青岛版二次函数精品学案
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文档简介
5.4二次函数
一、学习目标
1．知识与技能目标：
（1）理解并掌握二次例函数的概念；
（2）、能判断一个给定的函数是否为二次例函数，并会用待定系数法求函数解析式；
（3）、能根据实际问题中的条件确定二次例函数的解析式。
二、学习重、难点
1．重点：理解二次例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式；
2．难点：理解二次例函数的概念.。
三、学习过程：
（一）自主探究、合作交流：
1、一粒石子投入水中，激起的波纹不断向外扩展，扩大的圆的面积S与半径r之间的函数关系式是 。
2、用16m长的篱笆围成长方形的园养小兔，园的面积y(㎡)与长方形的长x(m)之间的函数关系式为 。
3、王先生存人银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的年存款利率为文 x 两年后王先生共得本息y元之间的函数关系式为 。
上述函数关系共同之处：虽然函数有一项的，两项的或三项的，但自变量的最高次项的次数都是______次．
知识点1：二次函数的定义
一般地，形如 函数为二次函数。其中 是自变量， 是 的函数。称a为 ， b为 ，c为 。
注意关键点：(1)自变量的最高次数是 (2)二次项的系数不为
例1． 下列函数中y 是x的二次函数吗？若是二次函数，指出a、b、c的值．
(1) ；(2)y=x(x-5)；(3) ；(4)y＝(x＋2)(2-x)；
例2．（1） m取哪些值时，函数是以x为自变量的二次函数？ （2）当k为何值时，函数为二次函数？
注意:二次函数的二次项系数必须是 的数。
例3:已知关于x的二次函数,当x=－3时,函数值为10,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为7,求这个二次函数的解析式.(待定系数法)
例4：如图，在△ABC内作矩形MNPQ，使N、P位于边BC上，M、Q分别在AB、AC上，AD是△ABC的高，AD＝7；BC＝12；若MQ＝x, 矩形MNPQ的面积为y，试写出面积y与x之间的函数解析式，并指出自变量x的取值范围。
课堂学习检测
一、填空题
1．形如_________________________的函数叫做二次函数，其中______是目变量，a，b，c是______且______≠0．
2．下列函数中, ______________是二次函数?（只写序号） (1)y=3x-1 ; (2)y=3x2+2; (3)y=3x3+2x2; (4)y=2x2-2x+1; (5)y=x2-x(1+x); (6)y=x-2+x.
3．写出下列二次函数的a，b，c．
(1) a＝______，b＝______，c＝______．
(2)y＝?x2 a＝______，b＝______，c＝______．
(3) a＝______，b＝______，c＝______．
(4) a＝______，b＝______，c＝______．
4．已知函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数)．(1)若它是二次函数，则系数应满足条件______．(2)若它是一次函数，则系数应满足条件______．(3)若它是正比例函数，则系数应满足条件______．
5．已知函数．
(1)若它是二次函数，则m＝______，函数的解析式是__________________．
(2)若它是一次函数，则m＝______，函数的解析式是__________________．
二、选择题
1．下列函数中属于一次函数的是( )，属于反比例函数的是( )，属于二次函数的是( )
A．y＝x(x＋1) B．xy＝1 C．y＝2x2－2(x＋1)2 D．
2．下列函数关系式中，二次函数的个数有（ ）
（1）y=x2+2xz+5；（2）y=－5+8x－x2；（3）y=（3x+2）（4x－3）－12x2；
（4）y=ax2+bx+c； （5）y=mx2+x；（6）y=bx2+1（b≠0）;（7）y=x2+kx+20
A．3 B．4 C．5 D．6
三、解答题：
1．一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S与半径R之间的关系式。
2．n支球队参加比赛，每两支之间进行一场比赛。写出比赛的场数m与球队数n之间的关系式。
3．若函数为二次函数，求m的值。
4．已知二次函数y=x2+px+q,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为- 5, 求这个二次函数的解析式.
四、探究·拓展
1．某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可售出100件，现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每提高1元，其销售量就要减少10件，如果他每天所赚利润为y元，试求出y与售出价x之间的函数关系式．
2．如图所示，有一块形状是直角梯形的铁皮ABCD，它的上底AD=15cm，下底BC=40cm，垂直于底的腰CD=30cm，现要截成一块矩形铁皮MPCN，使它的顶点M，P，N分别在AB，BC，CD边上，求矩形MPCN的面积S关于MN的长x的函数关系式．
5.5二次函数的图象
一、学习目标
1．知识与技能目标：
（1）经历描点法画函数图像的过程；
（2）学会观察、归纳、概括函数图像的特征；
（3）掌握型二次函数图像的特征；
（4）经历从特殊到一般的认识过程，学会合情推理。
二、学习重、难点
（1）型二次函数图像的描绘和图像特征的归纳,以及探索二次函数性质.
（2）选择适当的自变量的值和相应的函数值来画函数图像，该过程较为复杂。
三、学习过程：
（一）自主探究、合作交流：
1.用描点法画出二次函数 和图像(作图一般的经过列表，描点，连线)
注意：（1）x取值要有代表性 （2）各点之间连线要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接 （3）左右端点要延伸
(1).列表
x
…
-2
-1
0
1
2
…
…
…
…
…
1.用描点法画出二次函数 和图像
(1).列表
x
…
-2
-1
0
1
2
…
…
…
…
…
共同点：____________________________ 不同点：_____________________
结合上述二次函数的性质总结函数的图 象的性质：
1.函数的图象是一条________，它关于______对称，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点。它的顶点坐标是______。注意：顶点不是与y轴的交点。
2.当a>0时，抛物线开口______，在对称轴的左边，抛物线自左向右______；在对称轴的右边，曲线自左向右______，______是抛物线上位置最低的点；当a3.｜a｜越大,开口越______。
观察二次函数和的图像
(1) 填空：
抛物线
顶点坐标
对称轴
位 置
开口方向
(2)在同一坐标系内，抛物线和抛物线的位置有什么关系？如果在同一个坐标系内画二次函数和的图像怎样画更简便？
(抛物线与抛物线关于x轴对称，只要画出与中的一条抛物线，另一条可利用关于x轴对称来画)
四、例题讲解
例1：已知二次函数（）的图像经过点（-2，-3）。
(1).求a 的值，并写出这个二次函数的解析式。
(2).说出这个二次函数图像的顶点坐标、对称轴、开口方向和图像的位置。
例2．已知是二次函数，且当时，y随x的增大而增大．
（1）求k的值； （2）求顶点坐标和对称轴．
例3．已知正方形周长为Ccm，面积为S cm2．
（1）求S和C之间的函数关系式，并画出图象；
（2）根据图象，求出S=1 cm2时，正方形的周长；
（3）根据图象，求出C取何值时，S≥4 cm2．
解 （1）由题意，得__________________．
列表：
C
2
4
6
8
…
描点、连线，得右图
（2）根据图象得S=______时，正方形的周长是4cm．
（3）根据图象得，当C______时，S≥4 cm2．
课堂学习检测
一、感受·理解
1．二次函数y=mx的图象有最高点，则m=______．
2．二次函数的图象如图1所示，则它的解析式为____________，如果另一函数图象与该图象关于x轴对称，那么它的解析式是______________．
3．如图2所示，点A是抛物线y=－x2上一点，AB⊥x轴于B，若B点坐标为（－2，0），则A点坐标为_______，S△AOB=______．
4．在同一坐标系中，抛物线的共同特点是（ ）
A．关于y轴对称，抛物线开口向上; B．关于y轴对称，y随x的增大而增大
C．关于y轴对称，y随x的增大而减小;D.关于y轴对称，抛物线顶点在原点
5．下列关于抛物线y=x2和y=－x2的关系的说法错误的是（ ）
A．它们有共同的顶点和对称轴; B．它们都关于y轴对称;
C．它们的形状相同，开口方向相反;
D．点A（－2，4）在抛物线y=x2上也在抛物线y=－x2上
(1) (2) (3)
二、思考·运用
6．如图3，A,B分别为上两点，且线段AB⊥y轴，若AB=6，则直线AB的表达式为（ ）
A．y=3 B．y=6 C．y=9 D．y=36
7．已知h关于t的函数关系式为（g为正常数，t为时间），则函数图象为（ ）
8．二次函数，当x 1>x2>0时，则y1与y2的大小关系是_________．
9．已知二次函数中，当x>0时，y随x的增大而增大，则m=________．
10．已知a<－1，点（a－1，y1），（a，y2），（a+1，y3）都在函数的图象上，则（ ）
A．y111．正方形的边长为xcm，面积为Scm2．
（1）写出S与x的函数关系式，指出自变量x的取值范围；
（2）画出S随x的变化而变化的图象；
（3）设正方形的边长增加2cm2时，面积增加ycm2，你能画出y随x的变化而变化的图象吗？
三、探究·拓展
12．已知二次函数经过点A（－2，4）
（1）求出这个函数关系式；
（2）写出抛物线上纵坐标为4的另一个点B的坐标，并求出S△AOB；
（3）在抛物线上是否存在另一个点C，使得△ABC的面积等于△AOB面积的一半？如果存在，求出点C的坐标；如果不存在，请说明理由．
5.5二次函数的图象
1.在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图像：①②
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
…
…
…
…
观察图像指出它们的共同点和不同点： ⑴共同点： .
⑵ 的图像开口向 ，顶点是抛物线的最 点，函数有最 值.
在对称轴的左侧，即 时，随的增大而 ；在对称轴的右侧，即 时，随的增大而 .
⑶ 图像开口向 ，顶点是抛物线的最 点，函数有最 值.
在对称轴的左侧，即 时，随的增大而 ；在对称轴的右侧，即 时，随的增大而 .
⑷ 的图像与 的图像关于 成 对称.
2、探究归纳：（1 ）二次函数的图像是一条 ，它关于 对称；顶点坐标是 ，
说明当= 时，有最值是 .（2）当时，抛物线开口向 ，顶点是抛物线的最 点.在对称轴的左侧，即 时，随的增大而 ；在对称轴的右侧，即 时，随的增大而 .（3）当时，抛物线开口向 ，顶点是抛物线的最 点.在对称轴的左侧，即 时，随的增大而 ；在对称轴的右侧，即 时，随的增大而 .
3、根据的图象和性质填表：
函 数
图 像
开口
对称轴
顶 点
增 减 性
向上
（0,0）
当 时，随的增大而减少.
当时，随的增大而 .
直线
当 时，随的增大而减少.
当 时，随的增大而 .
4.利用函数的图像回答下列问题：
⑴当= 时，= .⑵当=-8时，= .
⑶当-2<<3时,求y的取值范围是 .
⑷当-4<<-1时,求x的取值范围是 .
5.观察函数的图像，利用图像解答下列问题：
⑴在轴左侧的图像上任取两点A（x1,y1）、B(x2,y2),
且使0>x1>x2,试比较y1与y2的大小；
⑵在y轴右侧的图像上任取两点C（x3,y3）、D(x4,y4),
且使x3>x4>0,试比较y3与y4的大小.
5.5二次函数的图象
1.画出二次函数的图象：
⑴列表：
…
-2
-1
0
1
2
…
…
4
1
0
1
4
…
…
…
观察表中所填数据，你发现什么？
⑵在下列平面直角坐标系中描出表中各点，并把这些点连成平滑的曲线：
2.观察左图:
⑴函数与的图象的 相
同， 相同， 相同， 不同；
⑵函数可以看成的图象向 平移 个单位长度得到；它的顶点坐标是 ，说明当= 时，有最 值是 .
⑶猜想函数的与性质：
与的图象的 相同， 相同，
相同， 不同；
函数可以看成的图象向
平移 个单位长度得到；它的顶
点坐标是 ，说明当= 时，有最 值是 .
2、探究归纳：的图像和性质填表：
函 数
图 像
开口
对称轴
顶 点
增 减 性
向上
当 时，随的增大而减少.
当时，随的增大而 .
直线
当 时，随的增大而减少.
当 时，随的增大而 .
3、已知+3是二次函数，且当时，随的增大而减少．求该函数的表达式.
4.二次函数的经过点A（1，-1）、B（2，5）.
⑴点A的对称点的坐标是 ，点B的对称点的坐标是 ；
⑵求该函数的表达式；
⑶若点C(-2，),D（，7）也在函数的上，求、的值；
⑷点E（2，6）在不在这个函数的图象上？为什么？
5.6二次函数的图象
1.画出二次函数 和 的图像：
⑴列表：
…
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
…
…
4.5
2
0.5
0
0.5
2
4.5
…
…
…
…
…
⑵在下列平面直角坐标系中描出表中各点，并把这些点连成平滑的曲线：
2.观察上图:
⑴函数 的图像与 的图像的 相同， 相同，
不同， 不同；
函数 可以看成 的图像向 平移 个单位长度得到；
它的对称轴是 ，顶点坐标是 ，说明当= 时，有最 值是 .
⑵函数 的图像与 的图像的 相同， 相同，
不同， 不同；
函数 可以看成 的图像向 平移 个单位长度得到；
它的对称轴是 ，顶点坐标是 ，说明当= 时，有最 值是 .
⑶函数 的图像与函数 的图像关于 成 对称.
3、探究归纳：
（1）二次函数的图像是一条 ，它对称轴是 ，
顶点坐标是 ，说明当= 时，有最值是 .
（2）当时，的图像可以看成是 的图像向 平移 个
单位得到；当时，的图像可以看成是 的图像向 平移 个单位得到.
（3）当时，抛物线开口向 ，顶点是抛物线的最 点.在对称轴的左侧，即 时，随的增大而 ；在对称轴的右侧，即 时，随的增大而 ；
当时，抛物线开口向 ，顶点是抛物线的最 点.在对称轴的左侧，即 时，随的增大而 ；在对称轴的右侧，即 时，随的增大而 .
4、、已知一条抛物线的开口方向和形状与y=3x2相同，顶点在抛物线y=(x+2)2的顶点上.
⑴求这条抛物线的解析式；
⑵若将①中的抛物线向右平移4个单位得到的新抛物线的解析式是 .
⑶若将①中的抛物线的顶点不变，开口反向所得的新抛物线解析式是 .
⑷若将①中的抛物线沿轴对折所得的新抛物线解析式是 .
5.6二次函数的图象
1.画出二次函数和的图像：
⑴列表：
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
…
…
4.5
2
0.5
0
0.5
2
4.5
…
…
…
…
…
⑵在下列平面直角坐标系中描出表中各点，并把这些点连成平滑的曲线：
2.观察上图:
⑴函数 的图像与 的图像的 相同， 相同，
不同， 不同；
⑵函数 可以看成 的图像先向 平移 个单位长度得到
函数 的图像，再向 平移 个单位长度得到.
⑶函数 的对称轴是 ，在对称轴的左侧，即 时，随的增大而 ；在对称轴的右侧，即 时，随的增大而 .
⑷函数 顶点坐标是 ，说明当= 时，有最 值是 .
3、探究归纳：
（1）二次函数的图像是一条 ，它对称轴是 ；
顶点坐标是 ，说明当= 时，有最值是 .
（2）当时，的图像可以看成是的图像向 平移
个单位得到；当时，的图像可以看成是的
图像向 平移 个单位得到.
（3）当时，抛物线开口向 ，顶点是抛物线的最 点.在对称轴的左侧，即 时，随的增大而 ；在对称轴的右侧，即 时，随的增大而 ；
当时，抛物线开口向 ，顶点是抛物线的最 点.在对称轴的左侧，即 时，随的增大而 ；在对称轴的右侧，即 时，随的增大而 .
（4）由于根据的解析式可直接得到函数图像的顶点坐标，故称之为 .
4、（1）抛物线是由一抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到，则原抛物线的解析式是 ；
（2）抛物线与抛物线 关于轴成轴对称；抛物线 与抛物线 关于轴成轴对称.
课堂学习检测
一、填空题
1．已知a≠0，
(1)抛物线y＝ax2的顶点坐标为______，对称轴为______．
(2)抛物线y＝ax2＋c的顶点坐标为______，对称轴为______．
(3)抛物线y＝a(x－m)2的顶点坐标为______，对称轴为______．
2．若函数是二次函数，则m＝______．
3．抛物线y＝2x2的顶点，坐标为______，对称轴是______．当x______时，y随x增大而减小；当x______时，y随x增大而增大；当x＝______时，y有最______值是______．
4．抛物线y＝－2x2的开口方向是______，它的形状与y＝2x2的形状______，它的顶点坐标是______，对称轴是______．
5．抛物线y＝2x2＋3的顶点坐标为______，对称轴为______．当x______时，y随x的增大而减小；当x＝______时，y有最______值是______，它可以由抛物线y＝2x2向______平移______个单位得到．
6．抛物线y＝3(x－2)2的开口方向是______，顶点坐标为______，对称轴是______．当x______时，y随x的增大而增大；当x＝______时，y有最______值是______，它可以由抛物线y＝3x2向______平移______个单位得到．
二、选择题
7．要得到抛物线，可将抛物线( )
A．向上平移4个单位
B．向下平移4个单位
C．向右平移4个单位
D．向左平移4个单位
8．下列各组抛物线中能够互相平移而彼此得到对方的是( )
A．y＝2x2与y＝3x2 B．与
C．y＝2x2与y＝x2＋2 D．y＝x2与y＝x2－2
9．顶点为(－5，0)，且开口方向、形状与函数的图象相同的抛物线是( )
A． B．
C． D．
三、解答题
10．在同一坐标系中画出函数和的图象，并说明y1，y2的图象与函数的图象的关系．
11．在同一坐标系中，画出函数y1＝2x2，y2＝2(x－2)2与y3＝2(x＋2)2的图象，并说明y2，y3的图象与y1＝2x2的图象的关系．
综合、运用、诊断
一、填空题
12．二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的顶点坐标是______，对称轴是______，当x＝______时，y有最值______；当a＞0时，若x______时，y随x增大而减小．
13．填表．
解析式
开口方向
顶点坐标
对称轴
y＝(x－2)2－3
y＝－(x＋3)2＋2
y＝3(x－2)2
y＝－3x2＋2
14．抛物线有最______点，其坐标是______．当x＝______时，y的最______值是______；当x______时，y随x增大而增大．
15．将抛物线向右平移3个单位，再向上平移2个单位，所得的抛物线的解析式为______．
二、选择题
16．一抛物线和抛物线y＝－2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是(－1，3)，则该抛物线的解析式为( )
A．y＝－2(x－1)2＋3 B．y＝－2(x＋1)2＋3
C．y＝－(2x＋1)2＋3 D．y＝－(2x－1)2＋3
17．要得到y＝－2(x＋2)2－3的图象，需将抛物线y＝－2x2作如下平移( )
A．向右平移2个单位，再向上平移3个单位
B．向右平移2个单位，再向下平移3个单位
C．向左平移2个单位，再向上平移3个单位
D．向左平移2个单位，再向下平移3个单位
三、解答题
18．将下列函数配成y＝a(x－h)2＋k的形式，并求顶点坐标、对称轴及最值．
(1)y＝x2＋6x＋10 (2)y＝－2x2－5x＋7
(3)y＝3x2＋2x (4)y＝－3x2＋6x－2
(5)y＝100－5x2 (6)y＝(x－2)(2x＋1)
拓展、探究、思考
19．把二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数的图象．
(1)试确定a，h，k的值；
(2)指出二次函数y＝a(x－h)2＋k的开口方向、对称轴和顶点坐标．
5.6二次函数的图象
1. 根据的图像和性质填表：
函 数
图 像
开口
对称轴
顶 点
增 减 性
向上
当 时，随
的增大而减少.
当时，随
的增大而 .
当 时，随
的增大而减少.
当 时，随
的增大而 .
2.抛物线的开口向 ，对称轴是 ；顶点坐标是 ，
说明当= 时，y有最 值是 ；无论取任何实数，的取值范围是 .
3、（1）问题：你能直接说出函数 的图像的对称轴和顶点坐标吗？
（2）你有办法解决问题①吗？
的对称轴是 ，顶点坐标是 .
（3）像这样我们可以把一个一般形式的二次函数用 的方法转化为 式，
从而直接得到它的图像性质.
（4）用配方法把下列二次函数化成顶点式：
① ② ③
（4） 归纳：二次函数的一般形式可以被整理成顶点式： ，
说明它的对称轴是 ，顶点坐标公式是 .
（5）用公式法把下列二次函数化成顶点式：
① ② ③
…
…
…
4、用描点法画出的图像.
⑴用 法求顶点坐标：
⑵列表：顶点坐标填在
⑶在下列平面直角坐标系中描出表中各点，
并把这些点连成平滑的曲线：
⑷观察图像，该抛物线与轴交与点 ，
与轴有 个交点.
课堂学习检测
一、填空题
1．把二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)配方成y＝a(x－h)2＋k形式为______，顶点坐标是______，对称轴是直线______．当x＝______时，y最值＝______；当a＜0时，x______时，y随x增大而减小；x______时，y随x增大而增大．
2．抛物线y＝2x2－3x－5的顶点坐标为______．当x＝______时，y有最______值是______，与x轴的交点是______，与y轴的交点是______，当x______时，y随x增大而减小，当x______时，y随x增大而增大．
3．抛物线y＝3－2x－x2的顶点坐标是______，它与x轴的交点坐标是______，与y轴的交点坐标是______．
4．把二次函数y＝x2－4x＋5配方成y＝a(x－h)2＋k的形式，得______，这个函数的图象有最______点，这个点的坐标为______．
5．已知二次函数y＝x2＋4x－3，当x＝______时，函数y有最值______，当x______时，函数y随x的增大而增大，当x＝______时，y＝0．
6．抛物线y＝ax2＋bx＋c与y＝3－2x2的形状完全相同，只是位置不同，则a＝______．
7．抛物线y＝2x2先向______平移______个单位就得到抛物线y＝2(x－3)2，再向______平移______个单位就得到抛物线y＝2(x－3)2＋4．
二、选择题
8．下列函数中①y＝3x＋1；②y＝4x2－3x；④y＝5－2x2，是二次函数的有( )
A．② B．②③④
C．②③ D．②④
9．抛物线y＝－3x2－4的开口方向和顶点坐标分别是( )
A．向下，(0，4) B．向下，(0，－4)
C．向上，(0，4) D．向上，(0，－4)
10．抛物线的顶点坐标是( )
A． B． C． D．(1，0)
11．二次函数y＝ax2＋x＋1的图象必过点( )
A．(0，a) B．(－1，－a)
C．(－1，a) D．(0，－a)
三、解答题
12．已知二次函数y＝2x2＋4x－6．
(1)将其化成y＝a(x－h)2＋k的形式；
(2)写出开口方向，对称轴方程，顶点坐标；
(3)求图象与两坐标轴的交点坐标；
(4)画出函数图象；
(5)说明其图象与抛物线y＝x2的关系；
(6)当x取何值时，y随x增大而减小；
(7)当x取何值时，y＞0，y＝0，y＜0；
(8)当x取何值时，函数y有最值?其最值是多少?
(9)当y取何值时，－4＜x＜0；
(10)求函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形面积．
综合、运用、诊断
一、填空题
13．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
(1)若抛物线的顶点是原点，则____________；
(2)若抛物线经过原点，则____________；
(3)若抛物线的顶点在y轴上，则____________；
(4)若抛物线的顶点在x轴上，则____________．
14．抛物线y＝ax2＋bx必过______点．
15．若二次函数y＝mx2－3x＋2m－m2的图象经过原点，则m＝______，这个函数的解析式是______．
16．若抛物线y＝x2－4x＋c的顶点在x轴上，则c的值是______．
17．若二次函数y＝ax2＋4x＋a的最大值是3，则a＝______．
18．函数y＝x2－4x＋3的图象的顶点及它和x轴的两个交点为顶点所构成的三角形面积为______平方单位．
19．抛物线y＝ax2＋bx(a＞0，b＞0)的图象经过第______象限．
二、选择题
20．函数y＝x2＋mx－2(m＜0)的图象是( )
21．抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如下图所示，那么( )
A．a＜0，b＞0，c＞0
B．a＜0，b＜0，c＞0
C．a＜0，b＞0，c＜0
D．a＜0，b＜0，c＜0
22．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如右图所示，则( )
A．a＞0，c＞0，b2－4ac＜0
B．a＞0，c＜0，b2－4ac＞0
C．a＜0，c＞0，b2－4ac＜0
D．a＜0，c＜0，b2－4ac＞0
23．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如下图所示，则( )
A．b＞0，c＞0，?＝0
B．b＜0，c＞0，?＝0
C．b＜0，c＜0，?＝0
D．b＞0，c＞0，?＞0
24．二次函数y＝mx2＋2mx－(3－m)的图象如下图所示，那么m的取值范围是( )
A．m＞0 B．m＞3
C．m＜0 D．0＜m＜3
25．在同一坐标系内，函数y＝kx2和y＝kx－2(k≠0)的图象大致如图( )
26．函数(ab＜0)的图象在下列四个示意图中，可能正确的是( )
三、解答题
27．已知抛物线y＝x2－3kx＋2k＋4．
(1)k为何值时，抛物线关于y轴对称；
(2)k为何值时，抛物线经过原点．
28．画出的图象，并求：
(1)顶点坐标与对称轴方程；
(2)x取何值时，y随x增大而减小?
x取何值时，y随x增大而增大?
(3)当x为何值时，函数有最大值或最小值，其值是多少?
(4)x取何值时，y＞0，y＜0，y＝0?
(5)当y取何值时，－2≤x≤2?
拓展、探究、思考
29．已知函数y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)和y2＝mx＋n的图象交于(－2，－5)点和(1，4)点，并且y1＝ax2＋bx＋c的图象与y轴交于点(0，3)．
(1)求函数y1和y2的解析式，并画出函数示意图；
(2)x为何值时，①y1＞y2；②y1＝y2；③y1＜y2．
30．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的一部分；图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1，给出四个结论：①b2＞4ac；②2a＋b＝0；③a－b＋c＝0；④5a＜b．其中正确的是________________．(填序号)
九年级数学学案
用待定系数法求二次函数解析式
九年级数学组
学习目标
1、通过对用待定系数法求二次函数解析式的探究,掌握求解析式的方法。
2、能灵活的根据条件恰当地选取选择解析式，体会二次函数解析式之间的转化。
3、从学习过程中体会学习数学知识的价值，从而提高学习数学知识的兴趣。
教学过程
一、合作交流 例题精析
1、一般地，形如y＝ax2＋bx＋c (a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数，所以，我们把________________________叫做二次函数的一般式。
例1 已知二次函数的图象过(1，0)，(－1，－4)和(0，－3)三点，求这个二次函数解析式。
小结：此题是典型的根据三点坐标求其解析式，关键是：（1）熟悉待定系数法；（2）点在函数图象上时，点的坐标满足此函数的解析式；（3）会解简单的三元一次方程组。
2、二次函数y＝ax2＋bx＋c用配方法可化成：y＝a(x＋h)2＋k，顶点是(－h，k)。配方: y＝ax2＋bx＋c＝__________________＝___________________＝__________________＝a(x＋)2＋。对称轴是x＝－，顶点坐标是(－，), h＝－，k=, 所以，我们把_____________叫做二次函数的顶点式。
例2 已知二次函数的图象经过原点，且当x＝1时，y有最小值－1， 求这个二次函数的解析式。
小结：此题利用顶点式求解较易，用一般式也可以求出，但仍要利用顶点坐标公式。请大家试一试，比较它们的优劣。
3、一般地，函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标即为方程ax2＋bx＋c＝0的解；当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程ax2＋bx＋c＝0的解，这一结论反映了二次函数与一元二次方程的关系。所以，已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，可选用二次函数的交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)，其中x1 ，x2 为两交点的横坐标。
例3 已知二次函数的图象与x轴交点的横坐标分别是x1=－3，x2=1，且与y轴交点为(0，－3)，求这个二次函数解析式。
想一想:还有其它方法吗?
二、应用迁移 巩固提高
1、根据下列条件求二次函数解析式
（1）已知一个二次函数的图象经过了点A（0，－1），B（1，0），C（－1，2）；
（2）已知抛物线顶点P(－1，－8)，且过点A(0，－6)；
（3）二次函数图象经过点A（－1，0），B（3，0），C（4，10）；
（4）已知二次函数的图象经过点（4，－3），并且当x=3时有最大值4；
（5）已知二次函数的图象经过一次函数y＝－—x+3的图象与x轴、y轴的交点，且过(1，1)；
（6）已知抛物线顶点（1，16），且抛物线与x轴的两交点间的距离为8；
2、如图所示，已知抛物线的对称轴是直线x=3，它与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A、C的坐标分别是（8，0）（0，4），求这个抛物线的解析式。
三、总结反思 突破重点
1、二次函数解析式常用的有三种形式：
（1）一般式：_______________ (a≠0)
（2）顶点式：_______________ (a≠0)
（3）交点式：_______________ (a≠0)
2、本节课是用待定系数法求函数解析式，应注意根据不同的条件选择合适的解析式形式，要让学生熟练掌握配方法，并由此确定二次函数的顶点、对称轴，并能结合图象分析二次函数的有关性质。（1）当已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式y＝ax2＋bx＋c形式。（2）当已知抛物线的顶点与抛物线上另一点时，通常设为顶点式y＝a(x－h)2＋k形式。（3）当已知抛物线与x轴的交点或交点横坐标时，通常设为两根式y＝a(x－x1)(x－x2)。
四、布置作业 拓展升华
1、已知二次函数的图象经过(0，0)，(1，2)，(-1，-4)三点，那么这个二次函数的解析式是_______________。
2、已知二次函数的图象顶点是（-1，2），且经过（1，-3），那么这个二次函数的解析式是_______________。
3、已知二次函数y＝x2＋px＋q的图象的顶点是(5，－2)，那么这个二次函数解析式是_______________。
4、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过A(0，－5)，B(5，0)两点，它的对称轴为直线x＝2，那么这个二次函数的解析式是_______________。
5、已知二次函数图象与x轴交点（2,0）(-1,0)与y轴交点是（0，-1），那么这个二次函数的解析式是_______________。
6、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，它们的横坐标为-1和3，与y轴的交点C的纵坐标为3，那么这个二次函数的解析式是_______________。
7、 已知直线y=x-3与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数的图象经过A、B两点，且对称轴方程为x=1，那么这个二次函数的解析式是_______________。
8、已知一抛物线与x轴的交点是A（-2，0）、B（1，0），且经过点C（2，8），那么这个二次函数的解析式是_______________。
9、在平面直角坐标系中， AOB的位置如图所示，已知∠AOB＝90°，AO＝BO，点A的坐标为（－3,1）。
（1）求点B的坐标。
（2）求过A，O，B三点的抛物线的解析式；
（3）设点B关于抛物线的对称轴的对称点为B1，求ΔAB1B的面积。
课堂学习检测
一、填空题
1．二次函数解析式通常有三种形式：①一般式________________；②顶点式________
__________；③双根式__________________________(b2－4ac≥0)．
2．若二次函数y＝x2－2x＋a2－1的图象经过点(1，0)，则a的值为______．
3．已知抛物线的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点为则它与x轴的另一个交点为______．
二、解答题
4．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，求：
(1)对称轴方程__________； (2)函数解析式__________；
(3)当x______时，y随x增大而减小；
(4)由图象回答：
当y＞0时，x的取值范围______；当y＝0时，x＝______；当y＜0时，x的取值范围______．
5．抛物线y＝ax2＋bx＋c过(0，4)，(1，3)，(－1，4)三点，求抛物线的解析式．
6．抛物线y＝ax2＋bx＋c过(－3，0)，(1，0)两点，与y轴的交点为(0，4)，求抛物线的解析式．
7．抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为(2，4)，且过(1，2)点，求抛物线的解析式．
8．二次函数y＝x2＋bx＋c的图象过点A(－2，5)，且当x＝2时，y＝－3，求这个二次函数的解析式，并判断点B(0，3)是否在这个函数的图象上．
9．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过(0，0)，(12，0)两点，其顶点的纵坐标是3，求这个抛物线的解析式．
10．抛物线过(－1，－1)点，它的对称轴是直线x＋2＝0，且在x轴上截得线段的长度为求抛物线的解析式．
综合、运用、诊断
11．抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为(2，4)，且过原点，求抛物线的解析式．
12．把抛物线y＝(x－1)2沿y轴向上或向下平移后所得抛物线经过点Q(3，0)，求平移后的抛物线的解析式．
13．二次函数y＝ax2＋bx＋c的最大值等于－3a，且它的图象经过(－1，－2)，(1，6)两点，求二次函数的解析式．
14．已知函数y1＝ax2＋bx＋c，它的顶点坐标为(－3，－2)，y1与y2＝2x＋m交于点(1，6)，求y1，y2的函数解析式．
拓展、探究、思考
15．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点为A，B(B在A左侧)，与y轴的交点为C，OA＝OC．下列关系式中，正确的是( )
A．ac＋1＝b B．ab＋1＝c
C．bc＋1＝a D．
16．如图，正方形ABCD的边长为10，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形ABCD的顶点上，且它们的各边与正方形ABCD各边平行或垂直，若小正方形边长为x，且0＜x≤10，阴影部分的面积为y，则能反映y与x之间的函数关系的大致图象是( )
17．如图，在直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别为A(0，2)，O(0，0)，B(4，0)，把△AOB绕O点按逆时针方向旋转90°得到△COD．
(1)求C，D两点的坐标；
(2)求经过C，D，B三点的抛物线的解析式；
(3)设(2)中抛物线的顶点为P，AB的中点为M(2，1)，试判断△PMB是钝角三角形，直角三角形还是锐角三角形，并说明理由．
第五章 二次函数(复习)
知识点:一、二次函数概念：形如（a≠0,a,b,c为常数）的函数叫x的二次函数。
二、二次函数的图象关系：
（a≠0） （a≠0，a,h为常数）
( a≠0,a,k为常数) +k（a≠0，a,h,k为常数）
三、二次函数的特性：（填表）
开口方向
对称轴
顶点坐标
最值
增减性
+k
巩固练习：
①二次函数的定义： 当k= 时，函数为二次函数。
②二次函数的图像与性质：二次函数y=-x2+6x+3的图象开口方向 顶点坐标为____ _____对称轴为_________当x= 时函数有 值，为 。当x 时，y的值随x的增大而增大。它是由y=-x2向 平移 个单位得到的，再向 平移 个单位得到的．
③抛物线与x轴的交点个数：抛物线与x轴的交点有 个，抛物线与x轴的交点有 个，抛物线y=x2+2x+1与x轴的交点有 个。
总结：抛物线与x轴的交点个数由 决定。
④抛物线的图象与a、b、c及b2-4ac的关系。
⑴如图是y=ax2+bx+c的图象，则a______0 b______0 c______0 b2-4ac________0
⑵．二次函数与一次函数在同一直角坐标系中图象大致是 （ ）
总结：抛物线的图象与a、b、c及b2-4ac的关系是：
a:开口方向；b：结合a看对称轴；c：与y轴交点坐标；b2-4ac：与x轴的交点个数
第二十六章 二次函数全章测试
一、填空题
1．抛物线y＝－x2＋15有最______点，其坐标是______．
2．若抛物线y＝x2－2x－2的顶点为A，与y轴的交点为B，则过A，B两点的直线的解析式为____________．
3．若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与抛物线y＝x2－4x＋3的图象关于y轴对称，则函数y＝ax2＋bx＋c的解析式为______．
4．若抛物线y＝x2＋bx＋c与y轴交于点A，与x轴正半轴交于B，C两点，且BC＝2，S△ABC＝3，则b＝______．
5．二次函数y＝x2－6x＋c的图象的顶点与原点的距离为5，则c＝______．
6．二次函数的图象在坐标平面内绕顶点旋转180°，再向左平移3个单位，向上平移5个单位后图象对应的二次函数解析式为____________．
二、选择题
7．把二次函数的图象向右平移2个单位后，再向上平移3个单位，所得的函数图象顶点是( )
A．(－5，1) B．(1，－5)
C．(－1，1) D．(－1，3)
8．若点(2，5)，(4，5)在抛物线y＝ax2＋bx＋c上，则它的对称轴是( )
A． B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3
9．已知函数，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是( )
A．x＜1 B．x＞1 C．x＞－2 D．－2＜x＜4
10．二次函数y＝a(x＋k)2＋k，当k取不同的实数值时，图象顶点所在的直线是( )
A．y＝x B．x轴 C．y＝－x D．y轴
11．图中有相同对称轴的两条抛物线，下列关系不正确的是( )
A．h＝m B．k＞n
C．k＝n D．h＞0，k＞0
12．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②a＋b＋c＝2；；④b＜1．其中正确的结论是( )
A．①② B．②③
C．②④ D．③④
13．下列命题中，正确的是( )
①若a＋b＋c＝0，则b2－4ac＜0；
②若b＝2a＋3c，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根；
③若b2－4ac＞0，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3；
④若b＞a＋c，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，有两个不相等的实数根．
A．②④ B．①③ C．②③ D．③④
三、解答题
14．把二次函数配方成y＝a(x－k)2＋h的形式，并求出它的图象的顶点坐标、对称轴方程，y＜0时x的取值范围，并画出图象．
15．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过一次函数的图象与x轴、y轴的交点，并也经过(1，1)点．求这个二次函数解析式，并求x为何值时，有最大(最小)值，这个值是什么?
16．已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴的两个交点分别为A(m，0)，B(n，0)，且，
(1)求此抛物线的解析式；
(2)设此抛物线与y轴的交点为C，过C作一条平行x轴的直线交抛物线于另一点P，求△ACP的面积．
17．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－1，0)，且经过直线y＝x－3与x轴的交点B及与y轴的交点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求抛物线的顶点坐标；
(3)若点M在第四象限内的抛物线上，且OM⊥BC，垂足为D，求点M的坐标．
18．某商业公司为指导某种应季商品的生产和销售，对三月份至七月份该商品的售价和生产进行了调研，结果如下：一件商品的售价M(元)与时间t(月)的关系可用一条线段上的点来表示(如图甲)，一件商品的成本Q(元)与时间t(月)的关系可用一条抛物线上的点来表示，其中6月份成本最高(如图乙)．
根据图象提供的信息解答下面问题：
(1)一件商品在3月份出售时的利润是多少元?(利润＝售价－成本)
(2)求出图(乙)中表示的一件商品的成本Q(元)与时间t(月)之间的函数关系式；
(3)你能求出3月份至7月份一件商品的利润W(元)与时间t(月)之间的函数关系式吗?若该公司能在一个月内售出此种商品30000件，请你计算该公司在一个月内最少获利多少元?
四、附加题
19．如图甲，Rt△PMN中，∠P＝90°，PM＝PN，MN＝8cm，矩形ABCD的长和宽分别为8cm和2cm，C点和M点重合，BC和MN在一条直线上，令Rt△PMN不动，矩形ABCD沿MN所在直线向右以每秒1cm的速度移动(如图乙)，直到C点与N点重合为止．设移动x秒后，矩形ABCD与△PMN重叠部分的面积为ycm2．求y与x之间的函数关系式．
答案与提示
第二十六章 二次函数全章测试
1．高，(0，15)． 2．y＝－x－2． 3．y＝x2＋4x＋3． 4．b＝－4．
5．c＝5或13． 6．
7．C． 8．D． 9．A． 10．C． 11．C． 12．B． 13．C．
14．顶点坐标，对称轴方程x＝3，当y＜0时，2＜x＜4，
图略．
15．当时，
16．(1)由得m＝1，n＝3．∴y＝－x2＋4x－3；
(2)S△ACP＝6．
17．(1)直线y＝x－3与坐标轴的交点坐标分别为B(3，0)，C(0，－3)，以A、B、C
三点的坐标分别代入抛物线y＝ax2＋bx＋c中，得解
得
∴所求抛物线的解析式是y＝x2－2x－3．
(2)y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，
∴抛物线的顶点坐标为(1，－4)．
(3)经过原点且与直线y＝x－3垂直的直线OM的方程为y＝－x，设M(x，－x)，
因为M点在抛物线上，∴x2－2x－3＝－x．
因点M在第四象限，取
18．解：(1)一件商品在3月份出售时利润为：6－1＝5(元)．
(2)由图象可知，一件商品的成本Q(元)是时间t(月)的二次函数，由图象可知，
抛物线的顶点为(6，4)，
∴可设Q＝a(t－6)2＋4．
又∵图象过点(3，1)，
∴1＝a(3－6)2＋4，解之
由题知t＝3，4，5，6，7．
(3)由图象可知，M(元)是t(月)的一次函数，
∴可设M＝kt＋b．
∵点(3，6)，(6，8)在直线上，
解之
其中t＝3，4，5，6，7．
∴当t＝5时，元
∴该公司在一月份内最少获利元．
19．解：在Rt△PMN中，∵PM＝PN，∠P＝90°，
∴∠PMN＝∠PNM＝45°．延长AD分别交PM、PN于点G、H，过G作GF⊥MN于F，过H作HT⊥MN于T．
∵DC＝2cm，∴MF＝GF＝2cm，TN＝HT＝2cm．
∵MN＝8cm，
∴MT＝6cm，因此，矩形ABCD以每秒1cm的速度由开始向右移动到停止，和
Rt△PMN重叠部分的形状，可分为下列三种情况：
(1)当C点由M点运动到F点的过程中(0≤x≤2)，如图①所示，设CD与PM交于点E，则重叠部分图形是Rt△MCE，且MC＝EC＝x，
，即
图①
(2)当C点由F点运动到T点的过程中(2＜x≤6)，如图②所示，重叠部分图形是直角梯形MCDG．
图②
∵MC＝x，MF＝2，
∴FC＝DG＝x－2，且DC＝2，
(3)当C点由T点运动到N点的过程中(6＜x≤8)，如图③所示，设CD与PN交于点Q，则重叠部分图形是五边形MCQHG．
图③
∵MC＝x，∴CN＝CQ＝8－x，且DC＝2，
一、学习目标
1．知识与技能目标：
（1）理解并掌握二次例函数的概念；
（2）、能判断一个给定的函数是否为二次例函数，并会用待定系数法求函数解析式；
（3）、能根据实际问题中的条件确定二次例函数的解析式。
二、学习重、难点
1．重点：理解二次例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式；
2．难点：理解二次例函数的概念.。
三、学习过程：
（一）自主探究、合作交流：
1、一粒石子投入水中，激起的波纹不断向外扩展，扩大的圆的面积S与半径r之间的函数关系式是 。
2、用16m长的篱笆围成长方形的园养小兔，园的面积y(㎡)与长方形的长x(m)之间的函数关系式为 。
3、王先生存人银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的年存款利率为文 x 两年后王先生共得本息y元之间的函数关系式为 。
上述函数关系共同之处：虽然函数有一项的，两项的或三项的，但自变量的最高次项的次数都是______次．
知识点1：二次函数的定义
一般地，形如 函数为二次函数。其中 是自变量， 是 的函数。称a为 ， b为 ，c为 。
注意关键点：(1)自变量的最高次数是 (2)二次项的系数不为
例1． 下列函数中y 是x的二次函数吗？若是二次函数，指出a、b、c的值．
(1) ；(2)y=x(x-5)；(3) ；(4)y＝(x＋2)(2-x)；
例2．（1） m取哪些值时，函数是以x为自变量的二次函数？ （2）当k为何值时，函数为二次函数？
注意:二次函数的二次项系数必须是 的数。
例3:已知关于x的二次函数,当x=－3时,函数值为10,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为7,求这个二次函数的解析式.(待定系数法)
例4：如图，在△ABC内作矩形MNPQ，使N、P位于边BC上，M、Q分别在AB、AC上，AD是△ABC的高，AD＝7；BC＝12；若MQ＝x, 矩形MNPQ的面积为y，试写出面积y与x之间的函数解析式，并指出自变量x的取值范围。
课堂学习检测
一、填空题
1．形如_________________________的函数叫做二次函数，其中______是目变量，a，b，c是______且______≠0．
2．下列函数中, ______________是二次函数?（只写序号） (1)y=3x-1 ; (2)y=3x2+2; (3)y=3x3+2x2; (4)y=2x2-2x+1; (5)y=x2-x(1+x); (6)y=x-2+x.
3．写出下列二次函数的a，b，c．
(1) a＝______，b＝______，c＝______．
(2)y＝?x2 a＝______，b＝______，c＝______．
(3) a＝______，b＝______，c＝______．
(4) a＝______，b＝______，c＝______．
4．已知函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数)．(1)若它是二次函数，则系数应满足条件______．(2)若它是一次函数，则系数应满足条件______．(3)若它是正比例函数，则系数应满足条件______．
5．已知函数．
(1)若它是二次函数，则m＝______，函数的解析式是__________________．
(2)若它是一次函数，则m＝______，函数的解析式是__________________．
二、选择题
1．下列函数中属于一次函数的是( )，属于反比例函数的是( )，属于二次函数的是( )
A．y＝x(x＋1) B．xy＝1 C．y＝2x2－2(x＋1)2 D．
2．下列函数关系式中，二次函数的个数有（ ）
（1）y=x2+2xz+5；（2）y=－5+8x－x2；（3）y=（3x+2）（4x－3）－12x2；
（4）y=ax2+bx+c； （5）y=mx2+x；（6）y=bx2+1（b≠0）;（7）y=x2+kx+20
A．3 B．4 C．5 D．6
三、解答题：
1．一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S与半径R之间的关系式。
2．n支球队参加比赛，每两支之间进行一场比赛。写出比赛的场数m与球队数n之间的关系式。
3．若函数为二次函数，求m的值。
4．已知二次函数y=x2+px+q,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为- 5, 求这个二次函数的解析式.
四、探究·拓展
1．某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可售出100件，现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每提高1元，其销售量就要减少10件，如果他每天所赚利润为y元，试求出y与售出价x之间的函数关系式．
2．如图所示，有一块形状是直角梯形的铁皮ABCD，它的上底AD=15cm，下底BC=40cm，垂直于底的腰CD=30cm，现要截成一块矩形铁皮MPCN，使它的顶点M，P，N分别在AB，BC，CD边上，求矩形MPCN的面积S关于MN的长x的函数关系式．
5.5二次函数的图象
一、学习目标
1．知识与技能目标：
（1）经历描点法画函数图像的过程；
（2）学会观察、归纳、概括函数图像的特征；
（3）掌握型二次函数图像的特征；
（4）经历从特殊到一般的认识过程，学会合情推理。
二、学习重、难点
（1）型二次函数图像的描绘和图像特征的归纳,以及探索二次函数性质.
（2）选择适当的自变量的值和相应的函数值来画函数图像，该过程较为复杂。
三、学习过程：
（一）自主探究、合作交流：
1.用描点法画出二次函数 和图像(作图一般的经过列表，描点，连线)
注意：（1）x取值要有代表性 （2）各点之间连线要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接 （3）左右端点要延伸
(1).列表
x
…
-2
-1
0
1
2
…
…
…
…
…
1.用描点法画出二次函数 和图像
(1).列表
x
…
-2
-1
0
1
2
…
…
…
…
…
共同点：____________________________ 不同点：_____________________
结合上述二次函数的性质总结函数的图 象的性质：
1.函数的图象是一条________，它关于______对称，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点。它的顶点坐标是______。注意：顶点不是与y轴的交点。
2.当a>0时，抛物线开口______，在对称轴的左边，抛物线自左向右______；在对称轴的右边，曲线自左向右______，______是抛物线上位置最低的点；当a
观察二次函数和的图像
(1) 填空：
抛物线
顶点坐标
对称轴
位 置
开口方向
(2)在同一坐标系内，抛物线和抛物线的位置有什么关系？如果在同一个坐标系内画二次函数和的图像怎样画更简便？
(抛物线与抛物线关于x轴对称，只要画出与中的一条抛物线，另一条可利用关于x轴对称来画)
四、例题讲解
例1：已知二次函数（）的图像经过点（-2，-3）。
(1).求a 的值，并写出这个二次函数的解析式。
(2).说出这个二次函数图像的顶点坐标、对称轴、开口方向和图像的位置。
例2．已知是二次函数，且当时，y随x的增大而增大．
（1）求k的值； （2）求顶点坐标和对称轴．
例3．已知正方形周长为Ccm，面积为S cm2．
（1）求S和C之间的函数关系式，并画出图象；
（2）根据图象，求出S=1 cm2时，正方形的周长；
（3）根据图象，求出C取何值时，S≥4 cm2．
解 （1）由题意，得__________________．
列表：
C
2
4
6
8
…
描点、连线，得右图
（2）根据图象得S=______时，正方形的周长是4cm．
（3）根据图象得，当C______时，S≥4 cm2．
课堂学习检测
一、感受·理解
1．二次函数y=mx的图象有最高点，则m=______．
2．二次函数的图象如图1所示，则它的解析式为____________，如果另一函数图象与该图象关于x轴对称，那么它的解析式是______________．
3．如图2所示，点A是抛物线y=－x2上一点，AB⊥x轴于B，若B点坐标为（－2，0），则A点坐标为_______，S△AOB=______．
4．在同一坐标系中，抛物线的共同特点是（ ）
A．关于y轴对称，抛物线开口向上; B．关于y轴对称，y随x的增大而增大
C．关于y轴对称，y随x的增大而减小;D.关于y轴对称，抛物线顶点在原点
5．下列关于抛物线y=x2和y=－x2的关系的说法错误的是（ ）
A．它们有共同的顶点和对称轴; B．它们都关于y轴对称;
C．它们的形状相同，开口方向相反;
D．点A（－2，4）在抛物线y=x2上也在抛物线y=－x2上
(1) (2) (3)
二、思考·运用
6．如图3，A,B分别为上两点，且线段AB⊥y轴，若AB=6，则直线AB的表达式为（ ）
A．y=3 B．y=6 C．y=9 D．y=36
7．已知h关于t的函数关系式为（g为正常数，t为时间），则函数图象为（ ）
8．二次函数，当x 1>x2>0时，则y1与y2的大小关系是_________．
9．已知二次函数中，当x>0时，y随x的增大而增大，则m=________．
10．已知a<－1，点（a－1，y1），（a，y2），（a+1，y3）都在函数的图象上，则（ ）
A．y1
（1）写出S与x的函数关系式，指出自变量x的取值范围；
（2）画出S随x的变化而变化的图象；
（3）设正方形的边长增加2cm2时，面积增加ycm2，你能画出y随x的变化而变化的图象吗？
三、探究·拓展
12．已知二次函数经过点A（－2，4）
（1）求出这个函数关系式；
（2）写出抛物线上纵坐标为4的另一个点B的坐标，并求出S△AOB；
（3）在抛物线上是否存在另一个点C，使得△ABC的面积等于△AOB面积的一半？如果存在，求出点C的坐标；如果不存在，请说明理由．
5.5二次函数的图象
1.在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图像：①②
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
…
…
…
…
观察图像指出它们的共同点和不同点： ⑴共同点： .
⑵ 的图像开口向 ，顶点是抛物线的最 点，函数有最 值.
在对称轴的左侧，即 时，随的增大而 ；在对称轴的右侧，即 时，随的增大而 .
⑶ 图像开口向 ，顶点是抛物线的最 点，函数有最 值.
在对称轴的左侧，即 时，随的增大而 ；在对称轴的右侧，即 时，随的增大而 .
⑷ 的图像与 的图像关于 成 对称.
2、探究归纳：（1 ）二次函数的图像是一条 ，它关于 对称；顶点坐标是 ，
说明当= 时，有最值是 .（2）当时，抛物线开口向 ，顶点是抛物线的最 点.在对称轴的左侧，即 时，随的增大而 ；在对称轴的右侧，即 时，随的增大而 .（3）当时，抛物线开口向 ，顶点是抛物线的最 点.在对称轴的左侧，即 时，随的增大而 ；在对称轴的右侧，即 时，随的增大而 .
3、根据的图象和性质填表：
函 数
图 像
开口
对称轴
顶 点
增 减 性
向上
（0,0）
当 时，随的增大而减少.
当时，随的增大而 .
直线
当 时，随的增大而减少.
当 时，随的增大而 .
4.利用函数的图像回答下列问题：
⑴当= 时，= .⑵当=-8时，= .
⑶当-2<<3时,求y的取值范围是 .
⑷当-4<<-1时,求x的取值范围是 .
5.观察函数的图像，利用图像解答下列问题：
⑴在轴左侧的图像上任取两点A（x1,y1）、B(x2,y2),
且使0>x1>x2,试比较y1与y2的大小；
⑵在y轴右侧的图像上任取两点C（x3,y3）、D(x4,y4),
且使x3>x4>0,试比较y3与y4的大小.
5.5二次函数的图象
1.画出二次函数的图象：
⑴列表：
…
-2
-1
0
1
2
…
…
4
1
0
1
4
…
…
…
观察表中所填数据，你发现什么？
⑵在下列平面直角坐标系中描出表中各点，并把这些点连成平滑的曲线：
2.观察左图:
⑴函数与的图象的 相
同， 相同， 相同， 不同；
⑵函数可以看成的图象向 平移 个单位长度得到；它的顶点坐标是 ，说明当= 时，有最 值是 .
⑶猜想函数的与性质：
与的图象的 相同， 相同，
相同， 不同；
函数可以看成的图象向
平移 个单位长度得到；它的顶
点坐标是 ，说明当= 时，有最 值是 .
2、探究归纳：的图像和性质填表：
函 数
图 像
开口
对称轴
顶 点
增 减 性
向上
当 时，随的增大而减少.
当时，随的增大而 .
直线
当 时，随的增大而减少.
当 时，随的增大而 .
3、已知+3是二次函数，且当时，随的增大而减少．求该函数的表达式.
4.二次函数的经过点A（1，-1）、B（2，5）.
⑴点A的对称点的坐标是 ，点B的对称点的坐标是 ；
⑵求该函数的表达式；
⑶若点C(-2，),D（，7）也在函数的上，求、的值；
⑷点E（2，6）在不在这个函数的图象上？为什么？
5.6二次函数的图象
1.画出二次函数 和 的图像：
⑴列表：
…
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
…
…
4.5
2
0.5
0
0.5
2
4.5
…
…
…
…
…
⑵在下列平面直角坐标系中描出表中各点，并把这些点连成平滑的曲线：
2.观察上图:
⑴函数 的图像与 的图像的 相同， 相同，
不同， 不同；
函数 可以看成 的图像向 平移 个单位长度得到；
它的对称轴是 ，顶点坐标是 ，说明当= 时，有最 值是 .
⑵函数 的图像与 的图像的 相同， 相同，
不同， 不同；
函数 可以看成 的图像向 平移 个单位长度得到；
它的对称轴是 ，顶点坐标是 ，说明当= 时，有最 值是 .
⑶函数 的图像与函数 的图像关于 成 对称.
3、探究归纳：
（1）二次函数的图像是一条 ，它对称轴是 ，
顶点坐标是 ，说明当= 时，有最值是 .
（2）当时，的图像可以看成是 的图像向 平移 个
单位得到；当时，的图像可以看成是 的图像向 平移 个单位得到.
（3）当时，抛物线开口向 ，顶点是抛物线的最 点.在对称轴的左侧，即 时，随的增大而 ；在对称轴的右侧，即 时，随的增大而 ；
当时，抛物线开口向 ，顶点是抛物线的最 点.在对称轴的左侧，即 时，随的增大而 ；在对称轴的右侧，即 时，随的增大而 .
4、、已知一条抛物线的开口方向和形状与y=3x2相同，顶点在抛物线y=(x+2)2的顶点上.
⑴求这条抛物线的解析式；
⑵若将①中的抛物线向右平移4个单位得到的新抛物线的解析式是 .
⑶若将①中的抛物线的顶点不变，开口反向所得的新抛物线解析式是 .
⑷若将①中的抛物线沿轴对折所得的新抛物线解析式是 .
5.6二次函数的图象
1.画出二次函数和的图像：
⑴列表：
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
…
…
4.5
2
0.5
0
0.5
2
4.5
…
…
…
…
…
⑵在下列平面直角坐标系中描出表中各点，并把这些点连成平滑的曲线：
2.观察上图:
⑴函数 的图像与 的图像的 相同， 相同，
不同， 不同；
⑵函数 可以看成 的图像先向 平移 个单位长度得到
函数 的图像，再向 平移 个单位长度得到.
⑶函数 的对称轴是 ，在对称轴的左侧，即 时，随的增大而 ；在对称轴的右侧，即 时，随的增大而 .
⑷函数 顶点坐标是 ，说明当= 时，有最 值是 .
3、探究归纳：
（1）二次函数的图像是一条 ，它对称轴是 ；
顶点坐标是 ，说明当= 时，有最值是 .
（2）当时，的图像可以看成是的图像向 平移
个单位得到；当时，的图像可以看成是的
图像向 平移 个单位得到.
（3）当时，抛物线开口向 ，顶点是抛物线的最 点.在对称轴的左侧，即 时，随的增大而 ；在对称轴的右侧，即 时，随的增大而 ；
当时，抛物线开口向 ，顶点是抛物线的最 点.在对称轴的左侧，即 时，随的增大而 ；在对称轴的右侧，即 时，随的增大而 .
（4）由于根据的解析式可直接得到函数图像的顶点坐标，故称之为 .
4、（1）抛物线是由一抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到，则原抛物线的解析式是 ；
（2）抛物线与抛物线 关于轴成轴对称；抛物线 与抛物线 关于轴成轴对称.
课堂学习检测
一、填空题
1．已知a≠0，
(1)抛物线y＝ax2的顶点坐标为______，对称轴为______．
(2)抛物线y＝ax2＋c的顶点坐标为______，对称轴为______．
(3)抛物线y＝a(x－m)2的顶点坐标为______，对称轴为______．
2．若函数是二次函数，则m＝______．
3．抛物线y＝2x2的顶点，坐标为______，对称轴是______．当x______时，y随x增大而减小；当x______时，y随x增大而增大；当x＝______时，y有最______值是______．
4．抛物线y＝－2x2的开口方向是______，它的形状与y＝2x2的形状______，它的顶点坐标是______，对称轴是______．
5．抛物线y＝2x2＋3的顶点坐标为______，对称轴为______．当x______时，y随x的增大而减小；当x＝______时，y有最______值是______，它可以由抛物线y＝2x2向______平移______个单位得到．
6．抛物线y＝3(x－2)2的开口方向是______，顶点坐标为______，对称轴是______．当x______时，y随x的增大而增大；当x＝______时，y有最______值是______，它可以由抛物线y＝3x2向______平移______个单位得到．
二、选择题
7．要得到抛物线，可将抛物线( )
A．向上平移4个单位
B．向下平移4个单位
C．向右平移4个单位
D．向左平移4个单位
8．下列各组抛物线中能够互相平移而彼此得到对方的是( )
A．y＝2x2与y＝3x2 B．与
C．y＝2x2与y＝x2＋2 D．y＝x2与y＝x2－2
9．顶点为(－5，0)，且开口方向、形状与函数的图象相同的抛物线是( )
A． B．
C． D．
三、解答题
10．在同一坐标系中画出函数和的图象，并说明y1，y2的图象与函数的图象的关系．
11．在同一坐标系中，画出函数y1＝2x2，y2＝2(x－2)2与y3＝2(x＋2)2的图象，并说明y2，y3的图象与y1＝2x2的图象的关系．
综合、运用、诊断
一、填空题
12．二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的顶点坐标是______，对称轴是______，当x＝______时，y有最值______；当a＞0时，若x______时，y随x增大而减小．
13．填表．
解析式
开口方向
顶点坐标
对称轴
y＝(x－2)2－3
y＝－(x＋3)2＋2
y＝3(x－2)2
y＝－3x2＋2
14．抛物线有最______点，其坐标是______．当x＝______时，y的最______值是______；当x______时，y随x增大而增大．
15．将抛物线向右平移3个单位，再向上平移2个单位，所得的抛物线的解析式为______．
二、选择题
16．一抛物线和抛物线y＝－2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是(－1，3)，则该抛物线的解析式为( )
A．y＝－2(x－1)2＋3 B．y＝－2(x＋1)2＋3
C．y＝－(2x＋1)2＋3 D．y＝－(2x－1)2＋3
17．要得到y＝－2(x＋2)2－3的图象，需将抛物线y＝－2x2作如下平移( )
A．向右平移2个单位，再向上平移3个单位
B．向右平移2个单位，再向下平移3个单位
C．向左平移2个单位，再向上平移3个单位
D．向左平移2个单位，再向下平移3个单位
三、解答题
18．将下列函数配成y＝a(x－h)2＋k的形式，并求顶点坐标、对称轴及最值．
(1)y＝x2＋6x＋10 (2)y＝－2x2－5x＋7
(3)y＝3x2＋2x (4)y＝－3x2＋6x－2
(5)y＝100－5x2 (6)y＝(x－2)(2x＋1)
拓展、探究、思考
19．把二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数的图象．
(1)试确定a，h，k的值；
(2)指出二次函数y＝a(x－h)2＋k的开口方向、对称轴和顶点坐标．
5.6二次函数的图象
1. 根据的图像和性质填表：
函 数
图 像
开口
对称轴
顶 点
增 减 性
向上
当 时，随
的增大而减少.
当时，随
的增大而 .
当 时，随
的增大而减少.
当 时，随
的增大而 .
2.抛物线的开口向 ，对称轴是 ；顶点坐标是 ，
说明当= 时，y有最 值是 ；无论取任何实数，的取值范围是 .
3、（1）问题：你能直接说出函数 的图像的对称轴和顶点坐标吗？
（2）你有办法解决问题①吗？
的对称轴是 ，顶点坐标是 .
（3）像这样我们可以把一个一般形式的二次函数用 的方法转化为 式，
从而直接得到它的图像性质.
（4）用配方法把下列二次函数化成顶点式：
① ② ③
（4） 归纳：二次函数的一般形式可以被整理成顶点式： ，
说明它的对称轴是 ，顶点坐标公式是 .
（5）用公式法把下列二次函数化成顶点式：
① ② ③
…
…
…
4、用描点法画出的图像.
⑴用 法求顶点坐标：
⑵列表：顶点坐标填在
⑶在下列平面直角坐标系中描出表中各点，
并把这些点连成平滑的曲线：
⑷观察图像，该抛物线与轴交与点 ，
与轴有 个交点.
课堂学习检测
一、填空题
1．把二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)配方成y＝a(x－h)2＋k形式为______，顶点坐标是______，对称轴是直线______．当x＝______时，y最值＝______；当a＜0时，x______时，y随x增大而减小；x______时，y随x增大而增大．
2．抛物线y＝2x2－3x－5的顶点坐标为______．当x＝______时，y有最______值是______，与x轴的交点是______，与y轴的交点是______，当x______时，y随x增大而减小，当x______时，y随x增大而增大．
3．抛物线y＝3－2x－x2的顶点坐标是______，它与x轴的交点坐标是______，与y轴的交点坐标是______．
4．把二次函数y＝x2－4x＋5配方成y＝a(x－h)2＋k的形式，得______，这个函数的图象有最______点，这个点的坐标为______．
5．已知二次函数y＝x2＋4x－3，当x＝______时，函数y有最值______，当x______时，函数y随x的增大而增大，当x＝______时，y＝0．
6．抛物线y＝ax2＋bx＋c与y＝3－2x2的形状完全相同，只是位置不同，则a＝______．
7．抛物线y＝2x2先向______平移______个单位就得到抛物线y＝2(x－3)2，再向______平移______个单位就得到抛物线y＝2(x－3)2＋4．
二、选择题
8．下列函数中①y＝3x＋1；②y＝4x2－3x；④y＝5－2x2，是二次函数的有( )
A．② B．②③④
C．②③ D．②④
9．抛物线y＝－3x2－4的开口方向和顶点坐标分别是( )
A．向下，(0，4) B．向下，(0，－4)
C．向上，(0，4) D．向上，(0，－4)
10．抛物线的顶点坐标是( )
A． B． C． D．(1，0)
11．二次函数y＝ax2＋x＋1的图象必过点( )
A．(0，a) B．(－1，－a)
C．(－1，a) D．(0，－a)
三、解答题
12．已知二次函数y＝2x2＋4x－6．
(1)将其化成y＝a(x－h)2＋k的形式；
(2)写出开口方向，对称轴方程，顶点坐标；
(3)求图象与两坐标轴的交点坐标；
(4)画出函数图象；
(5)说明其图象与抛物线y＝x2的关系；
(6)当x取何值时，y随x增大而减小；
(7)当x取何值时，y＞0，y＝0，y＜0；
(8)当x取何值时，函数y有最值?其最值是多少?
(9)当y取何值时，－4＜x＜0；
(10)求函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形面积．
综合、运用、诊断
一、填空题
13．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
(1)若抛物线的顶点是原点，则____________；
(2)若抛物线经过原点，则____________；
(3)若抛物线的顶点在y轴上，则____________；
(4)若抛物线的顶点在x轴上，则____________．
14．抛物线y＝ax2＋bx必过______点．
15．若二次函数y＝mx2－3x＋2m－m2的图象经过原点，则m＝______，这个函数的解析式是______．
16．若抛物线y＝x2－4x＋c的顶点在x轴上，则c的值是______．
17．若二次函数y＝ax2＋4x＋a的最大值是3，则a＝______．
18．函数y＝x2－4x＋3的图象的顶点及它和x轴的两个交点为顶点所构成的三角形面积为______平方单位．
19．抛物线y＝ax2＋bx(a＞0，b＞0)的图象经过第______象限．
二、选择题
20．函数y＝x2＋mx－2(m＜0)的图象是( )
21．抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如下图所示，那么( )
A．a＜0，b＞0，c＞0
B．a＜0，b＜0，c＞0
C．a＜0，b＞0，c＜0
D．a＜0，b＜0，c＜0
22．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如右图所示，则( )
A．a＞0，c＞0，b2－4ac＜0
B．a＞0，c＜0，b2－4ac＞0
C．a＜0，c＞0，b2－4ac＜0
D．a＜0，c＜0，b2－4ac＞0
23．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如下图所示，则( )
A．b＞0，c＞0，?＝0
B．b＜0，c＞0，?＝0
C．b＜0，c＜0，?＝0
D．b＞0，c＞0，?＞0
24．二次函数y＝mx2＋2mx－(3－m)的图象如下图所示，那么m的取值范围是( )
A．m＞0 B．m＞3
C．m＜0 D．0＜m＜3
25．在同一坐标系内，函数y＝kx2和y＝kx－2(k≠0)的图象大致如图( )
26．函数(ab＜0)的图象在下列四个示意图中，可能正确的是( )
三、解答题
27．已知抛物线y＝x2－3kx＋2k＋4．
(1)k为何值时，抛物线关于y轴对称；
(2)k为何值时，抛物线经过原点．
28．画出的图象，并求：
(1)顶点坐标与对称轴方程；
(2)x取何值时，y随x增大而减小?
x取何值时，y随x增大而增大?
(3)当x为何值时，函数有最大值或最小值，其值是多少?
(4)x取何值时，y＞0，y＜0，y＝0?
(5)当y取何值时，－2≤x≤2?
拓展、探究、思考
29．已知函数y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)和y2＝mx＋n的图象交于(－2，－5)点和(1，4)点，并且y1＝ax2＋bx＋c的图象与y轴交于点(0，3)．
(1)求函数y1和y2的解析式，并画出函数示意图；
(2)x为何值时，①y1＞y2；②y1＝y2；③y1＜y2．
30．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的一部分；图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1，给出四个结论：①b2＞4ac；②2a＋b＝0；③a－b＋c＝0；④5a＜b．其中正确的是________________．(填序号)
九年级数学学案
用待定系数法求二次函数解析式
九年级数学组
学习目标
1、通过对用待定系数法求二次函数解析式的探究,掌握求解析式的方法。
2、能灵活的根据条件恰当地选取选择解析式，体会二次函数解析式之间的转化。
3、从学习过程中体会学习数学知识的价值，从而提高学习数学知识的兴趣。
教学过程
一、合作交流 例题精析
1、一般地，形如y＝ax2＋bx＋c (a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数，所以，我们把________________________叫做二次函数的一般式。
例1 已知二次函数的图象过(1，0)，(－1，－4)和(0，－3)三点，求这个二次函数解析式。
小结：此题是典型的根据三点坐标求其解析式，关键是：（1）熟悉待定系数法；（2）点在函数图象上时，点的坐标满足此函数的解析式；（3）会解简单的三元一次方程组。
2、二次函数y＝ax2＋bx＋c用配方法可化成：y＝a(x＋h)2＋k，顶点是(－h，k)。配方: y＝ax2＋bx＋c＝__________________＝___________________＝__________________＝a(x＋)2＋。对称轴是x＝－，顶点坐标是(－，), h＝－，k=, 所以，我们把_____________叫做二次函数的顶点式。
例2 已知二次函数的图象经过原点，且当x＝1时，y有最小值－1， 求这个二次函数的解析式。
小结：此题利用顶点式求解较易，用一般式也可以求出，但仍要利用顶点坐标公式。请大家试一试，比较它们的优劣。
3、一般地，函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标即为方程ax2＋bx＋c＝0的解；当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程ax2＋bx＋c＝0的解，这一结论反映了二次函数与一元二次方程的关系。所以，已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，可选用二次函数的交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)，其中x1 ，x2 为两交点的横坐标。
例3 已知二次函数的图象与x轴交点的横坐标分别是x1=－3，x2=1，且与y轴交点为(0，－3)，求这个二次函数解析式。
想一想:还有其它方法吗?
二、应用迁移 巩固提高
1、根据下列条件求二次函数解析式
（1）已知一个二次函数的图象经过了点A（0，－1），B（1，0），C（－1，2）；
（2）已知抛物线顶点P(－1，－8)，且过点A(0，－6)；
（3）二次函数图象经过点A（－1，0），B（3，0），C（4，10）；
（4）已知二次函数的图象经过点（4，－3），并且当x=3时有最大值4；
（5）已知二次函数的图象经过一次函数y＝－—x+3的图象与x轴、y轴的交点，且过(1，1)；
（6）已知抛物线顶点（1，16），且抛物线与x轴的两交点间的距离为8；
2、如图所示，已知抛物线的对称轴是直线x=3，它与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A、C的坐标分别是（8，0）（0，4），求这个抛物线的解析式。
三、总结反思 突破重点
1、二次函数解析式常用的有三种形式：
（1）一般式：_______________ (a≠0)
（2）顶点式：_______________ (a≠0)
（3）交点式：_______________ (a≠0)
2、本节课是用待定系数法求函数解析式，应注意根据不同的条件选择合适的解析式形式，要让学生熟练掌握配方法，并由此确定二次函数的顶点、对称轴，并能结合图象分析二次函数的有关性质。（1）当已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式y＝ax2＋bx＋c形式。（2）当已知抛物线的顶点与抛物线上另一点时，通常设为顶点式y＝a(x－h)2＋k形式。（3）当已知抛物线与x轴的交点或交点横坐标时，通常设为两根式y＝a(x－x1)(x－x2)。
四、布置作业 拓展升华
1、已知二次函数的图象经过(0，0)，(1，2)，(-1，-4)三点，那么这个二次函数的解析式是_______________。
2、已知二次函数的图象顶点是（-1，2），且经过（1，-3），那么这个二次函数的解析式是_______________。
3、已知二次函数y＝x2＋px＋q的图象的顶点是(5，－2)，那么这个二次函数解析式是_______________。
4、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过A(0，－5)，B(5，0)两点，它的对称轴为直线x＝2，那么这个二次函数的解析式是_______________。
5、已知二次函数图象与x轴交点（2,0）(-1,0)与y轴交点是（0，-1），那么这个二次函数的解析式是_______________。
6、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，它们的横坐标为-1和3，与y轴的交点C的纵坐标为3，那么这个二次函数的解析式是_______________。
7、 已知直线y=x-3与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数的图象经过A、B两点，且对称轴方程为x=1，那么这个二次函数的解析式是_______________。
8、已知一抛物线与x轴的交点是A（-2，0）、B（1，0），且经过点C（2，8），那么这个二次函数的解析式是_______________。
9、在平面直角坐标系中， AOB的位置如图所示，已知∠AOB＝90°，AO＝BO，点A的坐标为（－3,1）。
（1）求点B的坐标。
（2）求过A，O，B三点的抛物线的解析式；
（3）设点B关于抛物线的对称轴的对称点为B1，求ΔAB1B的面积。
课堂学习检测
一、填空题
1．二次函数解析式通常有三种形式：①一般式________________；②顶点式________
__________；③双根式__________________________(b2－4ac≥0)．
2．若二次函数y＝x2－2x＋a2－1的图象经过点(1，0)，则a的值为______．
3．已知抛物线的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点为则它与x轴的另一个交点为______．
二、解答题
4．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，求：
(1)对称轴方程__________； (2)函数解析式__________；
(3)当x______时，y随x增大而减小；
(4)由图象回答：
当y＞0时，x的取值范围______；当y＝0时，x＝______；当y＜0时，x的取值范围______．
5．抛物线y＝ax2＋bx＋c过(0，4)，(1，3)，(－1，4)三点，求抛物线的解析式．
6．抛物线y＝ax2＋bx＋c过(－3，0)，(1，0)两点，与y轴的交点为(0，4)，求抛物线的解析式．
7．抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为(2，4)，且过(1，2)点，求抛物线的解析式．
8．二次函数y＝x2＋bx＋c的图象过点A(－2，5)，且当x＝2时，y＝－3，求这个二次函数的解析式，并判断点B(0，3)是否在这个函数的图象上．
9．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过(0，0)，(12，0)两点，其顶点的纵坐标是3，求这个抛物线的解析式．
10．抛物线过(－1，－1)点，它的对称轴是直线x＋2＝0，且在x轴上截得线段的长度为求抛物线的解析式．
综合、运用、诊断
11．抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为(2，4)，且过原点，求抛物线的解析式．
12．把抛物线y＝(x－1)2沿y轴向上或向下平移后所得抛物线经过点Q(3，0)，求平移后的抛物线的解析式．
13．二次函数y＝ax2＋bx＋c的最大值等于－3a，且它的图象经过(－1，－2)，(1，6)两点，求二次函数的解析式．
14．已知函数y1＝ax2＋bx＋c，它的顶点坐标为(－3，－2)，y1与y2＝2x＋m交于点(1，6)，求y1，y2的函数解析式．
拓展、探究、思考
15．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点为A，B(B在A左侧)，与y轴的交点为C，OA＝OC．下列关系式中，正确的是( )
A．ac＋1＝b B．ab＋1＝c
C．bc＋1＝a D．
16．如图，正方形ABCD的边长为10，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形ABCD的顶点上，且它们的各边与正方形ABCD各边平行或垂直，若小正方形边长为x，且0＜x≤10，阴影部分的面积为y，则能反映y与x之间的函数关系的大致图象是( )
17．如图，在直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别为A(0，2)，O(0，0)，B(4，0)，把△AOB绕O点按逆时针方向旋转90°得到△COD．
(1)求C，D两点的坐标；
(2)求经过C，D，B三点的抛物线的解析式；
(3)设(2)中抛物线的顶点为P，AB的中点为M(2，1)，试判断△PMB是钝角三角形，直角三角形还是锐角三角形，并说明理由．
第五章 二次函数(复习)
知识点:一、二次函数概念：形如（a≠0,a,b,c为常数）的函数叫x的二次函数。
二、二次函数的图象关系：
（a≠0） （a≠0，a,h为常数）
( a≠0,a,k为常数) +k（a≠0，a,h,k为常数）
三、二次函数的特性：（填表）
开口方向
对称轴
顶点坐标
最值
增减性
+k
巩固练习：
①二次函数的定义： 当k= 时，函数为二次函数。
②二次函数的图像与性质：二次函数y=-x2+6x+3的图象开口方向 顶点坐标为____ _____对称轴为_________当x= 时函数有 值，为 。当x 时，y的值随x的增大而增大。它是由y=-x2向 平移 个单位得到的，再向 平移 个单位得到的．
③抛物线与x轴的交点个数：抛物线与x轴的交点有 个，抛物线与x轴的交点有 个，抛物线y=x2+2x+1与x轴的交点有 个。
总结：抛物线与x轴的交点个数由 决定。
④抛物线的图象与a、b、c及b2-4ac的关系。
⑴如图是y=ax2+bx+c的图象，则a______0 b______0 c______0 b2-4ac________0
⑵．二次函数与一次函数在同一直角坐标系中图象大致是 （ ）
总结：抛物线的图象与a、b、c及b2-4ac的关系是：
a:开口方向；b：结合a看对称轴；c：与y轴交点坐标；b2-4ac：与x轴的交点个数
第二十六章 二次函数全章测试
一、填空题
1．抛物线y＝－x2＋15有最______点，其坐标是______．
2．若抛物线y＝x2－2x－2的顶点为A，与y轴的交点为B，则过A，B两点的直线的解析式为____________．
3．若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与抛物线y＝x2－4x＋3的图象关于y轴对称，则函数y＝ax2＋bx＋c的解析式为______．
4．若抛物线y＝x2＋bx＋c与y轴交于点A，与x轴正半轴交于B，C两点，且BC＝2，S△ABC＝3，则b＝______．
5．二次函数y＝x2－6x＋c的图象的顶点与原点的距离为5，则c＝______．
6．二次函数的图象在坐标平面内绕顶点旋转180°，再向左平移3个单位，向上平移5个单位后图象对应的二次函数解析式为____________．
二、选择题
7．把二次函数的图象向右平移2个单位后，再向上平移3个单位，所得的函数图象顶点是( )
A．(－5，1) B．(1，－5)
C．(－1，1) D．(－1，3)
8．若点(2，5)，(4，5)在抛物线y＝ax2＋bx＋c上，则它的对称轴是( )
A． B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3
9．已知函数，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是( )
A．x＜1 B．x＞1 C．x＞－2 D．－2＜x＜4
10．二次函数y＝a(x＋k)2＋k，当k取不同的实数值时，图象顶点所在的直线是( )
A．y＝x B．x轴 C．y＝－x D．y轴
11．图中有相同对称轴的两条抛物线，下列关系不正确的是( )
A．h＝m B．k＞n
C．k＝n D．h＞0，k＞0
12．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②a＋b＋c＝2；；④b＜1．其中正确的结论是( )
A．①② B．②③
C．②④ D．③④
13．下列命题中，正确的是( )
①若a＋b＋c＝0，则b2－4ac＜0；
②若b＝2a＋3c，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根；
③若b2－4ac＞0，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3；
④若b＞a＋c，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，有两个不相等的实数根．
A．②④ B．①③ C．②③ D．③④
三、解答题
14．把二次函数配方成y＝a(x－k)2＋h的形式，并求出它的图象的顶点坐标、对称轴方程，y＜0时x的取值范围，并画出图象．
15．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过一次函数的图象与x轴、y轴的交点，并也经过(1，1)点．求这个二次函数解析式，并求x为何值时，有最大(最小)值，这个值是什么?
16．已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴的两个交点分别为A(m，0)，B(n，0)，且，
(1)求此抛物线的解析式；
(2)设此抛物线与y轴的交点为C，过C作一条平行x轴的直线交抛物线于另一点P，求△ACP的面积．
17．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－1，0)，且经过直线y＝x－3与x轴的交点B及与y轴的交点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求抛物线的顶点坐标；
(3)若点M在第四象限内的抛物线上，且OM⊥BC，垂足为D，求点M的坐标．
18．某商业公司为指导某种应季商品的生产和销售，对三月份至七月份该商品的售价和生产进行了调研，结果如下：一件商品的售价M(元)与时间t(月)的关系可用一条线段上的点来表示(如图甲)，一件商品的成本Q(元)与时间t(月)的关系可用一条抛物线上的点来表示，其中6月份成本最高(如图乙)．
根据图象提供的信息解答下面问题：
(1)一件商品在3月份出售时的利润是多少元?(利润＝售价－成本)
(2)求出图(乙)中表示的一件商品的成本Q(元)与时间t(月)之间的函数关系式；
(3)你能求出3月份至7月份一件商品的利润W(元)与时间t(月)之间的函数关系式吗?若该公司能在一个月内售出此种商品30000件，请你计算该公司在一个月内最少获利多少元?
四、附加题
19．如图甲，Rt△PMN中，∠P＝90°，PM＝PN，MN＝8cm，矩形ABCD的长和宽分别为8cm和2cm，C点和M点重合，BC和MN在一条直线上，令Rt△PMN不动，矩形ABCD沿MN所在直线向右以每秒1cm的速度移动(如图乙)，直到C点与N点重合为止．设移动x秒后，矩形ABCD与△PMN重叠部分的面积为ycm2．求y与x之间的函数关系式．
答案与提示
第二十六章 二次函数全章测试
1．高，(0，15)． 2．y＝－x－2． 3．y＝x2＋4x＋3． 4．b＝－4．
5．c＝5或13． 6．
7．C． 8．D． 9．A． 10．C． 11．C． 12．B． 13．C．
14．顶点坐标，对称轴方程x＝3，当y＜0时，2＜x＜4，
图略．
15．当时，
16．(1)由得m＝1，n＝3．∴y＝－x2＋4x－3；
(2)S△ACP＝6．
17．(1)直线y＝x－3与坐标轴的交点坐标分别为B(3，0)，C(0，－3)，以A、B、C
三点的坐标分别代入抛物线y＝ax2＋bx＋c中，得解
得
∴所求抛物线的解析式是y＝x2－2x－3．
(2)y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，
∴抛物线的顶点坐标为(1，－4)．
(3)经过原点且与直线y＝x－3垂直的直线OM的方程为y＝－x，设M(x，－x)，
因为M点在抛物线上，∴x2－2x－3＝－x．
因点M在第四象限，取
18．解：(1)一件商品在3月份出售时利润为：6－1＝5(元)．
(2)由图象可知，一件商品的成本Q(元)是时间t(月)的二次函数，由图象可知，
抛物线的顶点为(6，4)，
∴可设Q＝a(t－6)2＋4．
又∵图象过点(3，1)，
∴1＝a(3－6)2＋4，解之
由题知t＝3，4，5，6，7．
(3)由图象可知，M(元)是t(月)的一次函数，
∴可设M＝kt＋b．
∵点(3，6)，(6，8)在直线上，
解之
其中t＝3，4，5，6，7．
∴当t＝5时，元
∴该公司在一月份内最少获利元．
19．解：在Rt△PMN中，∵PM＝PN，∠P＝90°，
∴∠PMN＝∠PNM＝45°．延长AD分别交PM、PN于点G、H，过G作GF⊥MN于F，过H作HT⊥MN于T．
∵DC＝2cm，∴MF＝GF＝2cm，TN＝HT＝2cm．
∵MN＝8cm，
∴MT＝6cm，因此，矩形ABCD以每秒1cm的速度由开始向右移动到停止，和
Rt△PMN重叠部分的形状，可分为下列三种情况：
(1)当C点由M点运动到F点的过程中(0≤x≤2)，如图①所示，设CD与PM交于点E，则重叠部分图形是Rt△MCE，且MC＝EC＝x，
，即
图①
(2)当C点由F点运动到T点的过程中(2＜x≤6)，如图②所示，重叠部分图形是直角梯形MCDG．
图②
∵MC＝x，MF＝2，
∴FC＝DG＝x－2，且DC＝2，
(3)当C点由T点运动到N点的过程中(6＜x≤8)，如图③所示，设CD与PN交于点Q，则重叠部分图形是五边形MCQHG．
图③
∵MC＝x，∴CN＝CQ＝8－x，且DC＝2，