2.4 圆的方程
2.4.1 圆的标准方程
课后训练巩固提升
A组
1.圆(x-2)2+(y+3)2=2的圆心和半径分别为( )
A.(-2,3),1 B.(2,-3),3
C.(-2,3), D.(2,-3),
答案:D
2.已知圆的标准方程是(x-2)2+(y-3)2=4,则点P(3,2)( )
A.是圆心 B.在圆上
C.在圆内 D.在圆外
解析:∵(3-2)2+(2-3)2=2<4,∴点P在圆内.
答案:C
3.已知一圆的圆心为点A(2,-3),一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上,则此圆的标准方程是( )
A.(x-2)2+(y+3)2=13 B.(x+2)2+(y-3)2=13
C.(x-2)2+(y+3)2=52 D.(x+2)2+(y-3)2=52
解析:设该直径的两个端点分别为P(a,0),Q(0,b),则点A(2,-3)是线段PQ的中点,故P(4,0),Q(0,-6),圆的半径r=|PA|=.
所以圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=13.
答案:A
4.已知圆(x-1)2+(y-1)2=2关于直线y=kx+3对称,则k的值为( )
A.2 B.-2
C.1 D.-1
解析:由题意知圆心(1,1)在直线y=kx+3上,则k=-2.
答案:B
5.若点P(2,-1)为圆C:(x-1)2+y2=25的弦AB的中点,则AB所在直线的方程是( )
A.x-y-3=0 B.2x+y-3=0
C.x+y-1=0 D.2x-y-5=0
解析:由题意知圆心C的坐标为(1,0).
由圆的几何性质,知AB⊥CP,
∵kCP=-1,∴kAB=1.
∴AB所在直线的方程为y+1=x-2,即x-y-3=0.
答案:A
6.与圆(x-2)2+(y+3)2=16同圆心,且过点P(-1,1)的圆的标准方程是 .
解析:圆(x-2)2+(y+3)2=16的圆心坐标为(2,-3).
设所求圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=r2.
由点P(-1,1)在圆上,得(-1-2)2+(1+3)2=r2,解得r2=25.
故所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=25.
答案:(x-2)2+(y+3)2=25
7.若直线3x-4y+12=0与两坐标轴的交点为A,B,则以线段AB为直径的圆的标准方程是 .
解析:由题意得线段AB的中点为圆的圆心,直径|AB|=5.
故以为圆心,为半径的圆的标准方程为(x+2)2+.
答案:(x+2)2+
8.若点P(1,-1)在圆x2+y2=r的外部,则实数r的取值范围是 .
解析:由题意得12+(-1)2>r,即0
答案:(0,2)
9.已知点A(1,2)和圆C:(x-a)2+(y+a)2=2a2,试分别求满足下列条件的实数a的取值范围:
(1)点A在圆的内部;
(2)点A在圆上;
(3)点A在圆的外部.
解:(1)∵点A在圆的内部,
∴(1-a)2+(2+a)2<2a2,即2a+5<0,解得a<-.
故a的取值范围是.
(2)将点A(1,2)的坐标代入圆的方程,得(1-a)2+(2+a)2=2a2,解得a=-,故a的值为-.
(3)∵点A在圆的外部,∴(1-a)2+(2+a)2>2a2,
即2a+5>0,解得a>-,且a≠0.
故a的取值范围是∪(0,+∞).
10.求过O(0,0),M(1,1),N(4,2)三点的圆的标准方程,并求这个圆的半径和圆心坐标.
解:由题意得线段OM的中点坐标为,直线OM的斜率为1,则线段OM的垂直平分线的斜率为-1,于是,线段OM的垂直平分线的方程为y-=-,即x+y-1=0.①
同理,可得线段ON的垂直平分线的方程为y-1=-2(x-2),即2x+y-5=0.②
联立①②,解得x=4,y=-3,即圆心坐标为(4,-3),从而圆的半径r=5.
因此,圆的标准方程为(x-4)2+(y+3)2=25.
B组
1.函数y=的图象是( )
A.一条射线 B.一个圆
C.两条射线 D.一个半圆弧
解析:因为y=可化为x2+y2=9(y≥0),
所以y=的图象是一个半圆弧.
答案:D
2.过P(2,2),Q(4,2)两点,且圆心在直线x-y=0上的圆的标准方程是( )
A.(x-3)2+(y-3)2=2 B.(x+3)2+(y+3)2=2
C.(x-3)2+(y-3)2= D.(x+3)2+(y+3)2=
解析:由题意得,线段PQ的垂直平分线方程为x=3.
由
所以,圆心坐标为(3,3),半径r满足r2=(3-2)2+(3-2)2=2.
故所求圆的标准方程为(x-3)2+(y-3)2=2.
答案:A
3.以(a,1)为圆心,且圆心到直线2x-y+4=0与直线2x-y-6=0的距离均等于半径的圆的标准方程为( )
A.(x-1)2+(y-1)2=5 B.(x+1)2+(y+1)2=5
C.(x-1)2+y2=5 D.x2+(y-1)2=5
解析:因为两条平行直线2x-y+4=0与2x-y-6=0间的距离d==2,所以所求圆的半径r=.
由题意,圆心在直线2x-y-1=0上,将(a,1)代入可得a=1,即圆心为(1,1).
所以,所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=5.
答案:A
4.已知圆O:x2+y2=1,点A(-2,0)和点B(2,a),从点A观察点B,要使视线不被圆O挡住,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-1)∪(-1,+∞)
B.(-∞,-2)∪(2,+∞)
C.
D.(-∞,-4)∪(4,+∞)
解析:如图,在Rt△AOC中,由|OC|=1,|AO|=2,可得∠CAO=30°.
在Rt△BAD中,由|AD|=4,∠BAD=30°,可得BD=,再由图直观判断,故选C.
答案:C
5.已知圆C经过A(5,1),B(1,3)两点,圆心在x轴上,则圆C的标准方程为 .
解析:设圆心坐标为(a,0),则,解得a=2.
所以,圆心坐标为(2,0),半径为.
所以,圆C的标准方程为(x-2)2+y2=10.
答案:(x-2)2+y2=10
6.已知直线l:=1与x轴、y轴分别相交于点A,B,O为坐标原点,则△AOB内切圆的标准方程为 .
解析:设△AOB内切圆的圆心为M(m,m),则半径为m.
由题意得A(4,0),B(0,3),则|OA|=4,|OB|=3,|AB|=5.
由等面积法,得×3×4=×(3+4+5)×m,解得m=1.
所以,△AOB内切圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1.
答案:(x-1)2+(y-1)2=1
7.若圆C经过坐标原点,且圆心在直线y=-2x+3上运动,求当半径最小时圆的标准方程.
解法一:设圆心坐标为(a,-2a+3),
则圆的半径r=.
当a=时,rmin=.
故所求圆的标准方程为.
解法二:如图所示,圆的半径的最小值即为原点O到直线y=-2x+3的距离,
则rmin=.
设圆心坐标为(a,-2a+3),
则,解得a=,即圆心坐标为.
故所求圆的标准方程为.
8.已知x,y满足x2+(y+4)2=4,求的最大值与最小值.
解:设点P(x,y),A(-1,-1),
则点P在圆C:x2+(y+4)2=4上,其中圆心C(0,-4),半径r=2.
P,A两点间的距离|PA|=.
因为(-1)2+(-1+4)2>4,所以点A(-1,-1)在圆外.
而|AC|=,所以|PA|=的最大值为|AC|+r=+2,最小值为|AC|-r=-2.(共35张PPT)
2.4.1 圆的标准方程
第二章
2.4
2022
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.回顾确定圆的几何要素,在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的标准方程.
2.会根据已知条件求圆的标准方程.
3.会判断点与圆的位置关系.
4.培养直观想象、数学抽象、逻辑推理和数学运算素养.
自主预习 新知导学
一、圆的标准方程
【问题思考】
1.在平面几何中,圆是如何定义的
提示:圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合.
2.圆作为平面几何中的基本图形,确定它的要素是什么 各要素与圆有怎样的关系
提示:圆心和半径.圆心:确定圆的位置;半径:确定圆的大小.
3.在平面直角坐标系中,☉A的圆心A的坐标为(a,b),半径为r(其中a,b,r都是常数,r>0).如果M(x,y)为圆上任意一点,那么点M满足的条件是什么 ☉A如何用集合来表示
提示:|MA|=r.P={M||MA|=r}.
4.将点M满足的条件用坐标表示并化简会得到一个什么样的等式
得(x-a)2+(y-b)2=r2.
5.填空:
(1)圆的定义:圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合,定点称为圆的圆心,定长称为圆的半径.
(2)圆的标准方程:
①圆心为A(a,b),半径为r的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2 .
②圆心在坐标原点,半径为r的圆的标准方程为 x2+y2=r2 .
6.做一做:以原点为圆心,2为半径的圆的标准方程是( )
A.x2+y2=2
B.x2+y2=4
C.(x-2)2+(y-2)2=8
D.x2+y2=
解析:以原点为圆心,2为半径的圆,其标准方程是x2+y2=4.
答案:B
二、点与圆的位置关系
【问题思考】
1.点A(1,1),B(-3,0),C( )与圆x2+y2=4的关系如图所示,则|OA|,|OB|,|OC|与圆的半径r=2有什么关系
提示:|OA|<2,|OB|>2,|OC|=2.
2.点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系
如何判断
提示:(x0-a)2+(y0-b)2>r2 点在圆外;
(x0-a)2+(y0-b)2=r2 点在圆上;
(x0-a)2+(y0-b)23.填表:点与圆的位置关系
圆A:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其圆心为A(a,b),半径为r,点P(x0,y0),设d=|PA|.
4.做一做:点P(-2,-2)和圆x2+y2=4的位置关系是( )
A.在圆上 B.在圆外
C.在圆内 D.以上都不对
解析:将点P的坐标代入圆的方程的左边,有(-2)2+(-2)2=8>4,故点P在圆外.
答案:B
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)方程(x-a)2+(y-b)2=m2表示圆.( × )
(2)若圆的标准方程是(x-a)2+(y-b)2=m2(m≠0),则圆心为(a,b),半径为m. ( × )
(3)圆心在原点的圆的标准方程是x2+y2=r2(r>0).( √ )
(4)已知点A(x1,y1),B(x2,y2),则以线段AB为直径的圆的方程为(x-x1)(x-x2) +(y-y1)(y-y2)=0.( √ )
合作探究 释疑解惑
探究一
点与圆的位置关系
【例1】 已知点A(-1,4),B(5,-4).求以线段AB为直径的圆的标准方程,并判断点C(5,1),D(6,-3),E(-5,1)与圆的位置关系.
分析:判断点与圆的位置关系,关键是看点与圆心的距离与半径之间的关系.
解:设圆心为H(x0,y0),半径为r,
∴圆的标准方程为(x-2)2+y2=25.
∵|HC|2=(5-2)2+12=10∵|HD|2=(6-2)2+(-3-0)2=25=r2,
∴点D在圆上.
∵|HE|2=(-5-2)2+(1-0)2=50>r2,
∴点E在圆外.
反思感悟 判断点(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系,只需将(x0,y0)代入圆的方程的左边,若(x0-a)2+(y0-b)2r2,则点(x0,y0)在圆外.
【变式训练1】 若点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则a的取值范围是( )
A.-1C.a<-1或a>1 D.a=±1
解析:由题意得(1-a)2+(1+a)2<4,即a2<1,解得-1答案:A
探究二
求圆的标准方程
【例2】 求满足下列条件的圆的标准方程:
(1)圆心为(3,4),且经过坐标原点;
(2)圆心为(1,1),且半径等于圆心到直线x+y=4的距离;
(3)经过点A(3,1),B(-1,3),且圆心在直线3x-y-2=0上.
分析:要求圆的方程,需确定圆心及半径.
解:(1)圆心为(3,4),设圆的半径为r,则圆的标准方程是(x-3)2+(y-4)2=r2.
∵圆过坐标原点,∴r2=(0-3)2+(0-4)2=25.
∴圆的标准方程为(x-3)2+(y-4)2=25.
∴所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=2.
(3)(方法一)设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,
(方法三)设圆心为C,∵圆心在直线3x-y-2=0上,
∴可设圆心C的坐标为(a,3a-2).
故所求圆的标准方程为(x-2)2+(y-4)2=10.
反思感悟 确定圆的标准方程,从思路上可分为两种:几何法和待定系数法.
(1)几何法:由圆的几何性质求出圆心坐标和半径长,然后代入标准方程即可.
(2)待定系数法:设出圆的标准方程,通过三个独立条件得到三个方程,解方程组以得到圆的标准方程中三个参数,从而确定圆的标准方程.这种方法体现了方程的思想,是最常用的方法,一般步骤是:
①设—设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2;
②列—由已知条件,建立关于a,b,r的方程组;
③解—解方程组,求出a,b,r;
④代—将a,b,r代入所设方程,得所求圆的方程.
【变式训练2】 (1)若圆心在x轴上,半径为 的圆C位于y轴左侧,且圆心到直线x+2y=0的距离等于半径,则圆C的标准方程是( )
(2)经过A(6,5),B(0,1)两点,且圆心C在直线l:3x+10y+9=0上的圆的标准方程为 .
∵圆C位于y轴左侧,∴a=-5.
∴圆C的标准方程为(x+5)2+y2=5.
(2)(方法一:直接法)
由题意得线段AB的垂直平分线方程为3x+2y-15=0.
故所求圆的标准方程是(x-7)2+(y+3)2=65.
(方法二:待定系数法)
设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),
故所求圆的标准方程是(x-7)2+(y+3)2=65.
答案:(1)D (2)(x-7)2+(y+3)2=65
【易错辨析】
对圆心位置考虑不全致误
【典例】 已知某圆的圆心在x轴上,半径为5,且截y轴所得线段长为8,求该圆的标准方程.
错解:如图,由题意知|AB|=8,|AC|=5.
则点C的坐标为(3,0),
因此,所求圆的方程为(x-3)2+y2=25.
以上解题过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:由题意知,|OC|=3,C在x轴上,则C可能在x轴正半轴上,也可能在x轴负半轴上,错解只考虑了在x轴正半轴上的情况.
正解:解法一:由题意知|AC|=r=5,|AB|=8,则|AO|=4.
设点C坐标为(a,0),则|OC|=|a|=3,解得a=±3.
故圆心坐标为(3,0)或(-3,0).
因此,所求圆的标准方程为(x+3)2+y2=25或(x-3)2+y2=25.
解法二:根据题意设所求圆的标准方程为(x-a)2+y2=25.
∵圆截y轴所得线段长为8,∴圆过点A(0,4).
代入方程得a2+16=25,解得a=±3,
∴所求圆的标准方程为(x+3)2+y2=25或(x-3)2+y2=25.
防范措施 借助图形解决数学问题,只能是定性地分析,而不能定量研究,要定量研究问题,应考虑到几何图形的各种情况,本题出错就是由于考虑问题不全面所致.
【变式训练】 圆心在x轴上,半径为5,且过点A(2,-3)的圆的标准方程为 .
解析:设圆心在x轴上,半径为5的圆的标准方程为(x-a)2+y2=52.
∵点A(2,-3)在圆上,
∴(2-a)2+(-3)2=25,解得a=-2或a=6.
故所求圆的标准方程为(x+2)2+y2=25或(x-6)2+y2=25.
答案:(x+2)2+y2=25或(x-6)2+y2=25
随堂练习
1.圆C:(x-2)2+(y+1)2=3的圆心坐标是( )
A.(2,1) B.(2,-1)
C.(-2,1) D.(-2,-1)
解析:根据圆的标准方程的形式,知圆C的圆心坐标为(2,-1).
答案:B
2.若点A(a,a-1)在圆(x-3)2+(y-2)2=2的外部,则实数a的取值范围是( )
A.(2,4) B.(-∞,2)
C.(4,+∞) D.(-∞,2)∪(4,+∞)
解析:由题意得(a-3)2+(a-3)2>2,解得a>4或a<2.
答案:D
3.已知圆的圆心坐标为(1,1),且过点(2,2),则圆的标准方程是( )
A.(x-1)2+(y-1)2=2 B.(x-1)2+(y-1)2=4
C.(x+1)2+(y+1)2=2 D.(x+1)2+(y+1)2=4
故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=2.
答案:A
4.过点A(1,-1),B(-1,1),且圆心在直线x+y-2=0上的圆的标准方程是 .
解析:由题意得线段AB的垂直平分线方程为y=x,
因此,所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4.
答案:(x-1)2+(y-1)2=4
5.已知P(-5,6),Q(5,-4)两点,求以P,Q为直径端点的圆的标准方程,并判断点A(2,2),B(1,8),C(6,5)在圆上、在圆内,还是在圆外.
解:由圆的性质可知,圆心M是线段PQ的中点,
本 课 结 束