(共34张PPT)
2.1.2 两条直线平行和垂直的判定
第二章
2.1
2022
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.理解两条直线平行或垂直的充要条件.
2.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.
3.能利用两条直线平行或垂直的条件解决有关问题.
4.发展直观想象、数学抽象、逻辑推理和数学运算素养.
自主预习 新知导学
一、两条直线平行与斜率之间的关系
【问题思考】
1.如图,设两条不重合的直线l1与l2,其倾斜角分别为α1
与α2,斜率分别为k1,k2.若l1∥l2,则α1与α2之间有什么关系
k1与k2之间有什么关系
提示:α1与α2之间的关系为α1=α2.对于k1与k2之间的关系,
当α1=α2≠90°时,因为α1=α2,所以tan α1=tan α2,即k1=k2;当α1=α2=90°时, k1,k2不存在.
2.对于两条不重合的直线l1与l2,若k1=k2,是否一定有l1∥l2 为什么
提示:一定有l1∥l2.因为k1=k2 tan α1=tan α2 α1=α2 l1∥l2.
3.填表:两条直线平行与斜率之间的关系
设两条不重合的直线l1,l2的倾斜角分别为α1,α2,当斜率都存在时,分别为k1,k2,则对应关系如下表所示.
4.做一做:已知直线l1经过(-1,-2),(-1,4)两点,直线l2经过(2,1),(x,6)两点,若l1∥l2,则x= .
解析:由题意知l1⊥x轴.
因为l1∥l2,所以l2⊥x轴.
所以x=2.
答案:2
二、两条直线垂直与斜率之间的关系
【问题思考】
1.设两条直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,方向向量分别为a,b,请用k1,k2写出向量a,b的坐标.
提示:a=(1,k1),b=(1,k2).
2.如果l1⊥l2,那么方向向量a,b有什么关系 你会得出怎样的关系式
提示:a⊥b.l1⊥l2 a⊥b a·b=0 1×1+k1k2=0,即k1k2=-1.
3.当直线l1或l2的倾斜角为0°时,若l1⊥l2,则另一条
直线的倾斜角是多少
提示:90°,如图,当直线l1的倾斜角为0°时,若l1⊥l2,
则l2的倾斜角为90°,其斜率不存在.
4.填表:两条直线垂直与斜率的关系
5.做一做:已知直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,且k1=2,l1⊥l2,则k2= .
解析:∵l1⊥l2,
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)若两条直线平行,则斜率一定相等.( × )
(2)斜率相等的两条直线(不重合)一定平行.( √ )
(3)只有斜率之积为-1的两条直线才垂直.( × )
(4)若两条直线垂直,则斜率乘积为-1.( × )
合作探究 释疑解惑
探究一
两条直线平行
【例1】 (1)下列各对直线互相平行的是( )
A.经过A(0,1),B(1,0)两点的直线l1与经过M(-1,3),N(2,0)两点的直线l2
B.经过A(-1,-2),B(1,2)两点的直线l1与经过M(-2,-1),N(0,-2)两点的直线l2
C.经过A(1,2),B(1,3)两点的直线l1与经过C(1,-1),D(1,4)两点的直线l2
D.经过A(3,2),B(3,-1)两点的直线l1与经过M(1,-1),N(3,2)两点的直线l2
(2)已知 ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1),B(1,0),C(4,3),则顶点D的坐标为 .
分析:对于(1),判断两条直线是否平行,若斜率存在,看直线的斜率是否相等,若斜率不存在,结合图形判断;对于(2),利用两条直线平行,当斜率存在时,斜率相等,列出方程组,求出点D的坐标.
(2)设顶点D的坐标为(x,y),则x≠4,x≠0.
∴点D的坐标为(3,4).
答案:(1)A (2)(3,4)
反思感悟 1.判断两条直线是否平行,应先看两直线的斜率是否存在,若都不存在,则平行(不重合的情况下);若存在,再看是否相等,若相等,则平行(不重合的情况下).
2.已知两条直线平行,求某参数值时,也应分斜率存在与不存在两种情况求解.
【变式训练1】 直线l1的斜率为2,l1∥l2,直线l2经过点(-1,1)且与y轴交于点P,则点P的坐标为( )
A.(3,0) B.(-3,0)
C.(0,-3) D.(0,3)
解析:∵k1=2,且l1∥l2,∴k2=2.
答案:D
探究二
两条直线垂直
【例2】 (1)直线l1经过点A(3,2),B(3,-1),直线l2经过点M(1,1),N(2,1),判断l1与l2是否垂直;
(2)已知直线l1经过点A(3,a),B(a-2,3),直线l2经过点C(2,3),D(-1,a-2),若l1⊥l2,求a的值.
分析:(1)若斜率存在,求出斜率,利用垂直的条件判断;若一条直线的斜率不存在,再看另一条直线的斜率是否为0,若为0,则垂直.
(2)当两条直线的斜率都存在时,由斜率之积等于-1求解;若其中一条直线的斜率不存在,则由另一条直线的斜率为0求解.
解:(1)因为直线l1的斜率不存在,直线l2的斜率为0,所以l1⊥l2.
(2)由题意,知l2的斜率k2一定存在,l1的斜率可能不存在.
当l1的斜率不存在时,3=a-2,解得a=5,此时k2=0,则l1⊥l2,符合题意.
综上所述,a的值为0或5.
反思感悟 两条直线垂直需判定k1k2=-1,使用它的前提是两条直线的斜率都存在,若其中一条直线斜率不存在,另一条直线斜率为零,此时两直线也垂直,注意讨论的全面性.
【变式训练2】 已知直线l1的斜率k1= ,直线l2经过点A(3a,-2),B(0,a2+1),且l1⊥l2,则实数a= .
解析:由题意知直线l2的斜率存在,则3a≠0,即a≠0.
答案:1或3
探究三
直线平行与垂直关系的综合应用
【例3】 已知A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点,若顺次连接A,B,C,D四点,试判定图形ABCD的形状.
分析:先由图形判断四边形各边的关系,猜测四边形的形状,再由斜率之间的关系完成证明.
解:A,B,C,D四点在平面直角坐标系中的位置如图所示,
∵kAB=kCD,且由图知AB与CD不重合,
∴AB∥CD.
由kAD≠kBC,知AD与BC不平行.
又kABkAD= ×(-3)=-1,
∴AB⊥AD.
故四边形ABCD为直角梯形.
已知矩形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1),B(1,0),C(3,2),则点D的坐标为 .
解析:设点D的坐标为(x,y).
∴点D(2,3).
答案:(2,3)
方法总结 利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤
【变式训练3】 已知A(1,-1),B(2,2),C(3,0)三点,且有一点D满足CD⊥AB,CB∥AD,则点D的坐标为( )
A.(-1,0) B.(0,-1)
C.(1,0) D.(0,1)
解析:设D(x,y).因为直线AB的斜率不为0,直线CB的斜率存在,所以直线CD,AD的斜率存在.
答案:D
【易错辨析】
求参数时因忽视斜率不存在的情况致误
【典例】 已知A(-m-3,2),B(-2m-4,4),C(-m,m),D(3,3m+2)四点,若直线AB⊥CD,求m的值.
∴m的值为1.
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:本题出错的原因正是忽视了斜率公式应用的前提,这类问题的解决方式应分斜率存在和不存在两种情况讨论.
正解:∵A,B两点纵坐标不相等,
∴AB与x轴不平行.∵AB⊥CD,
∴CD与x轴不垂直,∴-m≠3,即m≠-3.
①当AB与x轴垂直时,-m-3=-2m-4,解得m=-1.
∵当m=-1时,点C,D的纵坐标均为-1.
∴CD∥x轴,此时AB⊥CD,符合题意.
②当AB与x轴不垂直时,m≠-1,
综上,m的值为-1或1.
防范措施 两条直线垂直 k1k2=-1的前提条件是k1,k2均存在,且不为零.当一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0时,两条直线也垂直.
【变式训练】 已知A(m-1,2),B(1,1),C(3,m2-m-1)三点,若AB⊥BC,则m的值为 .
综上,若AB⊥BC,则m=2或m=-3.
答案:2或-3
随堂练习
1.已知经过点A(-2,m),B(m,4)的直线与斜率为-2的直线平行,则m的值为( )
A.0 B.-8
C.2 D.10
解析:由题意得经过A,B两点的直线的斜率存在,则m≠-2.
答案:B
2.已知三角形三个顶点的坐标分别为A(4,2),B(1,-2),C(-2,4),则BC边上的高所在直线的斜率为( )
答案:C
3.以点A(-1,1),B(2,-1),C(1,4)为顶点的三角形是( )
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.以点A为直角顶点的直角三角形
D.以点B为直角顶点的直角三角形
∵kABkAC=-1,∴AB⊥AC,即∠A为直角.
答案:C
4.直线l1的斜率为2,直线l2上有三点M(3,5),N(x,7),P(-1,y),若l1⊥l2,则x= ,y= .
解析:∵l1⊥l2,且l1的斜率为2,
答案:-1 7
本 课 结 束2.1.2 两条直线平行和垂直的判定
课后训练巩固提升
A组
1.已知直线l的倾斜角为10°,直线l1∥l,直线l2⊥l,则l1与l2的倾斜角分别为( )
A.10°,10° B.80°,80°
C.10°,100° D.100°,10°
答案:C
2.如果直线l1的斜率为a,l1⊥l2,那么直线l2的斜率为( )
A. B.a
C.- D.-或不存在
解析:当a≠0时,直线l2的斜率k2=-;当a=0时,直线l2的斜率不存在.
答案:D
3.已知过点P(3,2m)和Q(m,2)的直线与过点M(2,-1)和N(-3,4)的直线平行,则m的值是( )
A.1 B.-1 C.2 D.-2
解析:由题意得m≠3,=-1,解得m=-1.
答案:B
4.已知直线l1和l2互相垂直,且都过点A(1,1),若l1过原点O(0,0),则l2与y轴交点的坐标为( )
A.(2,0) B.(0,2) C.(0,1) D.(1,0)
解析:由题意知,直线l1,l2的斜率都存在.设直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,l2与y轴交点的坐标为(0,b).
∵l1⊥l2,∴k1k2=-1,即=-1,解得b=2,即l2与y轴交点的坐标为(0,2).
答案:B
5.(多选题)对于两条不重合的直线l1,l2,下列说法正确的有( )
A.若两条直线斜率相等,则两条直线平行
B.若l1⊥l2,则斜率之积k1k2=-1
C.若两条直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则两直线相交
D.若两条直线斜率都不存在,则两条直线平行
解析:当k1=k2时,l1与l2平行,故A正确;B中也可能一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0,故B不正确;C,D正确.
答案:ACD
6.已知直线l1的倾斜角为60°,直线l2经过点M(1,),N(-2,-2),则直线l1,l2的位置关系是 .
解析:由题意知,k1=tan 60°=,k2=.
因为k1=k2,所以直线l1与直线l2平行或重合.
答案:平行或重合
7.已知△ABC的三个顶点分别是A(2,2),B(0,1),C(4,3),点D(m,1)在边BC的高所在直线上,则实数m= .
解析:由题意得AD⊥BC,且AD,BC所在直线的斜率存在,则kADkBC=-1,即=-1,解得m=.
答案:
8.已知直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,且k1,k2是关于k的方程2k2-3k-b=0的两根.若l1⊥l2,则b= ;若l1∥l2,则b= .
解析:若l1⊥l2,则k1k2==-1,解得b=2.
若l1∥l2,则k1=k2,即Δ=9-4×2×(-b)=0,解得b=-.
答案:2 -
9.如图,在 OABC中,O为坐标原点,点C(1,3).
(1)求OC所在直线的斜率;
(2)过点C作CD⊥AB交AB于点D,求直线CD的斜率.
解:(1)∵点O(0,0),C(1,3),
∴OC所在直线的斜率kOC==3.
(2)在 OABC中,AB∥OC.
∵CD⊥AB,∴CD⊥OC.
∴kOC·kCD=-1.∴kCD==-.
故直线CD的斜率为-.
10.已知△ABC的三个顶点A(5,-1),B(1,1),C(2,m),若△ABC为直角三角形,求m的值.
解:边AB所在直线的斜率为kAB==-,边AC所在直线的斜率为kAC==-,边BC所在直线的斜率为kBC==m-1.
若AB⊥AC,则-=-1,解得m=-7;
若AB⊥BC,则-×(m-1)=-1,解得m=3;
若AC⊥BC,则-×(m-1)=-1,解得m=±2.
综上可知,所求m的值为-7,±2,3.
B组
1.已知直线l1,l2的斜率为方程x2-3x-1=0的两根,则l1与l2的位置关系是( )
A.平行 B.重合
C.相交但不垂直 D.垂直
解析:由题意得k1≠k2,且k1k2=-1,故直线l1与l2垂直.
答案:D
2.已知直线l1的斜率为2,直线l2经过点A(-1,-2),B(x,6),且l1∥l2,则lox=( )
A.3 B.
C.2 D.-
解析:由题意得直线l2的斜率存在,且=2,解得x=3,所以lox=-.
答案:D
3.已知直线l1的倾斜角为45°,且直线l1经过点A(3,2),B(a,-2),若l1⊥l2,且l2的斜率为-,则a+b的值为( )
A.-1 B.1 C.-3 D.3
解析:由题意得a≠3,=1,解得a=-1.
∵l1⊥l2,∴-=-1,解得b=2.∴a+b=1.
答案:B
4.若点P(a,b)与Q(b-1,a+1)关于直线l对称,则直线l的倾斜角α为( )
A.135° B.45° C.30° D.60°
解析:由题意知,a≠b-1,PQ⊥l.
∵kPQ==-1,
∴直线l的斜率k=1,即tan α=1,∴α=45°.
答案:B
5.已知 ABCD的其中三个顶点是A(1,1),B(-2,3),C(0,-4),则点D的坐标是 .
解析:设D(x,y).
由题意知,AB∥CD,AD∥BC,且x≠0,x≠1,则kAB=kCD,且kAD=kBC,即解得
故点D的坐标为(3,-6).
答案:(3,-6)
6.已知点A(0,1),点B的横坐标x与纵坐标y满足x+y=0.若AB⊥OB,则点B的坐标是 .
解析:由题意知,点B的坐标为(x,-x),
∵AB⊥OB,
∴x≠0,且=-1,解得x=-.
∴点B的坐标为.
答案:
7.已知直线l1经过点A(3,a),B(a-1,2),直线l2经过点C(1,2),D(-2,a+2).
(1)若l1∥l2,求a的值;
(2)若l1⊥l2,求a的值.
解:设直线l2的斜率为k2,则k2==-.
(1)因为l1∥l2,所以直线l1的斜率存在.设直线l1的斜率为k1,则k1=-.
因为k1=,所以=-,解得a=1或a=6.
经检验,当a=1或a=6时,l1∥l2.
(2)若l1⊥l2,
①当直线l1的斜率不存在时,3=a-1,即a=4,此时k2=-≠0,不符合题意.
②当直线l1的斜率存在时,即a≠4,k1=.
由k1k2=-1,即=-1,得a=3或a=-4.
所以,当a=3或a=-4时,l1⊥l2.
8.在平面直角坐标系中,四边形OPQR的顶点按逆时针顺序依次是O(0,0),P(1,t),Q(1-2t,2+t),R(-2t,2),其中t∈(0,+∞),试判断四边形OPQR的形状,并给出证明.
解:边OP所在直线的斜率kOP=t,
边QR所在直线的斜率kQR==t,
边OR所在直线的斜率kOR=-,
边PQ所在直线的斜率kPQ==-.
∵kOP=kQR,kOR=kPQ,
∴OP∥QR,OR∥PQ,
∴四边形OPQR是平行四边形.
又kQR·kOR=t×=-1,∴QR⊥OR.
∴四边形OPQR是矩形.
OQ所在直线的斜率kOQ=,PR所在直线的斜率kPR=.
令kOQ·kPR=-1,无解.
∴OQ与PR不垂直.∴四边形OPQR不是正方形.
当t=时,O(0,0),P,R(-1,2).
∵OP≠OR,
∴四边形OPQR不是正方形.
同理,当t=-时,四边形OPQR也不是正方形.
综上,四边形OPQR是矩形.
