5.3导数在研究函数中的应用检测题（综合提升篇）（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 5.3导数在研究函数中的应用检测题（综合提升篇）（Word版含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.8MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-04-29 06:00:07 | ||
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文档简介
专题5.3导数在研究函数中的应用检测题（综合提升篇）
一、单选题
1．设函数，则（ ）
A． B．
C． D．以上都不正确
2．已知在上连续，是的导函数，则是为函数极值点的（ ）条件.
A．充要条件 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要
3．若函数（）不存在极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．函数的减区间为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，且，，，则，，的大小为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知函数(且，)的一个极值点为2，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．7
8．密位制是度量角与弧的常用制度之一，周角的称为密位.用密位作为角的度量单位来度量角与弧的制度称为密位制.在密位制中，采用四个数字来记角的密位，且在百位数字与十位数字之间加一条短线，单位名称可以省去.如密位记为“”，个平角，个周角.已知函数，，则函数的最小值用密位制表示为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．如图是函数y=f（x）的导数的图象，则下列判断正确的是（ ）
A．在（-3，1）内f（x）是增函数 B．在x=1时f（x）取得极大值
C．在（4，5）内f（x）是增函数 D．在x=2时f（x）取得极大值
10．下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数，则（ ）
A．在上是减函数 B．在，上是减函数
C．的单调递增区间为和 D．在和上是增函数
12．已知函数，下列结论成立的是（ ）
A．函数在定义域内无极值
B．函数在点处的切线方程为
C．函数在定义域内有且仅有一个零点
D．函数在定义域内有两个零点，，且
三、填空题
13．函数的最大值为________．
14．函数的极值点为______．
15．已知函数，若，则t的取值范围是___________.
16．已知函数有4个零点，则实数a的取值范围是_________．
四、解答题
17．已知函数.
（1）求函数的单调递减区间；
（2）求函数在上的最大值和最小值.
18．如图，阴影部分为古建筑群所在地，其形状是一个长为2km，宽为1km的矩形，矩形两边AB、AD紧靠两条互相垂直的路上，现要过点C修一条直线的路l，这条路不能穿过古建筑群，且与另两条路交于点P和Q．
（1）设AQ＝x（km），将△APQ的面积S表示为x的函数；
（2）求△APQ的面积S（km）的最小值．
19．已知函数在处的切线与直线垂直．
（1）求的方程；
（2）求的极值．
20．已知函数．
（1）若，求函数在区间上的最大值；
（2）若函数有三个零点，求实数的取值范围．
21．设函数的导数满足，.
（1）求的单调区间；
（2）在区间上的最大值为，求的值.
（3）若函数的图象与轴有三个交点，求的范围.
22．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若存在两个极值点，证明：．
参考答案
1．B
【分析】
对函数进行求导，得出，再由，可知，最后利用导数研究函数的单调性得出是上的增函数，从而得出结果.
【详解】
解：由题可知，
，
又当，则，
，
故是上的增函数，故.
故选：B.
2．C
【分析】
结合极值点、充分、必要条件的知识确定正确选项.
【详解】
时，不一定是极值点，还需要在两侧的单调性不相同.
是的极值点时，由于在上连续，所以.
所以是为函数极值点的必要不充分条件.
故选：C
3．D
【分析】
根据函数无极值可知导数有两个相等的实数根或没有实数根，利用判别式求解即可.
【详解】
∵在定义域R内不存在极值，
∴有两个相等的实数根或没有实数根，
∴，
∴．
故选：D
4．A
【分析】
判断函数的奇偶性排除选项，然后利用特殊点的函数值，以及利用导数研究函数的单调性，即可判断．
【详解】
解：因为，所以，
所以为偶函数，即图象关于轴对称，则排除，
当时，，故排除C，
，当时，，所以，即在上单调递增，故排除D；
故选：．
5．C
【分析】
对函数求导，然后通分，进而令导函数小于0，最后求得单调递减区间.
【详解】
函数的定义域为，求导得，令，，，因此函数的减区间为.
故选：C.
6．A
【分析】
可判断为偶函数，再根据的导数可判断在为增函数，
根据对数函数的单调性判断出即可得出大小.
【详解】
的定义域为，且，
为偶函数，当时，，
所以在为增函数，
又，，
所以，则，
又，则.
故选：A.
7．B
【分析】
求出函数的导数，由给定极值点可得a与b的关系，再借助“1”的妙用求解即得.
【详解】
对求导得：，因函数的一个极值点为2，
则，
此时，，，
因，即，因此，在2左右两侧邻近的区域值一正一负，2是函数的一个极值点，则有，又，，
于是得，当且仅当，即时取“=”，
所以的最小值为.
故选：B
8．A
【分析】
利用导数求出的最小值，再根据密位制的定义即可得出答案.
【详解】
由题知，，
令得
在上单调递增，在上单调递递减
又，，即
的最小值为
设的密位为
由密位制的定义可得：
解得：
的最小值用密位制表示为.
故选：A.
9．CD
【分析】
根据图形，利用单调性和极值的几何特征逐一判断即可.
【详解】
解：根据题意，依次分析选项：
对于A，在（﹣3，）上，， f（x）为减函数，A错误；
对于B，在（，2）上，，f（x）为增函数，
x＝1不是f（x）的极大值点，B错误；
对于C，在（4，5）上，，f（x）为增函数，C正确；
对于D，在（，2）上，，f（x）为增函数，
在（2，4）上，，f（x）为减函数，
则在x＝2时f（x）取得极大值，D正确；
故选：CD．
10．AB
【分析】
根据奇函数的判断方法可先排除C，再根据函数导数在上的符号逐项判断ABD.
【详解】
易知A，B，D均为奇函数，C为偶函数，所以排除C；
对于A，，所以在上单调递增；
对于B，（不恒为零） ，所以在上单调递增；
对于D，，所以在上单调递减．
故选：AB．
11．BCD
【分析】
求出函数的定义域与导函数，利用导数与函数单调性之间的关系即可求解.
【详解】
的定义域为.
，
令，得或，
所以的单调递增区间为和，
在和上是增函数.
令，得或.
所以在和上是减函数，
故选：BCD.
12．ABD
【分析】
求出定义域与导函数可判断A；利用导数的几何意义可判断B；利用函数单调性以及零点存在性定理可判断C；根据选项C可判断D.
【详解】
A，函数定义域为，
，
在和上单调递增，则函数在定义域内无极值，故A正确；
B，由，则，
又，
函数在点处的切线方程为
即，故B正确；
C，在上单调递增，
又，
，
所以函数在存在，使，
又，即，
且，
即为函数的一个零点，所以函数在定义域内有两个零点,故C错误.
D，由选项C可得，所以，故D正确.
故选：ABD
13．
【分析】
利用导数求得的最大值.
【详解】
，
所以在递增，在递减，
所以当时，取得最大值为.
故答案为：
14．0
【分析】
求导，研究函数单调性，即可得极值点.
【详解】
解：由已知，
当时，，当时，，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
函数在处取到极大值.
故答案为：0.
15．
【分析】
首先利用定义判断得到函数为奇函数，从而将不等式转化为，构造，得到，再根据在上为增函数得到，解不等式即可.
【详解】
因为，定义域为，
，所以函数为奇函数.
因为，
所以，
等价于.
设，得.
因为，
所以在上为增函数.
所以，即，解得.
故答案为：
16．
【分析】
由题意可得，令，求导函数，得出函数令的单调性和最值，得出函数令，有2个零点，再令，分，讨论的符号，得出函数的单调性和最值，建立不等式，可求得实数a的取值范围．
【详解】
解：由得，
令，则，令，解得，
当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递减，
又，，，
所以函数有2个零点，分别在和上；
令，则，
当时，恒成立，所以在R上单调递增，不满足函数有4个零点，故不成立；
当时，令，解得，
当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递减，
所以，
要使函数有4个零点，则需有2个零点，所以需且，解得，
又，时，，
所以当且时，函数有2个零点，函数有4个零点，
综上得实数a的取值范围是，
故答案为：.
17．（1）；（2）最大值为，最小值为
【分析】
（1）求出，令，得到函数的单调递减区间；
（2）求出函数在的单调性，根据极值和端点值，求得最值.
【详解】
（1），
令，得，所以的减区间为.
（2）由（1），令，得或知：，为增函数，
，为减函数，，为增函数.
，，，.
所以在区间上的最大值为，最小值为.
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性和求函数的最值，属于基础题.
18．
（1）
（2）
【分析】
（1）设，则由得：，求出后，代入三角形面积公式，可得答案．
（2）求导，分析导函数的符号，进而可得的面积的最小值．
（1）
（1）设，
则由得：
即
故；
（2）
由（1）得：；
当时，，当时，，
故时，．
19．
（1）；
（2）极大值，有极小值．
【分析】
（1）依题意得的斜率为2，即可求得，得到，求得，即可求得的方程；
（2）求得，当变化时，，的变化情况可列表分析求解．
（1）
依题意得的斜率为2，即．
，
，
，解得，
，，
的方程为，即；
（2）
的定义域为，由（1）知，
令得或，当变化时，，的变化情况如下表：
0 0
单调递增 单调递减 单调递增
当时，有极大值，当时，有极小值．
20．（1）；（2）
【分析】
（1）首先求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极大值，再与区间端点处函数值比较，即可得到函数的最大值；
（2）求出函数的导函数可得，即可得到函数的极值点，再对分类讨论，即可得到不等式，解得即可；
【详解】
解：（1）当时，，所以，令，解得或，令，解得，所以在和上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得极大值为，当时，所以函数在区间上的最大值为；
（2）由，所以，
当时所以函数在定义域上单调递增，则只有一个零点，故舍去；
所以，令得或，
函数有三个零点，等价于的图象与轴有三个交点，函数的极值点为，，
当时，令得或，所以函数在和上单调递增，
令得，所以函数在上单调递减，所以函数在处取得极大值，在处取得极小值，解得；
当时，令得或，所以函数在和上单调递增，
令得，所以函数在上单调递减，所以函数在处取得极小值，所以的图象与轴不可能有三个交点；
综上可得，即
21．
（1）递增区间为，递减区间为，
（2）
（3）
【分析】
（1）求函数的导数，根据条件建立方程组关系求出，的值，结合函数单调性和导数之间的关系即可求的单调区间；
（2）利用导数求出函数在区间上的最大值，建立方程关系即可求的值.
（3）根据的单调性求得极值，令极大值大于，极小值小于，解不等式即可求的范围.
（1）
由可得，
因为，，
所以，解得：，，
所以，，
由即可得：，
由即可得：或，
所以的单调递增区间为，单减区间为和.
（2）
由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得极小值，
，
，
则在区间上的最大值为，
所以.
（3）
由（1）知当时，取得极小值，
当时，取得极大值
，
若函数的图象与轴有三个交点，
则得，解得，
即的范围是.
22．（1）见解析；（2）见解析
【详解】
分析：(1)首先确定函数的定义域，之后对函数求导，之后对进行分类讨论，从而确定出导数在相应区间上的符号，从而求得函数对应的单调区间；
(2)根据存在两个极值点，结合第一问的结论，可以确定，令，得到两个极值点是方程的两个不等的正实根，利用韦达定理将其转换，构造新函数证得结果.
详解：（1）的定义域为，.
（i）若，则，当且仅当，时，所以在单调递减.
（ii）若，令得，或.
当时，；
当时，.所以在单调递减，在单调递增.
（2）由（1）知，存在两个极值点当且仅当.
由于的两个极值点满足，所以，不妨设，则.由于
，
所以等价于.
设函数，由（1）知，在单调递减，又，从而当时，.
所以，即.
点睛：该题考查的是应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性、应用导数研究函数的极值以及极值所满足的条件，在解题的过程中，需要明确导数的符号对单调性的决定性作用，再者就是要先保证函数的生存权，先确定函数的定义域，要对参数进行讨论，还有就是在做题的时候，要时刻关注第一问对第二问的影响，再者就是通过构造新函数来解决问题的思路要明确.
试卷第4页，共4页
一、单选题
1．设函数，则（ ）
A． B．
C． D．以上都不正确
2．已知在上连续，是的导函数，则是为函数极值点的（ ）条件.
A．充要条件 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要
3．若函数（）不存在极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．函数的减区间为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，且，，，则，，的大小为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知函数(且，)的一个极值点为2，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．7
8．密位制是度量角与弧的常用制度之一，周角的称为密位.用密位作为角的度量单位来度量角与弧的制度称为密位制.在密位制中，采用四个数字来记角的密位，且在百位数字与十位数字之间加一条短线，单位名称可以省去.如密位记为“”，个平角，个周角.已知函数，，则函数的最小值用密位制表示为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．如图是函数y=f（x）的导数的图象，则下列判断正确的是（ ）
A．在（-3，1）内f（x）是增函数 B．在x=1时f（x）取得极大值
C．在（4，5）内f（x）是增函数 D．在x=2时f（x）取得极大值
10．下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数，则（ ）
A．在上是减函数 B．在，上是减函数
C．的单调递增区间为和 D．在和上是增函数
12．已知函数，下列结论成立的是（ ）
A．函数在定义域内无极值
B．函数在点处的切线方程为
C．函数在定义域内有且仅有一个零点
D．函数在定义域内有两个零点，，且
三、填空题
13．函数的最大值为________．
14．函数的极值点为______．
15．已知函数，若，则t的取值范围是___________.
16．已知函数有4个零点，则实数a的取值范围是_________．
四、解答题
17．已知函数.
（1）求函数的单调递减区间；
（2）求函数在上的最大值和最小值.
18．如图，阴影部分为古建筑群所在地，其形状是一个长为2km，宽为1km的矩形，矩形两边AB、AD紧靠两条互相垂直的路上，现要过点C修一条直线的路l，这条路不能穿过古建筑群，且与另两条路交于点P和Q．
（1）设AQ＝x（km），将△APQ的面积S表示为x的函数；
（2）求△APQ的面积S（km）的最小值．
19．已知函数在处的切线与直线垂直．
（1）求的方程；
（2）求的极值．
20．已知函数．
（1）若，求函数在区间上的最大值；
（2）若函数有三个零点，求实数的取值范围．
21．设函数的导数满足，.
（1）求的单调区间；
（2）在区间上的最大值为，求的值.
（3）若函数的图象与轴有三个交点，求的范围.
22．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若存在两个极值点，证明：．
参考答案
1．B
【分析】
对函数进行求导，得出，再由，可知，最后利用导数研究函数的单调性得出是上的增函数，从而得出结果.
【详解】
解：由题可知，
，
又当，则，
，
故是上的增函数，故.
故选：B.
2．C
【分析】
结合极值点、充分、必要条件的知识确定正确选项.
【详解】
时，不一定是极值点，还需要在两侧的单调性不相同.
是的极值点时，由于在上连续，所以.
所以是为函数极值点的必要不充分条件.
故选：C
3．D
【分析】
根据函数无极值可知导数有两个相等的实数根或没有实数根，利用判别式求解即可.
【详解】
∵在定义域R内不存在极值，
∴有两个相等的实数根或没有实数根，
∴，
∴．
故选：D
4．A
【分析】
判断函数的奇偶性排除选项，然后利用特殊点的函数值，以及利用导数研究函数的单调性，即可判断．
【详解】
解：因为，所以，
所以为偶函数，即图象关于轴对称，则排除，
当时，，故排除C，
，当时，，所以，即在上单调递增，故排除D；
故选：．
5．C
【分析】
对函数求导，然后通分，进而令导函数小于0，最后求得单调递减区间.
【详解】
函数的定义域为，求导得，令，，，因此函数的减区间为.
故选：C.
6．A
【分析】
可判断为偶函数，再根据的导数可判断在为增函数，
根据对数函数的单调性判断出即可得出大小.
【详解】
的定义域为，且，
为偶函数，当时，，
所以在为增函数，
又，，
所以，则，
又，则.
故选：A.
7．B
【分析】
求出函数的导数，由给定极值点可得a与b的关系，再借助“1”的妙用求解即得.
【详解】
对求导得：，因函数的一个极值点为2，
则，
此时，，，
因，即，因此，在2左右两侧邻近的区域值一正一负，2是函数的一个极值点，则有，又，，
于是得，当且仅当，即时取“=”，
所以的最小值为.
故选：B
8．A
【分析】
利用导数求出的最小值，再根据密位制的定义即可得出答案.
【详解】
由题知，，
令得
在上单调递增，在上单调递递减
又，，即
的最小值为
设的密位为
由密位制的定义可得：
解得：
的最小值用密位制表示为.
故选：A.
9．CD
【分析】
根据图形，利用单调性和极值的几何特征逐一判断即可.
【详解】
解：根据题意，依次分析选项：
对于A，在（﹣3，）上，， f（x）为减函数，A错误；
对于B，在（，2）上，，f（x）为增函数，
x＝1不是f（x）的极大值点，B错误；
对于C，在（4，5）上，，f（x）为增函数，C正确；
对于D，在（，2）上，，f（x）为增函数，
在（2，4）上，，f（x）为减函数，
则在x＝2时f（x）取得极大值，D正确；
故选：CD．
10．AB
【分析】
根据奇函数的判断方法可先排除C，再根据函数导数在上的符号逐项判断ABD.
【详解】
易知A，B，D均为奇函数，C为偶函数，所以排除C；
对于A，，所以在上单调递增；
对于B，（不恒为零） ，所以在上单调递增；
对于D，，所以在上单调递减．
故选：AB．
11．BCD
【分析】
求出函数的定义域与导函数，利用导数与函数单调性之间的关系即可求解.
【详解】
的定义域为.
，
令，得或，
所以的单调递增区间为和，
在和上是增函数.
令，得或.
所以在和上是减函数，
故选：BCD.
12．ABD
【分析】
求出定义域与导函数可判断A；利用导数的几何意义可判断B；利用函数单调性以及零点存在性定理可判断C；根据选项C可判断D.
【详解】
A，函数定义域为，
，
在和上单调递增，则函数在定义域内无极值，故A正确；
B，由，则，
又，
函数在点处的切线方程为
即，故B正确；
C，在上单调递增，
又，
，
所以函数在存在，使，
又，即，
且，
即为函数的一个零点，所以函数在定义域内有两个零点,故C错误.
D，由选项C可得，所以，故D正确.
故选：ABD
13．
【分析】
利用导数求得的最大值.
【详解】
，
所以在递增，在递减，
所以当时，取得最大值为.
故答案为：
14．0
【分析】
求导，研究函数单调性，即可得极值点.
【详解】
解：由已知，
当时，，当时，，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
函数在处取到极大值.
故答案为：0.
15．
【分析】
首先利用定义判断得到函数为奇函数，从而将不等式转化为，构造，得到，再根据在上为增函数得到，解不等式即可.
【详解】
因为，定义域为，
，所以函数为奇函数.
因为，
所以，
等价于.
设，得.
因为，
所以在上为增函数.
所以，即，解得.
故答案为：
16．
【分析】
由题意可得，令，求导函数，得出函数令的单调性和最值，得出函数令，有2个零点，再令，分，讨论的符号，得出函数的单调性和最值，建立不等式，可求得实数a的取值范围．
【详解】
解：由得，
令，则，令，解得，
当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递减，
又，，，
所以函数有2个零点，分别在和上；
令，则，
当时，恒成立，所以在R上单调递增，不满足函数有4个零点，故不成立；
当时，令，解得，
当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递减，
所以，
要使函数有4个零点，则需有2个零点，所以需且，解得，
又，时，，
所以当且时，函数有2个零点，函数有4个零点，
综上得实数a的取值范围是，
故答案为：.
17．（1）；（2）最大值为，最小值为
【分析】
（1）求出，令，得到函数的单调递减区间；
（2）求出函数在的单调性，根据极值和端点值，求得最值.
【详解】
（1），
令，得，所以的减区间为.
（2）由（1），令，得或知：，为增函数，
，为减函数，，为增函数.
，，，.
所以在区间上的最大值为，最小值为.
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性和求函数的最值，属于基础题.
18．
（1）
（2）
【分析】
（1）设，则由得：，求出后，代入三角形面积公式，可得答案．
（2）求导，分析导函数的符号，进而可得的面积的最小值．
（1）
（1）设，
则由得：
即
故；
（2）
由（1）得：；
当时，，当时，，
故时，．
19．
（1）；
（2）极大值，有极小值．
【分析】
（1）依题意得的斜率为2，即可求得，得到，求得，即可求得的方程；
（2）求得，当变化时，，的变化情况可列表分析求解．
（1）
依题意得的斜率为2，即．
，
，
，解得，
，，
的方程为，即；
（2）
的定义域为，由（1）知，
令得或，当变化时，，的变化情况如下表：
0 0
单调递增 单调递减 单调递增
当时，有极大值，当时，有极小值．
20．（1）；（2）
【分析】
（1）首先求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极大值，再与区间端点处函数值比较，即可得到函数的最大值；
（2）求出函数的导函数可得，即可得到函数的极值点，再对分类讨论，即可得到不等式，解得即可；
【详解】
解：（1）当时，，所以，令，解得或，令，解得，所以在和上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得极大值为，当时，所以函数在区间上的最大值为；
（2）由，所以，
当时所以函数在定义域上单调递增，则只有一个零点，故舍去；
所以，令得或，
函数有三个零点，等价于的图象与轴有三个交点，函数的极值点为，，
当时，令得或，所以函数在和上单调递增，
令得，所以函数在上单调递减，所以函数在处取得极大值，在处取得极小值，解得；
当时，令得或，所以函数在和上单调递增，
令得，所以函数在上单调递减，所以函数在处取得极小值，所以的图象与轴不可能有三个交点；
综上可得，即
21．
（1）递增区间为，递减区间为，
（2）
（3）
【分析】
（1）求函数的导数，根据条件建立方程组关系求出，的值，结合函数单调性和导数之间的关系即可求的单调区间；
（2）利用导数求出函数在区间上的最大值，建立方程关系即可求的值.
（3）根据的单调性求得极值，令极大值大于，极小值小于，解不等式即可求的范围.
（1）
由可得，
因为，，
所以，解得：，，
所以，，
由即可得：，
由即可得：或，
所以的单调递增区间为，单减区间为和.
（2）
由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得极小值，
，
，
则在区间上的最大值为，
所以.
（3）
由（1）知当时，取得极小值，
当时，取得极大值
，
若函数的图象与轴有三个交点，
则得，解得，
即的范围是.
22．（1）见解析；（2）见解析
【详解】
分析：(1)首先确定函数的定义域，之后对函数求导，之后对进行分类讨论，从而确定出导数在相应区间上的符号，从而求得函数对应的单调区间；
(2)根据存在两个极值点，结合第一问的结论，可以确定，令，得到两个极值点是方程的两个不等的正实根，利用韦达定理将其转换，构造新函数证得结果.
详解：（1）的定义域为，.
（i）若，则，当且仅当，时，所以在单调递减.
（ii）若，令得，或.
当时，；
当时，.所以在单调递减，在单调递增.
（2）由（1）知，存在两个极值点当且仅当.
由于的两个极值点满足，所以，不妨设，则.由于
，
所以等价于.
设函数，由（1）知，在单调递减，又，从而当时，.
所以，即.
点睛：该题考查的是应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性、应用导数研究函数的极值以及极值所满足的条件，在解题的过程中，需要明确导数的符号对单调性的决定性作用，再者就是要先保证函数的生存权，先确定函数的定义域，要对参数进行讨论，还有就是在做题的时候，要时刻关注第一问对第二问的影响，再者就是通过构造新函数来解决问题的思路要明确.
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