(共46张PPT)
第1课时 椭圆的简单几何性质
第三章
3.1.2
2022
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.掌握椭圆的简单几何性质.
2.了解离心率对椭圆扁平程度的影响.
3.掌握椭圆标准方程中的a,b以及c,e的几何意义,a,b,c,e之间的相互关系.
4.培养直观想象、数学抽象、逻辑推理与数学运算素养.
自主预习 新知导学
一、椭圆的简单几何性质
【问题思考】
(1)通过观察图象,你发现椭圆C1和椭圆C2上的点的坐标的范围是怎样的
提示:椭圆C1上的点:-5≤x≤5,-4≤y≤4.椭圆C2上的点:-4≤x≤4,-5≤y≤5.
(2)在椭圆C1和椭圆C2的标准方程中,以-y代y,方程有什么变化 以-x代x,方程又有什么变化 以-x代x,以-y代y,方程又有什么变化 这说明椭圆有什么性质
提示:以-y代y,方程不变;以-x代x,方程也不变;以-x代x,以-y代y,方程也不变.说明椭圆关于y轴对称,也关于x轴、原点对称.
(3)观察图①②,椭圆C1和椭圆C2与x轴和y轴分别有几个交点 交点坐标分别是什么
提示:椭圆C1与x轴有2个交点,坐标为(-5,0)和(5,0),与y轴有2个交点,坐标为(0,-4),(0,4);椭圆C2与x轴有2个交点,坐标为(-4,0)和(4,0),与y轴有2个交点,坐标为(0,-5),(0,5).
2.填表:椭圆的几何性质
3.做一做:(1)椭圆6x2+y2=6的长轴的端点坐标是( )
(2)因为a=5,所以-5≤m≤5.
答案:(1)D (2)[-5,5]
二、离心率
【问题思考】
3.填空:离心率
(1)定义:椭圆的焦距与长轴长的比 称为椭圆的离心率.
(2)性质:
①
②形象记忆:0
4.做一做:若直线x+2y-2=0经过椭圆 (a>b>0)的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的离心率e= .
解析:由题意知椭圆焦点在x轴上,在x+2y-2=0中,令y=0得x=2,从而得c=2;
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a-c.( √ )
(3)椭圆的离心率e越小,椭圆越扁平.( × )
(4)若一个矩形的四个顶点都在椭圆上,则这四个顶点关于椭圆的中心对称.( √ )
合作探究 释疑解惑
探究一
由椭圆的方程研究其几何性质
【例1】 设椭圆mx2+4y2=4m(m>4)的离心率为 ,试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标.
分析:先将椭圆方程化为标准形式,用m表示出a,b,c,再由e= 求出m的值,然后求2a,2b、焦点坐标、顶点坐标.
反思感悟 用标准方程研究几何性质的步骤:
(1)将椭圆方程化为标准形式;
(2)确定焦点位置;(焦点位置不确定的要分类讨论)
(3)求出a,b,c;
(4)写出椭圆的几何性质.
提醒:长轴长、短轴长、焦距不是a,b,c,而应是2a,2b,2c.
【变式训练1】 已知椭圆x2+my2=1的离心率为 ,求m的值及椭圆的长轴长.
探究二
由椭圆的几何性质求其标准方程
【例2】 求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)长轴长是短轴长的5倍,且过点A(5,0);
(2)离心率e= ,焦距为12.
分析:焦点位置不确定,分两种情况利用待定系数法求解.
反思感悟 根据几何性质求椭圆标准方程的一般方法及步骤
(1)基本方法:待定系数法.
(2)一般步骤:
【变式训练2】 已知椭圆以坐标轴为对称轴,长轴长是短轴长的3倍,并且过点P(3,0),求椭圆的标准方程.
探究三
求椭圆的离心率
【例3】 (1)已知F1,F2是椭圆的两个焦点,过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A,B两点,若△ABF2是正三角形,则该椭圆的离心率是 .
解析:不妨设椭圆的焦点在x轴上,因为AB⊥F1F2,且△ABF2为正三角形,所以在Rt△AF1F2中,∠AF2F1=30°.
本例(1)中将条件“过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A,B两点,若△ABF2是正三角形”改为“A为y轴上一点,且AF1的中点B恰好在椭圆上,若△AF1F2为正三角形”,则椭圆的离心率是 .
解析:如图,连接BF2.
因为△AF1F2为正三角形, 且B为线段AF1的中点,
所以F2B⊥BF1.
反思感悟 求椭圆离心率的值(或取值范围)的两种方法
(2)方程(不等式)法:若a,c的值不可求,则可根据条件建立关于a,b,c的关系式,借助a2=b2+c2,转化为关于a,c的齐次方程或不等式,再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂,得到关于e的方程或不等式,即可求得e的值或范围.
【变式训练3】 (1)已知椭圆 (a>b>0)的一个焦点为F,该椭圆上有一点A,满足△OAF是等边三角形(O为坐标原点),则椭圆的离心率是( )
(2)已知F是椭圆的左焦点,A,B分别是其在x轴正半轴和y轴正半轴上的顶点,P是椭圆上的一点,且PF⊥x轴,OP∥AB,则椭圆的离心率是 .
【易错辨析】
忽视椭圆焦点的位置致误
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:忽视对焦点所在位置的讨论,即漏掉了两种情况中的一种情况,从而导致答案不全.
正解:当椭圆的焦点在x轴上时,a2=k+4,b2=4,
防范措施 当不清楚椭圆的焦点位置时,必须分情况讨论焦点位置.
【变式训练】 已知椭圆的中心在原点,对称轴是坐标轴,离心率e= ,且过点P(2,3),求此椭圆的标准方程.
随堂练习
A.a2=15,b2=16
B.a2=9,b2=25
C.a2=25,b2=9
D.a2=25,b2=9或a2=9,b2=25
答案:C
A.8 B.7
C.5 D.4
解析:由题意得m-2>10-m,且10-m>0,于是6答案:A
3.已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点,若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,则C的离心率为( )
解析:不妨设椭圆方程为 (a>b>0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,则|PF1|+|PF2|=2a.
∵∠F2PF1=90°,∠PF2F1=60°,
D
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第2课时 直线与椭圆的位置关系
第三章
3.1.2
2022
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用.
2.会判断直线与椭圆的位置关系.
3.能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题.
4.培养直观想象、逻辑推理与数学运算素养.
自主预习 新知导学
一、点与椭圆的位置关系
【问题思考】
1.回想点与圆的位置关系,思考点P(x0,y0)与圆C:x2+y2=a2的位置关系有哪些 怎样判断
2.类似点与圆的位置关系,你能得出点P(x0,y0)与椭圆 (a>b>0)的位置关系有哪些 怎样判断
二、直线与椭圆的位置关系
【问题思考】
1.回想一下,直线与圆的位置关系有哪些 我们怎样判断直线与圆的位置关系
提示:直线与圆的位置关系有相离、相交、相切三种.判断方法有几何法:利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判断;代数法:联立直线与圆的方程,转化为关于x(或y)的一元二次方程,利用判别式Δ判断.
2.类比直线与圆的位置关系,思考直线与椭圆有几种位置关系 怎样判断其位置关系
提示:直线与椭圆的位置关系有相离、相交、相切三种.判断方法是联立直线与椭圆方程,转化为关于x(或y)的一元二次方程,利用判别式Δ判断.
3.填空:直线与椭圆的位置关系
A.相离 B.相切
C.相交 D.无法确定
Δ=22+12=16>0,
故直线与椭圆相交.
答案:C
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(2) 在判断直线与椭圆的位置关系,联立直线方程与椭圆方程时,只能消去y得到关于x的一元二次方程.( × )
(3)过椭圆外一点只能作一条直线与椭圆相切.( × )
(6)直线与椭圆只有一个交点 直线与椭圆相切.( √ )
合作探究 释疑解惑
探究一
直线与椭圆的位置关系
【例1】 已知直线y=x+m与椭圆 ,当直线和椭圆相离、相切、相交时,分别求m的取值范围.
分析:将直线方程与椭圆方程联立,利用判别式Δ判断.
故Δ=(32m)2-4×25×(16m2-144)=9×43(25-m2).
当Δ>0,即-5当Δ=0,即m=±5时,直线和椭圆相切;
当Δ<0,即m>5或m<-5时,直线和椭圆相离.
综上所述,当m>5或m<-5时直线与椭圆相离;
当m=±5时,直线与椭圆相切;
当-5反思感悟 直线与圆、椭圆等封闭曲线的位置关系有相离、相切、相交三种情形,判断直线与圆锥曲线的位置关系时,将直线方程代入曲线方程,消元后得关于x(或y)的方程,当二次项系数不为零时,可由判别式Δ来判断.
当Δ>0时,直线与曲线相交;
当Δ=0时,直线与曲线相切;
当Δ<0时,直线与曲线相离.
提醒:注意方程组的解与交点个数之间的等价关系.
【变式训练1】 若直线y=kx+1(k∈R)与焦点在x轴上的椭圆 总有公共点,求m的取值范围.
∴Δ=100k2-20(m+5k2)(1-m)=20m(5k2+m-1).
∵直线与椭圆总有公共点,∴Δ≥0对任意k∈R都成立.
∵m>0,∴5k2≥1-m恒成立,∴1-m≤0,即m≥1.
又椭圆的焦点在x轴上,
∴0解法二:∵直线y=kx+1过定点M(0,1),
∴要使直线与该椭圆总有公共点,
则点M(0,1)必在椭圆内或椭圆上,
探究二
弦长问题
【例2】 已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m.
(1)当直线和椭圆有公共点时,求实数m的取值范围;
(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.
分析:(1)将直线方程与椭圆方程联立,根据判别式Δ的符号,建立关于m的不等式求解;(2)利用弦长公式建立关于m的函数解析式,通过函数的最值求得m的值,从而得到直线方程.
(2)设直线与椭圆交于点A(x1,y1),B(x2,y2).
由(1)知,5x2+2mx+m2-1=0.
反思感悟 1.求直线被椭圆截得的弦长的方法:
(1)是求出两交点坐标,用两点间距离公式求解;(2)是用弦长公式
求解,其中k为直线AB的斜率,A(x1,y1), B(x2,y2).
2.有关直线与椭圆相交弦长的最值问题,要特别注意判别式的限制.
【变式训练2】 (1)已知椭圆4x2+5y2=20的左焦点为F,过点F且倾斜角为45°的直线l交椭圆于A,B两点,求弦长|AB|.
(2)椭圆有两个顶点A(-1,0),B(1,0),过其焦点F(0,1)的直线l与椭圆交于C,D两点,若|CD|= ,求直线l的方程.
当直线l垂直于x轴时,与题意不符,
设直线l的方程为y=kx+1,将其代入椭圆方程,化简,得(k2+2)x2+2kx-1=0.
探究三
中点弦问题
【例3】 过椭圆 内一点P(2,1)作一条直线交椭圆于A,B两点,使线段AB被点P平分,求此直线的方程.
分析:由于弦所在直线过定点P(2,1),所以可设出弦所在直线的方程为y-1 =k(x-2),与椭圆方程联立,通过中点为P,得出k的值,也可以通过设而不求的思想求直线的斜率.
解法一:如图,设所求直线的方程为y-1=k(x-2),代入椭圆方程并整理,
得(4k2+1)x2-8(2k2-k)x+4(2k-1)2-16=0,(*)
又设直线与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),
解法二:设直线与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),
∵P为弦AB的中点,∴x1+x2=4,y1+y2=2.
本例条件不变,求弦长|AB|.
解:设弦的两端点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),
反思感悟 关于中点弦问题,一般采用两种方法解决
(1)联立方程组,消元,利用根与系数的关系进行设而不求,从而简化运算.
这样就建立了中点坐标与直线的斜率之间的关系,从而使问题得以解决.
【变式训练3】 (1)已知点P(4,2)是直线l被椭圆 所截得的线段的中点,则直线l的方程为 .
(2)已知点P(4,2)是直线l:x+2y-8=0被焦点在x轴上的椭圆所截得的线段的中点,则该椭圆的离心率为 .
解析:(1)由题意可设直线l的方程为y-2=k(x-4),
而椭圆的方程可以化为x2+4y2-36=0.
将直线方程代入椭圆方程有(4k2+1)x2-8k(4k-2)x+4(4k-2)2-36=0.
设直线l与椭圆的交点坐标为(x1,y1),(x2,y2),
(2)设椭圆方程为 (a>b>0),直线x+2y-8=0与椭圆交于A,B两点,且A(x1,y1),B(x2,y2),
【思想方法】
椭圆中的最值问题
【典例】 如图,点A,B分别是椭圆 长轴的左、右端点,点F是椭圆的右焦点,点P在椭圆上,且位于x轴上方,PA⊥PF.
(1)求点P的坐标;
(2)设M是椭圆长轴AB上的一点,M到直线AP的距离
等于|MB|,求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.
审题视角:(1)设出点P的坐标,根据点P在椭圆上
以及PA⊥PF,建立方程组求解;(2)根据两点间的距离公式,将椭圆上的点到点M的距离d表示为点的坐标的函数,借助函数方法求得最值.
方法点睛 解决与椭圆有关的最值问题的三种方法
(1)定义法:利用定义转化为几何问题处理.
(2)数形结合法:利用数与形的结合,挖掘几何特征,进而求解.
(3)函数法:探求函数模型,转化为函数的最值问题来处理.
随堂练习
答案:C
答案:C
∵直线与椭圆有两个公共点,
∴Δ=(4m)2-4m(m+3)=16m2-4m2-12m=12m2-12m>0,解得m>1或m<0.
又m>0,且m≠3,∴m>1,且m≠3.
答案:(1,3)∪(3,+∞)
本 课 结 束第2课时 直线与椭圆的位置关系
课后训练巩固提升
A组
1.若点P(a,1)在椭圆=1的外部,则a的取值范围为( )
A.
B.
C.
D.
解析:由题意知>1,即a2>,解得a>或a<-.
答案:B
2.若直线y=kx+2与椭圆=1相切,则斜率k的值是( )
A. B.-
C.± D.±
解析:把y=kx+2代入=1得,(3k2+2)x2+12kx+6=0,因为直线与椭圆相切,所以Δ=(12k)2-4(3k2+2)×6=0,解得k=±.
答案:C
3.椭圆=1上的点到直线x+2y-=0的最大距离是( )
A.3 B.
C. D.2
解析:设与直线x+2y-=0平行,且与椭圆=1相切的直线为x+2y+m=0,与椭圆方程联立得,(-2y-m)2+4y2-16=0,即4y2+4my+4y2-16+m2=0,得2y2+my-4+=0.
Δ=m2-8=0,即-m2+32=0,解得m=±4.
两直线间距离最大时m=4,dmax=.
答案:C
4.已知椭圆=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,点B在椭圆上,且BF⊥x轴,直线AB交y轴于点P.若=2,则椭圆的离心率是( )
A. B.
C. D.
解析:由题意知,F(-c,0),A(a,0),B.
∵BF⊥x轴,∴.
∵=2,∴=2,即e=.
答案:D
5.(多选题)已知直线y=3x+2被椭圆=1(a>b>0)截得的弦长为8,则下列直线中被椭圆截得的弦长也为8的有( )
A.y=3x-2 B.y=3x+1
C.y=-3x-2 D.y=-3x+2
解析:椭圆关于原点和坐标轴对称,从而与直线y=3x+2关于原点和坐标轴对称的直线被椭圆截得的弦长也为8,与直线y=3x+2关于原点对称的直线为y=3x-2,关于x轴对称的直线为y=-3x-2,关于y轴对称的直线为y=-3x+2,故ACD满足条件.
答案:ACD
6.已知P(1,1)为椭圆=1内一定点,经过点P引一条弦,使此弦被点P平分,则此弦所在的直线方程为 .
解析:易知此弦所在直线的斜率存在,所以设斜率为k,弦的端点坐标为(x1,y1),(x2,y2),
则=1,①
=1,②
①-②,得=0.
∵x1+x2=2,y1+y2=2,∴+y1-y2=0,
∴k==-.
∴此弦所在的直线方程为y-1=-(x-1),即x+2y-3=0.
答案:x+2y-3=0
7.已知以F1(-2,0),F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x+y+4=0有且仅有一个公共点,则椭圆的长轴长为 .
解析:由题意可设椭圆方程为=1,
联立直线与椭圆方程,由Δ=0,得a=.
答案:2
8.过椭圆=1的右焦点F作一条斜率为2的直线,且与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为 .
解析:由已知可得直线方程为y=2x-2,
联立得解得A(0,-2),B,
故S△AOB=·|OF|·|yA-yB|=.
答案:
9.如图所示,椭圆=1的左、右焦点分别为F1,F2,一条直线l经过F1与椭圆交于A,B两点.
(1)求△ABF2的周长;
(2)若直线l的倾斜角为45°,求△ABF2的面积.
解:(1)△ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=4a=4×4=16.
(2)由椭圆的方程=1知,a=4,b=3,
∴c=.
由c=知F1(-,0),F2(,0).
∵k=tan 45°=1,
∴直线l的方程为x-y+=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则由
消去x并整理,得25y2-18y-81=0,
∴y1+y2=,y1y2=-.
∴|y1-y2|===,
∴|F1F2|·|y1-y2|=×2.
10.已知动点P与平面上两定点A(-,0),B(,0)连线的斜率的积为定值-.
(1)试求动点P的轨迹方程C;
(2)设直线l:y=kx+1与曲线C交于M,N两点,当|MN|=时,求直线l的方程.
解:(1)设动点P的坐标是(x,y),
由题意得,kPA·kPB=-.
∴=-,
化简整理得+y2=1.
故点P的轨迹方程C是+y2=1(x≠±).
(2)设直线l与曲线C的交点M(x1,y1),N(x2,y2),
由得(1+2k2)x2+4kx=0.
∴x1+x2=,x1·x2=0.
|MN|=,
整理得k4+k2-2=0,解得k2=1或k2=-2(舍).
∴k=±1,经检验符合题意.
∴直线l的方程是y=±x+1,即x-y+1=0或x+y-1=0.
B组
1.已知椭圆mx2+ny2=1(m>0,n>0,且m≠n)与直线y=1-x交于M,N两点,过原点与线段MN中点所在直线的斜率为,则的值是( )
A. B.
C. D.
解析:由题意得得(m+n)x2-2nx+n-1=0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点P(x0,y0),
则x0=,y0=1-x0=1-.
∴kOP=.故选A.
答案:A
2.过椭圆C:=1的左焦点F作倾斜角为60°的直线l,且与椭圆C交于A,B两点,则等于( )
A. B.
C. D.
解析:由已知得直线l的方程为y=(x+1).
联立可得A(0,),B,又F(-1,0),∴|AF|=2,|BF|=,
∴.
答案:A
3.已知椭圆E:=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为( )
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
解析:因为直线AB过点F(3,0)和点(1,-1),所以直线AB的方程为y=(x-3),代入椭圆方程=1,消去y,得x2-a2x+a2-a2b2=0,所以AB的中点的横坐标为=1,即a2=2b2,又a2=b2+c2,所以b=c=3,a2=18,故选B.
答案:B
4.设F1,F2为椭圆+y2=1的左、右焦点,过椭圆中心任作一直线,且与椭圆交于P,Q两点,当四边形PF1QF2的面积最大时,的值等于( )
A.0 B.2
C.4 D.-2
解析:由题意得c=,
因为=2=2××|F1F2|·h(h为F1F2边上的高),
所以当h=b=1时,取最大值,
此时∠F1PF2=120°.
所以=||·||·cos 120°=2×2×=-2.
故选D.
答案:D
5.若直线y=kx+1与曲线x=有两个不同的交点,则k的取值范围是 .
解析:由x=,得x2+4y2=1(x≥0),又直线y=kx+1过定点(0,1),
故问题转化为过定点(0,1)的直线与椭圆在y轴右侧的部分有两个公共点,
当直线与椭圆(右侧部分)相切时,k=-,则相交时k<-.
答案:
6.设椭圆=1(a>b>0)的左焦点为F,离心率为,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设A,B分别为椭圆的左、右顶点,过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C,D两点.若=8,求k的值.
解:(1)设F(-c,0),由,知a=c.过点F且与x轴垂直的直线为x=-c,代入椭圆方程有=1,解得y=±,于是,解得b=.又a2-c2=b2,从而a=,c=1,所以椭圆的方程为=1.
(2)设点C(x1,y1),D(x2,y2),由F(-1,0)得直线CD的方程为y=k(x+1).
由方程组消去y,
整理得(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0,
则x1+x2=-,x1x2=.
因为A(-,0),B(,0),
所以=(x1+,y1)·(-x2,
-y2)+(x2+,y2)·(-x1,-y1)=6-2x1x2-2y1y2=6-2x1x2-2k2(x1+1)(x2+1)=6-(2+2k2)·x1x2-2k2(x1+x2)-2k2=6+.
由已知得6+=8,解得k=±.
7.设椭圆C:+y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).
(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;
(2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.
(1)解 由已知得F(1,0),l的方程为x=1.
由已知可得,点A的坐标为.
所以AM的方程为y=-x+或y=x-.
(2)证明:当l与x轴重合时,∠OMA=∠OMB=0°.
当l与x轴垂直时,OM为AB的垂直平分线,所以∠OMA=∠OMB.
当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),则x1<,x2<,直线MA,MB的斜率之和为kMA+kMB=.
由y1=kx1-k,y2=kx2-k,得kMA+kMB=.
将y=k(x-1)代入+y2=1得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,所以x1+x2=,x1x2=.
则2kx1x2-3k(x1+x2)+4k==0.
从而kMA+kMB=0,故MA,MB的倾斜角互补,
所以∠OMA=∠OMB.
综上,∠OMA=∠OMB.3.1.2 椭圆的简单几何性质
第1课时 椭圆的简单几何性质
课后训练巩固提升
A组
1.椭圆25x2+9y2=225的长轴长、短轴长、离心率依次是( )
A.5,3,0.8 B.10,6,0.8
C.5,3,0.6 D.10,6,0.6
解析:椭圆方程可化为=1,则a=5,b=3,c==4,e=.
答案:B
2.以椭圆=1的短轴顶点为焦点,离心率为e=的椭圆方程为( )
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
解析:∵椭圆=1的短轴顶点为(0,-3),(0,3),
∴所求椭圆的焦点在y轴上,且c=3.
又e=,∴a=6.∴b2=a2-c2=36-9=27.
∴所求椭圆方程为=1.
答案:A
3.设椭圆的两个焦点分别为F1,F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△F1PF2为等腰直角三角形,则该椭圆的离心率为( )
A. B.
C.2- D.-1
解析:由已知得|PF2|=2c,∴|PF1|=2c.由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a,即2c+2c=2a,∴e=-1.
答案:D
4.已知椭圆=1(a>b>0),A,B分别为椭圆的左顶点和上顶点,F为右焦点,且AB⊥BF,则椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析:在Rt△ABF中,|AB|=,|BF|=a,|AF|=a+c,由|AB|2+|BF|2=|AF|2,得a2+b2+a2=(a+c)2.
将b2=a2-c2代入,得a2-ac-c2=0,即e2+e-1=0,解得e=.
因为0答案:D
5.(多选题)已知曲线C1:=1与曲线C2:=1(k<9),下列说法正确的是( )
A.两条曲线都表示焦点在x轴上的椭圆
B.焦距相等
C.有相同的焦点
D.离心率相等
解析:可知两个方程均表示焦点在x轴上的椭圆,故A正确;曲线C1的焦距为2c=2=8,曲线C2的焦距为2c=2=8,故B,C正确;曲线C1的离心率e=,曲线C2的离心率e=,故D不正确.
答案:ABC
6.椭圆x2+4y2=16的短轴长为 .
解析:由=1可知b=2,故短轴长2b=4.
答案:4
7.已知椭圆的对称轴是坐标轴,O为坐标原点,F是一个焦点,A是一个顶点,椭圆的长轴长为6,且cos∠OFA=,则椭圆的标准方程是 .
解析:因为椭圆的长轴长是6,cos∠OFA=,所以点A不是长轴的端点(是短轴的端点).
所以|OF|=c,|AF|=a=3,
所以,所以c=2,b2=32-22=5,
所以椭圆的方程是=1或=1.
答案:=1或=1
8.已知椭圆C:=1(a>b>0)的左焦点为F,椭圆C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF,BF.若|AB|=10,|AF|=6,cos∠ABF=,则C的离心率e= .
解析:设椭圆的右焦点为F1,坐标原点为O,在△ABF中,由余弦定理可解得|BF|=8,所以△ABF为直角三角形.又斜边AB的中点为O,所以|OF|=c=5,连接AF1,因为A,B关于原点对称,所以|BF|=|AF1|=8,所以2a=14,a=7,所以离心率e=.
答案:
9.(1)求与椭圆=1有相同的焦点,且离心率为的椭圆的标准方程;
(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8,两个顶点坐标分别是(-6,0),(6,0),求焦点在x轴上的椭圆的标准方程.
解:(1)∵c=,
∴所求椭圆的焦点为(-,0),(,0).
设所求椭圆的方程为=1(a>b>0).
∵e=,c=,∴a=5,b2=a2-c2=20,
∴所求椭圆的方程为=1.
(2)∵椭圆的焦点在x轴上,
∴设它的标准方程为=1(a>b>0),
∵2c=8,∴c=4,又a=6,∴b2=a2-c2=20.
∴椭圆的方程为=1.
10.设椭圆=1(a>b>0)与x轴交于点A,以OA为边作等腰三角形OAP,其顶点P在椭圆上,且∠OPA=120°,求椭圆的离心率.
解:不妨设A(a,0),点P在第一象限内,由题意知,点P的横坐标是,设P,由点P在椭圆上,得=1,y2=b2,即Pb.因为∠OPA=120°,所以∠POA=30°,故tan∠POA=,所以a=3b,
所以e=.
B组
1.“m=3”是“椭圆=1的离心率为”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:椭圆=1的离心率为,
当0当m>4时,,得m=,即“m=3”是“椭圆=1的离心率为”的充分不必要条件.
答案:A
2.设e是椭圆=1的离心率,且e∈,则实数k的取值范围是( )
A.(0,3) B.
C.(0,3)∪ D.(0,2)
解析:当k>4时,c2=k-4,由条件知<1,解得k>;
当0答案:C
3.如图所示,把椭圆=1的长轴AB分成8等份,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1,P2,…,P7七个点,F是椭圆的左焦点,则|P1F|+|P2F|+…+|P7F|=( )
A.35 B.30 C.25 D.20
解析:设椭圆的右焦点为F'(图略),由椭圆的对称性,知|P1F|=|P7F'|,|P2F|=|P6F'|,|P3F|=|P5F'|,故原式=(|P7F|+|P7F'|)+(|P6F|+|P6F'|)+(|P5F|+|P5F'|)+|P4F|=7a=35.
答案:A
4.已知F是椭圆=1(a>b>0)的左焦点,A为右顶点,P是椭圆上一点,且PF⊥x轴,若|PF|=|AF|,则该椭圆的离心率是( )
A. B.
C. D.
解析:由于PF⊥x轴,则令x=-c,代入椭圆方程,解得y2=b2,y=±,又|PF|=|AF|,即(a+c),即有4(a2-c2)=a2+ac,(3a-4c)(a+c)=0,则e=,故选B.
答案:B
5.已知点P为椭圆x2+2y2=98上的一个动点,点A的坐标为(0,5),则|PA|的最小值为 .
解析:设P(x,y),
则|PA|=.
因为点P为椭圆x2+2y2=98上一点,
所以x2=98-2y2,-7≤y≤7,
则|PA|==.
因为-7≤y≤7,所以当y=7时,|PA|min=2.
答案:2
6.已知椭圆=1(a为定值,且a>)的左焦点为F,直线x=m与椭圆交于点A,B,△FAB的周长的最大值是12,则该椭圆的离心率是 .
解析:如图所示,设椭圆的右焦点为F1,AB与x轴交于点H,则|AF|=2a-|AF1|,△ABF的周长为2|AF|+2|AH|=2(2a-|AF1|+|AH|).
∵△AF1H为直角三角形,∴|AF1|>|AH|,仅当|AF1|=|AH|,即F1与H重合时,△AFB的周长最大,即最大周长为2(|AF|+|AF1|)=4a=12,∴a=3,而b=,∴c=2,离心率e=.
答案:
7.设椭圆=1(a>b>0)的右顶点是A(a,0),其上存在一点P,使∠APO=90°,求椭圆的离心率的取值范围.
解:设P(x,y),由∠APO=90°知,点P在以OA为直径的圆上.
圆的方程是+y2=,
∴y2=ax-x2.①
又点P在椭圆上,故=1.②
把①代入②得=1,∴(a2-b2)x2-a3x+a2b2=0.故(x-a)[(a2-b2)x-ab2]=0.
又x≠a,x≠0,∴x=.
∵0∴e>.又08.如图,已知椭圆=1(a>b>0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,A为椭圆的上顶点,直线AF2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB=90°,求椭圆的离心率;
(2)若=2,求椭圆的方程.
解:(1)若∠F1AB=90°,则△AOF2为等腰直角三角形,
所以有OA=OF2,即b=c.所以a=c,e=.
(2)由题知A(0,b),F1(-c,0),F2(c,0),其中,c=,设B(x,y).
由=2 (c,-b)=2(x-c,y),解得x=,y=-,即B.
将点B坐标代入=1,得=1,即=1,解得a2=3c2.①
又由=(-c,-b)· b2-c2=1,即有a2-2c2=1.②
由①②解得c2=1,a2=3,从而有b2=2.
椭圆方程为=1.