2.3.3 点到直线的距离公式
2.3.4 两条平行直线间的距离
课后训练巩固提升
A组
1.点(0,5)到直线y=2x的距离是( )
A. B.
C. D.
解析:直线方程y=2x化为一般式为2x-y=0,
点(0,5)到直线y=2x的距离d=.
答案:B
2.到直线3x-4y-11=0的距离为2的直线的方程为( )
A.3x-4y-1=0
B.3x-4y-1=0或3x-4y-21=0
C.3x-4y+1=0
D.3x-4y-21=0
解析:设所求直线的方程为3x-4y+C=0.
由题意得=2,解得C=-1或C=-21.故选B.
答案:B
3.若点(4,a)到直线4x-3y=1的距离不大于3,则a的取值范围是( )
A.(0,10) B.[0,10] C.[-5,5] D.(-5,5)
解析:由题意得≤3,解得0≤a≤10.
答案:B
4.已知点P为x轴上一点,点P到直线3x-4y+6=0的距离为6,则点P的坐标为( )
A.(8,0) B.(-12,0)
C.(8,0)或(-12,0) D.(0,0)
解析:设P(a,0),则=6,解得a=8或a=-12.
故点P的坐标为(8,0)或(-12,0).
答案:C
5.l1,l2是分别经过点A(1,1),B(0,-1)的两条平行直线,当l1,l2间的距离最大时,直线l1的方程为( )
A.x+2y-3=0 B.x-2y-3=0
C.2x-y-1=0 D.2x-y-3=0
解析:当两条平行直线与直线AB垂直时,两条平行直线间的距离最大.
直线AB的斜率kAB==2,故直线l1的斜率k1=-,于是,直线l1的方程为y-1=-(x-1),
即x+2y-3=0.
答案:A
6.点(2,1)到x轴的距离为 ,到直线y=x的距离为 .
解析:点(2,1)到x轴的距离为1,到直线x-y=0的距离为.
答案:1
7.若点A(3,2)和点B(-1,4)到直线l:mx+y+3=0的距离相等,则m的值等于 .
解析:∵A,B两点到直线l的距离相等,
∴AB∥l或l经过线段AB的中点(1,3).
∴=-m或m+3+3=0,解得m=或m=-6.
答案:或-6
8.已知直线l与两条直线l1:2x-y+3=0和l2:2x-y-1=0平行,且距离相等,则l的方程为 .
解析:设直线l的方程为2x-y+C=0.
由两条平行直线间的距离公式,得,解得C=1.
因此,直线l的方程为2x-y+1=0.
答案:2x-y+1=0
9.已知直线l1:3x+4y-12=0与直线l2:ax+8y+11=0平行.
(1)求实数a的值;
(2)求直线l1与l2间的距离.
解:(1)由,得a=6.
故实数a的值为6.
(2)由(1)得直线l2的方程为6x+8y+11=0,把直线l1的方程化为6x+8y-24=0.
根据两条平行直线间的距离公式,可得l1与l2间的距离为d=.
10.直线l1经过点A(0,1),l2经过点B(5,0),如果l1∥l2,且l1与l2的距离为5,求l1,l2的方程.
解:当直线l1,l2的斜率都存在时,∵l1∥l2,
∴设两条直线的斜率均为k.
由斜截式,得l1的方程y=kx+1,即kx-y+1=0.
由点斜式,得l2的方程y=k(x-5),即kx-y-5k=0.
由两条平行直线间的距离公式,得=5,解得k=.
因此,l1的方程为12x-5y+5=0,l2的方程为12x-5y-60=0.
当直线l1,l2的斜率都不存在时,l1的方程为x=0,l2的方程为x=5,两条平行直线间的距离为5,同样满足条件.
故满足条件的直线方程有以下两组:
l1:12x-5y+5=0,l2:12x-5y-60=0或l1:x=0,l2:x=5.
B组
1.在平面直角坐标系中,点(0,2)与点(4,0)关于直线l对称,则点(0,2)到直线l的距离为( )
A.5 B.0 C. D.2
解析:(方法一)点(0,2)到直线l的距离为点(0,2)与点(4,0)间的距离的一半.故点(0,2)到直线l的距离为.
(方法二)由点(0,2)与点(4,0)关于直线l对称,可得直线l的斜率为=2,且直线l经过两点连线的中点(2,1),则直线l的方程为y-1=2(x-2),即2x-y-3=0.
故点(0,2)到直线l的距离为.
答案:C
2.过点(1,2),且与原点距离最大的直线的方程为( )
A.x+2y-5=0 B.2x+y-4=0
C.x+3y-7=0 D.3x+y-5=0
解析:由已知得,所求直线过点(1,2),且垂直于(0,0)与(1,2)两点的连线.
∵过(0,0)与(1,2)两点的连线的斜率为2,
∴所求直线的斜率k=-,
∴直线的方程为y-2=-(x-1),即x+2y-5=0.
答案:A
3.两条平行直线分别经过点A(5,0),B(0,12),它们之间的距离d满足的条件是( )
A.0C.0解析:当两条平行直线与直线AB垂直时,两条平行直线间的距离最大,最大值为|AB|=13,所以0答案:B
4.已知点P(x,y)在直线2x+y+5=0上,则x2+y2的最小值为( )
A. B.2
C.5 D.2
解析:由题意知,x2+y2的最小值可看成直线2x+y+5=0上的点与原点间的距离的平方的最小值,即为原点到该直线的距离d的平方.
由点到直线的距离公式,得d=.
故x2+y2的最小值为5.
答案:C
5.已知直线l在x轴上的截距为1,且A(-2,-1),B(4,5)两点到l的距离相等,则l的方程为 .
解析:当l垂直于x轴时,l的方程为x=1,符合题意.
当l的斜率存在时,设l的斜率为k,则l的方程为y=k(x-1),即kx-y-k=0.
∵点A,B到l的距离相等,
∴,即|1-3k|=|3k-5|,解得k=1.
∴l的方程为x-y-1=0.
综上,l的方程为x=1或x-y-1=0.
答案:x=1或x-y-1=0
6.若动点A,B分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则线段AB的中点M到原点的距离的最小值为 .
解析:(方法一)由题意知,点M的轨迹为平行于直线l1,l2,且到l1,l2的距离相等的一条直线,易得该直线方程为x+y-6=0,则点M到原点的距离的最小值为原点到直线x+y-6=0的距离d==3.
(方法二)当点O,A,B,M在一条直线上,且这条直线垂直于直线l1,l2时,点M到原点的距离取得最小值.
在平面直角坐标系中作出大致图象,如图所示.
原点O到直线l1的距离d1=,原点O到直线l2的距离d2=,因此,点M到原点的距离的最小值为=3.
答案:3
7.已知直线l经过点P(-2,5),且斜率为-.
(1)求直线l的方程;
(2)若直线m与l平行,且点P到直线m的距离为3,求直线m的方程.
解:(1)由点斜式,得直线l的方程为y-5=-(x+2),整理得3x+4y-14=0.
故直线l的方程为3x+4y-14=0.
(2)因为直线m与l平行,所以可设直线m的方程为3x+4y+C=0.
由点到直线的距离公式,得=3,解得C=1或C=-29.
故直线m的方程为3x+4y+1=0或3x+4y-29=0.
8.已知△ABC的三个顶点是A(-2,0),B(2,-2),C(0,5),过点M(-4,2),且平行于边AB所在直线的直线l将△ABC分成两部分,如图所示,求这两部分面积的比.
解:过A,B两点的直线的方程为,即x+2y+2=0.
根据题意,设直线l的方程为x+2y+m=0,将点M(-4,2)的坐标代入,得m=0,
故直线l的方程为x+2y=0.
直线l将△ABC分成两部分,因为l∥AB,所以△CPQ∽△CAB.
点C(0,5)到直线l的距离d1=,即为△CPQ的边PQ上的高.点C(0,5)到边AB所在直线的距离d2=,即为△ABC的边AB上的高.
于是,△CPQ的面积与△ABC的面积之比为,
所以,分成的两部分的面积之比为.(共40张PPT)
2.3.3 点到直线的距离公式
2.3.4 两条平行直线间的距离
第二章
2.3
2022
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.探索并掌握平面上点到直线的距离公式.
2.掌握两条平行直线间的距离公式.
3.会求点到直线的距离和两条平行直线间的距离.
4.培养逻辑推理和数学运算素养.
自主预习 新知导学
一、点到直线的距离公式
【问题思考】
1.如图,平面上点P到直线l的距离是指什么
提示:点P到直线l的距离,就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度,其中Q是垂足.
2.如上图,设点P(x0,y0),直线l:Ax+By+C=0(A≠0,B≠0),如何求垂足Q的坐标 如何求|PQ|
3.我们知道,向量是解决距离、角度问题的有力工具.现在,我们用向量方法求|PQ|.如图,设n是与直线l的方向向量垂直的单位向量,如何从向量投影的角度得到 的模的表达式
提示:设M(x,y)是直线l上的任意一点,
4.设P1(x1,y1),P2(x2,y2)是直线l:Ax+By+C=0上的任意两点,如何利用直线l的方程得到与l的方向向量垂直的单位向量n
把Ax1+By1+C=0,Ax2+By2+C=0两式相减,得A(x2-x1)+B(y2-y1)=0.
由平面向量的数量积运算可知,向量(A,B)与向量(x2-x1,y2-y1)垂直.
5.根据问题3,4的内容,你能求出|PQ|的值吗
6.填空:点到直线的距离
(1)概念:过一点向直线作垂线,则该点与垂足之间的距离,就是该点到直线的距离.
7.做一做:原点到直线x+2y-5=0的距离为( )
答案:D
二、两条平行直线间的距离
【问题思考】
1.两条平行直线间的距离是指什么
提示:两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长.
2.直线l1:x+y-1=0上有A(1,0),B(0,1),C(-1,2)三点,直线l2:x+y-2=0与直线l1平行,那么点A,B,C到直线l2的距离分别是多少 有什么规律吗
3.已知直线l1:Ax+By+C1=0(A,B不同时为0),直线l2:Ax+By+C2=0(C2≠C1),如何推导出l1与l2间的距离公式呢
提示:在直线l1:Ax+By+C1=0上任取一点P(x0,y0),点P(x0,y0)到直线l2:Ax+By+C2=0的距离就是这两条平行直线间的距离,
4.填空:两条平行直线间的距离
(1)概念:两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长.
(2)求法:两条平行直线间的距离转化为点到直线的距离.
5.做一做:两条平行直线l1:3x+4y-7=0和l2:3x+4y-12=0间的距离为( )
答案:C
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)当A=0或B=0或点P在直线l上时,点P到直线l:Ax+By+C=0的距离公式仍然适用.( √ )
(2)当两条直线平行时,一条直线上任一点到另一条直线的距离都相等.( √ )
(3)在应用两条平行直线间的距离公式时,两个直线方程中x,y的系数对应成比例即可.( × )
(4)点P(x0,y0)到x轴的距离是d=y0.( × )
合作探究 释疑解惑
探究一
求点到直线的距离
【例1】 求点P0(-1,2)到下列直线的距离:
(1)2x+y-10=0;(2)x=2;(3)y-1=0.
分析:对于(1)可用点到直线的距离公式求解,对于(2)(3)除了公式法求距离外还可以用数形结合法求解.
解:(1)由点到直线的距离公式,
(方法二)直线x=2与y轴平行,
由图①知d=|-1-2|=3.
(方法二)直线y-1=0与x轴平行,
由图②知d=|2-1|=1.
若点M(-2,1)到直线x+2y+C=0的距离为1,则C的值为 .
反思感悟 1.在应用点到直线的距离公式时,首先把直线方程化为一般式,再利用公式求解.
2.在已知点到直线的距离求参数时,只需根据公式列方程求解参数即可.
【变式训练1】 已知直线l经过点A(-1,2),且原点到l的距离等于 ,求直线l的方程.
解:因为原点到直线x=-1的距离为1,所以直线l的斜率存在.
设直线l的方程为y-2=k(x+1),则化成一般式为kx-y+2+k=0.
故直线l的方程为y-2=-(x+1)或y-2=-7(x+1),即x+y-1=0或7x+y+5=0.
探究二
求两条平行直线间的距离
【例2】 求两条平行直线l1:6x+8y=20和l2:3x+4y-15=0间的距离.
分析:思路一:直接应用两条平行直线间的距离公式d= ;思路二:先在直线l1上任取一点A(2,1),再求点A到直线l2的距离即为两条平行直线间的距离.
所以直线l1与l2间的距离为1.
解法二:在直线l1上任取一点A(2,1),
解法一:应用两条平行直线间的距离公式求解.
所以直线l1与l2间的距离为1.
反思感悟 求两条平行直线间的距离有两种思路:
(1)直接利用两条平行直线间的距离公式d= ,但必须注意两个直线方程中x,y的系数对应相等;
(2)利用“化归”法将求两条平行直线的距离转化为求一条直线上任意一点到另一条直线的距离.
【变式训练2】 已知直线l与直线3x+4y-1=0平行,且两条直线间的距离为4,则直线l的方程为 .
解析:设直线l的方程为3x+4y+C=0,
所以直线l的方程为3x+4y+19=0或3x+4y-21=0.
答案:3x+4y+19=0或3x+4y-21=0
探究三
距离公式的综合应用
【例3】 已知直线l经过点A(2,4),且被平行直线l1:x-y+1=0与l2:x-y-1=0所截的线段中点M在直线x+y-3=0上,求直线l的方程.
分析:可先设出点M的坐标,利用点M到两条平行直线的距离相等,求出点M的坐标,再用两点式写出直线l的方程,也可先求出与l1,l2平行且等距离的直线方程,再与方程x+y-3=0联立求出点M的坐标,最后由两点式写出直线l的方程.
解法一:∵点M在直线x+y-3=0上,
∴可设点M坐标为(t,3-t).
解法二:设与直线l1,l2平行且距离相等的直线l3的方程为x-y+C=0.
反思感悟 应用距离公式解答有关问题时,要注意以下几点:
(1)直线的方程是一般式,在应用两条平行直线间的距离公式时,两个直线方程中x,y的系数对应相等;
(2)要结合图形,帮助解答;
(3)求直线方程时,要特别注意斜率不存在的情况.
【变式训练3】 求经过点M(-2,1),且与A(-1,2),B(3,0)两点距离相等的直线l的方程.
解法一:当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-2,与A,B两点距离不相等,不符合题意;当直线l的斜率存在时,设l的方程为y-1=k(x+2),即kx-y+2k+1=0.
故直线l的方程为y=1或x+2y=0.
解法二:由平面几何知识知,l∥AB或l经过线段AB的中点.
若l经过线段AB的中点N(1,1),则直线l的方程为y=1.
故直线l的方程为y=1或x+2y=0.
【思想方法】
巧用数形结合思想求两条平行直线间距离的最值问题
【典例】 两条互相平行的直线分别经过点A(6,2)和B(-3,-1),如果两条平行直线间的距离为d,求:
(1)d的变化范围;
(2)当d取最大值时,求两条直线的方程.
审题视角:解答本题可以利用运动变化的观点,让两条直线分别绕定点转动,观察它们之间距离的变化情况,从而得到d的变化范围.
故所求的两条直线的方程分别为
y-2=-3(x-6),y+1=-3(x+3),
即3x+y-20=0,3x+y+10=0.
方法点睛 数形结合、运动变化的思想和方法是数学中常用的思想方法.当图形中的元素运动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况,进而可求出这些量的变化范围.类似地,当直线l经过定点A时,点B到直线l的距离d也是当l⊥AB时最大,最大值为|AB|;当l经过点B时最小,最小值为零.
【变式训练】 设x+2y=1,则x2+y2的最小值是 .
随堂练习
1.点(4,3)到直线x=7的距离为( )
A.-3 B.3 C.11 D.4
答案:B
2.若点A(a,1)到直线3x-4y=1的距离d为1,则a的值为( )
答案:C
3.已知两条直线3x+y-3=0与6x+my+1=0平行,则它们之间的距离为( )
答案:D
4.已知直线l1:x+y-1=0,l2:x+y+a=0,且两条直线间的距离为 ,则a= .
解得a=-3或a=1.
答案:-3或1
5.已知△ABC三个顶点坐标分别为A(-1,3),B(-3,0),C(1,2),求△ABC的面积S.
解:由两点间的距离公式,
本 课 结 束
