第2课时 直线与圆的方程的应用
课后训练巩固提升
A组
1.已知直线ax-by+c=0(abc≠0),与圆x2+y2=1相切,则三条边长分别为|a|,|b|,|c|的三角形( )
A.是锐角三角形 B.是直角三角形
C.是钝角三角形 D.不存在
解析:直线与圆相切,则圆心到切线的距离d==1,即a2+b2=c2,
故三角形为直角三角形.
答案:B
2.已知点P(x,y)在圆x2+y2=1上,则的最大值为( )
A. B.2
C.1 D.+1
解析:可看作圆上的点(x,y)到定点(1,1)的距离.
根据圆的几何性质,最大值为点(1,1)到圆心(0,0)的距离与圆的半径之和,
即+1=+1.
答案:D
3.若圆(x-3)2+(y+5)2=r2上的点到直线4x-3y-2=0的最近距离为1,则圆的半径r为( )
A.4 B.5
C.6 D.9
解析:由圆的方程可知圆心为(3,-5),圆心到直线4x-3y-2=0的距离d==5.
依题意知,d-r=1,则r=4.
答案:A
4.若直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P,Q两点,且∠POQ=120°(其中O为原点),则k的值为( )
A.- B.
C.- D.
解析:∵∠POQ=120°,
∴点O到直线y=kx+1的距离d=.
由d=,得k=±.
答案:A
5.圆x2+y2=4上与直线l:4x-3y+12=0距离最小的点的坐标是( )
A. B.
C. D.
解析:圆心坐标为(0,0),过圆心与直线4x-3y+12=0垂直的直线方程为3x+4y=0.方程3x+4y=0与x2+y2=4联立可得x=±,
所以直线3x+4y=0与圆x2+y2=4的交点坐标是.
交点到直线4x-3y+12=0的距离较小,所以所求点的坐标为.
答案:C
6.设A为圆C:(x+1)2+y2=4上的动点,PA是圆C的切线,且|PA|=1,则点P的轨迹方程是 .
解析:由题意知CA⊥PA,在Rt△CAP中,|CP|2=|CA|2+|PA|2.已知|CA|=2,|PA|=1,则|CP|2=5,所以点P的轨迹是以C为圆心,|CP|=为半径的圆.设点P的坐标为(x,y),已知圆心C(-1,0),则点P的轨迹方程为(x+1)2+y2=5.
答案:(x+1)2+y2=5
7.已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点,且圆C与直线x+y+3=0相切,则圆C的方程为 .
解析:直线x-y+1=0与x轴的交点坐标为(-1,0),即圆心C(-1,0).
因为圆C与直线x+y+3=0相切,所以圆心到直线x+y+3=0的距离等于半径,即=r,所以圆C的方程为(x+1)2+y2=2.
答案:(x+1)2+y2=2
8.圆x2+(y+4)2=4上的点到直线l:x+y=1的距离的最大值为 ,最小值为 .
解析:由圆的方程x2+(y+4)2=4知,圆心C(0,-4),半径r=2.
画出大致图象,如右图所示.
圆上的点到直线l的距离的最小值dmin=-2=-2,最大值dmax=+2=+2.
答案:+2 -2
9.已知P(-1,2)为圆x2+y2=8内一定点.
(1)求过点P,且被圆所截得的弦最短的直线方程;
(2)求过点P,且被圆所截得的弦最长的直线方程.
解:由圆的方程,得圆心C(0,0),半径r=2.
(1)当弦与PC垂直时,过点P且被圆所截得的弦最短.
因为kPC==-2,所以最短弦所在直线的斜率k=.
所以所求直线的方程为y-2=(x+1),即x-2y+5=0.
(2)当弦过圆心C时,过点P且被圆所截得的弦最长.
由两点式,得最长弦所在的直线方程为.
所以,所求直线的方程为=-x,即2x+y=0.
10.某公园有A,B两个景点,位于一条小路(直道)的同侧,分别距小路 km和2 km,且A,B两景点间相距2 km,今欲在该小路上设一观景点,使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果,则观景点应设在何处
解:所设观景点的位置应使对两景点的视角最大.由平面几何知识知,该点应是过A,B两点的圆与小路所在的直线相切时的切点.以小路所在直线为x轴,点B在y轴的正半轴上建立平面直角坐标系,如图所示.
由题意得A(),B(0,2).
设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=b2,由A,B两点在圆上,得
解得由实际意义知a=0,b=.
所以圆的方程为x2+(y-)2=2,切点为(0,0).
所以观景点应设在B景点在小路的射影处.
B组
1.已知点A(-1,1)和圆C:(x-5)2+(y-7)2=4,一束光线从点A经x轴反射到圆C上的最短路程是( )
A.6-2 B.8
C.4 D.10
解析:易知点A关于x轴的对称点A'(-1,-1),A'与圆心(5,7)的距离为=10.
故所求最短路程为10-2=8.
答案:B
2.已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0,设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为( )
A.10 B.20
C.30 D.40
解析:圆的标准方程为(x-3)2+(y-4)2=25,则圆心坐标是(3,4),半径是5.
由题意得最短弦BD和最长弦(即圆的直径)AC垂直.最长弦长|AC|=10.圆心(3,4)与点(3,5)的距离为1,故最短弦长|BD|=2=4.
所以,四边形ABCD的面积为|AC||BD|=×10×4=20.
答案:B
3.已知圆C:x2+y2-4x-2y-15=0上有两个不同的点到直线l:y=k(x-7)+6的距离等于,则k的取值范围是( )
A.
B.
C.(-∞,-2)∪∪(2,+∞)
D.∪(2,+∞)
解析:圆x2+y2-4x-2y-15=0的圆心为(2,1),半径为2.
∵圆C:x2+y2-4x-2y-15=0上有两个不同的点到直线l:y=k(x-7)+6的距离等于,
∴圆心到直线的距离大于半径与的差,小于半径与的和.
∴<3.
∴k的取值范围是(-∞,-2)∪∪(2,+∞).
答案:C
4.若直线y=x+b与曲线y=3-有公共点,则b的取值范围是( )
A.[1-2,1+2] B.[1-,3]
C.[-1,1+2] D.[1-2,3]
解析:数形结合,利用图象进行分析.由y=3-,得(x-2)2+(y-3)2=4(0≤x≤4,1≤y≤3),
它表示以(2,3)为圆心,2为半径的下半圆.
直线方程y=x+b,b是直线在y轴上的截距.
由图象知,b的最大值为3;当直线与半圆相切时,b取得最小值,且bmin<0,
由=2,得bmin=1-2.故选D.
答案:D
5.已知圆C:x2+y2+2x+ay-3=0(a为实数)上任意一点关于直线l:x-y+2=0的对称点都在圆C上,则a= .
解析:由题意可知,直线x-y+2=0过圆心,则-1-+2=0,解得a=-2.
答案:-2
6.已知直线x-2y-3=0与圆(x-2)2+(y+3)2=9相交于A,B两点,则△AOB(O为坐标原点)的面积为 .
解析:圆心坐标为(2,-3),半径r=3.
圆心到直线x-2y-3=0的距离d=,从而弦长|AB|=2=4.
原点(0,0)到AB所在直线的距离h=,所以△AOB的面积S=×4×.
答案:
7.已知圆C:(x-2)2+y2=2.
(1)求与圆C相切,且在x轴、y轴上截距相等的直线方程;
(2)从圆C外一点P引圆C的一条切线,切点为M,O为坐标原点,且|PM|=|PO|,求使|PM|最小时点P的坐标.
解:由圆C的方程,得圆心C的坐标为(2,0),半径为.
(1)若切线过原点,则切线的斜率存在,设切线方程为kx-y=0.
由,得k=±1.
所以切线方程为x+y=0或x-y=0.
若切线不过原点,则设切线方程为=1,a≠0,即x+y-a=0.由,得a=4.
所以切线方程为x+y-4=0.
综上所述,切线方程为x+y=0,x-y=0,x+y-4=0.
(2)设点P的坐标为(x,y).
因为|PM|=|PO|,|PM|2+r2=|PC|2,所以|PO|2+r2=|PC|2,即x2+y2+2=(x-2)2+y2,整理得x=.
所以点P的轨迹为直线x=.
要使|PM|最小,即使|PO|最小,过点O作直线x=的垂线,垂足为,
故使|PM|最小时点P的坐标为.
8.在Rt△ABO中,∠BOA=90°,|OA|=8,|OB|=6,点P为它的内切圆C上任一点,求点P到顶点A,B,O的距离的平方和的最大值和最小值.
解:以O为原点,OA所在直线为x轴,OB所在直线为y轴,
建立如图所示的直角坐标系xOy,
则A(8,0),B(0,6).
在Rt△AOB中,AB==10.
内切圆C的半径r==2.
∴圆心坐标为(2,2).
∴内切圆C的方程为(x-2)2+(y-2)2=4.
设P(x,y)为圆C上任一点,点P到顶点A,B,O的距离的平方和为d,
则d=|PA|2+|PB|2+|PO|2=(x-8)2+y2+x2+(y-6)2+x2+y2=3x2+3y2-16x-12y+100
=3[(x-2)2+(y-2)2]-4x+76.
∵点P(x,y)在圆上,
∴(x-2)2+(y-2)2=4.
∴d=3×4-4x+76=88-4x.
∵点P(x,y)是圆C上的任意点,∴x∈[0,4].
∴当x=0时,dmax=88;当x=4时,dmin=72.(共37张PPT)
第2课时 直线与圆的方程的应用
第二章
2.5.1
2022
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.能正确理解直线与圆的方程.
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
3.体会坐标法解决平面几何问题的“三步曲”.
4.达成直观想象、逻辑推理和数学运算素养.
自主预习 新知导学
直线与圆的方程的应用
【问题思考】
1.填空:用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”
第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,如点、直线、圆,把平面几何问题转化为代数问题;
第二步:通过代数运算,解决代数问题;
第三步:把代数运算的结果“翻译”成几何结论.
2.做一做:一辆卡车宽2.7米,要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道(双车道,不得违章),则这辆卡车的平顶车篷篷顶距离地面的高度不得超过( )
A.1.4米 B.3.0米
C.3.6米 D.4.5米
解析:根据题意,画出示意图,如图所示.
答案:C
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)利用坐标法解决几何问题时,可以随意建立坐标系.( × )
(2)在实际问题中,应注意变量的取值范围.( √ )
(3)用坐标法解决几何问题时,把平面几何问题转化为代数问题,直接解决代数问题就是所求的几何问题.( × )
(4)用坐标法解决平面几何问题共有三步:建系;求解;还原.( √ )
合作探究 释疑解惑
探究一
直线与圆的方程的实际应用
【例1】 已知台风中心从A地以20千米/时的速度向东北方向移动,离台风中心30千米内的地区为危险区,城市B在A的正东40千米处,求B城市处于危险区内的时间.
分析:将实际应用问题转化为直线与圆相交求弦长问题.
解:以A为原点,AB所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系.
射线AC为∠xAy的角平分线,则台风中心沿射线AC方向移动.
反思感悟 1.解决直线与圆的方程的实际应用题的步骤:
2.建立适当的直角坐标系应遵循的三个原则:
(1)若曲线是轴对称图形,则可选它的对称轴为坐标轴.
(2)常选特殊点作为直角坐标系的原点.
(3)尽量使更多的已知点位于坐标轴上.
【变式训练1】 有一种大型商品,A,B两地均有出售且价格相同,某地居民从两地之一购得商品运回来,每千米的运费A地是B地的两倍.如果A,B两地相距10 km,顾客选择A地或B地购买这种商品的运费和价格的总费用较低,那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点
解:以线段AB的中点为原点,AB所在直线为x轴,
建立如图所示的平面直角坐标系.
设A(-5,0),则B(5,0).
在坐标平面内任取一点P(x,y),
设从A地运货到P地的运费为2a元/km,
则从B地运货到P地的运费为a元/km.
若P地居民去A地购买此商品的总费用较低,即P地居民去A地购买的运费较低,
也就是说,圆C内的居民应选择去A地购物,总费用较低.
同理可推得圆C外的居民应选择去B地购物,总费用较低.
圆C上的居民可任意选择A,B两地之一购物.
探究二
与圆有关的最值问题
【例2】 已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0.求:
(1) 的最大值和最小值;
(2)y-x的最大值和最小值;
(3)x2+y2的最大值和最小值.
分析:本题可将 和y-x转化成与直线斜率、截距有关的问题,x2+y2可看成是点(x,y)与点(0,0)间的距离的平方,然后结合图形求解.
解:方程x2+y2-4x+1=0可化为(x-2)2+y2=3,
(2)设y-x=b,则y=x+b表示经过圆上一点(x,y),斜率为1,在y轴上的截距为b的直线.
当直线与圆相切时,b取得最大、最小值.
(3)x2+y2表示圆上一点与原点的距离的平方,由平面几何知识知,在原点和圆心的连线与圆的两个交点处,圆上的点与原点的距离取得最大值和最小值.
若把例2中实数x,y满足的方程改为“(x-3)2+(y-3)2=6”,则 的最大值与最小值分别为 .
解析:设P(x,y),则点P的轨迹就是已知圆C:(x-3)2+(y-3)2=6.
反思感悟 求与圆上的点的坐标有关的最值问题时,常常根据式子的结构特征,寻找它的几何意义,进而转化成与圆的性质有关的问题解决,其中构造斜率、截距、距离是最常用的方法.
【变式训练2】 圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是 .
解析:圆的方程化为标准方程是(x-2)2+(y-2)2=18.
探究三
过直线与圆的交点的圆系方程
【例3】 求过直线2x+y+4=0与圆x2+y2+2x-4y+1=0的交点,且面积最小的圆的方程.
分析:本题求面积最小的圆即求以两交点间的距离为直径的圆,可由过圆与直线交点的圆系方程求解.
解:设过圆x2+y2+2x-4y+1=0与直线2x+y+4=0的交点的圆系方程为x2+y2+2x-4y+1+λ(2x+y+4)=0,其中λ∈R.
整理得x2+y2+2(1+λ)x+(λ-4)y+1+4λ=0.
要使圆的面积最小,只需半径r最小.
反思感悟 解答此类问题一般有如下两种方法:
(1)联立方程组,求出交点坐标,再根据交点坐标求方程.
(2)设圆系方程确定参数,一般地,过直线l:Ax+By+C=0与圆O: x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)的交点的圆系方程可设为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0,注意系数λ一定要写在直线方程之前.
【变式训练3】 一圆过圆x2+y2-2x=0与直线x+2y-3=0的交点,且圆心在y轴上,则这个圆的方程是 .
解析:设所求圆的方程为x2+y2-2x+λ(x+2y-3)=0,λ∈R,
即x2+y2+(λ-2)x+2λy-3λ=0.
故圆的方程为x2+y2+4y-6=0.
答案:x2+y2+4y-6=0
探究四
由直线与圆的位置关系求圆的方程
【例4】 设圆上的点A(2,3)关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上,且直线x-y+1=0被圆截得的弦长为2 ,求圆的方程.
分析:由对称点在圆上,可得圆心与直线的关系,再由弦长得到方程组,即可求解.
解:设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.
由题意知,直线x+2y=0过圆心,故a+2b=0.①
∵点A在圆上,∴(2-a)2+(3-b)2=r2.②
故所求圆的方程为(x-6)2+(y+3)2=52或(x-14)+(y+7)2=244.
反思感悟 圆上的点关于直线的对称点仍在圆上,说明直线一定经过圆心.
【变式训练4】 已知圆C和y轴相切,圆心在直线x-3y=0上,且被直线y=x截得的弦长为2 ,则圆C的方程为 .
解析:设圆心坐标为(3m,m).
∵圆C和y轴相切,
由半径、弦心距、半弦长的关系,得9m2=7+2m2,解得m=±1.
∴圆C的方程为(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9.
答案:(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9
【易错辨析】
忽略方程中未知量的取值范围致误
以上解题过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
防范措施 有关直线与圆的位置关系问题,要看清运动中的不变量,例如本例中直线的平行关系,并注意方程中变量的取值范围.
【变式训练】 上例中,改为直线l:y=x+b,与曲线C:y= 有且仅有一个公共点,则实数b的取值范围为 .
解析:由例题图知,当直线与半圆相切时,b= ,符合题意;当直线经过点(1,0)时,b=-1,直线记为l3;当直线在l1与l3之间(包含l3),直线l与半圆有且仅有一个公共点.
因此,-1≤b<1或b= .
随堂练习
1.将直线x+y=1绕点(1,0)沿逆时针方向旋转90°后与圆x2+(y-1)2=r2(r>0)相切,则r的值是( )
解析:将直线x+y=1绕点(1,0)沿逆时针方向旋转90°后,所得直线的方程为x-y=1.圆的圆心坐标为(0,1),
∵旋转后的直线与圆相切,
答案:B
2.直线y=x-1上的点到圆x2+y2+4x-2y+4=0的最近距离为( )
答案:C
3.已知圆C的半径为2,圆心在x轴正半轴上,直线3x+4y+4=0与圆C相切,则圆C的方程为 .
故圆C的方程为(x-2)2+y2=4,
即x2+y2-4x=0.
答案:x2+y2-4x=0
5.已知隧道的截面是一个半径为4 m的半圆,车辆只能在道路中心线一侧行驶,一辆宽为2.7 m、高为2.5 m的货车能不能驶入这个隧道 假设货车的最大宽度为a m,那么要正常驶入该隧道,货车的最大高度为多少
解:以隧道截面半圆的圆心为坐标原点,半圆直径所在直线为x轴,
建立如图所示的平面直角坐标系,则半圆方程为x2+y2=16(y>0).
本 课 结 束(共38张PPT)
第1课时 直线与圆的位置关系
第二章
2.5.1
2022
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.理解直线与圆的三种位置关系.
2.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系.
3.能解决有关直线与圆的位置关系的问题.
4.培养直观想象、逻辑推理和数学运算素养.
自主预习 新知导学
直线与圆的位置关系的判定方法
【问题思考】
大海上初升的红日,在冉冉升起的过程中,展现出迷人的风采,同时也体现了直线与圆的三种位置关系:相交、相切、相离.
1.怎样用几何法即用圆心到直线的距离d同
圆的半径r的大小关系来判断直线与圆的位置
关系
提示:利用圆心到直线的距离d与圆的半径r
的大小关系判断它们之间的位置关系如下:
若d>r,则直线与圆相离;若d=r,则直线与圆相切;若d
2.直线l:Ax+By+C=0(A,B不同时为0),圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系
当方程组无解,即Δ<0时,直线与圆相离;当方程组有一组解,即Δ=0时,直线与圆相切;当方程组有两组解,即Δ>0时,直线与圆相交.
3.填表:直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置关系及判断
4.做一做:(1)直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系是( )
A.相切 B.相交但直线不经过圆心
C.直线经过圆心 D.相离
(2)过原点作圆x2+y2-2x-2y+1=0的切线,切线方程为 .
∵直线y=x+1不经过圆心(0,0),
∴直线与圆相交但不经过圆心.
(2)∵圆的方程可化为(x-1)2+(y-1)2=1,
∴圆与x轴、y轴都相切.
∴所求切线方程为x=0或y=0.
答案:(1)B (2)x=0或y=0
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)判断直线与圆的位置关系,只能用圆心到直线的距离d与圆的半径的大小关系判断.( × )
(2)过圆外一点作圆的切线有两条.( √ )
(3)当直线与圆相离时,可求圆上的点到直线的最大距离和最小距离.( √ )
(4)若直线与圆有公共点,则直线与圆相交.( × )
合作探究 释疑解惑
探究一
直线与圆的位置关系的判断
【例1】 已知直线方程mx-y-m-1=0,圆的方程x2+y2-4x-2y+1=0.当m为何值时,直线与圆
(1)有两个公共点;
(2)只有一个公共点;
(3)没有公共点.
分析:直线与圆有两个公共点 直线与圆相交;直线与圆只有一个公共点 直线与圆相切;直线与圆没有公共点 直线与圆相离.
解法一:将直线方程y=mx-m-1代入圆的方程,
化简整理得(1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0,则Δ=4m(3m+4).
解法二:圆的方程可化为(x-2)2+(y-1)2=4,即圆心C(2,1),半径r=2.
反思感悟 直线与圆的位置关系反映在三个方面:一是圆心到直线的距离与半径的大小关系;二是直线与圆的公共点的个数;三是两方程组成的方程组解的个数.因此,若给出图形,可根据公共点的个数判断;若给出直线与圆的方程,可选择用几何法或代数法,几何法计算量小,代数法可一同求出交点.解题时可根据条件作出恰当的选择.
【变式训练1】 直线(a+1)x+(a-1)y+2a=0(a∈R)与圆x2+y2-2x+2y-7=0的位置关系是( )
A.相切 B.相交
C.相离 D.不确定
解析:由题意得,直线(a+1)x+(a-1)y+2a=0恒过定点(-1,-1).
∵(-1)2+(-1)2-2×(-1)+2×(-1)-7<0,
∴定点(-1,-1)在圆内,
∴直线与圆相交.
答案:B
探究二
直线与圆相切
【例2】 若直线l经过点P(2,3),且与圆(x-1)2+(y+2)2=1相切,求直线l的方程.
分析:可以利用几何法和代数法两种思路求切线方程.
解:∵(2-1)2+(3+2)2>1,∴点P在圆外.
(方法一)①若直线l的斜率存在,设l:y-3=k(x-2),即kx-y+3-2k=0.
∵直线l与圆(x-1)2+(y+2)2=1相切,
②若直线l的斜率不存在,则直线l:x=2,经验证,符合题意.
因此,直线l的方程为12x-5y-9=0或x=2.
(方法二)①若直线l的斜率存在,设l:y-3=k(x-2),即y=k(x-2)+3.
与圆的方程联立消去y,得(x-1)2+[k(x-2)+3+2]2=1,
整理得(k2+1)x2-(4k2-10k+2)x+4k2-20k+25=0.
②若直线l的斜率不存在,则直线l:x=2,经验证,符合题意.
因此,直线l的方程为12x-5y-9=0或x=2.
若本例点P的坐标改为P(2,-2),其他条件不变,求直线l的方程.
解:∵(2-1)2+(-2+2)2=1,
∴点P在圆上.∴过点P的圆的切线有一条.
∵圆心(1,-2),点P(2,-2),
∴过圆心与点P的直线平行于x轴.
∴切线方程为x=2,即直线l的方程为x=2.
反思感悟 1.本题求解采用了两种不同的方法,显然方法一较方法二简捷明了,一般地,求圆的切线方程或与切线有关的问题常用方法一.
2.如果所求切线过某已知点M,务必弄清该点在圆上还是在圆外.
(1)如果点M在圆上,那么圆心和点M的连线与切线垂直,从而求得切线的斜率,用直线的点斜式方程可求得切线方程.
(2)如果点M在圆外,那么过点M的切线有两条,但在设斜率解题时可能求出的切线只有一条,这是因为有一条过该点的切线的斜率不存在.
【变式训练2】 (1)直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切,则b=( )
A.-2或12 B.2或-12
C.-2或-12 D.2或12
(2)过点P(2,1)引圆x2+(y-2)2=1的切线,则切线长为 .
解析:(1)易知圆心坐标为(1,1),半径r=1,
∵直线与圆相切,
答案:(1)D (2)2
探究三
直线与圆相交
【例3】 求直线l:3x+y-6=0被圆C:x2+y2-2y-4=0截得的弦长.
分析:解法一求出直线与圆的交点坐标,解法二利用弦长公式,解法三利用几何法作出直角三角形,三种解法都可求得弦长.
设两交点A,B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),
则由根与系数的关系得,x1+x2=3,x1·x2=2.
解法三:圆C的方程x2+y2-2y-4=0可化为x2+(y-1)2=5,
反思感悟 求直线与圆相交时弦长的两种方法:
【变式训练3】 若过点M(-3,-3)的直线l被圆x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为4 ,则直线l的方程为 .
解析:将圆的方程写成标准形式,得x2+(y+2)2=25,则圆心坐标为(0,-2),半径为5.
若直线l的斜率不存在,则直线方程为x=-3.
圆心到该直线的距离为3,又圆的半径为5,所以弦长为8,不符合题意,舍去.
若直线l的斜率存在,设直线l的方程为y+3=k(x+3),即kx-y+3k-3=0.
即x+2y+9=0或2x-y+3=0.
答案:x+2y+9=0或2x-y+3=0
【易错辨析】
忽略直线斜率不存在的情况致误
【典例】 已知圆M:(x-1)2+(y-1)2=4,直线a过点P(2,3)且与圆M交于A,B两点,且|AB|=2 ,求直线a的方程.
错解:设直线a的方程为y-3=k(x-2),即kx-y+3-2k=0.
以上解题过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:错解忽略了直线a的斜率不存在的情况.
正解:①当直线a的斜率存在时,设直线a的方程为y-3=k(x-2),
即kx-y+3-2k=0.
如错解中的图所示,作MC⊥AB交AB于点C,
所以,直线a的方程为3x-4y+6=0.
②当直线a的斜率不存在时,直线方程为x=2,
圆心M(1,1)到此直线的距离也是1,符合题意.
综上,直线a的方程为3x-4y+6=0或x=2.
防范措施 点斜式方程并不能表示直线斜率不存在的情况,故在求直线方程时,若设点斜式方程,根据条件求得斜率后,应注意验证斜率不存在的情况是否满足题意.本题错解就是忽略了直线斜率不存在的情况而出错的.
【变式训练】 已知圆C的方程为x2+y2=4.
(1)求过点P(1,2),且与圆C相切的直线的方程;
(2)若直线l过点P(1,2),与圆C交于A,B两点,且|AB|=2 ,求直线l的方程.
解:(1)画出圆C与点P的大致图象(图略)知切线的斜率存在,
设切线方程为y-2=k(x-1).
故所求的切线方程为y=2或4x+3y-10=0.
(2)当直线l垂直于x轴时,直线l的方程为x=1,
故直线l的方程为3x-4y+5=0.
综上所述,直线l的方程为3x-4y+5=0或x=1.
随堂练习
1.直线x-y-4=0与圆x2+y2-2x-2y-2=0的位置关系是( )
A.相交 B.相切
C.相交且过圆心 D.相离
解析:圆的方程可化为(x-1)2+(y-1)2=4.
答案:D
答案:C
3.直线x-y-5=0截圆x2+y2-4x+4y+6=0所得的弦长等于 .
故所求圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=4.
答案:(x-2)2+(y+1)2=4
4.圆心坐标为(2,-1)的圆被直线x-y-1=0截得的弦长为2 ,则此圆的标准方程为 .
5.a为何值时,直线2x-y+1=0与圆x2+y2=a2(a>0)相离、相切、相交
解:由圆的方程x2+y2=a2(a>0),知圆心为O(0,0),圆的半径r=a,
本 课 结 束2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系
2.5.1 直线与圆的位置关系
第1课时 直线与圆的位置关系
课后训练巩固提升
A组
1.直线y=kx+1与圆x2+y2=4的位置关系是( )
A.相离 B.相切
C.相交 D.不确定
解析:直线y=kx+1过点(0,1),因为该点在圆x2+y2=4内,所以直线与圆相交.
答案:C
2.若直线y=kx+2与圆(x-2)2+(y-3)2=1有两个不同的交点,则实数k的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析:由题意得<1,解得0答案:C
3.过坐标原点,且与圆x2+y2-4x+2y+=0相切的直线的方程为( )
A.y=-3x或y=x B.y=3x或y=-x
C.y=-3x或y=-x D.y=3x或y=x
解析:∵02+02-4×0+2×0+>0,
∴原点在圆外.
圆的方程可化为(x-2)2+(y+1)2=,则圆心为(2,-1),半径r=.
因为直线x=0不与圆相切,所以可设切线方程为y=kx.
由题意得,解得k=-3或k=,故所求切线的方程为y=-3x或y=x.
答案:A
4.已知直线l:ax+by=1,点P(a,b)在圆C:x2+y2=1外,则直线l与圆C的位置关系是( )
A.相交 B.相切
C.相离 D.不能确定
解析:∵P(a,b)在圆C:x2+y2=1外,∴a2+b2>1.
∵圆心(0,0)到直线l:ax+by-1=0的距离d=<1,∴直线l与圆C的位置关系是相交.
答案:A
5.若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴都相切,则圆C的标准方程是( )
A.(x-2)2+(y-1)2=1 B.(x-2)2+(y+1)2=1
C.(x+2)2+(y-1)2=1 D.(x-3)2+(y-1)2=1
解析:设圆心C(a,b),半径r=1.由于圆心在第一象限,且与x轴相切,故a>0,b=r=1,C(a,1).
由圆心C到直线4x-3y=0的距离d==r=1,得a=2或a=-(舍去).
故圆C的标准方程是(x-2)2+(y-1)2=1.
答案:A
6.设直线2x+3y+1=0与圆x2+y2-2x-3=0相交于点A,B,则弦AB的垂直平分线的方程是 .
解析:易知所求直线过圆心,且与直线2x+3y+1=0垂直.
由圆的方程,得圆心坐标为(1,0).
设所求直线的方程为3x-2y+C=0,则3×1-2×0+C=0,解得C=-3.
故所求直线的方程为3x-2y-3=0.
答案:3x-2y-3=0
7.在平面直角坐标系中,过点P(2,4)作圆x2+y2-4y=0的切线,则切线方程为 .
解析:圆的方程可化为x2+(y-2)2=4,则圆心为(0,2),半径为2.
∵22+(4-2)2>4,∴点P在圆外.
当切线的斜率不存在时,过点P的直线方程为x=2,与圆相切,符合题意.
当切线的斜率存在时,设过点P(2,4)的圆的切线方程为y-4=k(x-2),即kx-y+4-2k=0.
由=2,得k=0.
∴切线方程为y=4.
因此,所求切线方程为x=2或y=4.
答案:x=2或y=4
8.过点(-1,-2)的直线l被圆x2+y2-2x-2y+1=0截得的弦长为,则直线l的斜率为 .
解析:圆的方程可化为(x-1)2+(y-1)2=1,可知点(-1,-2)在圆外.
∵直线x=-1与圆相离,∴直线l的斜率存在,设其为k,则直线l的方程为y+2=k(x+1).
已知圆心为(1,1),半径为1,弦长为,
则圆心到直线的距离d=,解得k=1或k=.
答案:1或
9.已知直线l过点(-2,0),当直线l与圆x2+y2=2x有两个交点时,求直线l的斜率k的取值范围.
解:圆的方程可化为(x-1)2+y2=1,则圆心坐标是(1,0),半径是1.
∵直线x=-2与圆相离,
∴当直线l与圆有两个交点时,斜率存在.
设直线l的方程是y=k(x+2),即kx-y+2k=0,
由题意得圆心到直线l的距离<1,即k2<,解得-故直线l的斜率k的取值范围是.
10.已知圆O:x2+y2=r2(r>0)与直线x-y+2=0相切.
(1)求圆O的方程;
(2)过点的直线l截圆所得弦长为2,求直线l的方程.
解:(1)∵直线x-y+2=0与圆O:x2+y2=r2相切,
∴圆心O(0,0)到直线的距离等于圆的半径r,即=r.∴r=2.∴圆O的方程为x2+y2=4.
(2)当直线l的斜率不存在时,则直线l的方程为x=1,此时直线l截圆所得弦长为2,符合题意.
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-=k(x-1),即kx-y+-k=0.
由直线l截圆所得弦长为2,半径r=2,得圆心到直线l的距离d==1,即=1,
解得k=-.
故直线l的方程为-x-y+=0,即x+y-2=0.
综上,直线l的方程为x+y-2=0或x=1.
B组
1.过点(2,1)的直线中,被圆(x-1)2+(y+2)2=5截得的弦长最大的直线的方程是( )
A.3x-y-5=0 B.3x+y-7=0
C.x+3y-5=0 D.x-3y+5=0
解析:∵过点(2,1)的直线中,被圆(x-1)2+(y+2)2=5截得的弦长最大的直线经过圆心,
∴该直线过点(2,1)和圆心(1,-2).
∴直线方程为,整理得3x-y-5=0.
故选A.
答案:A
2.直线(a+1)x+(a-1)y+2a=0(a∈R)与圆x2+y2-2x+2y-7=0的位置关系是( )
A.相切 B.相交
C.相离 D.不确定
解析:直线(a+1)x+(a-1)y+2a=0恒过定点(-1,-1).∵(-1)2+(-1)2-2×(-1)+2×(-1)-7=-5<0,
∴点(-1,-1)在圆内.∴直线与圆相交.
答案:B
3.由直线y=x-1上的一点向圆C:x2+y2-6x+8=0引切线,则切线长的最小值为( )
A.1 B.
C. D.2
解析:圆的方程可化为(x-3)2+y2=1,则圆心C(3,0),半径r=1.
在直线y=x-1上取一点P,过点P向圆引切线,设切点为A,连接CA.
在Rt△PAC中,|CA|=r=1.要使|PA|最小,则|PC|需最小.
圆心到直线上点的距离的最小值为圆心到直线的距离为.
故|PA|的最小值为=1.
答案:A
4.在圆x2+y2+2x+4y-3=0上,且到直线x+y+1=0的距离为的点共有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
解析:由圆的方程可得,圆心为(-1,-2),半径r=2,而圆心到直线的距离d=,
故圆上有3个点满足.
答案:C
5.已知圆C的圆心是直线x+y+1=0与直线x-y-1=0的交点,直线3x+4y-11=0与圆C相交于A,B两点,且|AB|=6,则圆C的方程为 .
解析:由
得即圆心C的坐标为(0,-1).
圆心C到AB所在直线的距离d==3.
已知|AB|=6,由勾股定理,得半径r==3,所以,圆的方程为x2+(y+1)2=18.
答案:x2+(y+1)2=18
6.若过点A(4,0)的直线l与曲线(x-2)2+y2=1有公共点,则直线l的斜率的取值范围为 .
解析:利用数形结合的方法,如图所示,∠CAB=∠BAD=.
由题意知,直线l的倾斜角θ的取值范围为.
所以,直线l的斜率的取值范围为.
答案:
7.已知圆经过点A(2,-1),圆心在直线2x+y=0上,且与直线x-y-1=0相切,求圆的方程.
解:设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0).
∵圆心在直线2x+y=0上,
∴b=-2a,即圆心为(a,-2a).
又圆与直线x-y-1=0相切,且过点(2,-1),
∴=r,(2-a)2+(-1+2a)2=r2,即(3a-1)2=2[(2-a)2+(-1+2a)2],解得a=1或a=9.
∴a=1,b=-2,r=或a=9,b=-18,r=13.
故所求圆的方程为(x-1)2+(y+2)2=2或(x-9)2+(y+18)2=338.
8.已知圆C:x2+y2+2ax-2ay+2a2-4a=0(0(1)若m=4,求直线l被圆C所截得弦长的最大值;
(2)若直线l是圆心下方的切线,当a在区间(0,4]上变化时,求m的取值范围.
解:(1)由已知得,圆的标准方程是(x+a)2+(y-a)2=4a(0直线l的方程可化为x-y+4=0,则圆心C到直线l的距离d=|2-a|.
设直线l被圆C所截得弦长为L.
由弦长、弦心距和圆的半径之间的关系,
得L=2=2=2.
∵0(2)∵直线l与圆C相切,
∴圆心C到直线l的距离=2,即|m-2a|=2.
∵圆心C在直线l的上方,
∴a>-a+m,即2a>m.
∴2a-m=2.∴m=(-1)2-1.
∵0∴m∈[-1,8-4],即m的取值范围是[-1,8-4].