6cm，AD=9cm，则EC= cm.
14．如图，在矩形ABCD中，已知AD=8cm，CD=6cm，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AO，AD的中点，则AC= cm，EF= cm.
15．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，点P为边AB上任意一点，过点P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E、F，则PE+PF= .
16．如图，矩形ABCD中，点E在BC边上，连接DE交对角线AC于点F，若，，，则线段AC的长为 ．
17．如图，一个正方形摆放在桌面上，那么这个正方形的边长为 ．
18．已知O、A、B的坐标分别是，在平面内找一点M，使得以点O、A、B、M为顶点的四边形是平行四边形，则点M的坐标为 .
三．解答题（共7题，共66分，19-20每题8分，21-25每题10分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
19．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，OE⊥BC，垂足为点E，求OE的长.
20．已知菱形ABCD，E，F分别为菱形外的两点，且E，C，F三点共线，EF交AB于G，连接AE，DE，DF，，．求证：．
21．如图所示，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连结OH.
求证：∠DHO=∠DCO.
22．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE=DF，连结AE，AF，求证：AE=AF.
23．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形，求证：四边形ADBE是矩形.
24．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别在边AD，BC上，且DE=CF，连结OE，OF.求证：OE=OF.
25．如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，AD＝BC，求证：四边形EFGH是菱形．
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