四川省成都市新津中学2013届高三2月月考数学（文）试题

新津中学高三数学(文)2月月考试题
参考公式：球体的表面积公式，其中为球体的半径
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．若复数，则a + b =（ ）
A．0 B．1 C．－1 D．2
2．函数的定义域是 ( )
A． B． C． D．
3．已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A、1 B、2 C、3 D、4
4.已知是等差数列，，，则过点的直线的斜率为（ ）
A．4 B． C．－4 D．－14
5.已知向量，，且，则实数的值为( )
A． B． C． D．
6. 过点与圆相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
7. 已知F1、F2是椭圆+=1的两焦点，经点F2的的直线交椭圆于点A、B，若|AB|=5，则|AF1|+|BF1|等于（ ）
A． B． C． D．
8.右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，
可得该几何体的表面积是（ ）
A． B．
C． D．
9．设向量与的夹角为，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，则( )
A． B．2 C． D．4
10．已知函数：，其中：，记函数满足条件：为事件为A，则事件A发生的概率为( )
A． 　 B． 　　 C．　 　D．
二、填空题：本大题共5小题,每小题5分，满分25分
11. 命题“”的否定是_________________
12.函数的部分图象如图所示，
则+…+f（4006）的值为 。
13．如图所示程序框图，输出结果是
14. 已知双曲线的焦点在y轴上，两条渐近线方程为,则双曲线的离心率e等于
15.某邮局现只有邮票0.6元，0.8元，1.1元的三种面值邮票，现有邮资为7.50元的邮件一件，为使粘贴的邮票张数最少；且资费恰为7.50元，则至少要购买___________张邮票.
三、解答题：本大题共6小题，满分75分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16.（本小题满分12分）
已知函数f(x)=2acos2x+bsinxcosx,且f(0)=2,f()=+.
(1)求f(x)的最大值与最小值；
（2）若α－β≠kπ,k∈Z,且f(α)=f(β),求tan(α+β)的值.
17.（本小题满分12分）
某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费200元.
（1）当每辆车的月租金为3600元时，能租出多少辆车？
（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少元？
18．（本小题满分12分）
如图5，已知平面，平面，△为等边
三角形，，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
19．（本小题满分12分）
已知数列满足：．
(1)求证：数列为等差数列； (2)求数列的通项公式；
(3)令,证明：．
20．（本小题满分13分）
已知圆：及定点，点是圆上的动点，点在上，点在上，且满足＝2，
·＝． （1）若，求点的轨迹的方程；
（2）若动圆和（1）中所求轨迹相交于不同两点，是否存在一组正实数，使得直线垂直平分线段，若存在，求出这组正实数；若不存在，说明理由．
21．(本小题满分14分)
已知函数的图象过点，且在内单调递减，在上单调递增
（1）求的解析式；
（2）若对于任意的，不等式恒成立，试问这样的是否存在.若存在，请求出的范围，若不存在，说明理由；
新津中学高三数学(文)2月月考试题
一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
C
A
B
C
B
C
B
D
选择题参考答案:
1.解:,选B.
2.解:由对数函数的定义域可得到：
即选C
3. 当；
当，共3个零点，选C
4.，由，，化简可以得到公差，选A
5. 由，则，选B
6.易知圆的直径所在直线符合题意，由圆心,直线的斜率，则根据点斜式方程为;，选C
7.由椭圆的定义可知：，则=16-5=11
选B
8.从三视图中可以看出该几何体是半球体，则表面积，选C
9. 由，则，则，故，选B
10.本题为线性规划和几何概型的综合题，由条件可得到：
，以为横纵坐标作出满足条件的平面区域；
而总面积是由决定的正方形区域
面积之比为，选D
二、填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．
11．
12.
13. ,
14．
15．
填空题参考答案:
11. ；本题考察的对立性
12.由统计知识，该组数据的平均值点，代入方程得到
13.根据框图知识可得到点符合的特征为，由；又因为2010之前的奇数共有1005个，则输出的组数为1005组
14.设半径为,根据平面几何知识（切割线定理）
有,
代入数值可得
15.将曲线化简;得到，作出图像可观察到
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知坐标平面上三点，，．
（1）若（O为原点），求向量与夹角的大小；
解：（1）∵，
，
∴， …………… 2分
∴． …………… 4分
又，，设与的夹角为，则：
，
∴与的夹角为或． ………… 7分
（2）若，求的值．
解 ：，
， ……… 9分
　由，∴，　
可得，① ………… 11分
∴，∴，
…………12分
17．（本小题满分12分）
甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙两人依次各抽一题。
① 甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？
解：（1）记 “甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件A， ……2分
　　甲抽到选择题有6种抽法，乙抽到判断题有4种抽法，
所以事件A的基本事件数为　　 ………………4分
∴　　　 ……6分
　
② 甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？
解：（2）记“甲、乙两人都抽到判断题”为事件B，
“至少一人抽到选择题”为事件C，
则B含基本事件数为　　…………8分
　由古典概率公式得　　　　　　………10分
由对立事件的性质可得　……12分
18．（本小题满分14分）
如图5，已知平面，平面，
△为等边三角形，，
为的中点．
（1）求证：平面；
证明：(1) 证：取的中点，连结．
∵为的中点，
∴且．
∵平面，平面，
∴，∴．
又，∴． ………… 4分
∴四边形为平行四边形，则．
∵平面，平面，
∴平面． ………… 7分
（2）求证：平面平面；
证：∵为等边三角形，为的中点，
∴ ∵平面， ………… 9分
平面，∴．
又，故平面．………… 11分
∵，∴平面． ∵平面，
∴平面平面． 　　 …………14分
19．（本小题满分14分）
已知数列满足：．
(1)求证：数列为等差数列；
证明：,
=
==. ………………3分
数列为等差数列. ………………4分
(2)求数列的通项公式；
解: 由(1)得,为等差数列,公差为1,
首项为. ………………6分
(. ………………8分
.………9分
(3)令,证明：．
, ………10分
. ………11分
. ………12分
当时,
…………13分
当时,
综上所述:. ………14分
20．（本小题满分14分）
已知圆：及定点，点是圆上的动点，点在上，点在上，且满足
＝2， ·＝．
（1）若，求点的轨迹的方程；
解：（1）点为的中点，
又，
或点与点重合．∴ …………2分
又
∴点的轨迹是以为焦点的椭圆，
且，
∴的轨迹方程是 …………6分
（2）若动圆和（1）中所求轨迹相交于不同两点，是否存在一组正实数，使得直线垂直平分线段，若存在，求出这组正实数；若不存在，说明理由．
解：不存在这样一组正实数，下面证明： ……7分
由题意，若存在这样的一组正实数，当直线的斜率存在时，
设之为，故直线的方程为：
，设，中点，
则，两式相减得：．…………9分
注意到，
且 ，
则 ， ②
又点在直线上，，
代入②式得：．
因为弦的中点在⑴所给椭圆内，故，
这与矛盾，所以所求这组正实数不存在． …………13分
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
则此时，
代入①式得，这与是不同两点矛盾．
综上，所求的这组正实数不存在． ………14分
21．（本小题满分14分）
对于定义域为D的函数，若同时满足下列条件：①在D内单调递增或单调递减；②存在区间[]，使在[]上的值域为[]；那么把（）叫闭函数。
（Ⅰ）求闭函数符合条件②的区间[]；
解：（Ⅰ）由题意，在[]上递减，
则
解得…………3分
所以，所求的区间为[-1，1] ………………………4分
（Ⅱ）判断函数是否为闭函数？并说明理由；
解：取则，
即不是上的减函数。…………6分
取
，
即不是上的增函数 …………8分
所以，函数在定义域内不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数。 ---------9分
（Ⅲ）若是闭函数，求实数的取值范围。
解：若是闭函数，则存在区间[]，
在区间[]上，函数的值域为[]，
即，为方程
的两个实数根，…………10分
即方程有两个不等的实根。
当时，有，
解得 …………12分
当时，有，无解 ……13分
综上所述， -----------14分