2022届高考数学三轮冲刺课之解答题4 函数与导数课件(共38张PPT)

(共38张PPT)
高考数学冲刺之解答题4
函数与导数
主讲人： |
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01
解答题
三角函数与解三角形
02
解答题
立体几何
03
解答题
统计与概率
04
解答题
函数与导数
05
解答题
极坐标与参数方程
3
高考说明
函数是一条主线，贯穿于整个高中数学，导数是重要的解题工具，是解决函数问题的利器，因此，函数与导数在高考数学中的地位不言而喻.
在近几年的高考中，导数在研究函数的单调性中的应用是必考内容，它不但避开了初等函数变形的难点，定义法证明的繁杂，而且使解法程序化，优化解题策略、简化运算，具有较强的工具性的作用.
题型专练1
题型专练2
题型专练3
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高考说明
函数与导数的综合试题主要考查函数的单调性，函数极(最)值、零点以及不等式的证明和恒成立问题.
按考查方式可以分为两种：
①直接考查，如判断函数的单调性以及求函数的最值，或直接证明不等式问题；
②逆向考查，即已知函数的单调性、极(最)值或极值点、不等式恒成立，求解参数的取值范围. 综合性强，知识的交汇点多，深刻考查考生的分析问题、解决问题的能力.
题型专练1
题型专练2
题型专练3
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本节说明
函数与导数：
类型一：讨论函数的单调性 类型二：与函数零点有关问题 类型三：利用导数证明不等式
题型专练1
题型专练2
题型专练3
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1.导数与函数单调性的关系.
①f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0.
②f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，如果函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，则f(x)为常数函数.
2.利用导数研究函数单调性的方法.
①若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.
②若已知函数的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题来求解.
题型专练1
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例题
1. (全国卷)已知函数. (1)讨论f(x)的单调性.
题型专练1
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例题
1. (全国卷)已知函数. (1)讨论f(x)的单调性.
解析：(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝2ae2x＋(a－2)ex－1＝(aex－1)(2ex＋1). 2分
(i)若a≤0，则f′(x)＜0，所以f(x)在(－∞，＋∞)单调递减. 1分
(ii)若a＞0，则由f′(x)＝0得x＝－ln a.
当x∈(－∞，－ln a)时，f′(x)＜0；当x∈(－ln a，＋∞)时，f′(x)＞0.
所以f(x)在(－∞，－ln a)单调递减，在(－ln a，＋∞)单调递增. 2分
题型专练1
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2. (模拟题)已知函数f(x)＝ln x－xex＋ax，其中a∈R.
(1)若函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减，求实数a的取值范围.
例题
题型专练1
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2. (模拟题)已知函数f(x)＝ln x－xex＋ax，其中a∈R.
(1)若函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减，求实数a的取值范围.
例题
题型专练1
1. 求可导函数单调区间的一般步骤
(1)确定函数f(x)的定义域(定义域优先)；
(2)求导函数f′(x)；
(3)在函数f(x)的定义域内求不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0的解集．
(4)由f′(x)＞0(f′(x)＜0)的解集确定函数f(x)的单调增(减)区间．
若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间．
2. 根据函数单调性确定参数范围的方法：
①利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．
②转化为不等式的恒成立问题，即“若函数单调递增，则f′(x)≥0；若函数单调递减，则f′(x)≤0”
来求解．
题型专练1
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练习
1. (模拟题)已知函数
(1)当a0时，求f(x)的极值； (2)当a<0时，讨论f(x)的单调性.
题型专练1
13
练习
题型专练1
14
练习
2. (模拟题)已知函数． (1)分析函数f(x)的单调性.
题型专练1
15
练习
2.(模拟题)已知函数． (1)分析函数f(x)的单调性.
题型专练1
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例题
3.(模拟题)已知函数，其中a∈R．
(1)若f(x)存在唯一极值点，且极值为0，求a的值； (2)讨论f(x)在区间[1，e]上的零点个数．
题型专练2
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例题
题型专练2
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对于函数零点个数问题：
可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围. 从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等.但需要注意探求与论证之间区别，论证是充要关系，要充分利用零点存在性定理及函数单调性严格说明函数零点个数.
题型专练2
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例题
4.已知函数.
(1)讨论f(x)的单调性.
(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.
f(x)在(－∞，－ln a)单调递减，在(－ln a，＋∞)单调递增.
f′(x)＝2ae2x＋(a－2)ex－1＝(aex－1)(2ex＋1).
题型专练2
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例题
f′(x)＝2ae2x＋(a－2)ex－1＝(aex－1)(2ex＋1).
题型专练2
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利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法：
(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.
(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.
(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
题型专练2
22
练习
1.已知函数f(x)(x2)lnxax1．当a1时，证明f(x)存在两个零点．
题型专练2
23
练习
1.已知函数f(x)(x2)lnxax1．当a1时，证明f(x)存在两个零点．
题型专练2
24
例题
5.已知函数f(x)lnxa(x1)．
(1)讨论函数的单调性； (2)对任意x>0，求证：
题型专练3
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例题
5.已知函数f(x)lnxa(x1)．
(1)讨论函数的单调性； (2)对任意x>0，求证：
题型专练3
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利用导数证明不等式常见类型及解题策略：
(1)构造差函数h(x)f(x)g(x).根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等
量关系，进而证明不等式.
(2)根据条件，寻找目标函数. 一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或
利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.
题型专练3
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例题
6.已知函数
(1)若曲线yf(x)在x1处的切线与直线xy0垂直，求函数yf(x)在(0，1]最大值；
(2)当a1时，设函数f(x)的两个零点为x1，x2，试证明：x1＋x2>2．
题型专练3
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例题
6.已知函数
(1)若曲线yf(x)在x1处的切线与直线xy0垂直，求函数yf(x)在(0，1]最大值；
(2)当a1时，设函数f(x)的两个零点为x1，x2，试证明：x1＋x2>2．
题型专练3
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例题
题型专练3
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证明此类问题的一般步骤：
(1)求导判断函数的单调性，求出函数f(x)的极值点x0 ， 并得出两零点x1，x2的取值范围；
(2)构造一元差函数F(x)=f(x0+x)－f(x0－x)或F(x)=f(x)－f(2x0－x) ；
(3)求一元差函数的导数，确定函数F(x)的单调性；
(4)结合F(x0)=0，判断F(x)的符号，从而确定f(x0+x)、f(x0－x)或f(x)、f(2x0－x)的大小关系.
(5)利用f(x1)=f(x2)进行等量代换，根据函数的单调性，脱去“f ”，证得x1，x2的不等关系式.
题型专练3
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例题
7. 已知函数f(x)=lnx-ax，其中a≥0．
(1)求f(x)的单调区间； (2)若f(x)有两个相异零点x1，x2，求证：x1·x2>e2．
题型专练3
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例题
题型专练3
高考状元满分心得：
1．牢记求导法则，正确求导：在函数与导数类解答题中，通常都会涉及求导，正确的求导
是解题关键，因此要牢记求导公式，做到正确求导，解题时应先写出函数定义域．
2．注意利用第(1)问的结果：在题设条件下，如果第(1)问的结果第(2)问能用得上，可以直接用，有些题目不用第(1)问的结果甚至无法解决．
3．注意分类讨论：高考函数与导数解答题，一般都会涉及分类讨论，并且讨论的步骤也是得分点，所以一定要重视分类讨论．
4．写全得分关键：在函数与导数问题中，求导的结果、分类讨论的条件、单调区间、零点等一些关键式子和结果都是得分点，在解答时一定要写清楚．
解题指导：仔细审题，注意画函数图像，注意定义域，参数范围。
求导之后需要思考的问题：
1.判断正负，以确定原函数的单调性，
2.求根（猜根），
3.二次求导，研究导函数的单调性
4.当导数含有参数时要多分析参数对导数正负的影响
求参问题方法与技巧：
法1.分离参数：转化为恒成立问题，即大于最大，则大于所有；小于最小，则小于所有；
法2.构造函数：转化为恒成立问题，对参数进行分类讨论；
法3.利用不等式：整合函数解析式；lnx≤x-1 (x>0) ≥x+1 sinx≤x (x≥0)
技1.可以提前分析（通过函数解析式的结构）参数的大致范围，以减少讨论情况
技2.提前限定（通过闭区间的端点函数值）参数的大致范围，以减少讨论情况
技3.重新整合函数解析式；如遇到x与lnx；x与sinx；x与cosx时要进行分离处理
技4.出现含参二次函数结构优先考虑因式分解
证明问题方法与技巧：
法1.分析法：利用划归转化思想
法2.构造函数：转化为求函数最值问题；
法3.f(x)min>g(x)max
法4.赋值法
法5.利用函数不等式：整合函数解析式； lnx≤x-1 (x>0) ≥x+1 sinx≤x (x≥0)
法6.利用函数单调性
温馨提示：多考虑函数导数的端点值
求可导函数单调区间的一般步骤
(1)确定函数f(x)的定义域(定义域优先)；
(2)求导函数f′(x)；
(3)在函数f(x)的定义域内求不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0的解集．
(4)由f′(x)＞0(f′(x)＜0)的解集确定函数f(x)的单调增(减)区间．
若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间．
根据函数单调性确定参数范围的方法：
①利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)
是相应单调区间的子集．
②转化为不等式的恒成立问题，即“若函数单调递增，则f′(x)≥0；
若函数单调递减，则f′(x)≤0”来求解．
当堂总结
对于函数零点个数问题：
可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围. 从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等.但需要注意探求与论证之间区别，论证是充要关系，要充分利用零点存在性定理及函数单调性严格说明函数零点个数.
利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法：
(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.
(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.
(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
当堂总结
利用导数证明不等式常见类型及解题策略：
(1)构造差函数h(x)f(x)g(x).根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.
(2)根据条件，寻找目标函数. 一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.
当堂总结