(共38张PPT)
3.3.2 抛物线的简单几何性质
第三章
3.3
2022
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.了解抛物线的简单几何性质.
2.能利用性质解决与抛物线有关的问题.
3.能利用方程与数形结合思想解决焦点弦问题.
4.培养直观想象、逻辑推理与数学运算素养.
自主预习 新知导学
一、抛物线的简单几何性质
【问题思考】
1.我们知道二次函数y=x2是抛物线的一种标准方程,有定义域、值域,其图象有对称轴、顶点坐标,那么你能写出抛物线y2=2px(p>0)的对称轴、顶点坐标、图象上的点的横、纵坐标满足的范围吗
提示:抛物线y2=2px(p>0)的对称轴为x轴,顶点坐标为原点,x≥0,y∈R.
2.填表:抛物线的几何性质
3.做一做:顶点在原点,对称轴为y轴,顶点到准线的距离为4的抛物线方程是( )
A.x2=16y B.x2=8y
C.x2=±8y D.x2=±16y
解析:顶点在原点,对称轴为y轴的抛物线方程有两个:x2=-2py,x2=2py (p>0).由顶点到准线的距离为4知p=8,故所求抛物线方程为x2=16y,x2=-16y.
答案:D
二、过焦点的弦长公式
【问题思考】
1.若斜率为k的直线l经过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,你能想到哪些求弦长|AB|的方法
提示:(方法一)利用两点间的距离公式;
2.填空:焦点弦
3.做一做:过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若x1+x2=6,则|AB|等于( )
A.10 B.8
C.6 D.4
解析:|AB|=x1+x2+p=6+2=8.
答案:B
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)抛物线关于顶点对称.( × )
(2)抛物线只有一个焦点,一条对称轴,无对称中心.( √ )
(3)抛物线的标准方程虽然各不相同,但是其离心率都相同.( √ )
(4)抛物线是双曲线的一支,也有渐近线.( × )
合作探究 释疑解惑
探究一
由抛物线的几何性质求其标准方程
【例1】 (1)已知抛物线的顶点在原点,对称轴重合于椭圆9x2+4y2=36短轴所在的直线,抛物线焦点到顶点的距离为3,则抛物线的方程为 .
(2)已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为x轴且与圆x2+y2=4相交的公共弦长等于2 ,则抛物线的方程为 .
分析:(1)利用几何性质确定抛物线方程;
(2)因为圆和抛物线都关于x轴对称,所以它们的交点也关于x轴对称,即公共弦被x轴垂直平分,于是由弦长等于2 ,可知交点纵坐标为± .
故抛物线的对称轴为x轴.
所以设抛物线的方程为y2=2px或y2=-2px(p>0).
所以p=6.
则抛物线的标准方程为y2=12x或y2=-12x.
(2)根据抛物线和圆的对称性知,其交点纵坐标为± ,交点横坐标为±1,则抛物线过点(1, )或(-1, ),设抛物线方程为y2=2px或y2=-2px(p>0),则2p=3,从而抛物线方程为y2=3x或y2=-3x.
答案:(1)y2=12x或y2=-12x (2)y2=3x或y2=-3x
反思感悟 抛物线各元素间的关系:
抛物线的焦点始终在对称轴上,顶点就是抛物线与对称轴的交点,准线始终与对称轴垂直,准线与对称轴的交点和焦点关于顶点对称,顶点到焦点的距离等于顶点到准线的距离,为 .
【变式训练1】 已知圆x2+y2-6x-7=0与抛物线y2=2px(p>0)的准线相切,则p=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
故p=2.
答案:B
探究二
抛物线的几何性质的应用
【例2】 已知A,B是抛物线y2=2px(p>0)上两点,O为坐标原点,若|OA|=|OB|,且△ABO的垂心恰是此抛物线的焦点F,求直线AB的方程.
分析:先由抛物线的对称性设出A,B两点的坐标,再利用垂直和点A,B在抛物线上求解.
∵抛物线关于x轴对称,|OA|=|OB|,
∴△ABO为等腰三角形.∴A,B两点关于x轴对称.
设A(x0,y0),则B(x0,-y0),
∵△ABO的垂心恰为抛物线的焦点,∴BF⊥OA.
本例题若把“垂心”改为“重心”,其他条件不变,AB的方程如何
解:因为抛物线关于x轴对称,|OA|=|OB|,所以A, B两点关于x轴对称.
反思感悟 利用抛物线的性质可以解决的问题
(1)对称性:解决抛物线的内接三角形问题.
(2)焦点、准线:解决与抛物线的定义有关的问题.
(3)范围:解决与抛物线有关的最值问题.
(4)焦点:解决焦点弦问题.
【变式训练2】 已知抛物线的焦点F在x轴上,直线l过点F且垂直于x轴,l与抛物线交于A,B两点,O为坐标原点,若△OAB的面积等于4,求此抛物线的标准方程.
探究三
抛物线中过焦点的弦长问题
【例3】 如图,斜率为 的直线l经过抛物线y2=2px的焦点F(1,0),且与抛物线相交于A,B两点.
(1)求该抛物线的标准方程和准线方程;
(2)求线段AB的长.
分析:(1)由抛物线的焦点坐标得p的值,求出抛物线方程及其准线方程.(2)由过焦点的直线方程与抛物线方程联立,利用焦点弦长公式可解.
反思感悟 对于抛物线的焦点弦,应熟悉一些常见的结论,并可直接应用于选择题和填空题的解答,如设AB是过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的一条弦,A(x1,y1),B(x2,y2)(A,B点为直线与抛物线的交点),则有:
(1)y1y2=-p2;
【变式训练3】 抛物线的顶点在原点,以x轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8,试求抛物线的方程.
解:如图,依题意可设抛物线方程为y2=2px(p>0),
即x1+x2+p=8.①
又A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线和直线的交点,
∴x1+x2=3p,将其代入①得p=2,
∴所求抛物线方程为y2=4x.
当抛物线方程设为y2=-2px(p>0)时,
同理可求得抛物线方程为y2=-4x.
故抛物线方程为y2=4x或y2=-4x.
【思想方法】
函数思想与数形结合思想在抛物线最值中的应用
【典例】 如图,已知直线l:y=2x-4交抛物线y2=4x于A,B两点,试在抛物线AOB这段曲线上求一点P,使△PAB的面积最大,并求出这个最大面积.
审题视角:通过联立方程组求得A,B的坐标,从而可得|AB|的大小;设出点P坐标,利用点到直线的距离公式表示出AB边上的高,从而表示出△PAB的面积;考虑点P坐标变量的范围求得函数的最大值即可.
方法点睛 1.解决本题的关键是弦AB的长度为定值,于是△PAB的面积最大转化为点P到直线AB的距离最大.
2.处理点P到直线AB的距离最大,有两种思路:一是利用函数思想,设出点P的坐标转化为二次函数问题;二是利用数形结合思想,平移直线AB与抛物线相切问题.
3.在应用二次函数配方法求最值时,一定要注意自变量的取值范围.
【变式训练】 求抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0的最小距离.
解法一:设A(t,-t2)为抛物线上的点,
则点A到直线4x+3y-8=0的距离
解法二:如图,设与直线4x+3y-8=0平行的抛物线的切线方程为4x+3y+m=0(m≠-8),
随堂练习
∴p=3,且抛物线开口向右,
∴抛物线的标准方程为y2=6x.
答案:C
答案:A
3.过抛物线y2=8x的焦点作倾斜角为45°的直线,则被抛物线截得的弦长为( )
A.8 B.16
C.32 D.61
解析:由抛物线y2=8x的焦点坐标为(2,0),得直线的方程为y=x-2.
代入y2=8x,得(x-2)2=8x,
即x2-12x+4=0.
∴x1+x2=12,弦长等于x1+x2+p=12+4=16.
答案:B
4.抛物线y2=x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为 .
5.已知抛物线y2=4x截直线y=2x+m所得弦长|AB|=3 ,求m的值.
本 课 结 束3.3.2 抛物线的简单几何性质
课后训练巩固提升
A组
1.已知抛物线的对称轴为x轴,顶点在原点,焦点在直线2x-4y+11=0上,则此抛物线的方程是( )
A.y2=-11x B.y2=11x
C.y2=22x D.y2=-22x
解析:在方程2x-4y+11=0中,令y=0得x=-,
∴抛物线的焦点为F,即,
∴p=11,
∴抛物线的方程是y2=-22x,故选D.
答案:D
2.已知边长为1的等边三角形AOB,O为坐标原点,AB⊥x轴,以O为顶点且过A,B的抛物线方程是( )
A.y2=x B.y2=-x
C.y2=±x D.y2=±x
解析:设抛物线方程为y2=ax(a≠0).又A(取点A在x轴上方),则有=±a,解得a=±,故抛物线方程为y2=±x.选C.
答案:C
3.过抛物线x2=4y的焦点F作直线交抛物线于P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点,若y1+y2=6,则|P1P2|的值为( )
A.5 B.6 C.8 D.10
解析:抛物线x2=4y的准线为y=-1,因为P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点是过抛物线焦点的直线与抛物线的交点,所以P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点到准线的距离分别是y1+1,y2+1,所以|P1P2|的值为y1+y2+2=8.
答案:C
4.设抛物线的焦点到顶点的距离为3,则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是( )
A.(6,+∞) B.[6,+∞) C.(3,+∞) D.[3,+∞)
解析:∵抛物线的焦点到顶点的距离为3,∴=3,即p=6.又抛物线上的点到准线的距离的最小值为,∴抛物线上的点到准线的距离的取值范围为[3,+∞).
答案:D
5.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的长为8,则p= .
解析:设A(x1,y1),B(x2,y2).直线y=x-,故消去y,得x2-3px+=0,
∵|AB|=8=x1+x2+p,∴4p=8,p=2.
答案:2
6.设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足,如果直线AF的斜率为-,那么|PF|= .
解析:设准线交x轴于点B,O为坐标原点,依题意kAF=-,则∠AFO=60°.因为|BF|=4,所以|AB|=4,则点P的纵坐标为4,所以(4)2=8xP,得xP=6,即点P的横坐标为6,所以|PF|=|PA|=8.
答案:8
7.已知抛物线y2=2x,直线l的方程为x-y+3=0,点P是抛物线上的一个动点,则点P到直线l的最短距离为 ,此时点P的坐标为 .
解析:设点P(x0,y0)是y2=2x上任一点,则点P到直线x-y+3=0的距离为d=,当y0=1时,dmin=,此时x0=,故点P的坐标为.
答案:
8.若抛物线的顶点在原点,开口向上,F为焦点,M为准线与y轴的交点,A为抛物线上一点,且|AM|=,|AF|=3,求此抛物线的标准方程.
解:设所求抛物线的标准方程为x2=2py(p>0),
设A(x0,y0),由题知M.
∵|AF|=3,∴y0+=3,
∵|AM|=,∴=17,
∴=8,代入方程=2py0,得8=2p,解得p=2或p=4.
∴所求抛物线的标准方程为x2=4y或x2=8y.
9.设O为坐标原点,F为抛物线y2=4x的焦点,A为抛物线上一点,若=-4,求点A的坐标.
解:由y2=4x,知F(1,0).
∵点A在y2=4x上,∴不妨设A,
则.
代入=-4中,得+y(-y)=-4,
化简得y4+12y2-64=0.
∴y2=4或y2=-16(舍去),y=±2.
∴点A的坐标为(1,2)或(1,-2).
B组
1.已知抛物线y2=4x的焦点为F,点P为抛物线上的动点,点M为其准线上的动点,当△FPM为等边三角形时,其面积为( )
A.2 B.4
C.6 D.4
解析:由题意知,△FPM为等边三角形,|PF|=|PM|=|FM|,故PM垂直于抛物线的准线.设P,则M(-1,m),等边三角形FPM的边长为1+,又由F(1,0),|PM|=|FM|,得1+,得m=±2,故等边三角形FPM的边长为4,其面积为4,故选D.
答案:D
2.如图,已知点Q(2,0)及抛物线y=上的动点P(x,y),则y+|PQ|的最小值是( )
A.2 B.3 C.4 D.2
解析:如图,过点P作PM垂直抛物线的准线于点M,
则由抛物线的定义,可知y+|PQ|=|PM|-1+|PQ|=|PF|+|PQ|-1,当且仅当P,F,Q三点共线时,|PF|+|PQ|最小,由F(0,1),Q(2,0),得最小值为|QF|==3.
故y+|PQ|的最小值为3-1=2.
答案:A
3.设P是抛物线y2=4x上的任意一点,A(3,0),则|PA|的最小值为 .
解析:设P的坐标为(x,y),则y2=4x,x≥0,
|PA|2=(x-3)2+y2=x2-6x+9+4x=x2-2x+9=(x-1)2+8.
当x=1时,|PA|最小为2.
答案:2
4.设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.已知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC=120°,则圆的方程为 .
解析:由y2=4x可得点F的坐标为(1,0),准线l的方程为x=-1.
由圆心C在l上,且圆C与y轴正半轴相切(如图),
可得点C的横坐标为-1,圆的半径为1,∠CAO=90°.
又因为∠FAC=120°,
所以∠OAF=30°,
所以|OA|=,
所以点C的纵坐标为.
所以圆的方程为(x+1)2+(y-)2=1.
答案:(x+1)2+(y-)2=1
5.已知点A(2,0),B(4,0),动点P在抛物线y2=-4x上运动,则取得最小值时的点P的坐标是 .
解析:设P(x0,y0),则=(x0-2,y0),=(x0-4,y0),所以=(x0-2)(x0-4)+.
又=-4x0,
所以-10x0+8=(x0-5)2-17.
因为x0≤0,所以当x0=0时,取得最小值.
此时点P的坐标为(0,0).
答案:(0,0)
6.若长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=2x上移动,M为AB的中点,求点M到y轴的最短距离.
解:设抛物线的焦点为F,连接AF,BF,如图,
抛物线y2=2x的准线为l:x=-,过点A,B,M分别作AA',BB',MM'垂直于l,垂足分别为点A',B',M'.
由抛物线定义,知|AA'|=|FA|,|BB'|=|FB|.
又M为AB的中点,由梯形中位线定理,得|MM'|=(|AA'|+|BB'|)=(|FA|+|FB|)≥|AB|=×3=,则x≥=1(x为点M的横坐标,当且仅当AB过抛物线的焦点时取得等号),
所以xmin=1,即点M到y轴的最短距离为1.
7.已知直线l经过抛物线y2=4x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点.
(1)若|AF|=4,求点A的坐标;
(2)求线段AB的长的最小值.
解:由y2=4x,得p=2,其准线方程为x=-1,
焦点F(1,0).设A(x1,y1),B(x2,y2).
(1)由抛物线的定义可知,|AF|=x1+,
从而x1=4-1=3.代入y2=4x,
解得y1=±2.
故点A的坐标为(3,2)或(3,-2).
(2)当直线l的斜率存在时,
设直线l的方程为y=k(x-1).
与抛物线方程联立,得
消去y,整理得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.
∵直线与抛物线相交于A,B两点,
∴k≠0,∴x1+x2=2+ .
由抛物线的定义可知,|AB|=x1+x2+p=4+>4.
当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=1,与抛物线相交于A(1,2),B(1,-2),此时|AB|=4,
∴|AB|≥4,即线段AB的长的最小值为4.
