9.2.3总体集中趋势的估计（共24张ppt）

(共24张PPT)
9.2.3　总体集中趋势的估计
第九章　 §9.2　用样本估计总体
在初中的学习中我们已经了解到，平均数、中位数和众数等都是刻画“中心位置”的量，它们从不同角度刻画了一组数据的集中趋势，今天我们通过具体实例进一步了解这些量的意义，探究它们之间的联系与区别，并根据样本的集中趋势估计总体的集中趋势.
新课导语
众 数：一组数据中出现次数最多的数.
中位数：一组数据按从小到大排序，把处在最中间的数（或者最中间两个数的平均数）叫做这组数据的中位数.
平均数：
知识回顾
总体均值
样本均值
思考 小明用统计软件计算了100户居民用水量的平均数和中位数. 但在录入数据时，不小心把一个数据7.7录成了77. 请计算录入数据的平均数和中位数，并与真实的样本平均数和中位数作比较. 哪个量的值变化更大？你能解释其中的原因吗？
通过简单计算可以发现, 平均数由原来的8.79t变为9.483t, 中位数没有变化, 还是6.8t.
对比可得平均数变化较大. 这是因为样本平均数与每一个样本数据有关，样本中的任何一个数的改变都会引起平均数的改变；但中位数只与样本数据中间位置的一个或两个值有关，与其他数据无关，所以不是任何一个样本数据的改变都会引起中位数的改变. 因此，与中位数比较，平均数反映出样本数据中的更多信息，对样本中的极端值更加敏感.
思考：我们知道平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关.从下面的三幅图中，你能得到平均数和中位数的大小存在什么关系吗？
提示　总结：一般来说，对一个单峰的频率分布直方图来说，如果直方图的形状是对称的(图(1))，那么平均数和中位数应该大体上差不多；如果直方图在右边“拖尾”(图(2))，那么平均数大于中位数.如果直方图在左边拖尾(图(3))，那么平均数小于中位数.也就是说，和中位数相比，平均数总是在“长尾巴”那边.
例2　某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练，两群市民的年龄如下(单位：岁)：
甲群　13,13,14,15,15,15,15,16,17,17；
乙群　54,3,4,4,5,5,6,6,6,57.
(1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？
其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征？
中位数为15岁，众数为15岁.平均数、中位数和众数相等，因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征.
(2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？
其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征？
反思感悟　众数、中位数、平均数的意义
(1)样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算，不受少数几个极端值的影响，
但只能表达样本数据中的少量信息，平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大.
(2)当一组数据中有不少数据重复出现时，其众数往往更能反映问题，当一组数据中个别数据较大时，可用中位数描述其集中趋势.
两“但”
两“当”
例3 假设老师到人力市场去找工作，有一个企业老板告诉你，“我们企业员工的年平均收入是20万元，我们企业员工月收入是3000-20000”. 你如何理解这句话？
例3　某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名，将其物理成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后画出如图所示的频率分布直方图.观察图中的信息，回答下列问题：
(1)估计这次考试的物理成绩的众数m与中位数n(结果保留一位小数)；
(2)估计这次考试的物理成绩的及格率(60分及以上为及格)和平均分.
解　众数是频率分布直方图中最高小矩形底边中点的横坐标，所以众数为m＝75.0.
前3个小矩形面积和为0.01×10＋0.015×10＋0.015×10＝0.4<0.5，
前4个小矩形面积和为0.4＋0.03×10＝0.7>0.5，
(2)估计这次考试的物理成绩的及格率(60分及以上为及格)和平均分.
解　依题意，60及60以上的分数在第三、
四、五、六组，频率和为(0.015＋0.03＋0.025
＋0.005)×10＝0.75，
所以估计这次考试的物理成绩的及格率是75%.
利用组中值估算抽样学生的平均分为45×f1＋55×f2＋65×f3＋75×f4＋85×f5＋95×f6＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71.
估计这次考试物理成绩的平均分是71分.
反思感悟　利用频率分布直方图求众数、中位数以及平均数的方法
(1)众数即为出现次数最多的数，所以它的频率最大，在最高的小矩形中.中位数即为从小到大中间的数(或中间两数的平均数).平均数为每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形面积乘积之和.
(2)用频率分布直方图求得的众数、中位数不一定是样本中的具体数.
课堂练习.随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机app软件层出不穷.现从某市使用A和B两款订餐软件的商家中分别随机抽取100个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图如右.
(1)试估计该市使用A款订餐软件的商家的“平均送达时间”的众数及平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；
1. 估计样本的平均数：
在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替.
1. 估计样本的平均数：
这个结果与根据原始数据计算的样本平均数8.79相差不大.
2. 估计样本的中位数：
在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数. 因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等.
3. 估计样本的众数：
跟踪训练1　某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各1人，则该小组数学成绩的平均数、众数、中位数分别为
A.85,85,85 B.87,85,86
C.87,85,85 D.87,85,90
跟踪训练2　某公司为了了解一年内的用水情况，抽取了10天的用水量如表所示：
用水量/t 22 38 40 41 44 50 95
天数 1 1 1 2 2 1 2
(1)在这10天中，该公司用水量的平均数是多少？每天用水量的中位数是多少？
跟踪训练3　我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查.通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.估计居民月均用水量的中位数.
11.10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,
14,12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有
A.a>b>c B.b>c>a
C.c>a>b D.c>b>a
√
综合运用
将这10名工人生产的件数按从小到大的顺序排列，得第5个数和第6个数都是15，
∴c>b>a.故选D.
1.知识清单：
(1)中位数、众数、平均数的计算.
(2)频率分布直方图中的中位数、众数、平均数的求法.
2.方法归纳：数据分析统计.
3.常见误区：求中位数时需先把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，再找中间位置的数或中间两数的平均数.
课堂小结