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2.1.1 倾斜角与斜率
第二章
2.1
2022
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素.
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念.
3.经历用代数方法刻画直线斜率的过程,掌握过两点的直线斜率的计算公式.
4.掌握倾斜角与斜率的对应关系.
5.体会数学抽象和直观想象的过程,加强逻辑推理与数学运算能力的培养.
自主预习 新知导学
一、直线的倾斜角
【问题思考】
1.在平面直角坐标系中,经过一点P(2,2)可以作多少条直线 这些直线区别在哪里呢
提示:经过点P(2,2)可以作无数条直线l1,l2,l3,…,如下图所示.
区别是它们的方向不同.
2.如何表示这些直线的方向呢
提示:这些直线相对于x轴的倾斜程度不同,也就是它们与x轴所成的角不同.因此,我们可以利用这样的角来表示这些直线的方向.
3.填表:
4.做一做:如图所示,直线l的倾斜角为( )
A.45° B.135°
C.0° D.不存在
解析:由题图可知,直线l的倾斜角为45°+90°=135°.
答案:B
二、直线的斜率
【问题思考】
1.我们知道,两点确定一条直线,进而它的倾斜角也就确定了,那么任给直线l上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中x1≠x2),直线l的倾斜角α与P1,P2两点的坐标有什么样的内在联系呢 请用向量法探究下列问题:
(1)已知直线l经过点O(0,0),P(1,1),则倾斜角α与点O,P的坐标有什么关系
(2)类似地,如果直线l经过点P1(1,0),P2(-1,2),那么倾斜角α与点P1,P2的坐标有什么关系
(3)一般地,如果直线l经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,那么倾斜角α与点P1,P2的坐标有怎样的关系
2.填空:
(2)我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示,即k=tan α.
(4)在平面直角坐标系中,倾斜角和斜率分别从形和数两个角度刻画了直线相对于x轴的倾斜程度,它们的对应关系如下表:
3.做一做:(1)已知点P1(3,5),P2(-1,-3),则直线P1P2的斜率k等于( )
(2)已知直线l的倾斜角α=60°,则其斜率k= .
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)若直线的斜率存在,则必有倾斜角与之对应.( √ )
(2)若直线的倾斜角存在,则必有斜率与之对应.( × )
(3)若两直线的倾斜角相等,则它们的斜率也一定相等.( × )
(4)直线的斜率随倾斜角α的增大而增大.( × )
合作探究 释疑解惑
探究一
求直线的倾斜角
【例1】 (1)设直线l过原点,其倾斜角为α,将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°得到直线l1,则直线l1的倾斜角为( )
A.α+45°
B.α-135°
C.135°-α
D.当0°≤α<135°时,倾斜角为α+45°,当135°≤α<180°时,倾斜角为α-135°
(2)已知直线l1过原点,其倾斜角α1=15°,直线l1与l2的交点为A,且l1与l2向上的方向之间所成的角为75°,则直线l2的倾斜角为 .
分析:对于(1),由于α不确定,需分情况讨论;对于(2),画出图象,利用图象求解.
解析:(1)因为0°≤α<180°,所以选项A,B,C未分类讨论,均不全面,故不正确.
根据题意,画出大致图形,如图所示.
当0°≤α<135°时,直线l1的倾斜角为α+45°,如图①所示;
当135°≤α<180°时,直线l1的倾斜角为45°+α-180°=α-135°,如图②所示.故选D.
(2)设直线l2的倾斜角为α2(示意图如图).
由对顶角相等可得,α2=15°+75°=90°,即直线l2的倾斜角为90°.
答案:(1)D (2)90°
反思感悟 求直线的倾斜角时,往往借助于图形.结合图形求倾斜角时,应注意倾斜角的范围以及平面几何知识的应用.
【变式训练1】 已知直线l向上的方向与y轴正向之间所成的角为30°,则直线l的倾斜角为 .
解析:有如下两种情况:
如图①,直线l向上的方向与x轴正向
之间所成的角为60°,即直线l的倾斜
角为60°.
如图②,直线l向上的方向与x轴正向
之间所成的角为120°,即直线l的倾
斜角为120°.
答案:60°或120°
探究二
求直线的斜率
【例2】 已知平面直角坐标系中三点A(-1,1),B(1,1),C(2, +1).
(1)求直线AB,BC,AC的斜率和倾斜角;
(2)若D为△ABC的边AB上一动点,求直线CD的斜率k的取值范围.
分析:(1)利用斜率公式求斜率,由斜率与倾斜角的关系求倾斜角;(2)结合图形,根据直线CD斜率的变化情况,确定其范围.
由倾斜角的范围及正切函数的单调性,得直线AB的倾斜角为0°;直线BC的倾斜角为60°;直线AC的倾斜角为30°.
(2)如图,当动点D由点A移动到点B时,
直线CD的斜率k由kAC增大到kBC,
设点A(m,-m+3),B(2,m-1),C(-1,4),直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍,则实数m的值为 .
解析:依题意知,直线AC的斜率存在,则m≠-1.
答案:4
反思感悟 当已知两定点坐标求过这两点的直线斜率时,可利用斜率公式求解.应用斜率公式时,应先判定两定点的横坐标是否相等.若相等,则直线垂直于x轴,斜率不存在;若不相等,则代入斜率公式求解.
【变式训练2】 (1)若经过A(2,1),B(1,m2)两点的直线l的倾斜角为锐角,则m的取值范围是( )
A.m<1 B.m>-1
C.-11或m<-1
(2)经过A(4,-1),B(2,-3)两点的直线的方向向量为(1,k),则k= .
答案:(1)C (2)1
探究三
斜率与倾斜角的应用
【例3】 已知直线l的倾斜角α=45°,且P1(2,y1),P2(x2,5),P3(3,1)三点在直线l上,求x2,y1的值.
分析:已知直线l的倾斜角可以求出其斜率,且P1,P2,P3三点在直线l上,故直线P1P2,P2P3的斜率均等于直线l的斜率,从而可以解出x2,y1的值.
解:∵α=45°,∴直线l的斜率k=tan 45°=1.
∵点P1,P2,P3都在直线l上,
反思感悟 斜率反映倾斜角不等于90°的直线相对于x轴的倾斜程度,直线上任意两点所确定的直线的方向不变,即在同一条直线上任意不同的两点所确定的斜率相等,这正是可以利用斜率证明三点共线的原因.
【变式训练3】 如果A(2,1),B(-2,m),C(6,8)三点在同一条直线上,那么m的值为 .
答案:-6
【易错辨析】
因忽略两点斜率公式的条件而致误
【典例】 求经过A(m,3),B(1,2)两点的直线的斜率,并指出倾斜角α的取值范围.
所以直线的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°.
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:未考虑斜率公式运用的条件,忽略了斜率不存在,即m=1的情况.
正解:当m=1时,直线的斜率不存在,此时直线的倾斜角α=90°.
防范措施 1.斜率公式k= 的适用前提条件为x1≠x2,因此若点的坐标中含有未知数,在计算直线的斜率时,要保证斜率公式有意义.
2.直线的倾斜角α的范围是[0,π),根据斜率求倾斜角时,注意结合正切函数在区间[0,π)上的图象求解.
【变式训练】 已知M(a,b),N(a,c)(b≠c),则直线MN的倾斜角是 .
解析:M,N两点横坐标相同均为a,故直线MN与x轴垂直,即直线MN的倾斜角是90°.
答案:90°
随堂练习
1.下图中α能表示直线l的倾斜角的是( )
A.① B.①②
C.①③ D.②④
解析:结合直线倾斜角的概念可知①可以,故选A.
答案:A
2.在平面直角坐标系中,一条直线的斜率为 ,则此直线的倾斜角为( )
A.30° B.60°
C.120° D.150°
解析:由题意知tan α= .
∵0°≤α<180°,
∴α=60°.
答案:B
答案:A
4.若过A(4,y),B(2,-3)两点的直线的倾斜角是45°,则y= .
解析:直线的倾斜角为45°,则其斜率k=tan 45°=1.
答案:-1
5.已知A(1,1),B(3,5),C(a,7),D(-1,b)四点在同一条直线上,求此直线的斜率及a,b的值.
本 课 结 束第二章 直线和圆的方程
2.1 直线的倾斜角与斜率
2.1.1 倾斜角与斜率
课后训练巩固提升
1.过A(1,),B(4,2)两点的直线的倾斜角为( )
A.30° B.60°
C.120° D.150°
解析:设直线AB的倾斜角为α,则tan α=.∵0°≤α<180°,∴α=30°.
答案:A
2.过点M(-2,a)和N(a,4)的直线的方向向量为(1,1),则a的值为( )
A.1 B.4
C.1或3 D.1或4
解析:由题意得a≠-2,=1,解得a=1.
答案:A
3.在平面直角坐标系中,等边三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0,则边AC,AB所在直线的斜率之和为( )
A.-2 B.0
C. D.2
解析:由题意知边BC所在的直线与x轴平行或重合,又三角形ABC为等边三角形,所以边AC,AB所在直线的倾斜角互为补角,故kAB+kAC=0.
答案:B
4.若图中的直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则有( )
A.k1B.k2C.k1D.k2解析:设直线l1,l2,l3的倾斜角分别为α1,α2,α3,则α3<α2<90°<α1.
故相应斜率的大小关系为k1<0答案:C
5.(多选题)下列各组中的三点共线的是( )
A.(1,4),(-1,2),(3,5) B.(3,5),(7,6),(-5,3)
C.(1,0),,(7,2) D.(0,0),(2,4),(-1,-2)
解析:对于A,∵,∴三点不共线;
对于B,∵,∴三点共线;
对于C,∵,∴三点共线;
对于D,∵,∴三点共线.
答案:BCD
6.在y轴上有一点M,经过M与点(-,1)的直线的倾斜角为60°,则点M的坐标为 .
解析:设点M的坐标为(0,y),则tan 60°=,解得y=4.
故M(0,4).
答案:(0,4)
7.已知点A(1,0),B(2,),C(m,2m),若直线AC的倾斜角是直线AB的倾斜角的2倍,则实数m的值为 ,直线AC的一个方向向量为 .
解析:设直线AB的倾斜角为α,则直线AC的倾斜角为2α.
由题意得tan α=,又0°≤α<180°,
∴α=60°,从而2α=120°.
∴kAC==tan 120°=-,解得m=2-3.直线AC的一个方向向量为(1,-).
答案:2-3 (1,-)(答案不唯一)
8.已知直线l1,l2均与y轴相交,且关于y轴对称,l1,l2的倾斜角分别为α1,α2,则倾斜角α1与α2的关系是 .
解析:如图,由l1,l2关于y轴对称,得α1=α3.
∵α3+α2=180°,∴α1+α2=180°.
答案:α1+α2=180°
9.已知A(m,3),B(2,3+2)两点,直线l的斜率是,且l的倾斜角是直线AB的倾斜角的,求m的值.
解:已知直线l的斜率为,设其倾斜角为α,则tan α=.
∵0°≤α<180°,
∴α=30°.
又直线l的倾斜角是直线AB的倾斜角的,
∴直线AB的倾斜角为90°.
∴直线AB与x轴垂直.∴m=2.
10.已知点P(3,-1),M(5,1),N(2,-1),直线l经过点P,且与线段MN相交.求:
(1)直线l的倾斜角α的取值范围;
(2)直线l的斜率k的取值范围.
解:(1)直线PN的斜率kPN==-,直线PM的斜率kPM==1,可得直线PN的倾斜角为,直线PM的倾斜角为,如图所示.
因为直线l与线段MN相交,所以直线l的倾斜角α的取值范围是.
(2)由正切函数的单调性,得直线l的斜率k的取值范围是(-∞,-]∪[1,+∞).
