(共13张PPT)
01
02
03
学习目标
情境引入
新知探究
04
课堂小结
随堂练习
05
1.理解二次函数y=x2+ax+b的图象与x轴交点的个数与一元二次方程x2+ax+b＝0根的个数之间的对应关系；
2.会利用二次函数的图象与x轴交点的横坐标解相应的一元二次方程．
小兰同学画了一个函数y=x2+ax+b的图象如图所示,你能利用图象求出关于x的方程x2+ax+b=0的解吗
分析:如图所示,∵函数y=x2+ax+b的图象与x轴的交点坐标分别是(-1,0),(4,0),∴关于x的方程x2+ax+b=0的解是x=-1或x=4.
【问题】 二次函数y=x2+ax+b的图象与x轴的交点的个数与一元二次方程x2+ax+b=0的根的个数之间有什么关系 图象与x轴的交点的横坐标与方程的根又有什么关系
二次函数与一元二次方程的关系
我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可以近似地用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面以40 m/s的速度竖直向上抛起,小球距离地面的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示.那么:
(1)h与t的关系式是什么
(2)小球经过多少秒后落地 你有几种求解方法
问题1 回答下面的问题:
1.由图象可得h0= ,v0= .
2.由h与t的关系式为h=-5t2+v0t+h0,可得h与t的关系式为 .
h与t的关系式为h=-5t2+v0t+h0,其中的v0为40 m/s,小球从地面被抛起,所以h0=0.把v0=40,h0=0代入上式即可求出h与t的关系式,所以h=-5t2+40t.
问题2 怎样求出小球落地所需要的时间
观察图象可得:小球经过8 s后落地.
解:令h=0,得-5t2+40t=0,即t2-8t=0,∴t(t-8)=0.解得t1=0,t2=8.
∵t=0是小球没抛时的时间,∴t=8是小球落地时的时间.
∴小球经过8 s后落地.
【议一议】二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象分别如图所示.
(1)每个图象与x轴有几个交点
(2)一元二次方程x2+2x=0，x2-2x+1=0有几个实数根 用判别式验证一下.一元二次方程x2-2x+2=0有实数根吗
(3)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标和一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系
二次函数与一元二次方程之间的关系:
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况:有两个交点、有一个交点、没有交点.
与此相对应,一元二次方程ax2+bx+c=0的根也有三种情况:有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根.
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
二次函数与一元二次方程之间的关系:
当y=0时,二次函数的解析式y=ax2+bx+c就是一元二次方程ax2+bx+c=0,而一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标,在二次函数与一元二次方程的关系中,判别式Δ=b2-4ac起着极为重要的作用.
Δ＞0 Δ=0 Δ＜0
一元二次方程
ax2+bx+c=0 x1=
x2= x1=x2= 没有实数
根
二次函数
y=ax2+bx+c 图象与x轴有两个交点,分别为
(x1,0),(x2,0) 图象与x轴只有一个交点,为 图象与x轴
没有交点
【想一想】 在本节一开始的小球上抛问题中,何时小球离地面的高度是60 m 你是如何知道的
由图象可知:当h=60 m时,直线h=60与函数h=-5t2+v0t+h0的图象有两个交点,分别为(2,60)和(6,60),因此,当小球离开地面2 s和6 s时,高度都是60 m.
解析:利用Δ进行判定,选项A,B,D的Δ都小于0,对于选项C,Δ=36-4×3=24＞0,∴函数图象与x轴有两个交点,故C正确.故选C.
1.下列二次函数的图象与x轴有两个交点的是( )
A.y=-x2+2x-5 B.y=-2x2-8x-11
C.y=3x2-6x+1 D.y=4x2+24
C
2.二次函数y=2x2+mx+8的图象如图所示,则m的值是 ( )
A.-8 B.8 C.±8 D.6
解析:由图象可知,抛物线与x轴只有一个交点,∴Δ=m2-4×2×8=0,解得m=±8.∵对称轴为直线x=- ＜0,∴m＞0,∴m的值为8.故选B.
B
3.二次函数y=x2-mx+3的图象与x轴的交点如图所示,根据图中信息可得到m的值是 .
解析:∵抛物线y=x2-mx+3过点(1,0),
∴1-m+3=0,∴m=4.故填4.
4
解:根据图象可知,二次函数y=-x2+2x+m的部分图象经过点(3,0),所以该点适合y=-x2+2x+m,代入,
得-9+2×3+m=0,解得m=3.把m=3代入一元二次方程-x2+2x+m=0,得-x2+2x+3=0,解得x1=3,x2=-1.
4.已知二次函数y=-x2+2x+m的部分图象如图所示,求关于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的解.
谈谈你的收获和困惑
当y=0时,二次函数的解析式y=ax2+bx+c就是一元二次方程ax2+bx+c=0,而一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标,在二次函数与一元二次方程的关系中,判别式Δ=b2-4ac起着极为重要的作用.
Δ＞0 Δ=0 Δ＜0
一元二次方程
ax2+bx+c=0 x1=
x2= x1=x2= 没有实数
根
二次函数
y=ax2+bx+c 图象与x轴有两个交点,分别为
(x1,0),(x2,0) 图象与x轴只有一个交点,为 图象与x轴
没有交点(共10张PPT)
01
02
03
学习目标
情境引入
新知探究
04
课堂小结
随堂练习
05
经历探索用二次函数图象求解一元二次方程近似解的过程，体会用二次函数函数图象求一元二次方程解的方法.
教学重点：利用数形结合的思想估计一元二次方程近似解
教学难点：用逼近法求一元二次方程近似解
如图所示的是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象,由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根是1.6,那么另外一个根是多少
分析:由抛物线可知其对称轴为直线x=3,∵抛物线是轴对称图形,
∴抛物线与x轴的两个交点关于直线x=3对称,
设关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1,x2, 那么两根满足2×3=x1+x2,
∵x1=1.6,∴x2=4.4.
【问题】关于这个问题,我们是利用抛物线的对称轴估计一元二次方程的根, 如果不知道对称轴又该如何估计一元二次方程的根呢
利用函数图象估算一元二次方程ax2+bx+c=0的根
你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x2+2x-10=0的根吗
函数图象与x轴有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间.所以方程x2+2x-10=0的两个根一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间.
借助表格和计算器进一步确定根的范围
从上表可知,当x取-4.3或-4.4时,对应y的值由负变正,可见在-4.4和-4.3之间一定有一个x值使y=0,即有方程x2+2x-10=0的一个根.
由于当x=-4.3时,y=-0.11比y=0.56(x=-4.4)更接近0,所以x=-4.3更接近方程的根.因此,方程x2+2x-10=0在-5和-4之间精确到0.1的根为x=-4.3.
【做一做】利用函数图象估算一元二次方程x2+2x-10=3的根.
由图可知,函数图象与x轴有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约为-4.7和2.7.由此可知,方程x2+2x-10=3的近似根为x1=-4.7,x2=2.7.
利用右求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根.
1.下列表格给出的是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的几组对应值,那么方程ax2+bx+c=0的一个近似解可以是 ( )
解析:结合表格可以得出y=0介于-0.02和0.03之间,对应的x的值介于3.4和3.5之间.故选C.
A.3.25 B.3.35
C.3.45 D.3.55
C
2.如图所示的是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,图象上有两点分别为A(2.18,-0.51),B(2.68,0.54),则方程ax2+bx+c=0的一个近似解只可能是 ( )
A.2.18 B.2.68 C.-0.51 D.2.45
解析:根据二次函数与一元二次方程的关系,由图看出图象与x轴的交点的横坐标在2.18和2.68之间.故选D.
D
3.如图所示,已知抛物线y=x2+bx+c经过点(0,-3),请你确定一个b的值,使该抛物线与x轴的一个交点在(1,0)和(3,0)之间.你所确定的值是 .
解析:由抛物线可知c=-3,当x=1时,y＜0;当x=3时,y＞0,从而可联立不等式,得到 ∴-2＜b＜2,故可在-2~2之间取值.答案不唯一.故可填-1.
-1
与同伴交流你本节课学到的方法，小组小结本课所学知识.
