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3.1.1 椭圆及其标准方程
第三章
3.1
2022
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程,掌握椭圆的定义.
2.掌握椭圆的标准方程.
3.掌握用定义和待定系数法求椭圆的标准方程.
4.培养数学抽象、直观想象、逻辑推理与数学运算素养.
自主预习 新知导学
一、椭圆的定义
【问题思考】
1.给你两枚图钉,一条无弹性定长的细绳,一张图板,一支铅笔.若将绳的两端系在同一枚图钉上,用笔尖挣紧细绳画图,则所得的图形是什么
提示:圆.
2.若将细绳的两端分别固定在两枚图钉上且两枚图钉分开一定距离(小于绳长),用笔尖挣紧细绳画图,则画出的图形又是什么 此时笔尖所在动点P与两枚图钉所在定点F1,F2满足的条件是什么
提示:画出的图形是一个椭圆,动点P与定点F1,F2满足的条件是|PF1|+|PF2|=绳长(定值).
3.填表:椭圆的定义
4.做一做:下列说法正确的是( )
A.到F1(-4,0),F2(4,0)两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆
B.到F1(-4,0),F2(4,0)两点的距离之和为6的点的轨迹是椭圆
C.到F1(-4,0),F2(4,0)两点的距离之和等于12的点的轨迹是椭圆
D.到F1(-4,0),F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆
解析:A中,|F1F2|=8,故到F1,F2两点的距离之和为常数8的点的轨迹是线段F1F2;B中,到F1,F2两点的距离之和6小于|F1F2|,故这样的轨迹不存在;C中,根据椭圆的定义,知轨迹是椭圆;D中,点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.
答案:C
二、椭圆的标准方程
【问题思考】
1.我们知道,直线和圆都有方程,那么根据椭圆的形状,我们怎样建立平面直角坐标系,才可能使椭圆的方程形式简单呢
提示:(以焦点在x轴上为例)椭圆具有对称性,过两个焦点的直线是它的对称轴,故我们以经过椭圆两个焦点F1,F2的直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,如图.
2.设M(x,y)是椭圆上任意一点,两个焦点为F1,F2,椭圆的焦距为2c(c>0),点M到焦点F1,F2的距离之和等于2a,那么点M满足的几何条件是什么 点F1,F2的坐标分别是什么
提示:{M||MF1|+|MF2|=2a,2a>|F1F2|},F1(-c,0),F2(c,0).
3.用坐标表示上述几何条件,会得到怎样的表达式 化简这个表达式会得到什么样的式子
提示:|PF1|=|PF2|=a,|OF1|=|OF2|=c,|PO|=b.
5.填表:椭圆的标准方程
6.做一做:已知椭圆的焦点坐标为(-1,0)和(1,0),点P(2,0)在椭圆上,则椭圆的方程为( )
A
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)平面内与两个定点的距离的和等于常数的点的轨迹就是椭圆.( × )
(2)在椭圆定义中,若将“大于|F1F2|”改为“等于F1F2”,其他条件不变,则点的轨迹为线段.( √ )
(3)到两定点F1(-2,0)和F2(2,0)的距离之和为3的点M的轨迹为椭圆.( × )
(5)椭圆的两种标准方程中,虽然焦点位置不同,但都有a2=b2+c2.( √ )
(6)椭圆的两种标准方程可以写成统一形式:Ax2+By2=1(其中A>0,B>0, A≠B).( √ )
合作探究 释疑解惑
探究一
求椭圆的标准方程
【例1】 求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)两个焦点的坐标分别为(-4,0)和(4,0),且椭圆经过点(5,0);
分析:求椭圆的标准方程关键是确定焦点的位置及a,b的值,若不能确定焦点位置,则要讨论焦点在x轴上还是在y轴上.
解:(1)∵椭圆的焦点在x轴上,
(3)(方法一)①当椭圆的焦点在x轴上时,
②当椭圆的焦点在y轴上时,
反思感悟 1.利用待定系数法求椭圆的标准方程:
(1)先确定焦点位置;(2)设出方程;(3)寻求a,b,c的等量关系;(4)求a,b的值,代入所设方程.
2.当焦点位置不确定时,可设椭圆方程为mx2+ny2=1(m≠n,m>0,n>0).因为它包括焦点在x轴上(mn)两类情况,所以可以避免分类讨论,从而简化了运算.
【变式训练1】 求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)中心在原点,焦点在坐标轴上,且经过两点(2,0)和(0,1);
解:(1)设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).
因为椭圆过(2,0)和(0,1)两点,
(2)(方法一)因为椭圆的焦点在y轴上,
(方法二)因为椭圆的焦点在y轴上,
(3)(方法一)若椭圆的焦点在x轴上,
(方法二)设椭圆的方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B).
探究二
椭圆的定义及其应用
在△PF1F2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos 60°,
即25=|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|.①
由椭圆的定义得10=|PF1|+|PF2|,
即100=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|.②
②-①,得3|PF1|·|PF2|=75,
∴|PF1|·|PF2|=25,
在本例中,把“∠F1PF2=60°”改为“∠F1PF2=90°”,其余条件不变,试求△PF1F2的面积.
解:在△PF1F2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2,
∴25=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|,
由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=10,
反思感悟 1.椭圆的定义具有双向作用,即若|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|),则点M的轨迹是椭圆;反之,椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a.
2.椭圆中的焦点三角形,椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1,F2构成的△PF1F2,称为焦点三角形.解关于椭圆的焦点三角形的问题,通常要利用椭圆的定义,结合正弦定理、余弦定理等知识求解.
由余弦定理知,|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos 30°=|F1F2|2=(2c)2=4.②
①式两边平方,得|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|=20.③
③-②,得(2+ 3 )|PF1|·|PF2|=16,
探究三
与椭圆有关的轨迹方程
【例3】 如图,一动圆过定点A(2,0),且与定圆B:x2+4x+y2-32=0内切,求动圆圆心M的轨迹方程.
分析:根据两圆内切的特点,得出|MA|+|MB|=6>|AB|=4,故点M的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,进而求出a2,b2即可得点M的轨迹方程.
解:设|MA|=r,圆B的方程化为(x+2)2+y2=36,
则B(-2,0).
∵圆M与圆B内切,∴|MB|=6-r,
即|MB|+|MA|=6(大于|AB|=4).
∴点M的轨迹是以A,B为焦点的椭圆.
∴2a=6,2c=4.∴b2=a2-c2=9-4=5.
解析:设Q(x,y),P(x0,y0),由点Q是线段OP的中点知x0=2x,y0=2y.
反思感悟 利用椭圆定义求动点轨迹方程的三个步骤
【变式训练3】 已知动圆与圆O1:(x+3)2+y2=1外切,与圆O2:(x-3)2+y2=81内切,试求动圆圆心M的轨迹方程.
解:由已知,两定圆的圆心和半径分别为O1(-3,0),r1=1,O2(3,0),r2=9.
设动圆圆心为M(x,y),半径为R,则由题设有|MO1|=1+R,|MO2|=9-R,
∴|MO1|+|MO2|=10(10>|O1O2|),
∴M在以O1,O2为焦点的椭圆上,且a=5,c=3,
∴b2=a2-c2=25-9=16.
【易错辨析】
忽略椭圆方程中的条件a>b而致误
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:错误的原因是没有注意椭圆的标准方程中a>b这个条件,当a=b时,方程并不表示椭圆.
防范措施 椭圆标准方程中,分母都大于零且不相等,在解题时,不仅要注意分母都大于零,还要注意分母相等时该方程就变成了圆的方程.
随堂练习
A.4 B.5 C.8 D.10
解析:|PF1|+|PF2|=2a=10.
答案:D
A.(±4,0) B.(0,±4)
C.(±3,0) D.(0,±3)
解析:椭圆的焦点在y轴上,且c=3,故焦点坐标为(0,±3).
答案:D
3.已知椭圆的焦点在y轴上,其上任意一点到两焦点的距离之和为8,焦距为2 ,则此椭圆的标准方程为 .
答案:a>0,且a≠1
5.已知B,C是两个定点,|BC|=8,且△ABC的周长为18,求这个三角形顶点A的轨迹方程.
解:以过B,C两点的直线为x轴,线段BC的中点为原点,建立平面直角坐标系.
由|BC|=8,可知点B(-4,0),C(4,0).
由|AB|+|BC|+|AC|=18,
得|AB|+|AC|=10>|BC|=8.
因此,点A的轨迹是以B,C为焦点的椭圆,这个椭圆上的点与两个焦点的距离之和为2a=10,即a=5,且点A不能在x轴上.
由a=5,c=4,得b2=9.
本 课 结 束第三章 圆锥曲线的方程
3.1 椭圆
3.1.1 椭圆及其标准方程
课后训练巩固提升
A组
1.已知椭圆=1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3,到另一个焦点的距离为7,则m等于( )
A.10 B.5
C.15 D.25
解析:由题意知2a=3+7=10,
∴a=5,a2=25,∴m=25.
答案:D
2.若椭圆=1过点(-2, ),则其焦距为( )
A.2 B.2
C.4 D.4
解析:将点(-2, )代入椭圆方程求得b2=4,于是焦距2c=2=4.
答案:D
3.已知椭圆过点P和点Q,则此椭圆的标准方程是( )
A.+x2=1 B.+y2=1或x2+=1
C.+y2=1 D.以上都不对
解析:设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),
则解得
故椭圆的标准方程为x2+=1.
答案:A
4.设定点F1(0,-3),F2(0,3),动点P满足条件|PF1|+|PF2|=a+(a>0),则点P的轨迹是( )
A.椭圆 B.线段
C.不存在 D.椭圆或线段
解析:|PF1|+|PF2|=a+≥2=6=|F1F2|,当|PF1|+|PF2|>|F1F2|时,点P的轨迹是椭圆;
当|PF1|+|PF2|=|F1F2|时,点P的轨迹是线段F1F2.
答案:D
5.(多选题)下列m的取值,能够使方程=1表示焦点在y轴上的椭圆的是( )
A.m=-2 B.m=0
C.m=-3 D.m=
解析:若方程=1表示焦点在y轴上的椭圆,则
解得m<-1或1答案:ACD
6.若关于x,y的方程=1表示椭圆,则m满足的条件是 .
解析:由方程=1表示椭圆,知
解得m>,且m≠1.
答案:
7.设F1,F2分别是椭圆=1的左、右焦点,P为椭圆上一点,M是F1P的中点,|OM|=3,则点P到椭圆左焦点的距离为 .
解析:由题意知|OM|=|PF2|=3,
故|PF2|=6,|PF1|=2×5-6=4.
答案:4
8.已知F1,F2是椭圆C:=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且.若△PF1F2的面积为9,则b= .
解析:依题意,有
可得4c2+36=4a2,即a2-c2=9,故有b=3.
答案:3
9.已知椭圆的中心在原点,两焦点F1,F2在x轴上,且过点A(-4,3).若F1A⊥F2A,求椭圆的标准方程.
解:设所求椭圆的标准方程为=1(a>b>0),焦点F1(-c,0),F2(c,0)(c>0).
∵F1A⊥F2A,∴=0,
而=(-4+c,3),=(-4-c,3),
∴(-4+c)·(-4-c)+32=0,∴c2=25,即c=5.
∴F1(-5,0),F2(5,0).
∴2a=|AF1|+|AF2|
=
=
=4.
∴a=2,
∴b2=a2-c2=(2)2-52=15.
∴所求椭圆的标准方程为=1.
10.已知点A,B是圆F:+y2=4(F为圆心)上一动点,线段AB的垂直平分线交BF于点P,求动点P的轨迹方程.
解:如图所示,由题意知,
|PA|=|PB|,|PF|+|BP|=2,
∴|PA|+|PF|=2,
且|PA|+|PF|>|AF|,
∴动点P的轨迹是以A,F为焦点的椭圆,∴a=1,c=,b2=.
∴动点P的轨迹方程为x2+=1,即x2+y2=1.
B组
1.椭圆5x2+6y2=30的焦点坐标为( )
A.(-3,0),(3,0) B.(0,-3),(0,3)
C.(-1,0),(1,0) D.(0,-1),(0,1)
解析:根据题意,椭圆5x2+6y2=30的标准方程为=1,其中a=,b=,且其焦点在x轴上,则c==1,故椭圆的焦点坐标为(-1,0),(1,0).
答案:C
2.若α∈,关于x,y的方程x2sin α+y2cos α=1表示焦点在y轴上的椭圆,则α的取值范围是( )
A. B. C. D.
解析:易知sin α≠0,cos α≠0,方程x2sin α+y2cos α=1可化为=1.因为椭圆的焦点在y轴上,所以>0,即sin α>cos α>0.又α∈,所以<α<.
答案:A
3.已知椭圆=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,若|PF1|=4,则∠F1PF2= .
解析:由题意,得a2=9,∴a=3,c2=a2-b2=9-2=7,
∴c=,∴|F1F2|=2.
∵|PF1|=4,∴|PF2|=2a-|PF1|=2.
∴cos∠F1PF2==-,∴∠F1PF2=120°.
答案:120°
4.已知P是椭圆=1上的一动点,F1,F2是椭圆的左、右焦点,延长F1P到Q,使得|PQ|=|PF2|,则动点Q的轨迹方程是 .
解析:如图,依题意,|PF1|+|PF2|=2a(a是常数,且a>0).
∵|PQ|=|PF2|,∴|PF1|+|PQ|=2a,即|QF1|=2a.
由题意知,a=2,b=,c==1.
∴|QF1|=4,F1(-1,0),
∴动点Q的轨迹是以F1为圆心,4为半径的圆,
∴动点Q的轨迹方程是(x+1)2+y2=16.
答案:(x+1)2+y2=16
5.设椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2的直线与椭圆C相交于A,B两点(如图),∠F1F2B=,△F1F2A的面积是△F1F2B面积的2倍.若|AB|=,求椭圆C的方程.
解:由题意可得=2,则|F2A|=2|F2B|.
由椭圆的定义得|F1B|+|F2B|=|F1A|+|F2A|=2a,
设|F2A|=2|F2B|=2m,
在△F1F2B中,由余弦定理得(2a-m)2=4c2+
m2-2·2c·m·cos m=.
在△F1F2A中,同理可得m=,
故,解得2a=3c,
可得m=,|AB|=3m=,c=4.
由,得a=6,b2=20,
故椭圆C的方程为=1.
6.设P(x,y)是椭圆=1上的点且点P的纵坐标y≠0,点A(-5,0),B(5,0),试判断kPA·kPB是否为定值 若是定值,求出该定值;若不是定值,请说明理由.
解:∵点P在椭圆=1上,
∴y2=16×=16×.①
∵点P的纵坐标y≠0,∴x≠±5.
∴kPA=,kPB=.
∴kPA·kPB=,②
将①代入②得,kAP·kPB==-.
∴kPA·kPB为定值,这个定值是-.
