(共40张PPT)
2.2.2 直线的两点式方程
2.2.3 直线的一般式方程
第二章
2.2
2022
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.根据确定直线位置的几何要素,探索直线的两点式及一般式方程.
2.掌握直线方程的两点式、截距式和一般式,并会熟练应用.
3.会选择适当的方程形式求直线方程
4.掌握一般式与其他形式之间的相互转化.
5.培养数学抽象、逻辑推理和数学运算素养.
自主预习 新知导学
一、直线的两点式方程
【问题思考】
1.我们知道两点确定一条直线,如果已知直线上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中x1≠x2,y1≠y2),那么如何求经过这两点的直线的方程
2.从直线的两点式方程的形式上看,两点式方程适用于求什么样的直线的方程
提示:两点式适用于求与两坐标轴不垂直的直线的方程.
3.填表:直线的两点式方程
4.在P1(x1,y1),P2(x2,y2)中,如果x1=x2或y1=y2,那么直线P1P2没有两点式方程.当x1=x2时,直线P1P2垂直于x轴,直线方程为x-x1=0,即x=x1;当y1=y2时,直线P1P2垂直于y轴,直线方程为y-y1=0,即y=y1.
5.做一做:过点A(3,2),B(4,3)的直线方程是( )
A.x+y+1=0 B.x+y-1=0
C.x-y+1=0 D.x-y-1=0
答案:D
二、直线的截距式方程
【问题思考】
1.已知直线l与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交点为B(0,b),其中a≠0,b≠0,如何求直线l的方程
2.从直线的截距式方程的形式上看,截距式方程适用于求什么样的直线的方程
提示:截距式适用于求与两坐标轴不垂直以及不过原点的直线的方程.
3.填表:直线的截距式方程
4.做一做:过P1(2,0),P2(0,3)两点的直线方程是( )
答案:C
三、直线的一般式方程
【问题思考】
提示:它们都是关于x,y的二元一次方程.
2.平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程表示吗 为什么
提示:都可以.原因如下:任意一条直线l,在其上任取一点P0(x0,y0),当直线l的斜率为k时(此时直线的倾斜角α≠90°),其方程为y-y0=k(x-x0),这是关于x,y的二元一次方程.当直线l的斜率不存在,即直线l的倾斜角α=90°时,直线的方程为x-x0=0,可以认为是关于x,y的二元一次方程,此时方程中y的系数为0.方程y-y0=k(x-x0)和x-x0=0都是二元一次方程,因此平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程表示.
3.任意一个关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)都表示一条直线吗 为什么
4.填空:我们把关于x,y的二元一次方程 Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式.
5.做一做:过点A(-1,2),斜率为2的直线的一般式方程为 .
答案:2x-y+4=0
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(3)能用两点式写出的直线方程,也可以用点斜式方程写出.( √ )
(4)直线的一般式方程可以表示平面内任意一条直线.( √ )
(5)直线的其他形式的方程都可化为一般式.( √ )
(6)关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)一定表示一条直线.( √ )
合作探究 释疑解惑
探究一
直线的两点式方程
【例1】 三角形的三个顶点是A(-1,0),B(3,-1),C(1,3),求三角形边AB、边BC所在直线的方程.
分析:已知直线上两个点的坐标,可以利用两点式写出直线的方程.
本题条件不变,求边AB上的中线CD所在直线的方程.
由于C,D两点横坐标相同,所以CD所在直线的方程为x=1.
反思感悟 用两点式方程写出直线的方程时,要特别注意:当横坐标相等或纵坐标相等时,不能用两点式.
【变式训练1】 求经过下列两点的直线方程.
(1)A(3,1),B(4,0);
(2)A(2,1),B(3,1);
(3)A(2,1),B(2,-1).
(2)由于A,B两点的纵坐标相等,故直线垂直于y轴,所求直线的方程为y=1.
(3)由于A,B两点的横坐标相等,故直线垂直于x轴,所求直线的方程为x=2.
探究二
直线的截距式方程
【例2】 直线l经过点P(-6,3),且它在x轴上的截距是它在y轴上截距的3倍,求直线l的方程.
分析:设直线l在y轴上的截距为b,则在x轴上的截距为3b.因为截距可正、可负、可为零,所以应分b=0和b≠0两种情况解答.
解:①当直线在y轴上的截距为零时,直线过原点,可设直线l的方程为y=kx.
∵直线l过点P(-6,3),
②当直线在y轴上的截距不为零时,
综上所述,所求直线l的方程为x+2y=0或x+3y-3=0.
反思感悟 当题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”、“截距互为相反数”、“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m倍(m>0)”等条件时,若采用截距式求直线方程,则一定要注意考虑“零截距”的情况.
【变式训练2】 已知直线l经过点(3,-2),且在两坐标轴上的截距相等,则直线l的方程为 .
解析:设直线l在x轴上的截距为a,则在y轴上的截距也为a.
①若a=0,则直线l过原点,此时直线l的方程为2x+3y=0;
所以直线l的方程为x+y=1,即x+y-1=0.
综上可知,直线l的方程为x+y-1=0或2x+3y=0.
答案:x+y-1=0或2x+3y=0
探究三
直线的一般式方程
【例3】 根据下列条件,写出直线的方程,并把它化为一般式.
(1)斜率是 ,且经过点A(5,3);
(2)经过A(-1,5),B(2,-1)两点;
(3)在x轴、y轴上的截距分别是-3,-1.
分析:根据条件,选择恰当的直线方程的形式,最后化成一般式方程.
反思感悟 利用直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式求解直线的方程时,一定要注意每种方程形式的适用范围,要注意对斜率是否存在,截距是否为0进行分类讨论,最后将方程转化为一般式.
【变式训练3】 (1)求经过点(1,2),且与直线3x+4y+1=0平行的直线l的方程;
(2)求经过点A(2,1),且与直线2x+y-10=0垂直的直线l的方程.
解:(1)(方法一)由题意知直线l的斜率存在,设直线l的斜率为k.
(方法二)设与直线3x+4y+1=0平行的直线l的方程为3x+4y+m=0.
∵直线l经过点(1,2),
∴3×1+4×2+m=0,解得m=-11.∴直线l的方程为3x+4y-11=0.
(2)由题意知直线l的斜率存在,设直线l的斜率为k.
∵直线l与直线2x+y-10=0垂直,
探究四
直线的平行与垂直问题
【例4】 (1)已知直线l1:2x+(m+1)y+4=0与直线l2:mx+3y-2=0平行,求m的值;
(2)当a为何值时,直线l1:(a+2)x+(1-a)y-1=0与直线l2:(a-1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直
解:(1)(方法一)直线l1:2x+(m+1)y+4=0,
l2:mx+3y-2=0.
当m=0时,显然l1与l2不平行.
解得m=2或m=-3.∴m的值为2或-3.
(方法二)当m=-1时,直线l1:x=-2,l2:x-3y+2=0,l1不平行于l2.
解得m=2或m=-3.
∴m的值为2或-3.
(2)当1-a=0,即a=1时,直线l1:3x-1=0与直线l2:5y+2=0,显然垂直;
综上可知,当a=1或a=-1时,直线l1⊥l2.
反思感悟 与直线Ax+By+C=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0(m≠C),与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+n=0.
【变式训练4】 已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0.
(1)若l1⊥l2,求a的值;
(2)在(1)的条件下,若直线l3经过点A(1,-3),且l3∥l2,求直线l3的方程.
∵l3∥l2,∴可设直线l3的方程为3x-y+m=0,
∵l3经过点A(1,-3),
∴3×1-(-3)+m=0,解得m=-6.
∴直线l3的方程为3x-y-6=0.
【易错辨析】
因转化条件不等价而致误
【典例】 已知直线l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0,若l1∥l2,求m的值.
错解:由1×3-m(m-2)=0,得m=-1或3.
以上解题过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:因存在斜率的两直线平行的等价条件为斜率相等且截距不等,所以上述解法忽略检验截距是否相等.
正解:由1×3-m(m-2)=0,得m=-1或3.
当m=-1时,l1:x-y+6=0,l2:3x-3y+2=0,两条直线平行;
当m=3时,l1:x+3y+6=0,l2:x+3y+6=0,两条直线重合.
故m的值为-1.
防范措施 已知直线l1:A1x+B1y+C1=0,直线l2:A2x+B2y+C2=0,则A1B2-A2B1 =0 l1∥l2或l1与l2重合.所以,由A1B2-A2B1=0求出参数值后,需检验两条直线是否重合.
【变式训练】 已知直线l1:(a-1)x-2y+4=0与直线l2:x-ay-1=0平行,则实数a的值为 .
解析:由(a-1)×(-a)-(-2)×1=0,得a=-1或a=2.
当a=-1时,l1:x+y-2=0,l2:x+y-1=0,l1∥l2;
当a=2时,l1:x-2y+4=0,l2:x-2y-1=0,l1∥l2.
故a=-1或a=2.
答案:-1或2
随堂练习
1.经过点(2,4),(2,-7)的直线的方程是( )
A.x=2 B.y=2
C.x+y=-3 D.x+y=4
解析:(2,4),(2,-7)两点的横坐标相同,故直线垂直于x轴,直线方程为x=2.
答案:A
2.经过A(0,3),B(-2,0)两点的直线的截距式方程为( )
答案:D
3.若直线x+2ay-1=0与直线(a-1)x-ay+1=0平行,则a的值为( )
答案:A
4.直线方程2x+3y+1=0化为斜截式为 ;化为截距式为 .
5.已知△ABC的三个顶点坐标为A(-3,2),B(5,-4),C(0,-2),
(1)求边BC所在直线的方程;
(2)求边BC上的中线所在直线的方程.
解:(1)边BC所在直线经过B(5,-4),C(0,-2)两点,
本 课 结 束2.2.2 直线的两点式方程
2.2.3 直线的一般式方程
课后训练巩固提升
A组
1.在x轴、y轴上的截距分别为-3,4的直线方程为( )
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
答案:A
2.如果ax+by+c=0表示的直线是y轴,那么系数a,b,c满足的条件是( )
A.bc=0 B.a≠0
C.bc=0,且a≠0 D.a≠0,且b=c=0
解析:因为y轴所在直线的方程为x=0,所以a,b,c满足的条件是a≠0,且b=c=0.
答案:D
3.已知直线l1:ax+2y+1=0与直线l2:3x-y-2=0垂直,则a的值为( )
A.-3 B.3
C.- D.
解析:两直线方程可分别化为l1:y=-x-与l2:y=3x-2.
由l1⊥l2,得-×3=-1,解得a=.
答案:D
4.经过点(5,2),且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程为( )
A.2x+y-12=0
B.2x+y-12=0或2x-5y=0
C.x-2y-1=0
D.x-2y-1=0或2x-5y=0
解析:当直线在x轴、y轴上的截距都为0时,直线方程为y=x,即2x-5y=0.当直线在x轴、y轴上的截距都不为0时,设直线方程为=1.
∵直线经过点(5,2),
∴=1,解得a=6.
∴直线方程为=1,即2x+y-12=0.
综上所述,所求直线的方程为2x+y-12=0或2x-5y=0.
答案:B
5.(多选题)直线l在平面直角坐标系中的位置如图所示,直线l的方程为Ax+By+C=0,则下列结论一定正确的是( )
A.A>0,B<0 B.AB<0
C.BC>0 D.AC<0
解析:由题图知,直线l的倾斜角为锐角,则其斜率k=->0,于是AB<0,则A,B异号,故A不一定正确,B正确;直线l与y轴的交点在y轴负半轴上,则直线l在y轴上的截距b=-<0,于是BC>0,则B,C同号,故C正确.由A,B异号,B,C同号,得A,C异号,则AC<0,故D正确.
答案:BCD
6.已知直线l的倾斜角为60°,在y轴上的截距为-4,则直线l的点斜式方程为 ;截距式方程为 ;斜截式方程为 ;一般式方程为 .
答案:y+4=(x-0) =1 y=x-4 x-y-4=0
7.直线l经过点P(-2,3),且与x轴、y轴分别交于A,B两点,若点P恰为AB的中点,则直线l的一般式方程为 .
解析:设A(a,0),B(0,b).
由题意得解得
因此,直线l的方程为=1,即3x-2y+12=0.
答案:3x-2y+12=0
8.斜率为,且与两坐标轴围成的三角形的面积为4的直线方程为 .
解析:设直线方程为y=x+b.
令x=0,得y=b;令y=0,得x=-2b.
所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积S=|b|·|-2b|=b2.
由b2=4,得b=±2.
所以直线方程为y=x±2,即x-2y+4=0,x-2y-4=0.
答案:x-2y+4=0,x-2y-4=0
9.已知直线l经过点P(4,1),
(1)若直线l经过点Q(-1,6),求直线l的方程;
(2)若直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍,求直线l的方程.
解:(1)已知直线l经过点P(4,1),Q(-1,6),由两点式,得直线l的方程为,即x+y-5=0.
(2)由题意知,直线l的斜率存在且不为0,所以设直线l的斜率为k,
则其方程为y-1=k(x-4).
令x=0,得y=1-4k;令y=0,得x=4-.
由题意得1-4k=2,解得k=或k=-2.
因此,直线l的方程为y-1=(x-4)或y-1=-2(x-4),即x-4y=0或2x+y-9=0.
10.设直线l:(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y-2m+6=0(m≠-1),根据下列条件分别确定m的值:
(1)直线l在x轴上的截距为-3;
(2)直线l的斜率为1.
解:(1)因为直线l在x轴上的截距为-3,所以m2-2m-3≠0,解得m≠-1,且m≠3.
令y=0,得x=.
由题意知=-3,解得m=-或m=3(舍去).故m=-.
(2)因为直线l的斜率为1,即直线l的斜率存在,所以2m2+m-1≠0,解得m≠-1,且m≠.
直线l的斜率k=-,由题意知-=1,解得m=或m=-1(舍去).
故m=.
B组
1.已知直线l经过(-1,-1),(2,5)两点,且点(1 010,b)在l上,则b的值为( )
A.2 018 B.2 019
C.2 020 D.2 021
解析:直线l的方程为,整理得y=2x+1.令x=1 010,得b=2 021.
答案:D
2.若直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等,则直线l的斜率为( )
A.1 B.-1
C.-2或1 D.-1或2
解析:根据题意a≠0.
直线l的方程为ax+y-2-a=0,令y=0,得l在x轴上的截距;
令x=0,得l在y轴上的截距2+a.
由题意得=2+a,即a2+a-2=0,解得a=-2或a=1.
故直线l的斜率为2或-1.
答案:D
3.已知直线l的倾斜角为135°,直线l1经过点A(3,2)和B(a,-1),且直线l1与直线l垂直,直线l2的方程为2x+by+1=0,且直线l2与直线l1平行,则a+b等于( )
A.-4 B.-2
C.0 D.2
解析:易知直线l的斜率为-1.
∵l1⊥l,∴l1的斜率为1.∴a≠3.
∴=1,解得a=0.
∵l1∥l2,∴l2的斜率为1.
∴=1,解得b=-2,经检验,当b=-2时l1∥l2.
∴a+b=-2.
答案:B
4.若直线l1:ax+(1-a)y=3与l2:(a-1)x+(2a+3)y=2互相垂直,则实数a= .
解析:因为直线l1与l2垂直,所以a(a-1)+(1-a)(2a+3)=0,即a2+2a-3=0,解得a=1或a=-3.
答案:1或-3
5.已知直线a1x+b1y+1=0和直线a2x+b2y+1=0都经过点A(2,1),则过P1(a1,b1),P2(a2,b2)两点的直线方程是 .
解析:∵点A(2,1)在直线a1x+b1y+1=0上,
∴2a1+b1+1=0.
由此可知点P1(a1,b1)在直线2x+y+1=0上.
∵点A(2,1)在直线a2x+b2y+1=0上,
∴2a2+b2+1=0.
由此可知点P2(a2,b2)在直线2x+y+1=0上.
∴过两点P1(a1,b1),P2(a2,b2)的直线方程是2x+y+1=0.
答案:2x+y+1=0
6.已知直线l1:(m+2)x+(m+3)y-5=0和直线l2:6x+(2m-1)y=5.当m为何值时,有:
(1)l1∥l2
(2)l1⊥l2
解:(1)由(m+2)(2m-1)-6(m+3)=0,得m=4或m=-.
当m=4时,l1:6x+7y-5=0,l2:6x+7y=5,即l1与l2重合;
当m=-时,l1:-x+y-5=0,l2:6x-6y-5=0,即l1∥l2.
故当m=-时,l1∥l2.
(2)由6(m+2)+(m+3)(2m-1)=0,得m=-1或m=-.
故当m=-1或m=-时,l1⊥l2.
7.设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R),
(1)若l在两个坐标轴上的截距相等,求直线l的方程;
(2)若l不经过第二象限,求实数a的取值范围.
解:(1)当直线l经过原点时,直线在x轴和y轴上的截距都为零,显然相等.
将点(0,0)的坐标代入直线l的方程,得a=2,此时直线l的方程为3x+y=0.
当直线l不过原点时,由题意知a+1≠0,即a≠-1.
直线l在x轴上的截距为,在y轴上的截距为a-2.
由=a-2,得a=0,则直线l的方程为x+y+2=0.
综上所述,直线l的方程为3x+y=0或x+y+2=0.
(2)将直线l的方程化为y=-(a+1)x+a-2,由题意得
解得a≤-1.
故实数a的取值范围为(-∞,-1].
