4.2等差数列检测题（综合提升篇）（Word版含解析）

专题4.2等差数列检测题（综合提升篇）
一、单选题
1．在等差数列中，，则（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
2．已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m为（ ）
A．12 B．8 C．6 D．4
3．一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一．一百零八塔，因塔群的塔数而得名，塔群随山势凿石分阶而建，由下而上逐层增高，依山势自上而下各层的塔数分别为1，3，3，5，5，7，…，若该数列从第5项开始成等差数列，则该塔群共有（ ）．
A．10层 B．11层 C．12层 D．13层
4．已知当且仅当时，等差数列的前项和取得最大值，若，则公差为的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知等差数列，，，是的前n项和，，则的前50项和为（ ）
A．1940 B．1950 C．1960 D．1970
6．已知数列是等差数列，公差，前项和为，则的值（ ）
A．等于4 B．不确定，与有关 C．等于 D．等于2
7．甲 乙两人分别从相距的两处同时相向行走，甲第一分钟走，以后每分钟比前分钟多走；乙第一分钟走，以后每分钟比前分钟少走.甲 乙开始行走后，经过（ ）分钟相遇.
A． B． C． D．
8．已知等差数列的公差，前n项和为，若，则下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C．当时， D．当时，
二、多选题
9．(多选)数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，已知a7＝5，S7＝21，则（ ）
A．a1＝1 B．d＝－
C．a2＋a12＝10 D．S10＝40
10．记等差数列的前项和为，已知，，则有（ ）
A． B． C． D．
11．已知数列的前n项和，数列满足，若，，（，）成等差数列，则k的值不可能是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
12．设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d．已知a3＝12，S12＞0，a7＜0，则（　　）
A．a6＞0 B．
C．Sn＜0时，n的最小值为13 D．数列中的最小项为第六项
三、填空题
13．已知数列是等差数列，是其前项和，则_________.
14．已知等差数列的前项和为，则___________.
15．已知等差数列的前项和为，且，则________________．
16．已知等差数列满足，函数，，则数列的前项和为______．
四、解答题
17．数列{an}是首项为23，公差为整数的等差数列，且第6项为正，第7项为负．
(1)求数列的公差；
(2)求前n项和Sn的最大值．
18．已知数列的通项公式．
（1）当p和q满足什么条件时，数列是等差数列
（2）求证：数列是等差数列．
19．已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn．
（1）求an及Sn；
（2）令bn＝ (n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn．
20．已知数列是等差数列，是的前项和，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求.
21．已知函数，数列的前n项和为，点均在函数的图象上，函数.
（1）求数列的通项公式；
（2）求的值；
（3）令，求数列的前2020项和.
22．已知函数，其中是自然数．
（1）分别计算，，的值；
（2）当为何值时，取得最小值？最小值是多少？
参考答案
1．B
【分析】
根据等差数列的等差中项计算即可.
【详解】
由题意，数列为等差数列，结合等差数列的性质得，，
则，所以.
故选：B.
2．B
【分析】
直接利用等差数列的性质进行计算即可
【详解】
由等差数列性质a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)＝2a8＋2a8＝4a8＝32，
∴a8＝8，又d≠0，
∴m＝8.
故选：B.
3．C
【分析】
设该数列为，塔群共有n层，则数列为1，3，3，5，5，7，…，该数列从第5项开始成等差数列，根据题意结合等差数求和公式可得，从而可求出的值
【详解】
根据题意，设该数列为，塔群共有n层，
即数列有n项，数列为1，3，3，5，5，7，…，
则．
该数列从第5项开始成等差数列，且，，则其公差，
则有，
又，则有，
即，解得或（舍去），则．
故选：C．
4．A
【分析】
由当且仅当时，等差数列的前项和取得最大值，可知，列出不等式组即可求解.
【详解】
由已知可得， ，又，所以 解得
故选：A
5．B
【分析】
求出等差数列的公差以及等差数列的通项公式，由等差数列的求和公式计算
即可求解.
【详解】
设等差数列的公差为，则，
所以，
因为，
所以
，
故选：B.
6．D
【分析】
根据等差数列的求和公式计算即可求解.
【详解】
由数列是等差数列，
得；，
所以
．
故选：D
7．B
【分析】
利用等差数列求和公式可分别表示出甲、乙走的路程，由可得到关于的不等式，解不等式，结合即可求得结果.
【详解】
设甲第分钟走的路程为，则是以为首项，为公差的等差数列，
则其前项和；
设乙第分钟走的路程为，则是以为首项，为公差的等差数列，
则其前项和；
由题意知：，即；
解得：或，又，经过分钟相遇.
故选：B.
8．D
【分析】
因为是等差数列，由可得，利用通项转化为和即可判断选项A；利用前项和公式以及等差数列的性质即可判断选项B；利用等差数列的性质即可判断选项C；由可得且，即可判断选项D，进而得出正确选项．
【详解】
因为是等差数列，前项和为，由得：
，即，即，
对于选项A：由得，可得，故选项A正确；
对于选项B：，故选项B正确；
对于选项C：，若，则，故选项C正确；
对于选项D：当时，，则，因为，所以，，
所以，故选项D不正确，
故选：D
9．ACD
【分析】
根据所给条件，代入等差数列的通项公式和求和公式，直接计算即可得解.
【详解】
设数列{an}的公差为d，
则由已知得S7＝，
即21＝，解得a1＝1.
又a7＝a1＋6d，所以d＝.
所以S10＝10a1＋d＝10＋＝40.
由{an}为等差数列，知a2＋a12＝2a7＝10.
故选：ACD
10．ACD
【分析】
先由，以及等差数列的性质可得，，然后根据等差数列通项公式，求和公式依次判断即可.
【详解】
由，得，
设等差数列的公差为，则有，
所以，
所以，
所以，，
，
由，得，
故选：ACD.
11．AD
【分析】
利用与的关系，求得，进而求得，然后根据，，（，）成等差数列，得到与的关系，进而求得答案.
【详解】
当时，，当时，，故（），（）．因为，，（，）成等差数列，所以，即，所以，（，），从而的取值为1，2，4，8，则对应的k的值为12，8，6，5，所以k的值不可能是4，10，
故选:AD．
12．ABC
【分析】
根据，即可得到，从而判断选项A；
根据，，a3＝12，，列出和的方程组，从而判断选项B；
根据，判断出，再结合，从而判断选项C；
根据题意得到当时，；当时，；当时，，从而可判断选项D.
【详解】
因为，所以，
因为，所以，故选项A正确；
因为，，a3＝12，，
所以，解得，故选项B正确；
因为，，所以Sn＜0时，n的最小值为13，选项C正确；
根据题意知：当时，，当时，；
当时，，当时，，
所以当时，，当时，，当时，，
所以数列中的最小项为第六项显然错误.
故选：ABC.
13．27
【分析】
根据等差数列前项和的性质可求出结果.
【详解】
根据等差数列前项和的性质可得成等差数列，
所以，即，
所以.
故答案为：
14．
【分析】
依题意设公差为，即可得到方程组，求出与，即可求出通项公式与前项和公式，再利用裂项相消法求和即可；
【详解】
解：设公差为，因为，所以，解得，所以，所以，所以，
所以
故答案为：
15．
【分析】
根据题意列出方程组，求得的值，求得数列的通项公式，得到，进而求得的值.
【详解】
由题意，等差数列的前项和为，且，
所以，解得，
可得3，所以，
所以，则，
所以.
故答案为：．
16．
【分析】
根据等差中项求出，再根据对数的运算化简的前项和，利用等差数列求和公式即可求解.
【详解】
∵等差数列满足，
∴，即．
∵函数，
∴，
∴
，
∴数列的前项和为．
故答案为：
17．（1）；（2）78
【分析】
（1）根据可得的范围，再根据为整数得到的值.
（2）根据项的符号特征可得最大．
【详解】
(1)由已知，得，
.
解得.
又，∴.
(2)∵，∴数列是递减数列．
又∵，，
∴当时， 取得最大值，为.
【点睛】
一般地，等差数列的前项和的最值可以通过等差数列的通项的符号来确定，如果满足，，则有最小值且最小值为；如果满足，，则有最大值且最大值为.
18．
（1），
（2）证明见解析
【分析】
（1）根据等差数列定义可知为常数，计算判断即可.
（2）利用等差数列的定义进行判断，即.
（1）
若是等差数列，则
是一个与n无关的常数，所以，即．
所以，时，数列是等差数列．
（2）
因为，所以，
所以是一个与n无关的常数，
所以数列是等差数列．
19．（1）an＝2n＋1，Sn＝n(n＋2)；（2）．
【分析】
（1）由题意可得a1＋2d＝7，2a1＋10d＝26，求出，从而可求出an及Sn；
（2）由（1）得，然后利用裂项相消求和法可求得结果
【详解】
（1）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
由于a3＝7，a5＋a7＝26，∴a1＋2d＝7，2a1＋10d＝26，
解得a1＝3，d＝2．
∴an＝2n＋1，Sn＝n(n＋2)．
（2）∵an＝2n＋1，∴－1＝4n(n＋1)，
∴．
故Tn＝b1＋b2＋…＋bn
∴数列{bn}的前n项和Tn＝．
20．（1）；（2）.
【分析】
（1）设数列首项，公差为，即可得到方程组，解得、，即可求出数列的通项公式；
（2）根据等差数列的前项和公式计算可得；
【详解】
（1）设数列首项，公差为，因为，即
可知，解得，
从而得通项公式.
（2）由（1）可知，，，可得，
所以.
21．
（1）
（2）
（3）
【分析】
（1）由题意可得：，由即可求解；
（2）求出的表达式，由指数的运算即可求解；
（3）结合（2）的结论，利用倒序相加法即可求解.
（1）
因为点均在函数的图象上，
所以，
当时，，
当时，，适合上式，所以.
（2）
因为，所以，
所以.
（3）
由（1）知，可得，
所以，①
又因为，②
因为，
所以①②，得，
所以.
22．
（1）；；.
（2）当或时，取得最小值.
【分析】
（1）分别将，，代入中即可得到结果；
（2）分别在和两种情况下整理得到，结合二次函数和一次函数单调性可确定最小值点，由此得到结果.
（1）
；
；
.
（2）
当且时，，
，当或时，取得最小值；
当且时，；
综上所述：当或时，取得最小值.
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