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3.2.1 双曲线及其标准方程
第三章
3.2
2022
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.了解双曲线的定义.
2.了解双曲线的几何图形和标准方程.
3.能利用双曲线的定义和待定系数法求双曲线的标准方程.
4.培养数学抽象、直观想象、逻辑推理与数学运算素养.
自主预习 新知导学
一、双曲线的定义
【问题思考】
1.取一条拉链,拉开它的一部分,在拉开的两边上各选择一点,分别固定在点F1,F2处,把笔尖放于点M处,拉开闭拢的拉链,笔尖经过的点可画出一条曲线,思考曲线满足什么条件
提示:如题图,曲线上的点满足条件:
|MF1|-|MF2|=常数;
如果改变一下位置,
使|MF2|-|MF1|=常数,可得到另一条曲线.
2.填表:双曲线的定义
3.做一做:若动点P(x,y)到点A(-3,0),B(3,0)的距离之差为4,则点P的轨迹是( )
A.双曲线
B.双曲线的一支
C.一条直线
D.一条射线
解析:由题意知,|PA|-|PB|=4<|AB|,故点P的轨迹是双曲线的一支.
答案:B
二、双曲线的标准方程
【问题思考】
1.能否用推导椭圆标准方程的方法推出双曲线的方程 怎样推导
提示:能.
(1)建系:以经过两焦点F1和F2的直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系.
(2)设点:设M(x,y)是双曲线上任意一点,双曲线的焦距为2c(c>0),那么双曲线的焦点F1,F2的坐标分别是(-c,0),(c,0).
(3)列式:由|MF1|-|MF2|=±2a,
2.类比焦点在y轴上的椭圆的标准方程,焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么 如何通过方程区分焦点所在的坐标轴
提示:焦点在y轴上的双曲线的标准方程为 (a>0,b>0).双曲线的标准方程中,x2与y2的系数的符号决定了焦点所在的坐标轴:当x2的系数为正时,焦点在x轴上;当y2的系数为正时,焦点在y轴上,而与分母的大小无关.
3.填表:双曲线的标准方程
答案:D
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)在双曲线的标准方程中,a,b,c之间的关系与椭圆中a,b,c之间的关系相同.( × )
(2)已知点A(1,0),B(-1,0),若|AC|-|BC|=2,则点C的轨迹是双曲线.( × )
(5)方程mx2+ny2=1(mn<0)表示的曲线为双曲线.( √ )
合作探究 释疑解惑
探究一
求双曲线的标准方程
分析:可先设出双曲线的标准方程,再构造关于a,b的方程组,求得a,b,从而求得双曲线的标准方程.注意对平方关系c2=a2+b2的运用.
反思感悟 1.求双曲线标准方程的步骤
(1)确定双曲线的类型,并设出标准方程;
(2)求出a2,b2的值.
2.当双曲线的焦点所在坐标轴不确定时,需分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论.特别地,当已知双曲线经过两个点时,可设双曲线方程为Ax2+By2=1(AB<0)来求解.
【变式训练1】 (1)已知双曲线过M(1,1),N(-2,5)两点,求双曲线的标准方程;
解:(1)设双曲线的方程为Ax2+By2=1(AB<0).
∵双曲线过点M(1,1),N(-2,5),
探究二
双曲线的定义及其应用
(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16,求点M到另一个焦点的距离;
(2)若点P是双曲线上的一点,且∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面积.
分析:(1)直接利用定义求解.
(2)在△F1PF2中利用余弦定理求|PF1|·|PF2|.
解:(1)设|MF1|=16,根据双曲线的定义知||MF2|-16|=6,即|MF2|-16=±6.
解得|MF2|=10或|MF2|=22.即点M到另一个焦点的距离为10或22.
由定义和余弦定理得|PF1|-|PF2|=±6,
|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos 60°,
∴102=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|,
∴|PF1|·|PF2|=64,
反思感悟 求双曲线中的焦点三角形(△PF1F2)面积的方法
(1)①根据双曲线的定义求出||PF1|-|PF2||=2a;②利用余弦定理表示出|PF1|,|PF2|,|F1F2|之间满足的关系式;③通过配方、整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值;④利用公式 ×|PF1|·|PF2|·sin ∠F1PF2求得面积.
【变式训练2】 (1)已知双曲线的方程是 ,点P在双曲线上,且到其中一个焦点F1的距离为10,点N是PF1的中点,O为坐标原点,则|ON|= .
解析:(1)因为ON是△PF1F2的中位线,
探究三
与双曲线有关的轨迹方程
【例3】 如图所示,在△ABC中,已知|AB|=4 ,且三个内角A,B,C满足2sin A+sin C=2sin B,建立适当的坐标系,求顶点C的轨迹方程.
分析:建立平面直角坐标系→由已知条件得到边长的关系→判断轨迹的形状→写出轨迹方程
解:以AB边所在的直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴,
建立平面直角坐标系,如图所示,
反思感悟 求与双曲线有关的点的轨迹问题的方法
(1)列出等量关系,化简得到方程.
(2)寻找几何关系,由双曲线的定义,得出对应的方程.
提醒:①确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴.
②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支.
【变式训练3】 已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,求动圆圆心M的轨迹方程.
解:如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B,根据两圆外切的条件,得|MC1|=|AC1|+|MA|,|MC2|=|BC2|+|MB|.
∵|MA|=|MB|,
∴|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=3-1=2.
这表明动点M与两定点C2,C1的距离的差是常数2,且2<| C1C2|.
根据双曲线的定义,动点M的轨迹为双曲线的左支,
则2a=2,a=1,c=3,∴b2=c2-a2=8.
【易错辨析】
对双曲线的概念理解不清致误
【典例】 设F1,F2是双曲线 的焦点,点P在双曲线上,若点P到焦点F1的距离等于9,求点P到焦点F2的距离.
错解:错解一:双曲线的实轴长为8,由|PF1|-|PF2|=8,
即9-|PF2|=8,得|PF2|=1.
错解二:双曲线的实轴长为8,由双曲线的定义得||PF1|-|PF2||=8,
所以|9-|PF2||=8,所以|PF2|=1或17.
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:错解一是对双曲线的定义中的差的绝对值掌握不够,是概念性的错误.错解二没有验证两解是否符合题意,忽略了|PF2|≥c-a这一条件,而得出错误的结论|PF2|=1或17.
正解:双曲线的实轴长为8,由双曲线的定义得||PF1|-|PF2||=8,
所以|9-|PF2||=8,所以|PF2|=1或17.
因为|F1F2|=12,当|PF2|=1时,|PF1|+|PF2|=10<|F1F2|,
不符合公理“两点之间线段最短”,应舍去.
所以|PF2|=17.
防范措施 1.双曲线的定义是到两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|).
2.注意双曲线的一个隐含条件:双曲线的一个顶点到另一分支上的点的最小距离是2a,到一个焦点的距离是c-a,到另一个焦点的距离是a+c,故本题还得满足|PF2|≥c-a这一条件.
【变式训练】 已知P是双曲线 上一点,F1,F2是双曲线的两个焦点,且|PF1|=17,则|PF2|= .
由P是双曲线上的一点,得||PF1|-|PF2||=16,
解得|PF2|=1或|PF2|=33.
又|PF2|≥c-a=2,故|PF2|=33.
答案:33
随堂练习
1.若动点P到点M(1,0)的距离与点N(3,0)的距离之差为2,则点P的轨迹是( )
A.双曲线 B.双曲线的一支
C.两条射线 D.一条射线
解析:由已知|PM|-|PN|=2=|MN|,故点P的轨迹是一条以N为端点的射线NP.
答案:D
2.若双曲线E: =1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线E上,且|PF1|=3,则|PF2|等于( )
A.11 B.9
C.5 D.3
解析:由题意知||PF2|-3|=6,即|PF2|-3=±6,解得|PF2|=9或|PF2|=-3(舍去).
答案:B
答案:C
解析:由题意知,(1+k)(1-k)>0,即-1答案:(-1,1)
5.已知定点A(3,0)和定圆C:(x+3)2+y2=16,动圆和圆C相外切,并且过点A,求动圆圆心P的轨迹方程.
解:设动圆半径为r,则由已知|PA|=r,|PC|=r+4,
∴|PC|=|PA|+4,即|PC|-|PA|=4.
∵C(-3,0),A(3,0),
∴|AC|=6,∴4<|AC|.
∴点P的轨迹是以A,C为焦点的双曲线的右支.
∵a=2,c=3,∴b2=c2-a2=5.
本 课 结 束3.2 双曲线
3.2.1 双曲线及其标准方程
课后训练巩固提升
A组
1.已知平面内有两个定点F1(-5,0)和F2(5,0),动点P满足|PF1|-|PF2|=6,则动点P的轨迹方程是( )
A.=1(x≤-4) B.=1(x≤-3)
C.=1(x≥4) D.=1(x≥3)
解析:由已知动点P的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线的右支,且a=3,c=5,b2=c2-a2=16,故所求轨迹方程为=1(x≥3).
答案:D
2.已知双曲线=1上的点P到点(5,0)的距离为15,则点P到点(-5,0)的距离为( )
A.7 B.23 C.5或25 D.7或23
解析:设F1(-5,0),F2(5,0),
则由双曲线的定义知,||PF1|-|PF2||=2a=8,
而|PF2|=15,解得|PF1|=7或23.
答案:D
3.已知双曲线的中心在原点,两个焦点F1,F2的坐标分别为(,0)和(-,0),点P在双曲线上,且PF1⊥PF2,△PF1F2的面积为1,则双曲线的方程为( )
A.=1 B.=1
C.-y2=1 D.x2-=1
解析:由
得(|PF1|-|PF2|)2=16,
即2a=4,解得a=2,又c=,
则b=1,故选C.
答案:C
4.已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°,则|PF1|·|PF2|等于( )
A.2 B.4
C.6 D.8
解析:在△PF1F2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos 60°=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|,即(2)2=22+|PF1|·|PF2|,解得|PF1|·|PF2|=4.
答案:B
5.(多选题)已知关于x,y的方程=1表示的曲线为E.给出以下四个判断,其中判断正确的是( )
A.当1B.当t>4或t<1时,曲线E为双曲线
C.若曲线E为焦点在x轴上的椭圆,则1D.若曲线E为焦点在y轴上的双曲线,则t>4
解析:A错误,当t=时,曲线E为圆;B正确,若E为双曲线,则(4-t)(t-1)<0,解得t<1或t>4;C正确,若曲线E为焦点在x轴上的椭圆,则4-t>t-1>0,解得14.
答案:BCD
6.若双曲线8kx2-ky2=8的一个焦点坐标是(0,3),则实数k= .
解析:8kx2-ky2=8化为标准方程为=1.
∵双曲线的焦点在y轴上,∴<0,即k<0,
∴c2=-=9,∴k=-1.
答案:-1
7.设F1,F2是双曲线x2-=1的两个焦点,P是双曲线上一点,且3|PF1|=4|PF2|,则△PF1F2的面积等于 .
解析:双曲线的实轴长为2,焦距为|F1F2|=2×5=10.
由题意,知|PF1|-|PF2|=|PF2|-|PF2|=|PF2|=2,∴|PF2|=6,|PF1|=8,∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,∴PF1⊥PF2,∴|PF1|·|PF2|=×6×8=24.
答案:24
8.已知一动圆过定点A(-4,0),且与定圆B:(x-4)2+y2=16相外切,则动圆圆心的轨迹方程为 .
解析:设动圆圆心为P,由题意知|PB|=|PA|+4,即|PB|-|PA|=4<|AB|,则动圆圆心P的轨迹是以点A,B为焦点的双曲线的左支.又a=2,c=4,则b2=12,
故动圆圆心的轨迹方程为=1(x≤-2).
答案:=1(x≤-2)
9.求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1)a=2,经过点A(2,-5),焦点在y轴上;
(2)与椭圆=1有共同的焦点,它们的一个交点的纵坐标为4.
解:(1)因为双曲线的焦点在y轴上,所以可设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0).
由题设知,a=2,且点A(2,-5)在双曲线上,
所以解得
故所求双曲线的标准方程为=1.
(2)椭圆=1的两个焦点为F1(0,-3),F2(0,3),
双曲线与椭圆的一个交点为(,4)(或(-,4)).
设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),
则解得
故所求双曲线的标准方程为=1.
10.设圆C与两圆(x+)2+y2=4,(x-)2+y2=4中的一个内切,另一个外切,求C的圆心轨迹L的方程.
解:依题意得两圆的圆心分别为F1(-,0),F2(,0),
从而可得|CF1|+2=|CF2|-2或|CF2|+2=|CF1|-2,故||CF2|-|CF1||=4<|F1F2|=2.
∴圆心C的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线,且2a=4,2c=2.
∴a=2,c=,
∴b2=c2-a2=1.
∴C的圆心轨迹L的方程为-y2=1.
B组
1.设θ∈,则关于x,y的方程=1所表示的曲线是( )
A.焦点在y轴上的双曲线 B.焦点在x轴上的双曲线
C.焦点在y轴上的椭圆 D.焦点在x轴上的椭圆
解析:由题意,知=1,因为θ∈,所以sin θ>0,-cos θ>0,则方程表示焦点在x轴上的双曲线.故选B.
答案:B
2.若F1,F2是双曲线8x2-y2=8的两焦点,点P在该双曲线上,且△PF1F2是等腰三角形,则△PF1F2的周长为( )
A.17 B.16
C.20 D.16或20
解析:双曲线8x2-y2=8可化为标准方程x2-=1,故a=1,c=3,|F1F2|=2c=6.由双曲线的对称性,不妨设点P在双曲线的右支上,因为△PF1F2是等腰三角形,所以|PF1|=|F1F2|=6或|PF2|=|F1F2|=6.当|PF1|=6时,根据双曲线的定义有|PF2|=|PF1|-2a=6-2=4,所以△PF1F2的周长为6+6+4=16;同理当|PF2|=6时,△PF1F2的周长为6+6+8=20.
答案:D
3.已知△ABC的顶点为A(-5,0),B(5,0),△ABC的内切圆圆心在直线x=3上,则顶点C的轨迹方程是( )
A.=1 B.=1
C.=1(x>3) D.=1(x>4)
解析:由条件可得圆与x轴的切点为T(3,0),由相切的性质得|CA|-|CB|=|TA|-|TB|=8-2=6,因此点C的轨迹是以A,B为焦点的双曲线的右支.
∵2a=6,2c=10,∴a=3,b=4,
∴所求的双曲线方程为=1(x>3).
答案:C
4.如图所示,F1,F2是椭圆C1:+y2=1与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、第四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形,则C2的方程是 .
解析:设双曲线C2的方程为=1(a>0,b>0).
由椭圆与双曲线的定义可知,|AF2|+|AF1|=4,|AF2|-|AF1|=2a,
∴|AF2|=a+2,|AF1|=2-a.
∵四边形AF1BF2是矩形,
∴|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2=(2)2,
∴(2-a)2+(a+2)2=12,解得a=,
则b2=c2-a2=3-2=1,
故双曲线C2的方程是-y2=1.
答案:-y2=1
5.已知F是双曲线=1的左焦点,点A(1,4),P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为 .
解析:设右焦点为F',依题意,|PF|=|PF'|+4,
故|PF|+|PA|=|PF'|+4+|PA|=|PF'|+|PA|+4≥|AF'|+4=5+4=9.
答案:9
6.已知双曲线=1的左焦点为F,点P为双曲线右支上的一点,且PF与圆x2+y2=16相切于点N,M为线段PF的中点,O为坐标原点,则|MN|-|MO|= .
解析:设F'是双曲线的右焦点,连接PF'(图略).因为M,O分别是FP,FF'的中点,所以|MO|=|PF'|,又|FN|==5,由双曲线的定义知|PF|-|PF'|=8,故|MN|-|MO|=|MF|-|FN|-|PF'|=(|PF|-|PF'|)-|FN|=×8-5=-1.
答案:-1
7.如图,已知双曲线=1(a>0,b>0)中,半焦距c=2a,F1,F2为左、右焦点,P为双曲线上的点,∠F1PF2=60°,=12,求双曲线的标准方程.
解:由题意,由于||PF1|-|PF2||=2a,
在△F1PF2中,由余弦定理,得
cos 60°==,
∴|PF1||PF2|=4(c2-a2)=4b2.
∴|PF1||PF2|sin 60°=2b2×b2.
∴b2=12,b2=12.
由c=2a,c2=a2+b2,得a2=4.
∴双曲线的标准方程为=1.
8.某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告:正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响,正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4 s.已知各观测点到该中心的距离都是1 020 m,试确定该巨响发生的位置(假定当时声音传播的速度为340 m/s,相关各点均在同一平面上).
解:以接报中心为原点O,正东、正北方向分别为x轴、y轴正方向,建立平面直角坐标系(图略).
设A,B,C分别是正西、正东、正北观测点,
则A(-1 020,0),B(1 020,0),C(0,1 020).
设P(x,y)为巨响产生点,由A,C同时听到巨响声,得|PA|=|PC|,故P在AC的垂直平分线PO上,PO的方程为y=-x.
∵点B比点A晚4 s听到巨响声,
∴|PB|-|PA|=340×4=1 360.
由双曲线的定义,知点P(x,y)在以A,B为焦点的双曲线=1的左支上,
∴x<0.
依题意,得a=680,c=1 020,
∴b2=c2-a2=1 0202-6802=5×3402,
故双曲线的方程为=1.
将y=-x代入上式,得x=-680或x=680(舍去),
∴y=680,
即P(-680,680),故|PO|=680.
∴巨响发生在接报中心的北偏西45°方向,且距接报中心680 m处.
