3.2.2 双曲线的简单几何性质
第1课时 双曲线的简单几何性质
课后训练巩固提升
A组
1.双曲线2x2-y2=8的实轴长是( )
A.2 B.2 C.4 D.4
解析:双曲线的标准方程为=1,故实轴长为4.
答案:C
2.已知双曲线 C:=1的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上,则C的方程为( )
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
解析:由题意知,2c=10,c=5.
∵点P(2,1)在直线y=x上,∴1=.
又a2+b2=25,∴a2=20,b2=5.
故C的方程为=1.
答案:A
3.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为2,焦点到渐近线的距离为,则双曲线C的焦距等于( )
A.2 B.2
C.4 D.4
解析:由已知得e==2,所以a=c,故b=c,从而双曲线的渐近线方程为y=±x=±x,由焦点到渐近线的距离为,得c=,解得c=2,故2c=4,故选C.
答案:C
4.已知双曲线C1:=1与双曲线C2:x2-=1有相同的渐近线,则双曲线C1的离心率为( )
A. B.5
C. D.
解析:由双曲线C1:=1与双曲线C2:x2-=1有相同的渐近线,可得=2,解得m=2,此时双曲线C1:=1,则双曲线C1的离心率为e=,故选C.
答案:C
5.(多选题)已知F是双曲线=1(a>0)的右焦点,O为坐标原点,设P是双曲线C上一点,则∠POF的大小可能是( )
A.15° B.25° C.60° D.165°
解析:∵两条渐近线y=±x的倾斜角分别为30°,150°,
∴0°≤∠POF<30°或150°<∠POF≤180°,
故选ABD.
答案:ABD
6.已知双曲线=1(a>0,b>0)的焦距为2,且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直,则双曲线方程为 .
解析:由题意可得解得故所求双曲线方程为-y2=1.
答案:-y2=1
7.若a>1,则双曲线-y2=1的离心率的取值范围是 .
解析:e2=1+,由a>1得1答案:(1,)
8.已知双曲线=1的离心率为2,焦点与椭圆=1的焦点相同,那么双曲线的焦点坐标为 ;渐近线方程为 .
解析:椭圆的焦点坐标为(4,0),(-4,0),故c=4,且满足=2,故a=2,b==2,
所以双曲线的渐近线方程为y=±x=±x.
答案:(4,0),(-4,0) y=±x
9.已知双曲线与椭圆=1有相同的焦点,它的一条渐近线为y=x,求双曲线的标准方程和离心率.
解:由椭圆=1,知c2=64-16=48,且焦点在y轴上,
∵双曲线的一条渐近线为y=x,
∴设双曲线方程为=1.
又c2=2a2=48,∴a2=24.
∴所求双曲线的方程为=1.
由a2=24,c2=48,得e2==2,
又e>0,∴e=.
10.已知双曲线=1的右焦点坐标为(2,0).
(1)求双曲线的方程;
(2)求双曲线的渐近线与直线x=-2围成的三角形的面积.
解:(1)∵双曲线的右焦点坐标为(2,0),且双曲线方程为=1,
∴c2=a2+b2=3+b2=4,∴b2=1,
∴双曲线的方程为-y2=1.
(2)∵a=,b=1,∴双曲线的渐近线方程为y=±x.
令x=-2,则y=±,
设直线x=-2与双曲线的渐近线的交点为A,B,
则|AB|=,记双曲线的渐近线与直线x=-2围成的三角形的面积为S,则S=×2=.
B组
1.已知双曲线=1(a>0,b>0)的两条渐近线均与曲线C:x2+y2-6x+5=0相切,则该双曲线的离心率等于( )
A. B. C. D.
解析:因为曲线C的标准方程为(x-3)2+y2=4,所以圆心坐标为C(3,0),半径r=2,双曲线的渐近线为y=±x,不妨取y=x,即bx-ay=0,因为渐近线与圆相切,所以圆心到直线的距离d==2,即9b2=4(a2+b2),所以5b2=4a2,b2=a2=c2-a2,即a2=c2,所以e2=,e=,选A.
答案:A
2.设F1,F2分别为双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P,满足|PF2|=|F1F2|,且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为( )
A.3x±4y=0 B.3x+5y=0
C.5x±4y=0 D.4x±3y=0
解析:由题意可知|PF2|=|F1F2|=2c,所以△PF1F2为等腰三角形,所以由F2向直线PF1作的垂线也是中线.因为F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长2a,所以|PF1|=2=4b,又|PF1|-|PF2|=2a,所以4b-2c=2a,所以2b-a=c,两边平方可得4b2-4ab+a2=c2=a2+b2,所以3b2=4ab,所以4a=3b,从而,所以该双曲线的渐近线方程为4x±3y=0,故选D.
答案:D
3.设直线l过双曲线C的一个焦点,且与C的一条对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|为C的实轴长的2倍,则C的离心率为( )
A. B. C.2 D.3
解析:设双曲线的两焦点分别为F1,F2,不妨设直线l过F1.
由题意可知|F1F2|=2c,|AB|=2|AF1|=4a.
在Rt△AF1F2中,
∵|AF1|=2a,|F1F2|=2c,|AF2|=,
∴|AF2|-|AF1|=-2a=2a,
即3a2=c2,∴e=.
答案:B
4.已知双曲线=1(0A.1 B.2 C.4 D.8
解析:由题意,A,B两点的坐标为(±,0),
因此S△ABC=b=2,当且仅当b2=4-b2,即b=时等号成立.
故最大值为2
答案:B
5.设双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点是F,左、右顶点分别是A1,A2,过点F作x轴的垂线与双曲线交于B,C两点,若A1B⊥A2C,则该双曲线的渐近线的斜率为 .
解析:不妨设点B在第一象限,则A1(-a,0),B,A2(a,0),C,
所以.
因为A1B⊥A2C,所以=0,所以c2-a2-=0,整理得,=1,即=1,
所以渐近线的斜率为±1.
答案:±1
6.已知双曲线=1的一个焦点为(2,0).
(1)求双曲线的实轴长和虚轴长;
(2)若已知M(4,0),点N(x,y)是双曲线上的任意一点,求|MN|的最小值.
解:(1)由题意可知,m+3m=4,∴m=1.
∴双曲线方程为x2-=1.
∴双曲线的实轴长为2,虚轴长为2.
(2)由x2-=1,得y2=3x2-3,
∴|MN|=.
∵x≤-1或x≥1,
∴当x=1时,|MN|取得最小值3.
7.已知双曲线=1(a>1,b>0)的焦距为2c,直线l过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线l的距离与点(-1,0)到直线l的距离之和s≥c,求双曲线离心率e的取值范围.
解:直线l的方程为=1,即bx+ay-ab=0.
由点到直线的距离公式,且a>1,得点(1,0)到直线l的距离d1=,点(-1,0)到直线l的距离d2=,∴s=d1+d2=.
由s≥c,得c,即5a≥2c2.
∵e=,∴5≥2e2,∴25(e2-1)≥4e4,
即4e4-25e2+25≤0,∴≤e2≤5(e>1).∴≤e≤,即e的取值范围为.(共43张PPT)
第2课时 直线与双曲线的位置关系
第三章
3.2.2
2022
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.进一步掌握双曲线的方程及其性质的应用.
2.会判断直线与双曲线的位置关系.
3.能运用直线与双曲线的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题.
4.培养直观想象、逻辑推理与数学运算素养.
自主预习 新知导学
一、直线与双曲线的位置关系
【问题思考】
1.类比直线与椭圆的位置关系,思考直线与双曲线有几种位置关系 怎样判断其位置关系
提示:直线与双曲线的位置关系有相离、相交、相切三种.判断方法是联立直线与双曲线方程,转化为关于x(或y)的方程,利用方程的解来判断.
2.设直线l:y=kx+m(m≠0),双曲线C: (a>0,b>0),两方程联立消去y,会得到一个什么样的方程 怎样判断这个方程的解的个数
提示:两方程联立消去y,得(b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0.当b2-a2k2=0时,方程有一解;当b2-a2k2≠0时,Δ>0 方程有两解;Δ=0 方程有一解;Δ<0 方程无解.
提示:一个公共点,此时直线与双曲线相交.
4.填空:直线与双曲线的位置关系
一般地,设直线l:y=kx+m(m≠0),①
Δ=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)(-a2m2-a2b2).
Δ>0 直线与双曲线有两个公共点,此时称直线与双曲线相交;
Δ=0 直线与双曲线有一个公共点,此时称直线与双曲线相切;
Δ<0 直线与双曲线没有公共点,此时称直线与双曲线相离.
A.0 B.1 C.2 D.4
解析:直线过定点 且平行于双曲线的一条渐近线,故与双曲线有且只有1个交点.
答案:B
二、直线与双曲线相交的弦长公式
【问题思考】
1.直线l:y=kx+m(k≠0)与椭圆 (a>b>0)相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,回想弦长|AB|的表达式是什么 若直线与双曲线相交于两点,这个弦长公式还适用吗
这个弦长公式对于双曲线仍然适用.
3.做一做:直线 x-y+ =0被双曲线x2-y2=1截得的弦AB的长为 .
解析:联立直线与双曲线方程,得x2+3x+2=0,
设交点为A(x1,y1),B(x2,y2),
答案:2
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)直线和双曲线只有一个公共点 直线与双曲线相切.( × )
(4)直线和双曲线有两个公共点 直线与双曲线相交.( × )
(5)过双曲线焦点的直线一定与双曲线有两个交点.( × )
合作探究 释疑解惑
探究一
直线与双曲线的位置关系
【例1】 已知直线y=kx+1与双曲线3x2-y2=1相交于A,B两点,当k为何值时,A,B在双曲线的同一支上 当k为何值时,A,B分别在双曲线的两支上
分析:直线与双曲线有两交点的条件是联立的方程组有两组解,也就是消元后获得的一元二次方程有两解.两交点在同一支上,则说明两个交点的横坐标同号,即一元二次方程有两个同号根,两交点分别在两支上,则说明两个交点的横坐标异号,即一元二次方程有两个异号根.
解:把y=kx+1代入3x2-y2=1,整理,得(3-k2)x2-2kx-2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),要使直线与双曲线有两个交点,
反思感悟 直线与双曲线位置关系的判断方法
(1)方程思想的应用,把直线与双曲线的方程联立成方程组,通过消元后化为ax2+bx+c=0的形式,在a≠0的情况下考查方程的判别式.
①当Δ>0时,直线与双曲线有两个不同的公共点.
②当Δ=0时,直线与双曲线只有一个公共点.
③当Δ<0时,直线与双曲线没有公共点.
当a=0时,直线与双曲线的渐近线平行(不包含重合的情形),直线与双曲线有一个公共点.
(2)数形结合思想的应用,
①直线过定点时,根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置关系.
②直线斜率一定时,通过平行移动直线,比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关系.
【变式训练1】 已知直线l:y=kx-1与双曲线C:x2-y2=4.
(1)若直线l与双曲线C有两个不同的交点,求实数k的取值范围;
(2)若直线l与双曲线C只有一个交点,求实数k的取值范围;
(3)若直线l与双曲线C的两支各有一个交点,求k的取值范围.
(2)此时等价于(*)式方程只有一解.
当1-k2=0,即k=±1时,(*)式方程只有一解;
当1-k2≠0时,应满足Δ=4k2+20(1-k2)=0,
探究二
直线与双曲线的相交弦问题
【例2】 经过点M(2,2)作直线l交双曲线x2- =1于A,B两点,且M为AB的中点.
(1)求直线l的方程.
(2)求线段AB的长.
分析:先用点差法求l的斜率,再用弦长公式求|AB|.
反思感悟 1.弦长的求法:
求直线与双曲线相交所得弦长,主要利用弦长公式,要注意方程的思想以及根与系数的关系的应用.
2.弦中点问题的解决方法:
对于弦中点问题,通常使用点差法解决,以减小运算量,提高运算速度.
另外,对于相交弦问题还要注意灵活转化,如垂直、相等等问题也可以转化成中点、弦长问题解决.
【变式训练2】 已知双曲线 -y2=1,求过点A(3,-1)且被点A平分的弦MN所在直线的方程.
解法一:由题意知直线的斜率存在,故可设直线方程为y+1=k(x-3),
即y=kx-3k-1,
解法二:设M(x1,y1),N(x2,y2),
∵M,N均在双曲线上,
探究三
直线与双曲线的综合问题
【例3】 设双曲线C: -y2=1(a>0)与直线l:x+y=1相交于两个不同的点A,B.
(1)求双曲线C的离心率e的取值范围;
分析:(1)先利用Δ>0可得a的范围,再写出离心率关于a的表达式,可求出离心率的范围;
(2)由根与系数的关系及向量坐标关系,可得到关于a的方程,解出a即可.
反思感悟 双曲线的综合问题最终仍体现在直线与双曲线轨迹、向量的应用及参数范围的探求上,直线方程与双曲线方程联立后,要注意二次项系数为零的情况,如本题,若注意不到1-a2≠0,则会造成离心率范围扩大,另外,设而不求、根与系数的关系、消参也是常用的方法,在解题时,应有意识地运用这些方法,达到熟练掌握的程度.
【变式训练3】 已知点M(-2,0),N(2,0),动点P满足条件|PM|-|PN|=2 ,记动点P的轨迹为W.
(1)求W的方程;
(2)设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).
当AB⊥x轴时,x1=x2,y1=-y2.
当AB与x轴不垂直时,
设直线AB的方程为y=kx+m,与W的方程联立,消去y得
(1-k2)x2-2kmx-m2-2=0.
【易错辨析】
直线与双曲线相交忽视特殊情况致误
【典例】 已知过点P(1,1),斜率为k的直线l,与双曲线x2- =1只有一个公共点,试探究直线l的斜率k的值.
错解:由题意得l:y=k(x-1)+1,代入双曲线方程得(4-k2)x2-(2k-2k2)x-k2+2k-5 =0.
由题意得Δ=(2k-2k2)2-4(4-k2)(-k2+2k-5)=0,
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:错解的原因是忽略了直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线只有一个公共点.
正解:由题意得l:y=k(x-1)+1,代入双曲线方程得(4-k2)x2-(2k-2k2)x-k2+2k-5 =0.
若4-k2=0,即k=±2,此时直线与双曲线的渐近线平行,直线与双曲线只有一个公共点;
防范措施 解决直线与双曲线的位置关系的题目时,要注意讨论联立直线与双曲线的方程消元得到的方程是否为一元一次方程,即二次项系数是否为0,因为直线与双曲线有一个公共点包含直线与双曲线的渐近线平行的情况.
【变式训练】 已知双曲线C:x2- =1,过点P(1,2)的
直线l与C有且只有一个公共点,则满足上述条件的直
线l共有( )
A.1条 B.2条
C.3条 D.4条
解析:如图,过点P(1,2)与双曲线x2- =1有且只有一个公共点有两种情况,分别是垂直于x轴和与渐近线y=-2x平行.
答案:B
随堂练习
1.若直线y=mx+1与双曲线x2-y2=1总有公共点,则m的取值范围是( )
答案:D
2.若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支交于不同的两点,则k的取值范围是( )
解析:将y=kx+2代入x2-y2=6,得(1-k2)x2-4kx-10=0.
答案:D
答案:3
4.已知双曲线 (a>0,b>0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是 .
答案:[2,+∞)
解:直线y=kx-1过(0,-1)点,若使直线与双曲线只有一个公共点,必须直线与双曲线的渐近线平行或直线与双曲线相切.
本 课 结 束第2课时 直线与双曲线的位置关系
课后训练巩固提升
A组
1.若直线y=k(x+)与双曲线-y2=1有且只有一个公共点,则k的不同取值有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
解析:由已知可得,双曲线的渐近线方程为y=±x,顶点(±2,0),而直线恒过(-,0),故有两条与渐近线平行,有两条切线,共4条直线与双曲线有一个交点,故选D.
答案:D
2.过双曲线=1(a>0,b>0)上任一点P引与实轴平行的直线,交两渐近线于M,N两点,则的值为( )
A.a2 B.b2 C.2ab D.a2+b2
解析:设P(x0,y0),双曲线的渐近线方程为y=±x.
令y=y0,得M,N,
则=a2=a2.
答案:A
3.双曲线=1的被点P(2,1)平分的弦所在的直线方程是( )
A.8x-9y=7 B.8x+9y=25
C.4x+9y=6 D.不存在
解析:点P(2,1)为弦的中点,由双曲线的对称性知,直线的斜率存在,
设直线方程为y-1=k(x-2),
将y=k(x-2)+1代入双曲线方程得
(4-9k2)x2-9(2k-4k2)x-36k2+36k-45=0,
4-9k2≠0.
Δ=[-9(2k-4k2)]2-4(4-9k2)(-36k2+36k-45)>0,x1+x2==4,
解得k=.代入Δ得Δ<0,故不存在直线满足条件.
答案:D
4.已知双曲线=1(a>0,b>0)与直线y=2x有交点,则双曲线的离心率的取值范围是( )
A.(1,) B.(1,)∪(,+∞)
C.(,+∞) D.[,+∞)
解析:双曲线的第一、三象限渐近线的斜率k=,要使双曲线=1和直线y=2x有交点,只要满足>2即可,故>2,>2,e>.
答案:C
5.(多选题)若ab≠0,则ax-y+b=0和bx2+ay2=ab所表示的曲线不可能是下图中的( )
解析:原方程分别可化为y=ax+b和=1.从B,D中的两椭圆看,a>0,b>0,但由B中的直线可得a<0,b<0,矛盾,故B不可能;从D中的直线可得a<0,b>0,矛盾,故D不可能.由A中的双曲线可得a<0,b>0,但由直线可得a>0,b>0,矛盾,故A不可能.由C中的双曲线可得a>0,b<0,由直线可得a>0,b<0,故C有可能.
答案:ABD
6.已知直线l:y=k(x-)与曲线x2-y2=1(x>0)相交于A,B两点,则直线l的倾斜角的范围是 .
解析:由得x2-k2(x-)2=1,
即(1-k2)x2+2k2x-2k2-1=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
由题意知
解得k2-1>0,即k>1或k<-1,
故直线的倾斜角范围是.
答案:
7.过双曲线2x2-y2=6的左焦点F1,作倾斜角为30°的直线交双曲线于A,B两点,则|AB|= .
解析:由双曲线的方程得,两焦点分别为F1(-3,0),F2(3,0).
因为直线AB的倾斜角是30°,且直线过左焦点,所以直线AB的方程是y=(x+3),
联立,得方程组消去y,得5x2-6x-27=0,解这个方程得x1=3,x2=-,分别代入直线AB的方程,得y1=2,y2=,
所以A,B的坐标分别为(3,2),.
所以|AB|===.
答案:
8.已知双曲线的中心在原点,一个焦点坐标为F(,0),直线y=x-1与其相交于M,N两点,MN中点的横坐标为-,则双曲线的方程为 .
解析:由题意知中点坐标为-,-,设双曲线方程为=1,M(x1,y1),N(x2,y2),
则=1,①
=1,②
①-②,得,
即,得,解得a2=2,故双曲线方程为=1.
答案:=1
9.给定双曲线x2-=1,过点B(1,1)是否能作直线m,使它与所给的双曲线交于两点Q1及Q2,且点B是线段Q1Q2的中点 若存在,求出m的方程;若不存在,请说明理由.
解:假设存在直线m过点B与双曲线交于Q1,Q2,且B是Q1Q2的中点.
当直线m的斜率不存在时,显然只与双曲线有一个交点;
当直线m的斜率存在时,设直线m的方程为y-1=k(x-1),
由知(2-k2)x2+(2k2-2k)x-(k2-2k+3)=0,
设该方程的两根为x1,x2,由根与系数的关系,
得x1+x2==2,解得k=2.
当k=2时,Δ=(2k2-2k)2+4(2-k2)(k2-2k+3)=-8<0,因此不存在满足题意的直线.
10.已知双曲线C:x2-y2=1及直线l:y=kx-1.
(1)若直线l与双曲线C有两个不同的交点,求实数k的取值范围;
(2)若直线l与双曲线C的两支交于A,B两点,O是坐标原点,且△AOB的面积为,求实数k的值.
解:(1)由
消去y整理,得(1-k2)x2+2kx-2=0.
由题意知
解得-故实数k的取值范围为(-,-1)∪(-1,1)∪(1,).
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),
由(1)得x1+x2=-,x1x2=-.
又直线l恒过点D(0,-1),且x1x2<0,
则S△OAB=S△OAD+S△OBD=|x1|+|x2|=|x1-x2|=.
所以(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=(2)2,
即=8.解得k=0或k=±,
由(1)知上述k的值符合题意,所以k=0或k=±.
B组
1.若双曲线x2-y2=1右支上一点P(a,b)到直线l:y=x的距离d=,则a+b=( )
A.- B.
C.或- D.2或-2
解析:由题意可知a2-b2=1成立,且,解方程组可得a+b=.
答案:B
2.已知双曲线E的中心为原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A,B两点,且AB的中点为N(-12,-15),则E的方程为( )
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
解析:∵kAB==1,∴直线AB的方程为y=x-3.
∵双曲线的焦点为F(3,0),∴c=3,c2=9.
设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),
则=1,
整理,得(b2-a2)x2+6a2x-9a2-a2b2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2==2×(-12),∴a2=-4a2+4b2,∴5a2=4b2.
又a2+b2=9,∴a2=4,b2=5.
∴双曲线E的方程为=1.
答案:B
3.设A1,A2分别为双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右顶点,若双曲线上存在点M使得两直线斜率<2,则双曲线C的离心率的取值范围为( )
A.(1,) B.(1,)
C.(,+∞) D.(1,2)
解析:设M(x,y),由题意得A1(-a,0),A2(a,0),则,则.又因为点M在双曲线上,所以=1 y2=b2,代入中可得<2 =e2-1<2 e<,又e>1,故选B.
答案:B
4.设双曲线=1的右顶点为A,右焦点为F,过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则△AFB的面积为 .
解析:如图,由双曲线的对称性,不妨设kBF>0.
双曲线的渐近线方程为y=x,F(5,0),
∴直线过F且斜率为,∴方程是y=(x-5).
由=1,
即10x=34,x=,y=-,
而|AF|=c-a=5-3=2,
∴S△AFB=·|AF|·|y|=×2×.
答案:
5.已知直线l:x-y+m=0与双曲线x2-=1交于不同的两点A,B,若线段AB的中点在圆x2+y2=5上,则实数m的值是 .
解析:由消去y得x2-2mx-m2-2=0,
则Δ=4m2+4m2+8=8m2+8>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2m,y1+y2=x1+x2+2m=4m,
所以线段AB的中点坐标为(m,2m).又点(m,2m)在圆x2+y2=5上,所以m2+(2m)2=5,解得m=±1.
答案:±1
6.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为,右焦点为F,若过点M(1,0)且斜率为1的直线l与双曲线C交于A,B两点,且=4,则此双曲线的方程为 .
解析:由e=,得c2=3a2,又c2=a2+b2,则b2=2a2.直线l的方程为y=x-1,将其代入=1得x2+2x-1-2a2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1+x2=-2,x1x2=-1-2a2,y1y2=x1x2-(x1+x2)+1=-2a2+2.又F(a,0),则=(x1-a,y1),=(x2-a,y2),得=x1x2-a(x1+x2)+3a2+y1y2=4,则a2-2a+3=0,从而a=,则a2=3,b2=6,故所求的双曲线方程为=1.
答案:=1
7.已知直线y=ax+1与双曲线3x2-y2=1相交于A,B两点.
(1)求线段AB的长;
(2)当a为何值时,以AB为直径的圆经过坐标原点
解:由得(3-a2)x2-2ax-2=0.
由题意可得3-a2≠0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=,x1x2=.
(1)|AB|=
=
=
=.
(2)由题意知,OA⊥OB,则=0,
即x1x2+y1y2=0,x1x2+(ax1+1)(ax2+1)=0.
即(1+a2)x1x2+a(x1+x2)+1=0,
故(1+a2)·+a·+1=0,解得a=±1.
经检验,当a=±1时,以AB为直径的圆经过坐标原点.
8.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),右顶点为(,0).
(1)求双曲线C的方程;
(2)若直线l:y=kx+与双曲线C恒有两个不同的交点A和B,且>2,其中O为原点,求k的取值范围.
解:(1)设双曲线C的方程为=1(a>0,b>0),由已知得a=,c=2.又因为a2+b2=c2,所以b2=1,故双曲线C的方程为-y2=1.
(2)将y=kx+代入-y2=1中,得(1-3k2)x2-6kx-9=0.
由直线l与双曲线交于不同的两点得,
即k2≠,且k2<1.①
设A(xA,yA),B(xB,yB),
则xA+xB=,xAxB=,
由>2,得xAxB+yAyB>2,
而xAxB+yAyB=xAxB+(kxA+)(kxB+)=(k2+1)xAxB+k(xA+xB)+2=(k2+1)·+2=,
于是>2,解此不等式得由①②得故k的取值范围是.(共46张PPT)
第1课时 双曲线的简单几何性质
第三章
3.2.2
2022
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.了解双曲线的简单几何性质.
2.理解双曲线的渐近线及离心率的意义.
3.培养直观想象、逻辑推理与数学运算素养.
自主预习 新知导学
一、双曲线的简单几何性质
【问题思考】
1.类比椭圆的几何性质,你认为应该研究双曲线 (a>0,b>0)的哪些几何性质
提示:范围、对称性、顶点、离心率、渐近线.
提示:点M的横坐标xM越来越大,d越来越小,但d始终不等于0.
3.在椭圆中,离心率刻画了椭圆的扁平程度,在双曲线中,离心率刻画双曲线的什么几何特征
提示:双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小,离心率越大,双曲线的“张口”越大.
4.填表:双曲线的几何性质
A.(4,0),(0,1) B.(-4,0),(4,0)
C.(0,1),(0,-1) D.(-4,0),(0,-1)
解析:(1)由题意知,双曲线的焦点在x轴上,且a=4,
因此双曲线的顶点坐标是(-4,0),(4,0).
二、等轴双曲线
【问题思考】
1.实轴和虚轴相等的双曲线的渐近线方程和离心率分别是什么
提示:实轴和虚轴相等的双曲线的渐近线方程是y=±x,离心率是 .
2.填空:(1)实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.
(2)等轴双曲线具有以下性质:
①方程形式为x2-y2=λ(λ≠0);
②渐近线方程为 y=±x,它们互相垂直,并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角;
③实轴长和虚轴长都等于2a,离心率e= .
3.做一做:双曲线y2-x2=2的渐近线方程是( )
答案:A
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)双曲线与椭圆一样,有四个顶点.( × )
合作探究 释疑解惑
探究一
由双曲线的方程研究其几何性质
【例1】 求双曲线nx2-my2=mn(m>0,n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.
分析:化为标准方程形式→求出a,b,c→得双曲线的几何性质.
反思感悟 由双曲线方程研究其几何性质的解题步骤
(1)把双曲线方程化为标准方程;
(2)由标准方程确定焦点位置,确定a,b的值;
(3)由c2=a2+b2求出c的值,从而写出双曲线的几何性质.
提醒:求性质时一定要注意焦点的位置.
【变式训练1】 (1)下列双曲线的标准方程中,表示焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的双曲线的是( )
答案:(1)C (2)B
探究二
由双曲线的几何性质求其标准方程
【例2】 已知双曲线的渐近线方程为2x±3y=0.
分析:可设出双曲线方程的统一形式,依据题设建立关于待定参数的方程或方程组求解.
反思感悟 1.由双曲线的几何性质求双曲线方程的常用方法:
一是设法确定基本量a,b,c,从而求出双曲线方程;二是采用待定系数法.先依据焦点的位置设出标准方程的形式,再由题目条件确定参数的值.当焦点位置不确定时,方程可能有两种形式,此时应注意分类讨论,防止漏解.为了避免讨论,也可设方程为mx2-ny2=1(mn>0),从而直接求解.
2.常见双曲线方程的设法
【变式训练2】 求满足下列条件的双曲线的标准方程:
(1)以直线2x±3y=0为渐近线,过点(1,2);
解:(1)由题意可设所求双曲线方程为4x2-9y2=λ(λ≠0),将点(1,2)的坐标代入方程解得λ=-32.
探究三
求双曲线的离心率
(2)不妨设|PF1|>|PF2|,则|PF1|-|PF2|=2a,
又|PF1|+|PF2|=6a,得|PF1|=4a,|PF2|=2a,|F1F2|=2c,
则在△PF1F2中,∠PF1F2=30°,由余弦定理得
(2a)2=(4a)2+(2c)2-2·4a·2c·cos 30°,
将本例(2)条件“|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2的最小内角为30°”改为“PF1⊥PF2,且∠PF1F2=30°”,则双曲线C的离心率为 .
反思感悟 求双曲线离心率的方法
(3)若得到的是关于a,c的齐次方程pc2+qac+ra2=0(p,q,r为常数,且p≠0),则转化为关于e的方程pe2+qe+r=0求解.
(2)如图,F1和F2分别是双曲线 (a>0,b>0)的两个
焦点,A和B是以O为圆心,以|OF1|长为半径的圆与该双曲线
左支的两个交点,且△F2AB是等边三角形,则双曲线的离心率为( )
(2)连接AF1(图略).
∵|F1F2|=2c,且△AF2B为等边三角形,
又|OF1|=|OA|=|OF2|,
答案:(1)D (2)D
【易错辨析】
忽略焦点的位置致误
【典例】 已知双曲线2x2-y2=k(k≠0)的焦距为6,求实数k的值.
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:因为k的符号不确定,所以化成标准形式后,双曲线的焦点也不确定,错解忽略了讨论k的符号.
综上可知,k=-6或6.
防范措施 当方程中带有参数,化为标准方程时不清楚双曲线的焦点位置时,需根据焦点位置对参数分类讨论.
【变式训练】 已知双曲线的渐近线方程为2x±3y=0,则该双曲线的离心率为 .
随堂练习
∴a2+3=4a2,∴a2=1,∴a=1.
答案:D
2.若一双曲线与椭圆4x2+y2=64有公共的焦点,且它们的离心率互为倒数,则该双曲线的方程为( )
A.y2-3x2=36 B.x2-3y2=36
C.3y2-x2=36 D.3x2-y2=36
故所求双曲线的方程为y2-3x2=36.
答案:A
3.设F1,F2分别为双曲线 (a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P,使得(|PF1|-|PF2|)2=b2-3ab,则该双曲线的离心率为( )
解析:根据双曲线的定义,得||PF1|-|PF2||=2a.因为(|PF1|-|PF2|)2=b2-3ab,
所以4a2=b2-3ab,即(a+b)(4a-b)=0,又a+b≠0,所以b=4a,
答案:D
解析:根据已知条件可判断双曲线的中心在坐标原点,焦点在x轴上,
所以a=1,c= ,于是b2=c2-a2=1,
所以双曲线方程为x2-y2=1,渐近线方程为y=±x.
答案:x2-y2=1 y=±x
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)设点P是双曲线C上任意一点,且|PF1|=10,求|PF2|.
(2)因为a+c=8,|PF1|=10>8,
所以点P可能在双曲线的左支上也可能在双曲线的右支上.
①若点P在双曲线的左支上,则|PF2|-|PF1|=2a=6,故|PF2|=|PF1|+6=16;
②若点P在双曲线的右支上,则|PF1|-|PF2|=2a=6,故|PF2|=|PF1|-6=4.
综上,|PF2|=16或4.
本 课 结 束
