湖南十二校2013届高三第一次联考数学（文）试题

湖南十二校
2013届高三第一次联考
数学（文）试题
由 长郡中学；衡阳八中；永州四中；岳阳县一中；湘潭县一中；湘西州民中；石门一中；
澧县一中；郴州一中；益阳市一中；桃源县一中；株洲市二中 联合命题
炎德文化审校、制作
总分：150分 时量：120分钟
一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填在答题卡中对应位置．
1．已知集合R为实数集，则=
A．[O，1] B．（0，1]
C．（一∞，0] D．以上都不对
2．i是虚数单位，复数的虚部为
A．2 B．－2 C．1 D．－1
3．若函数，则是
A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的奇函数
C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为2的偶函数
4．若Sn是等差数列的前n项和，且S8－S4=12，则S12的值为
A．22 B．36 C．44 D．64
5．在平面直角坐标系中，若不等式组为常数)，所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为
A．3 B．2 C．1 D．－5
6．已知平面上不共线的四点O,A，B,C，若，则=
A．3 B．4 C．5 D．6
7．不等式“|是”是“”成立的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．在区间[1，5]和[2，4]上分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为
A． B． C． D．
9．在R上定义运算：xy=x（l－y）．若对任意x>2，不等式（x－a）x≤a+2都成立，则实数a的取值范围是
A．[一1， 7] B．（一∞，3] C．（一∞，7] D．（一∞，－1]U[7，+∞）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．
10．直角坐标系xOy中，圆C的参数方程是为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，则圆心C的极坐标是 。
11．运行如图所示的程序框图，若输入n=4，则输出S的值为 ．
12．观察下列不等式：
①；②；③；…
则第5个不等式为 。
13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何
体的体积是 。
14．已知函数是定义在R上的奇函数，且当
时不等式，恒成立，若

则a，b，c的大小关系（用“>”连接）是 。
15．设M是△ABC内一点，·，定义 其中分别是△MBC，△MAC，△MAB的面积，若则的取值范围是 。
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分12分）
在△ABC中，a，b,c分别是角A，B,C的对边，C= 2A ,cos A=．
（1）求cos B，cos C的值；
（2）若·，求边AC的长．
17．（本小题满分12分）
某种零件按质量标准分为1，2，3，4，5五个等级，现从批该零件中随机抽取20个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下：
等级
1
2
3
4
5
频率
0.05
m
0.15
0.35
n
（1）在抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，求m，n的值；
（2）在（1）的条件下，从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2个零件等级不相同的概率．
18．（本小题满分12分）
如图，已知三棱锥P—ABC的侧面PAB是等边三角形，
D是AB的中点，PC= BC=AC=2，PB=2．
（1）求证：AB⊥平面PCD；
（2）求点C到平面PAB的距离.
19．（本小题满分13分）
某产品在不做广告宣传且每千克获利a元的前提下，可卖出b千克．若做广告宣传，广告费为n千元时比广告费为（n一1）千元时多卖出千克．
（1）当广告费分别为1千元和2千元时，用b表示销售量s；
（2）试写出销售量s与n的函数关系式；
（3）当a=50，b=200时厂家应生产多少千克这种产品，做几千元广告，才能获利最大？
20．（本小题满分13分）
已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点F重合，椭圆C1与抛物线C2在第一象限的交点为P，| PF|=
（1）求椭圆Cl的方程；
（2）若过点A（－1，0）的直线与椭圆C1相交于M、N两点，求使成立的动点R的轨迹方程；
（3）若点R满足条件（2），点T是圆上的动点，求 的最大值，
21．（本小题满分13分）
已知函数为常数）．
（1）若函数在x=1处的切线斜率为2，求该切线的方程；
（2）当x∈（1，3）时，恒成立，求a的取值范围．