2.2 直线的方程
2.2.1 直线的点斜式方程
课后训练巩固提升
A组
1.已知直线的方程是y+2=-x-1,则( )
A.直线经过点(-1,2),斜率为-1
B.直线经过点(-1,2),斜率为1
C.直线经过点(-1,-2),斜率为-1
D.直线经过点(-1,-2),斜率为1
解析:根据直线的点斜式方程y-y0=k(x-x0),知C选项正确.
答案:C
2.直线y=3x-a与y=3x的位置关系是( )
A.相交 B.平行
C.平行或重合 D.重合
解析:两条直线的斜率均为3,当a=0时,两条直线重合;当a≠0时,两条直线平行.
答案:C
3.经过点P(2,1),且倾斜角是直线l:y=x-1的倾斜角的两倍的直线方程为( )
A.y=(x-1) B.x=2
C.y-1=2(x-2) D.y-1=2x
解析:∵直线l:y=x-1的斜率k=1,∴倾斜角α=45°.
∴所求直线的倾斜角α'=2α=90°.
又直线经过点P(2,1),∴直线方程为x=2.
答案:B
4.若直线y=-ax-与直线y=3x-2垂直,则a的值为( )
A.-3 B.3 C.- D.
解析:∵两条直线垂直,∴-×3=-1,解得a=.
答案:D
5.(多选题)函数y=ax+的图象可能是( )
解析:∵a≠0,∴C错;
当a>0时,>0,即直线的倾斜角为锐角,且在y轴上的截距大于0,故A可能;
当a<0时,<0,即直线的倾斜角为钝角,且在y轴上的截距小于0,故B可能,D不可能.
答案:AB
6.斜率与直线y=x的斜率相等,且经过点(-4,3)的直线的点斜式方程是 .
解析:直线y=x的斜率为,则所求直线的斜率为,且过点(-4,3),故所求直线的点斜式方程为y-3=(x+4).
答案:y-3=(x+4)
7.已知直线l1经过点P(-1,2),斜率为-,将l1绕点P沿顺时针方向旋转30°角,得到直线l2,则直线l2的斜截式方程为 .
解析:因为k1=-,所以直线l1的倾斜角α1=150°.
如图,将l1绕点P沿顺时针方向旋转30°角,得到的直线l2的倾斜角α2=150°-30°=120°,所以k2=tan 120°=-.所以直线l2的方程为y-2=-(x+1),即y=-x+2-.
答案:y=-x+2-
8.过原点O作直线l的垂线,垂足为H(-2,1),则直线l的斜截式方程为 .
解析:由题意得OH⊥l.
∵kOH=-,∴kl=2,又直线l经过点H(-2,1).
∴直线l的方程为y-1=2(x+2),即y=2x+5.
答案:y=2x+5
9.已知△ABC的顶点坐标是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),求△ABC的三条边所在直线的点斜式方程.
解:边AB所在直线的斜率kAB==-,直线经过点A(-5,0),因此,边AB所在直线的点斜式方程为y=-(x+5).
同理可得,边BC所在直线的点斜式方程为y-2=-x,边AC所在直线的点斜式方程为y-2=x.
10.当a为何值时,直线l1:y=(2a-1)x+3与直线l2:y=4x-3
(1)平行 (2)垂直
解:由题意可知,直线l1的斜率k1=2a-1,直线l2的斜率k2=4.
(1)若l1∥l2,则k1=k2,即2a-1=4,解得a=.
故当a=时,直线l1:y=4x+3与直线l2:y=4x-3平行.
(2)若l1⊥l2,则k1k2=-1,即4(2a-1)=-1,解得a=.
故当a=时,直线l1:y=-x+3与直线l2:y=4x-3垂直.
B组
1.直线y=k(x-1)+2恒过定点( )
A.(-1,2) B.(1,2)
C.(2,-1) D.(2,1)
解析:把直线方程化为点斜式为y-2=k(x-1),可知该直线恒过定点(1,2).
答案:B
2.将直线y=(x-2)绕点(2,0)沿逆时针方向旋转60°后所得直线的点斜式方程是( )
A.y=-(x-2) B.y=(x+2)
C.y=-(x+2) D.y=(x-2)
解析:∵直线y=(x-2)的倾斜角是60°,且恒过定点(2,0),∴绕点(2,0)沿逆时针方向旋转60°后的直线的倾斜角为120°,则斜率为-.又过点(2,0),∴直线方程为y=-(x-2).
答案:A
3.若直线l经过点(0,2),且倾斜角的正弦值为,则直线l的点斜式方程为( )
A.y+2=x
B.y-2=x
C.y-2=x,y-2=-x
D.y+2=x,y+2=-x
解析:设直线l的倾斜角为θ,∵sin θ=,且0≤θ<180°,∴tan θ=±.又经过点(0,2),
∴直线l的点斜式方程为y-2=x或y-2=-x.
答案:C
4.已知直线l1:y=x+a,l2:y=(a2-3)x+1,若l1∥l2,则a的值为( )
A.4 B.2 C.-2 D.±2
解析:由l1∥l2,得a2-3=1,且≠1,解得a=-2.
答案:C
5.直线y=mx-3m+2(m∈R)恒过定点 .
解析:把直线方程化为点斜式为y-2=m(x-3),则该直线恒过定点(3,2).
答案:(3,2)
6.如图,直线l的斜截式方程为y=kx+b,则点(k,b)在第 象限.
解析:由题图知,直线l的倾斜角是钝角,则k<0;直线l与y轴的交点在y轴的正半轴上,则b>0.
故点(k,b)在第二象限.
答案:二
7.已知直线l经过点(-5,-4),且它与两坐标轴围成的三角形的面积为5,求直线l的点斜式方程.
解:由题意知直线l的斜率存在.设直线l的斜率为k,显然k≠0,则直线l的方程为y+4=k(x+5).
令x=0,得y=5k-4;
令y=0,得x=.
由题意得·|5k-4|=5,
即=10,得25k2-30k+16=0或25k2-50k+16=0,解得k=或k=.
故直线l的点斜式方程为y+4=(x+5)或y+4=(x+5).
8.已知直线l:5ax-5y-a+3=0,
(1)求证:不论a为何值,直线l总过第一象限;
(2)为了使直线l不过第二象限,求a的取值范围.
(1)证明:直线l的方程可化为y-=a,由点斜式方程可知直线l的斜率为a,且恒过定点A.由于点A在第一象限,故直线一定过第一象限.
(2)解 由(1)知直线l的斜率为a,且经过定点A.
根据题意,画出图象,如图所示,其中AP为垂直于x轴的直线.
当直线l介于直线AO与AP之间(包含直线AO但不包含直线AP)时,直线l不过第二象限.
由于直线AO的斜率kAO==3,直线AP的斜率不存在,故a的取值范围是[3,+∞).(共37张PPT)
2.2.1 直线的点斜式方程
第二章
2.2
2022
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.根据确定直线位置的几何要素,探索直线的点斜式方程.
2.掌握直线方程的点斜式和斜截式,并会熟练应用.
3.了解截距的概念,了解直线方程的斜截式方程与一次函数的关系.
4.会用直线的点斜式方程和斜截式方程解决直线的平行与垂直问题.
5.培养直观想象、数学抽象和数学运算素养.
自主预习 新知导学
一、直线的点斜式方程
【问题思考】
1.建立直线的方程指的是求什么
提示:就是利用确定直线位置的几何要素,建立直线上任意一点的横坐标x,纵坐标y所满足的关系式.
2.如图,直线l经过点P0(x0,y0),且斜率为k.设点P(x,y)是直线l上不同于点P0的任意一点,怎样建立x,y之间的关系式 该关系式是直线l的方程吗
3.填表:直线的点斜式方程
4.做一做:已知直线l的点斜式方程为y-2=3(x+1),则直线l的斜率是( )
A.2 B.-1
C.3 D.-3
答案:C
二、直线的斜截式方程
【问题思考】
1.经过定点(0,b)且斜率为k的直线l的方程如何表示
提示:将k及点(0,b)代入直线的点斜式方程,得y=kx+b.
2.直线y=kx+b在y轴上的截距b是直线与y轴的交点到原点的距离吗 它的取值范围是什么
提示:不是直线与y轴的交点到原点的距离,是直线y=kx+b与y轴的交点的纵坐标,截距b的取值范围是R.
3.一次函数的解析式y=kx+b与直线的斜截式方程y=kx+b有什么不同
提示:一次函数的x的系数k≠0,否则就不是一次函数了;直线的斜截式方程y=kx+b中的k可以为0.
4.填表:直线的斜截式方程
5.当直线l的倾斜角为0°时,如图①所示,tan 0°=0,即k=0,这时直线l与x轴平行或重合,直线l的方程是y-y0=0,即y=y0.
当直线l的倾斜角为90°时,如图②所示,因为tan 90°无意义,即直线的斜率不存在,这时直线l与y轴平行或重合,所以它的方程不能用点斜式或斜截式表示.又因为这时直线l上每一点的横坐标都等于x0,所以它的方程是x-x0=0,即x=x0.
6.做一做:直线y=2x-3的斜率和在y轴上的截距分别等于( )
A.2,3 B.-3,-3
C.-3,2 D.2,-3
答案:D
三、直线平行、垂直的判断
【问题思考】
1.设直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,根据上一节判断两条直线平行、垂直的结论,回答下列问题:
(1)若k1=k2,请问l1与l2一定平行吗
提示:不一定平行,当b1=b2时,l1与l2重合.
(2)l1⊥l2的条件是什么
提示:k1k2=-1.
2.填空:
已知直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,
(1)l1∥l2 k1=k2,且b1≠b2;
(2)l1⊥l2 k1k2=-1.
3.做一做:已知两条直线y=ax-2和y=(2-a)x+1互相平行,则a等于( )
A.2 B.1
C.0 D.-1
解析:由a=2-a,得a=1.
答案:B
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)直线的点斜式方程能表示平面上的所有直线.( × )
(3)直线的斜截式方程y=kx+b即为一次函数的解析式.( × )
(4)直线在y轴上的截距是直线与y轴交点的纵坐标.( √ )
(5)对于直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,l1∥l2的充要条件是k1=k2.( × )
合作探究 释疑解惑
探究一
直线的点斜式方程
【例1】 根据下列条件,求直线的方程:
(1)经过点A(2,5),斜率是4;
(2)经过点B(2,3),倾斜角是45°;
(3)经过点C(-1,-1),与x轴平行;
(4)经过点D(1,1),与x轴垂直.
分析:注意斜率是否存在.若存在,方程为y-y0=k(x-x0);若不存在,方程为x=x0.
解:(1)直线经过点A(2,5),斜率是4,代入点斜式方程得y-5=4(x-2),即y=4x-3.
(2)∵直线的倾斜角是45°,
∴此直线的斜率k=tan 45°=1,直线经过点B(2,3),代入点斜式方程得y-3 =x-2.
(3)∵直线与x轴平行,
∴倾斜角为0°,斜率k=0.
直线经过点C(-1,-1),代入点斜式方程得y+1=0×(x+1),即y=-1.
(4)∵直线与x轴垂直,
∴斜率不存在,故不能用点斜式表示这条直线的方程.
由于直线上每一点的横坐标都等于1,故此直线的方程为x=1.
反思感悟 求直线的点斜式方程,关键是求出直线的斜率,所以,已知直线上任意一点的坐标及直线的斜率或直线上两点坐标,均可求出直线的方程.
特别注意:当斜率不存在时,可直接写出过点(x0,y0)的直线方程为x=x0.
【变式训练1】 求出经过点P(3,4),且满足下列条件的直线方程,并画出图形.
(1)斜率k=2;(2)与x轴平行;(3)与x轴垂直.
解:(1)直线经过点P(3,4),斜率k=2,代入点斜式方程得y-4=2(x-3).
当y=0时,x=1,则直线经过点(1,0),已知两点坐标可作出直线的图象,如图①所示.
(2)∵直线经过点P(3,4),且与x轴平行,即斜率k=0,
∴直线方程为y=4,如图②所示.
(3)∵直线经过点P(3,4),且与x轴垂直,
∴直线方程为x=3,如图③所示.
探究二
直线的斜截式方程
【例2】 求满足下列条件的直线方程:
(1)斜率为2,在y轴上的截距为-1;
(2)倾斜角为直线y= x+1的倾斜角的一半,在y轴上的截距为-2;
(3)倾斜角为60°,与y轴的交点到坐标原点的距离为3.
分析:根据条件确定直线的斜率及直线在y轴上的截距,代入斜截式即可.
解:(1)由题意得k=2,b=-1,代入斜截式方程得y=2x-1.
反思感悟 1.直线在y轴上的截距是直线与y轴的交点的纵坐标,它是个数值,可正、可负、可为零.
2.直线的斜截式方程y=kx+b不仅形式简单,而且特点明显,k是直线的斜率,b是直线在y轴上的截距,只要确定了k和b的值,直线的图象就一目了然.因此,在解决直线的图象问题时,常把直线方程化为斜截式方程.
【变式训练2】 直线l与直线l1:y=2x+6在y轴上有相同的截距,且l的斜率与l1的斜率互为相反数,则直线l的方程为 .
解析:由直线l1的方程可知它的斜率为2,它在y轴上的截距为6,所以直线l的斜率为-2,在y轴上的截距为6.
由斜截式可得直线l的方程为y=-2x+6.
答案:y=-2x+6
探究三
两条直线的平行与垂直
【例3】 (1)当a为何值时,直线l1:y=-x+2a与直线l2:y=(a2-2)x+2,①平行 ②垂直
(2)若点A(1,2)在直线l上的射影为B(-1,4),求直线l的方程.
分析:对于(1),可利用l1∥l2 k1=k2,且b1≠b2;l1⊥l2 k1k2=-1求解.对于(2),由A在l上的射影为B,可知点B在l上,且直线AB⊥l,列出关系式求解.
反思感悟 已知直线l1:y=k1x+b1与直线l2:y=k2x+b2,l1∥l2 k1=k2,且b1≠b2;l1⊥l2 k1k2=-1.
【变式训练3】 (1)已知直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直,则a= ;
解析:(1)由题意得a·(a+2)=-1,解得a=-1.
【易错辨析】
误把“截距”当“距离”致误
以上解题过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:上述解法的错误主要在于“误把直线在y轴上的截距当作交点到原点的距离”.
防范措施 直线在y轴上的截距是直线与y轴交点的纵坐标,而不是交点到原点的距离,因此本题在求得截距后,应对截距取绝对值,再建立面积表达式.
【变式训练】 已知直线l经过点P(-2,0),且与两坐标轴围成的三角形的面积为10,则直线l的方程为 .
解析:设直线l在y轴上的截距为b,
代入斜截式方程得y=-5x-10.
综上,直线l的方程为y=5x+10或y=-5x-10.
答案:y=5x+10或y=-5x-10
随堂练习
1.过点M(-3,1),斜率为2的直线方程是( )
A.y=2x+7 B.y=2x-7
C.y=-2x+7 D.y=-2x-7
解析:由直线的点斜式方程,得y-1=2(x+3),即y=2x+7.
答案:A
2.直线l:y=kx+b的图象如图所示,则k,b满足( )
A.k>0,b>0
B.k<0,b<0
C.k<0,b>0
D.k>0,b<0
解析:由题图可知直线的倾斜角为钝角,且直线在y轴
上的截距为负值,故k<0,b<0.
答案:B
3.与直线y=2x+1垂直,且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是( )
答案:D
4.无论k取何值,直线y-2=k(x+1)经过的定点是 .
答案:(-1,2)
5.若直线y=(a2-1)x+2与直线y=3x+a平行,则a的值为 .
解析:由a2-1=3,且a≠2,得a=-2.
答案:-2
本 课 结 束
