(共37张PPT)
2.3.1 两条直线的交点坐标
2.3.2 两点间的距离公式
第二章
2.3
2022
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.
2.会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系.
3.探索并掌握平面上两点间的距离公式,并能灵活应用.
4.了解坐标法的解题步骤.
5.培养数学抽象、逻辑推理和数学运算素养.
自主预习 新知导学
一、两条直线的交点坐标
【问题思考】
1.直线l上的点与其方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的解有什么样的关系
提示:直线l上每一个点的坐标都满足直线方程,也就是说直线上的点的坐标是其方程的解.反之,直线l的方程的每一个解都表示直线l上的点的坐标.
2.已知两条直线l1与l2相交,如何用代数方法求它们的交点坐标
提示:两条直线的方程组成方程组,方程组的解就是这两条直线的交点坐标.
3.由两条直线的方程组成的方程组,若方程组有唯一解,说明两条直线是什么位置关系 若无解或有无数组解呢
提示:若方程组有唯一解,则两条直线相交,此解就是交点的坐标;若方程组无解,则两条直线平行;若方程组有无数组解,则两条直线重合.
4.填表:直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同时为0);l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同时为0)的位置关系如表所示.
5.做一做:直线x-2y+3=0与直线2x-y+3=0的交点坐标为( )
A.(-1,1) B.(1,-1)
C.(1,1) D.(-1,-1)
答案:A
二、两点间的距离公式
【问题思考】
②当P1P2∥x轴,即y1=y2时,|P1P2|=|x2-x1|.
③当P1P2∥y轴,即x1=x2时,|P1P2|=|y2-y1|.
4.做一做:已知点M(2,1),N(-1,5),则|MN|等于( )
答案:A
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)若由两条直线的方程组成的方程组有解,则两条直线相交.( × )
(2)若两条直线的斜率都存在且不相等,则两条直线相交.( √ )
(3)若两条直线的斜率一个存在,另一个不存在,则两条直线相交.( √ )
(5)已知P1(x1,y1),P2(x2,y2),当P1P2⊥x轴时,|P1P2|=|x2-x1|.( × )
合作探究 释疑解惑
探究一
两直线的交点问题
【例1】 判断下列各对直线的位置关系.如果相交,求出交点的坐标:
(1)l1:2x-y=7, l2:3x+2y-7=0;
(2)l1:2x-6y+4=0, l2:4x-12y+8=0;
(3)l1:4x+2y+4=0, l2:y=-2x+3.
分析:通过联立方程,解方程组确定解的个数,判定直线的位置关系.
反思感悟 方程组有唯一解,说明两条直线相交;方程组无解,说明两直线没有公共点,即两条直线平行;方程组有无数组解,说明两条直线重合.
【变式训练1】 若三条直线x+ky=0,2x+3y+8=0和x-y-1=0相交于一点,则k的值是( )
答案:B
探究二
直线系方程
【例2】 (1)求经过点P(1,0)和两条直线l1:x+2y-2=0,l2:3x-2y+2=0的交点的直线方程;
(2)求证:不论m取何实数,直线(3m+1)x-(2m-1)y+3m-1=0都经过一个定点,并求这个定点的坐标.
分析:(1)法一:求出交点坐标,应用两点式写出直线方程;法二:设所求直线方程为x+2y-2+λ(3x-2y+2)=0,再将x=1,y=0代入求出λ,即得所求直线方程.
(2)法一:对m取特殊值,得到两条直线的方程,定点即为两条直线的交点;法二:将方程整理为关于m的方程,由方程的解为全体实数,求出定点.
故直线经过点P(1,0),(0,1),由两点式可得所求直线的方程为x+y-1=0.
解法二:∵直线l2不经过点P,
∴设所求的直线方程为x+2y-2+λ(3x-2y+2)=0,λ∈R.
(2)证法一:令m=0,得x+y-1=0,①
令m=1,得4x-y+2=0,②
证法二:方程可化为(x+y-1)+m(3x-2y+3)=0.
反思感悟 经过两条直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0交点的直线方程可写为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0,λ∈R(它不能表示直线l2).反之,当直线的方程写为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0时,直线一定经过直线l1:A1x+B1y+C1=0与直线l2:A2x+B2y+C2=0的交点.
【变式训练2】 (1)经过直线2x+3y+8=0和直线x-y-1=0的交点,且与直线x+2y=0垂直的直线方程为 .
(2)不论m为何实数,直线l:(m-1)x+(2m-1)y=m-5恒过一定点,则此定点坐标为 .
由点斜式得y+2=2(x+1),即2x-y=0.
(方法二)由题意可设所求的直线方程为2x+3y+8+λ(x-y-1)=0,λ∈R,即(2+λ)x+(3-λ)y+8-λ=0.
由题意得2+λ+2(3-λ)=0,解得λ=8.
故所求的直线方程为10x-5y=0,即2x-y=0.
(2)直线l的方程(m-1)x+(2m-1)y=m-5可化为m(x+2y-1)-x-y+5=0.
则此定点坐标为(9,-4).
答案:(1)2x-y=0 (2)(9,-4)
探究三
两点间距离公式的应用
【例3】 在直线l:3x-y+1=0上求一点P,使点P到A(1,-1),B(2,0)两点的距离相等.
分析:解答本题有两种思路:(1)设点P坐标(x,y),由点P在直线上和|PA|=|PB|,根据两点间距离公式建立关于x,y的方程,解方程组得点P的坐标.(2)由|PA|=|PB|知点P在线段AB的垂直平分线上,再解由两条直线的方程组成的方程组得交点P的坐标.
解法一:设点P的坐标为(x,y).
由点P在直线l上和点P到A,B两点的距离相等建立方程组
解法二:设点P的坐标为(x,y).
A(1,-1),B(2,0)两点连线所得线段的垂直平分线方程为x+y-1=0,①
已知3x-y+1=0,②
所以点P的坐标为(0,1).
反思感悟 利用坐标平面内两点间的距离公式可以求平面上任意两个已知点间的距离.反过来,已知两点间的距离也可以根据条件求其中一个点的坐标.
【变式训练3】 已知点A(4,12),P为x轴上的一点,且点P与点A的距离等于13,则点P的坐标为 .
解得x=-1或x=9.
所以点P的坐标为(-1,0)或(9,0).
答案:(-1,0)或(9,0)
【思想方法】
【典例】 如图,在△ABC中,|AB|=|AC|,D是边BC上异于点B,C的任意一点,求证:|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|.
审题视角:建立适当的平面直角坐标系,设出各顶点的坐标,应用两点间的距离公式证明.
证明:以边BC的中点为原点O,边BC所在直线为x轴,建立如图所示平面直角坐标系.
设A(0,a),C(b,0),D(m,0)(-b由题意知,B(-b,0).
由两点间的距离公式,得|AB|2=(-b-0)2+(0-a)2=a2+b2,
|AD|2=(m-0)2+(0-a)2=m2+a2,
|BD|·|DC|=|m+b|·|b-m|=(b+m)(b-m)=b2-m2.
∵|AD|2+|BD|·|DC|=a2+b2,
∴|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|.
方法点睛 1.用“坐标法”解决平面几何问题时,关键要结合图形的特征,建立适当的平面直角坐标系.坐标系建立的是否合适,会直接影响问题能否方便解决.建系的原则主要有两点:
(1)让尽可能多的点落在坐标轴上,这样便于运算;
(2)如果条件中有互相垂直的两条直线,可考虑将它们作为两坐标轴;如果图形为中心对称图形,可考虑将中心作为原点;如果图形为轴对称图形,可考虑将对称轴作为坐标轴.
2.利用“坐标法”解决平面几何问题的基本步骤:
第一步:建立坐标系,用坐标表示有关的量;
第二步:进行有关代数运算;
第三步:把代数运算的结果“翻译”成几何结论.
【变式训练】 已知在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,对角线为AC和BD.
求证:|AC|=|BD|.
证明:以点A为坐标原点,边OB所在直线为x轴,
建立如图所示的平面直角坐标系.
设B(a,0),C(b,c),则点D的坐标是(a-b,c).
随堂练习
1.直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0的交点坐标是( )
A.(2,2) B.(2,-2)
C.(-2,2) D.(-2,-2)
所以交点坐标为(-2,2).
答案:C
2.经过直线l1:x-3y+4=0和l2:2x+y+5=0的交点,且经过原点的直线的方程为( )
A.19x-9y=0 B.9x+19y=0
C.19x-3y=0 D.3x+19y=0
答案:D
3.已知点A(-2,-1),B(a,3),且|AB|=5,则实数a的值为( )
A.1 B.-5
C.1或-5 D.-1或5
答案:C
4.不论a为何实数,直线l:(a+2)x-(a+1)y=2-a恒过一定点,则此定点的坐标为 .
解析:直线l的方程可化为a(x-y+1)+2x-y-2=0.
答案:(3,4)
5.已知△ABC三个顶点A(-3,1),B(3,-3),C(1,7),试判断△ABC的形状.
解法一:由两点间的距离公式,得
∵|AB|2+|AC|2=|BC|2,且|AB|=|AC|,
∴△ABC是等腰直角三角形.
∴|AC|=|AB|.
∴△ABC是等腰直角三角形.
本 课 结 束2.3 直线的交点坐标与距离公式
2.3.1 两条直线的交点坐标--2.3.2 两点间的距离公式
课后训练巩固提升
A组
1.已知△ABC的三个顶点是A(2,3),B(-1,0),C(2,0),则△ABC的周长为( )
A.2 B.3+2
C.6+3 D.6+
解析:∵|AB|==3,|BC|=3,|AC|==3,
∴△ABC的周长为6+3.
答案:C
2.当0A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:由
当00,
∴交点在第二象限.
答案:B
3.已知△ABC的三个顶点是A(-a,0),B(a,0)和C,则△ABC的形状是( )
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.斜三角形
解析:|AC|=|a|,|BC|==|a|,|AB|=|a+a|=2|a|,
∵|AC|2+|BC|2=|AB|2,
∴△ABC为直角三角形.
答案:C
4.若直线ax+by-11=0与直线3x+4y-2=0平行,并且经过直线2x+3y-8=0和直线x-2y+3=0的交点,则a,b的值分别为( )
A.-3,-4 B.3,4 C.4,3 D.-4,-3
解析:由
由题意得
解得
答案:B
5.已知△ABC的三个顶点坐标为A(7,8),B(10,4),C(2,-4),则边BC上的中线AM的长为 .
解析:线段BC的中点为M(6,0),已知点A(7,8),所以,|AM|=.
答案:
6.已知直线l1的方程为Ax+3y+C=0,直线l2的方程为2x-3y+4=0,若l1,l2的交点在y轴上,则C的值为 .
解析:由题意得直线l2与y轴的交点坐标是,代入直线l1的方程得A×0+3×+C=0,
解得C=-4.
答案:-4
7.无论m为何值,直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0恒过一定点P,则点P的坐标为 .
解析:直线l的方程(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0可化为m(2x+y-7)+(x+y-4)=0.
由
因此,点P的坐标为(3,1).
答案:(3,1)
8.直线l经过两条直线l1:3x+4y-2=0和l2:2x+y+2=0的交点,且与直线l3:4x+3y-2=0平行,求直线l的方程.
解:解方程组得l1与l2的交点为(-2,2).
∵直线l3的斜率为-,且l∥l3,
∴直线l的斜率k=-.
故直线l的方程为y-2=-(x+2),即4x+3y+2=0.经检验,直线l与l3平行.
9.已知△ABC的三个顶点坐标是A(1,-1),B(-1,3),C(3,0).
(1)判断△ABC的形状;
(2)求△ABC的面积.
解:(1)如图,
由两点间的距离公式,得|AB|==2,
|AC|=,
|BC|==5.
因为|AB|2+|AC|2=|BC|2,所以△ABC是以A为直角顶点的直角三角形.
(2)由于△ABC是以A为直角顶点的直角三角形,故S△ABC=|AB||AC|=5.
B组
1.已知点A(1,4),B(8,3),点P在x轴上,则使|AP|+|BP|取得最小值的点P的坐标是( )
A.(4,0) B.(5,0)
C.(-5,0) D.(-4,0)
解析:作点A关于x轴的对称点A'(1,-4),连接A'B,
则|AP|+|BP|的最小值即为线段A'B的长度.
∵kA'B==1,
∴直线A'B的方程为y+4=x-1,即x-y-5=0.
令y=0,得x=5.
∴使|AP|+|BP|取得最小值的点P的坐标为(5,0).故选B.
答案:B
2.已知点A(x,5)关于点(1,y)的对称点为(-2,-3),则点P(x,y)到原点的距离是( )
A.2 B.4 C.5 D.
解析:由中点坐标公式,得=1,=y,解得x=4,y=1.
所以点P的坐标为(4,1),则点P(x,y)到原点的距离d=.
答案:D
3.若三条直线l1:ax+2y+6=0,l2:x+y-4=0,l3:2x-y+1=0相交于一点,则实数a=( )
A.-12 B.-10 C.10 D.12
解析:由直线l2的方程x+y-4=0,l3的方程2x-y+1=0,可得交点坐标为(1,3),代入直线l1的方程ax+2y+6=0,得a=-12.故选A.
答案:A
4.已知直线mx+4y-2=0与直线2x-5y+n=0互相垂直,垂足坐标为(1,p),则m-n+p的值为( )
A.-4 B.0 C.16 D.20
解析:由两条直线互相垂直,得-=-1,解得m=10.
已知垂足坐标为(1,p),代入直线方程10x+4y-2=0,得p=-2.
将(1,-2)代入直线方程2x-5y+n=0,得n=-12.
故m-n+p=20.
答案:D
5.两条直线3ax-y-2=0和(2a-1)x+5ay-1=0分别过定点A,B,则|AB|= .
解析:∵直线3ax-y-2=0过定点A(0,-2),直线(2a-1)x+5ay-1=0过定点B,∴|AB|=.
答案:
6.已知点M(1,0),N(-1,0),点P在直线2x-y-1=0上移动,则|PM|2+|PN|2的最小值为 .
解析:∵点P在直线2x-y-1=0上,
∴可设点P的坐标为(a,2a-1).
∴|PM|2+|PN|2=(a-1)2+(2a-1)2+(a+1)2+(2a-1)2=10a2-8a+4.
∴|PM|2+|PN|2的最小值为.
答案:
7.过点M(0,1)作直线,使它被两条直线l1:x-3y+10=0,l2:2x+y-8=0所截得的线段恰好被点M所平分,求此直线的方程.
解:过点M,且与x轴垂直的直线为x=0,显然不符合题意.
故可设所求直线的方程为y=kx+1.因为与已知直线l1,l2分别交于A,B两点,
所以k≠,且k≠-2.
联立方程,得①
②
由①解得点A的横坐标xA=,由②解得点B的横坐标xB=.
因为点M平分线段AB,所以xA+xB=2xM,
即=0.
解得k=-,故所求直线的方程为x+4y-4=0.
8.在x轴上求一点P,使得
(1)P到点A(4,1),B(0,4)的距离之差最大,并求出最大值;
(2)P到点A(4,1),C(3,4)的距离之和最小,并求出最小值.
解:如图,
(1)直线BA与x轴交于点P,此时P为所求点,且|PB|-|PA|=|AB|==5.
∵直线BA的斜率kBA==-,
∴直线BA的方程为y=-x+4.
令y=0,得x=,即P.
故距离之差最大值为5,此时点P的坐标为.
(2)作点A关于x轴的对称点A',则A'(4,-1),连接CA',则|CA'|为所求最小值,直线CA'与x轴交点P为所求点.
由两点间的距离公式,得
|CA'|=.
∵直线CA'的斜率kCA'==-5,
∴直线CA'的方程为y-4=-5(x-3).
令y=0,得x=,即P.
故距离之和最小值为,此时点P的坐标为.
