2.4.2 圆的一般方程
课后训练巩固提升
A组
1.圆x2+y2-2x+6y+8=0的周长等于( )
A.π B.2π
C.2π D.4π
解析:由圆的方程x2+y2-2x+6y+8=0,得圆的半径是,则圆的周长等于2π.
答案:C
2.若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x-4y=0的圆心,则a的值为( )
A.-1 B.1 C.3 D.-3
解析:由圆的方程x2+y2+2x-4y=0,可得圆心(-1,2).
已知直线3x+y+a=0过圆心,将圆心坐标(-1,2)代入直线方程3x+y+a=0,得a=1.
答案:B
3.方程Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0表示的曲线为圆,则有( )
A.A=C≠0
B.D2+E2-4AF>0
C.A=C≠0,且D2+E2-4AF>0
D.A=C≠0,且D2+E2-4AF≥0
答案:C
4.当点P在圆x2+y2=1上移动时,它与定点Q(3,0)的连线PQ的中点的轨迹方程是( )
A.(x+3)2+y2=4 B.(x-3)2+y2=1
C.(2x-3)2+4y2=1 D.(2x+3)2+4y2=1
解析:设P(x0,y0),线段PQ的中点(x,y),则x=,y=.
于是有x0=2x-3,y0=2y.①
由已知得(x0,y0)满足方程x2+y2=1,②
把①代入②得(2x-3)2+(2y)2=1.
答案:C
5.(多选题)已知方程x2+y2-ax+2ay+2a2+a-1=0,则下列选项中a的取值能使方程表示圆的是( )
A.-1 B.0
C. D.-2
解析:方程x2+y2-ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆的条件是D2+E2-4F>0,即3a2+4a-4<0,解得-2
答案:ABC
6.若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以(2,-4)为圆心,4为半径的圆,则F= .
解析:由题意得
解得D=-4,E=8,F=4.
答案:4
7.如果圆的方程为x2+y2+kx+2y+k2=0,且圆的面积为π,那么圆心坐标为 .
解析:因为圆x2+y2+kx+2y+k2=0的面积为π,所以圆的半径为1,
即=1,解得k=0.
所以圆的方程为x2+y2+2y=0,得圆心坐标为(0,-1).
答案:(0,-1)
8.设圆x2+y2-4x+2y-11=0的圆心为A,点P在圆上,则线段PA的中点M的轨迹方程是 .
解析:圆的方程可化为(x-2)2+(y+1)2=16,表示以(2,-1)为圆心,4为半径的圆.
由题意知点M的轨迹是以(2,-1)为圆心,2为半径的圆,则点M的轨迹方程是(x-2)2+(y+1)2=4.
答案:(x-2)2+(y+1)2=4
9.如图所示,从点A(4,0)引圆x2+y2=4的割线ABC,求弦BC的中点P的轨迹方程.
解:设P(x,y),连接OP.
∵P为弦BC的中点,O为圆心,∴OP⊥BC.
当x≠0时,kOP·kAP=-1,即=-1,即x2+y2-4x=0(0当x=0时,点P坐标为(0,0)满足方程①,
∴弦BC的中点P的轨迹方程为x2+y2-4x=0(0≤x<1).
10.求经过A(4,2),B(-1,3)两点,且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程.
解:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.
令y=0,得x2+Dx+F=0,则圆在x轴上的截距之和为x1+x2=-D.
令x=0,得y2+Ey+F=0,则圆在y轴上的截距之和为y1+y2=-E.
由题意知x1+x2+y1+y2=-(D+E)=2,
∴D+E=-2.①
又点A(4,2),B(-1,3)在圆上,
∴16+4+4D+2E+F=0,②
1+9-D+3E+F=0.③
由①②③解得D=-2,E=0,F=-12.
故所求圆的方程为x2+y2-2x-12=0.
B组
1.设A为圆(x-1)2+y2=1上的动点,PA是圆的切线,且|PA|=1,则点P的轨迹方程是( )
A.(x-1)2+y2=4 B.(x-1)2+y2=2
C.y2=2x D.y2=-2x
解析:由题意知,圆心(1,0)到点P的距离为,所以点P在以(1,0)为圆心,为半径的圆上.所以点P的轨迹方程是(x-1)2+y2=2.
答案:B
2.已知A(-2,0),B(1,0)两定点,如果动点P满足|PA|=2|PB|,那么点P的轨迹所包围的图形的面积等于( )
A.π B.4π C.8π D.9π
解析:设动点P的坐标为(x,y),则由|PA|=2|PB|,得=2,化简得(x-2)2+y2=4,即点P的轨迹是以(2,0)为圆心,2为半径的圆,该圆的面积为4π.
答案:B
3.要使圆x2+y2+Dx+Ey+F=0与x轴的两个交点分别位于原点的两侧,则有( )
A.D=0,F=0 B.F>0
C.D≠0,F≠0 D.F<0
解析:令方程x2+y2+Dx+Ey+F=0中的y=0,得x2+Dx+F=0.
由题意知,方程x2+Dx+F=0有两个异号实根,即两根之积小于0,所以F<0.此时D2+E2-4F>0,Δ=D2-4F>0,符合题意.
答案:D
4.若圆x2+y2+2ax-4ay+5a2-4=0上的所有点都在第二象限,则实数a的取值范围为( )
A.(-∞,2) B.(-∞,-1)
C.(1,+∞) D.(2,+∞)
解析:方程x2+y2+2ax-4ay+5a2-4=0可化为(x+a)2+(y-2a)2=4,则圆心坐标为(-a,2a),半径为2.
由题意知解得a>2.故选D.
答案:D
5.已知圆C:x2+y2+2x+ay-3=0(a为实数)上任一点关于直线l:x-y+2=0的对称点都在圆C上,则a= .
解析:由题意得圆C的圆心在直线x-y+2=0上,
将圆心坐标代入直线方程,得-1-+2=0,解得a=-2.
答案:-2
6.由方程x2+y2+x+(m-1)y+m2=0所确定的圆中,最大圆的面积是 .
解析:所给圆的半径r=.
所以当m=-1时,半径r取最大值,此时圆最大,最大圆的面积是.
答案:
7.已知圆C过点A(6,0),B(1,5),且圆心在直线l:2x-7y+8=0上.
(1)求圆C的方程;
(2)P为圆C上的任意一点,定点Q(8,0),求线段PQ的中点M的轨迹方程.
解:(1)(方法一)直线AB的斜率k==-1,
所以线段AB的垂直平分线m的斜率为1.
线段AB的中点坐标为,即.
因此,直线m的方程为y-=x-,即x-y-1=0.
因为圆心在直线l上,所以圆心是直线m与直线l的交点.
解方程组
所以圆心坐标为C(3,2).
从而半径r=|CA|=,
所以圆C的方程是(x-3)2+(y-2)2=13.
(方法二)设圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.
由题意得解得
所以圆C的方程是(x-3)2+(y-2)2=13.
(2)设线段PQ的中点M(x,y),P(x0,y0),
则
将点P(2x-8,2y)代入圆C的方程,得(2x-8-3)2+(2y-2)2=13,
即线段PQ的中点M的轨迹方程为+(y-1)2=.
8.已知圆的方程是x2+y2+2(m-1)x-4my+5m2-2m-8=0.
(1)求此圆的圆心坐标与半径;
(2)求证:不论m为何实数,它们表示圆心在同一条直线上的等圆.
(1)解 圆的方程为x2+y2+2(m-1)x-4my+5m2-2m-8=0,则圆心为(1-m,2m),半径r=3.
(2)证明:由(1)知,圆的半径为定值3,设圆心坐标为(a,b),则即2a+b=2.
故不论m为何实数,方程表示的圆的圆心都在直线2x+y-2=0上,且为等圆.(共36张PPT)
2.4.2 圆的一般方程
第二章
2.4
2022
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.探索并掌握圆的一般方程.
2.能进行圆的一般方程和标准方程的互化.
3.会根据不同的条件利用待定系数法求圆的一般方程.
4.初步掌握点的轨迹方程的求法,并能简单应用.
5.培养数学抽象、直观想象、逻辑推理和数学运算素养.
自主预习 新知导学
一、圆的一般方程
【问题思考】
1.将圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)展开后可以得到一个什么样的式子
提示:x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0.
2.将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0配方后,可以得到一个怎样的方程 这个方程是不是就一定表示圆
4.做一做:若方程x2+y2-4x+2y+5k=0表示圆,则k的取值范围是( )
A.k>1 B.k<1
C.k≥1 D.k≤1
解析:由题意得(-4)2+22-4×5k>0,解得k<1.
答案:B
二、轨迹方程
【问题思考】
1.填空:
(1)点M的轨迹方程是指点M的坐标(x,y)满足的关系式.
(2)轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形.在解析几何中,我们常常把图形看作点的轨迹(集合).
(3)求符合某种条件的动点M的轨迹方程,实质上就是利用题设中的几何条件,通过“坐标化”将其转化为关于变量x,y之间的方程.
2.做一做:已知定点A(2,2),动点M(x,y)满足|MA|=1,则点M的轨迹方程是 .
解析:由题意知,满足条件的点M是以点A(2,2)为圆心,1为半径的圆,所以有(x-2)2+(y-2)2=1,即点M的轨迹方程是(x-2)2+(y-2)2=1.
答案:(x-2)2+(y-2)2=1
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆.( × )
(2)利用圆的一般方程无法判断点与圆的位置关系.( × )
(3)圆的标准方程与一般方程可以互相转化.( √ )
(4)利用待定系数法求圆的一般方程,需要三个独立的条件.( √ )
合作探究 释疑解惑
探究一
圆的一般方程的概念
【例1】 判断下列方程是否表示圆,若是,写出圆心坐标和半径:
(1)3x2+y2+2x+1=0;
(2)x2+y2+xy+1=0;
(3)x2+y2+x+2y+1=0;
(4)x2+y2-4mx+2my+20m-20=0.
分析:利用圆的一般方程的特点解题.
解:(1)∵x2,y2的系数不相等,
∴该二元二次方程表示的不是圆.
(2)∵该二次方程中含有xy项,
∴该二元二次方程表示的不是圆.
(3)∵D2+E2-4F=1+4-4>0,
∴该二元二次方程表示的是圆.
(4)(方法一)D=-4m,E=2m,F=20m-20,
D2+E2-4F=16m2+4m2-80m+80=20(m-2)2.
当m=2时,它表示一个点;当m≠2时,原方程表示圆心为(2m,-m),
反思感悟 判断一个二元二次方程是否表示圆的步骤:
先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征,即①x2与y2的系数相等;②不含xy项;当它具有圆的一般方程的特征时,再看它能否表示圆,此时有两种途径,一是看D2+E2-4F是否大于零,二是直接配方变形,看右边是否为大于零的常数即可.
【变式训练1】 已知方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0表示一个圆.
(1)求实数m的取值范围;
(2)求该圆半径的取值范围.
探究二
求圆的一般方程
【例2】 已知点A(2,2),B(5,3),C(3,-1),求△ABC外接圆的方程.
分析:欲求圆的方程可先将圆的方程设出来,将条件代入求得.
解法一:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.
所以,△ABC外接圆的方程为x2+y2-8x-2y+12=0.
解法二:设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.
所以,△ABC外接圆的方程为(x-4)2+(y-1)2=5.
若本例改为:已知圆过A(2,2),C(3,-1)两点,且圆关于直线y=x对称,求圆的一般方程.
解:设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.
反思感悟 用待定系数法求圆的方程时,一般方程和标准方程的选择:
(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题,一般采用圆的标准方程,再用待定系数法求出a,b,r.
(2)如果已知条件和圆心或半径都无直接关系,一般采用圆的一般方程,再用待定系数法求出参数D,E,F.
【变式训练2】 已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+3=0,圆心在直线x+y-1=0上,且圆心在第二象限,半径为 ,求圆C的一般方程.
探究三
求动点的轨迹方程
【例3】 已知直角三角形ABC的斜边为AB,且点A(-1,0),B(3,0),求:
(1)直角顶点C的轨迹方程;
(2)直角边BC中点M的轨迹方程.
分析:只需寻求动点与定点之间的关系,然后化简方程即可,不过要注意动点与定点间的约束条件.
解:(1)(方法一)设顶点C(x,y).
因为A,B,C三点不共线,所以y≠0.
因此,直角顶点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(y≠0).
(方法二)设顶点C(x,y).
同方法一得y≠0.
由勾股定理得|AC|2+|BC|2=|AB|2,即(x+1)2+y2+(x-3)2+y2=16,
化简得x2+y2-2x-3=0.因此,直角顶点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(y≠0).
(方法三)设AB的中点为D,由中点坐标公式得D(1,0),由直角三角形的性质知,|CD|= |AB|=2,由圆的定义知,动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心,2为半径的圆(由于A,B,C三点不共线,所以应除去与x轴的交点).所以直角顶点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(y≠0).
(2)设M(x,y),C(x0,y0).
由于y0≠0,故y≠0.
由(1)知,点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(y≠0),
将x0,y0代入该方程得(2x-4)2+(2y)2=4,即(x-2)2+y2=1.
因此,动点M的轨迹方程为(x-2)2+y2=1(y≠0).
反思感悟 1.求动点的轨迹方程的一般步骤为:建系、设点、列式、化简、证明.建系时可根据题目中的条件,建立适当的平面直角坐标系,简化运算是解题的关键.
2.求解时,重视从不同视角诠释求动点轨迹方程的步骤,注意灵活运用图形的几何性质.
3.对于“双动点”问题,若已知一动点在某条曲线上运动而求另一动点的轨迹方程,则通常用代入法.
【变式训练3】 已知动点M到点A(2,0)的距离是它到点B(8,0)的距离的一半.
(1)求动点M的轨迹方程;
(2)若N为线段AM的中点,求点N的轨迹.
解:(1)设动点M的坐标为(x,y),
化简得x2+y2=16,即动点M的轨迹方程为x2+y2=16.
(2)设点N的坐标为(x,y),
∵A(2,0),N为线段AM的中点,
∴点M的坐标为(2x-2,2y).
又点M在圆x2+y2=16上运动,
∴(2x-2)2+4y2=16,即(x-1)2+y2=4.
∴点N的轨迹是以(1,0)为圆心,2为半径的圆.
【易错辨析】
忽略了二元二次方程表示圆的条件而致误
【典例】 已知点A(a,2)在圆x2+y2-2ax-3y+a2+a=0的外部,求a的取值范围.
错解:因为点A(a,2)在圆的外部,
所以a2+4-2a2-3×2+a2+a>0,解得a>2.
故a的取值范围为(2,+∞).
以上解题过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:上述解法的错误在于“忘记判断二元二次方程表示圆的条件”.
正解:因为点A在圆的外部,
防范措施 对于二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0只有在D2+E2-4F>0的前提下,它才表示圆,故求解本题在判定出点与圆的位置关系后,要验证所求参数的范围是否满足D2+E2-4F>0.
【变式训练】 已知点(1,1)在圆x2+y2-ax-2y+4=0的内部,求a的取值范围.
随堂练习
1.已知圆x2+y2-4x+2y-4=0,则圆心坐标和半径分别是( )
A.(2,-1),3 B.(-2,1),3
C.(-2,-1),3 D.(2,-1),9
解析:圆的方程x2+y2-4x+2y-4=0可化为(x-2)2+(y+1)2=9.
故其圆心坐标为(2,-1),半径为3.
答案:A
2.若方程x2+y2-x+y+m=0表示圆,则实数m的取值范围是( )
答案:A
3.已知Rt△ABC的斜边的两端点A,B的坐标分别为(-3,0)和(7,0),则直角顶点C的轨迹方程为( )
A.x2+y2=25(y≠0) B.x2+y2=25
C.(x-2)2+y2=25(y≠0) D.(x-2)2+y2=25
解析:线段AB的中点坐标为(2,0),因为△ABC为直角三角形,C为直角顶点,
又因为点A,B,C不共线,所以y≠0,即(x-2)2+y2=25(y≠0).
答案:C
4.点P(x0,y0)是圆x2+y2=16上的动点,点M是OP(O为原点)的中点,则动点M的轨迹方程是 .
∵点P(x0,y0)在圆x2+y2=16上,
∴4x2+4y2=16,即x2+y2=4.
答案:x2+y2=4
5.已知圆C过点O(0,0),A(1,0),B(0,-1),求圆C的方程.
解:设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.
将O,A,B三点坐标依次代入,
所以,圆C的方程为x2+y2-x+y=0.
本 课 结 束