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第3课时 圆锥曲线的方程
复习课
2022
内容索引
01
02
03
知识梳理 构建体系
专题归纳 核心突破
高考体验
知识梳理 构建体系
【知识网络】
圆
锥
曲
线
的
方
程
圆
锥
曲
线
的
方
程
圆
锥
曲
线
的
方
程
【要点梳理】
1.椭圆的定义、图形和标准方程分别是什么 有哪些几何性质 请完成下表:
2.双曲线的定义、图形和标准方程分别是什么 有哪些几何性质 请完成下表:
3.抛物线的定义、图形和标准方程分别是什么 有哪些几何性质 请完成下表:
4.直线与圆锥曲线的位置关系有哪些 怎样判断其位置关系
提示:有相交、相切、相离三种.
将直线方程与圆锥曲线方程联立,化简后得到关于x(或y)的方程,根据方程解的情况判断即可.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)椭圆的焦点只能在坐标轴上.( × )
(4)平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹就是双曲线.( × )
(5)对于三个参数a,b,c,在椭圆的标准方程中,最大的是a,在双曲线的标准方程中,最大的是c.( √ )
(6)双曲线的焦点一定位于双曲线的实轴上.( √ )
(7)焦点在x轴上的双曲线与焦点在y轴上的双曲线不可能具有共同的渐近线.( × )
(9)双曲线的离心率越大,其渐近线斜率的绝对值就越大.( √ )
(10)抛物线y=6x2的焦点在x轴的正半轴上.( × )
(11)直线与圆锥曲线相交时,一定有两个公共点.( × )
(12)椭圆、双曲线与抛物线都既是轴对称图形,也是中心对称图形.( × )
(13)抛物线的顶点一定在过焦点且与准线垂直的直线上.( √ )
专题归纳 核心突破
专题一
圆锥曲线的定义及应用
【例1】 (1)已知动点M的坐标满足方程5 =|3x+4y-12|,则动点M的轨迹是( )
A.椭圆 B.双曲线
C.抛物线 D.以上都不对
(2)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为 .过F1的直线l交C于A,B两点,且△ABF2的周长为16,则C的方程为 .
则动点M到原点的距离与它到直线3x+4y-12=0的距离相等,故点M的轨迹是以原点为焦点,直线3x+4y-12=0为准线的抛物线.
因为AB过F1且A,B在椭圆上,如图所示,
则△ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|
=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=16,a=4.
反思感悟 “回归定义”解题的三点应用
应用一:在求轨迹方程时,若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义,则根据圆锥曲线的定义,写出所求的轨迹方程;
应用二:涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时,常用定义结合解三角形的知识来解决;
应用三:在求有关抛物线的最值问题时,常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离,结合几何图形,利用几何意义去解决.
提醒:应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件.
【变式训练1】 (1)若一动圆与两圆:x2+y2=1和x2+y2-6x+5=0都外切,则动圆圆心的轨迹为( )
A.抛物线 B.双曲线
C.双曲线的一支 D.椭圆
解析:x2+y2=1是圆心为原点,半径为1的圆,x2+y2-6x+5=0化为标准方程为(x-3)2+y2=4,是圆心为A(3,0),半径为2的圆.设所求动圆圆心为P,动圆半径为r,
结合图形(图略)可知,动圆圆心的轨迹为双曲线的一支.
答案:C
(2)已知点P是抛物线y2=8x上的任意一点,F是抛物线的焦点,点M的坐标是(2,3),求|PM|+|PF|的最小值,并求出此时点P的坐标.
解:抛物线y2=8x的准线方程是x=-2,
点P到焦点F的距离等于它到准线x=-2的距离,
过点P作PD垂直于准线x=-2,垂足为D,
那么|PM|+|PF|=|PM|+|PD|.
如图所示,根据平面几何知识,当M,P,D三点共线时,
|PM|+|PF|的值最小,且最小值为|MD|=2-(-2)=4,
所以|PM|+|PF|的最小值是4.
专题二
求圆锥曲线的方程
【例2】 (1)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于 ,则C的方程是( )
(2)已知抛物线y2=8x的准线过双曲线 (a>0,b>0)的一个焦点,且双曲线的离心率为2,则该双曲线的方程为 .
反思感悟 一般求已知曲线类型的曲线方程问题,可采用“先定形,后定式,再定量”的步骤.
(1)定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置.
(2)定式——根据“形”设方程的形式,注意曲线系方程的应用,如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时,可设方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0).
(3)定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系,通过解方程(组)得到量的大小.
【变式训练2】 (1)焦点在x轴上,右焦点到短轴端点的距离为2,到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是( )
(2)已知一双曲线与椭圆x2+4y2=64共焦点,它的一条渐近线方程为x- y =0,则双曲线的方程为 .
专题三
圆锥曲线的性质及应用
【例3】 (1)如图,椭圆C1,C2与双曲线C3,C4的离心率分别是e1,e2与e3,e4,则e1,e2,e3,e4的大小关系是( )
A.e2B.e2C.e1D.e1反思感悟 求解离心率的三种方法
(1)定义法:由椭圆(双曲线)的标准方程可知,不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上都有关系式a2-b2=c2(a2+b2=c2)以及e= ,已知其中的任意两个参数,可以求其他的参数,这是基本且常用的方法.
(2)方程法:建立参数a与c之间的齐次关系式,从而求出其离心率,这是求离心率的十分重要的思路及方法.
(3)几何法:求与过焦点的三角形有关的离心率问题,根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质,建立参数之间的关系,通过画出图形,观察线段之间的关系,使问题更形象、直观.
答案:A
解析:抛物线y2=4cx的焦点为(c,0),准线方程为x=-c,|PF1|=4a+c,
由双曲线的定义可得,|PF1|-|PF2|=2a,
所以|PF2|=2a+c.
由抛物线的定义可得|PF2|=xP+c=2a+c,
答案:A
专题四
直线与圆锥曲线的位置关系
(1)求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程;
(2)过N(1,2)的直线l与椭圆相交,求l被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程;
解:设弦的两端点为A(x1,y1),B(x2,y2),中点M(x0,y0),
则有x1+x2=2x0,y1+y2=2y0.
故所求的轨迹方程为x+4y=0(在已知椭圆的内部).
(2)不妨设l交椭圆于点A,B,弦中点为M(x,y).
反思感悟 直线与圆锥曲线相交,经常出现弦长、中点弦问题
(2)处理中点弦问题,一般有两种思路,思路一:联立方程组,消元,利用根与系数的关系进行设而不求;思路二:利用“点差法”.
【例5】 设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A,B两点,点C在抛物线的准线上,且BC∥x轴.证明:直线AC经过原点O.
反思感悟 圆锥曲线中的定值、定点问题
(1)定值问题的常见类型及解题策略:
①求代数式为定值.依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得出定值.
②求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,利用题设条件化简、变形求得.
③求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式,依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.
(2)定点问题的两种解法:
①引进参数法,引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点.
②特殊到一般法,根据动点或动线的特殊情况探索出定点,证明该定点与变量无关.
【例6】 已知椭圆E的中心在坐标原点,对称轴为坐标轴,且抛物线x2= -4 y的焦点是它的一个焦点,又点A(1, )在该椭圆上.
(1)求椭圆E的方程;
(2)若斜率为 的直线l与椭圆E交于不同的两点B,C,当△ABC的面积最大时,求直线l的方程.
分析:(1)利用待定系数法求解;(2)求出△ABC面积的表达式,利用基本不等式或函数思想求最值.
反思感悟 最值问题的常用解法
(1)代数法:若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可先建立目标函数再求这个函数的最值.求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、换元法、基本不等式法、单调性法.
(2)几何法:若题目的条件与结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用几何图形的性质来解决.
(1)若点A是椭圆E的一个顶点,求椭圆的方程;
(2)若线段AB上存在点P满足|PF1|+|PF2|=2a,求a的取值范围.
若线段AB上存在点P满足|PF1|+|PF2|=2a,则线段AB与椭圆E有公共点,等价于方程6y2-8y+4-a2=0在y∈[0,1]上有解.
设f(y)=6y2-8y+4-a2,
高考体验
考点一
圆锥曲线的标准方程
1.(2019·全国Ⅰ高考)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为( )
解析:如图,由已知可设|F2B|=n,|BF1|=m.
由|AB|=|BF1|,则|AF2|=m-n,|AB|=m.
又|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|,故|AF1|=2n.
由椭圆的定义及|AF2|=2|F2B|,
过点B作x轴的垂线,垂足为点P.
由题意可知△OAF2∽△PBF2.
又|AF2|=2|F2B|,∴|OF2|=2|F2P|.
答案:B
考点二
圆锥曲线的几何性质
答案:B
A.2 B.3
C.4 D.8
答案:D
答案:B
5.(2019·北京高考)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.则以F为圆心,且与l相切的圆的方程为 .
解析:抛物线y2=4x中,2p=4,p=2,焦点F(1,0),准线l的方程为x=-1,以F为圆心,且与x=-1相切的圆的方程为(x-1)2+y2=22,即为(x-1)2+y2=4.
答案:(x-1)2+y2=4
解析:∵a2=36,b2=20,∴c2=a2-b2=16,∴c=4.
由题意得,|MF1|=|F1F2|=2c=8.
∵|MF1|+|MF2|=2a=12,∴|MF2|=4.
设点M的坐标为(x0,y0)(x0>0,y0>0),
考点三
圆锥曲线的离心率问题
答案:D
答案:D
D
解析:如图,设PQ与x轴交于点A,由对称性可知PQ⊥x轴.
∵|PQ|=|OF|=c,
答案:A
答案:2
考点四
直线与圆锥曲线的位置关系
答案:D
13.(2018·全国Ⅱ高考)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.
(1)求l的方程.
(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.
解:(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>0).
设A(x1,y1),B(x2,y2),
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),
即y=-x+5.
设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),
14.(2019·全国Ⅰ高考)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为 的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.
(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;
交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).
(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;
(2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.
(1)解:由已知得F(1,0),l的方程为x=1.
(2)证明:当l与x轴重合时,∠OMA=∠OMB=0°,
当l与x轴垂直时,OM为AB的垂直平分线,所以∠OMA=∠OMB.
当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),
从而kMA+kMB=0,
故MA,MB的倾斜角互补,
所以∠OMA=∠OMB.
综上,∠OMA=∠OMB.
考点五
圆锥曲线中最值与范围问题
16.(2019·全国Ⅱ高考)已知F1,F2是椭圆C: (a>b>0)的两个焦点,P为C上的点,O为坐标原点.
(1)若△POF2为等边三角形,求C的离心率;
(2)如果存在点P,使得PF1⊥PF2,且△F1PF2的面积等于16,求b的值和a的取值范围.
解:(1)连接PF1.由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中,
(2)由题意可知,满足条件的点P(x,y)存在,
考点六
圆锥曲线中的定点与定值问题
17.(2019·北京高考)已知椭圆C: 的右焦点为(1,0),且经过点A(0,1).
(1)求椭圆C的方程;
(2)设O为原点,直线l:y=kx+t(t≠±1)与椭圆C交于两个不同点P,Q,直线AP与x轴交于点M,直线AQ与x轴交于点N.若|OM|·|ON|=2,求证:直线l经过定点.
(1)解:由题意得,b2=1,c=1.所以a2=b2+c2=2.
本 课 结 束第3课时 圆锥曲线的方程
课后训练巩固提升
1.双曲线3x2-y2=9的焦距为( )
A. B.2
C.2 D.4
解析:方程化为标准方程为=1,
∴a2=3,b2=9.
∴c2=a2+b2=12,∴c=2,∴2c=4.
答案:D
2.抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2-=1的渐近线的距离是( )
A. B. C.1 D.
解析:抛物线y2=4x的焦点为(1,0),到双曲线x2-=1的渐近线x-y=0的距离为,故选B.
答案:B
3.已知椭圆C:=1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为( )
A. B. C. D.
解析:因为椭圆C的一个焦点为(2,0),所以其焦点在x轴上,c=2,所以a2-4=c2,所以a2=8,a=2,所以椭圆C的离心率e=.
答案:C
4.已知定点A,B满足|AB|=4,动点P满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值是( )
A. B. C. D.5
解析:已知定点A,B满足|AB|=4,动点P满足|PA|-|PB|=3,则点P的轨迹是以A,B为左、右焦点的双曲线的右支,且a=,c=2,故|PA|的最小值是点A到右顶点的距离,即为a+c=2+,选C.
答案:C
5.若点O和点F(-2,0)分别为双曲线-y2=1(a>0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为( )
A.[3-2,+∞) B.[3+2,+∞)
C. D.
解析:因为双曲线左焦点的坐标为F(-2,0),所以c=2.
所以c2=a2+b2=a2+1,即4=a2+1,解得a=.
设P(x,y),则=x(x+2)+y2.
因为点P在双曲线-y2=1上,
所以x2+2x-1=-1.
又因为点P在双曲线的右支上,所以x≥.
所以当x=时,最小,且为3+2,
即的取值范围是[3+2,+∞).
答案:B
6.双曲线=1的两条渐近线的方程为 .
解析:由双曲线方程可知a=4,b=3,
故两条渐近线方程为y=±x.
答案:y=±x
7.已知F1,F2为椭圆=1的两个焦点,过F1的直线交椭圆于A,B两点.若|F2A|+|F2B|=12,则|AB|= .
解析:由题意,知(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=|AB|+|AF2|+|BF2|=2a+2a,又由a=5,可得|AB|+(|BF2|+|AF2|)=20,即|AB|=8.
答案:8
8.设F为抛物线C:y2=4x的焦点,过点P(-1,0)的直线l交抛物线C于A,B两点,点Q为线段AB的中点,若|FQ|=2,则直线l的斜率等于 .
解析:设直线l的方程为y=k(x+1),A(x1,y1),B(x2,y2).
由联立得k2x2+2(k2-2)x+k2=0,
∴x1+x2=-,
∴=-=-1+,
即Q.又|FQ|=2,F(1,0),
∴=4,解得k=±1.
答案:±1
9.已知F1,F2分别为椭圆=1(0(1)求|PF1|·|PF2|的最大值;
(2)若∠F1PF2=60°,且△F1PF2的面积为,求b的值.
解:(1)|PF1|·|PF2|≤=100(当且仅当|PF1|=|PF2|时取等号),故|PF1|·|PF2|的最大值为100.
(2)∵|PF1|·|PF2|sin 60°=,
∴|PF1|·|PF2|=.①
由题意知,
∴3|PF1|·|PF2|=400-4c2.②
由①②得c=6,∴b=8.
10.设抛物线y2=2px(p>0),Rt△AOB内接于抛物线,O为坐标原点,AO⊥BO,AO所在的直线方程为y=2x,|AB|=5,求抛物线的方程.
解:因为AO⊥BO,直线AO的斜率为2,
所以直线BO的斜率为-,即BO所在直线的方程为y=-x.
把直线y=2x代入抛物线方程解得A的坐标为,把直线y=-x代入抛物线方程解得B的坐标为(8p,-4p).
因为|AB|=5,所以+(p+4p)2=25×13,所以p2=4.
因为p>0,所以p=2.故抛物线方程为y2=4x.(共51张PPT)
第2课时 直线和圆的方程
复习课
2022
内容索引
01
02
03
知识梳理 构建体系
专题归纳 核心突破
高考体验
知识梳理 构建体系
【知识网络】
【要点梳理】
1.什么是直线的倾斜角 什么是直线的斜率 过两点的直线的斜率公式呢
提示:(1)直线的倾斜角:当直线l与x轴相交时,我们以x轴为基准,x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0°.因此,直线的倾斜角α的取值范围为[0,π).
(2)直线的斜率:一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示,即k=tan α,倾斜角是90°的直线没有斜率,倾斜角不是90°的直线都有斜率.
(3)过两点的直线的斜率公式:经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k= .
2.关于直线方程的五种形式,请填写下表:
3.关于两条直线位置关系的判定,请填写下表:
4.关于两点间的距离公式、点到直线距离公式及两条平行直线间的距离公式,请填写下表:
5.关于圆的定义与方程,请填写下表:
6.如何判定点A(x0,y0)与☉C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置关系
提示:(1)|AC|(2)|AC|=r 点A在圆上 (x0-a)2+(y0-b)2=r2;
(3)|AC|>r 点A在圆外 (x0-a)2+(y0-b)2>r2.
7.关于直线与圆的位置关系:
把直线的方程与圆的方程组成的方程组通过消元转化为一个一元二次方程,其判别式为Δ.设圆心到直线的距离为d,圆的半径为r,则直线与圆的位置关系如下表:
8.怎样求直线被圆截得的弦长
(2)代数法:利用两点间的距离公式及根与系数的关系求解.
设直线与圆的两交点分别是A(xA,yA),B(xB,yB).若直线的斜率k存在,
若直线斜率不存在,则可直接求得点A,B的坐标,进而求得弦长.
说明:弦长、弦心距的计算常用几何法.
9.关于圆与圆的位置关系,请完成下表:
☉O1,☉O2半径分别为r1,r2,d=|O1O2|.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”:
(1)在平面直角坐标系中,每一条直线都有倾斜角与斜率.( × )
(2)直线的截距是直线与坐标轴的交点到原点的距离.( × )
(7)如果直线方程与圆的方程组成的方程组有解,那么直线与圆相交或相切.( √ )
(8)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,那么两圆相交.( × )
(9)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在直线的方程.( × )
专题归纳 核心突破
专题一
求直线的方程
【例1】 已知正方形中心为点M(-1,0),一条边所在直线的方程是x+3y-5=0,求其他三边所在直线的方程.
分析:已知正方形的中心坐标和一条边所在直线的方程,由正方形的性质——中心到各边的距离相等,用待定系数法列方程求解.
所以另两边所在直线的方程为3x-y+9=0和3x-y-3=0.
综上,正方形其他三边所在直线的方程为x+3y+7=0,3x-y+9=0,3x-y-3=0.
反思感悟 具有某种共同属性的一类直线的集合,我们称之为直线系,这一属性可通过直线系方程体现出来,它们的变化存在于参数之中,常见的直线系有:
(1)过已知点P(x0,y0)的直线系y-y0=k(x-x0)(k为参数).
(2)斜率为k的平行直线系方程y=kx+b(b为参数).
(3)与已知直线Ax+By+C=0平行的直线系方程为Ax+By+λ=0(λ为参数).
(4)与已知直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程为Bx-Ay+λ=0(λ为参数).
(5)过直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程:l1:A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ为参数).(但不包含直线A2x+B2y+C2=0)
【变式训练1】 已知直线l经过直线x+3y-10=0与直线3x-y=0的交点,且原点到l的距离为1,求直线l的方程.
解法一:由题意可设直线l的方程为x+3y-10+λ(3x-y)=0,λ∈R,
即(1+3λ)x+(3-λ)y-10=0.①
由原点到直线l的距离为1,
即λ2=9,解得λ=±3.
代入方程①中,得直线l的方程为x=1或4x-3y+5=0.
即4x-3y+5=0.
当直线斜率不存在时,直线方程为x=1符合题意.
故直线l的方程为x=1或4x-3y+5=0.
专题二
直线位置关系的判定
【例2】 当a为何值时,直线l1:(a+2)x+(1-a)y-1=0与直线l2:(a-1)x+ (2a+3)y+2=0互相垂直
解:∵l1⊥l2,∴(a+2)(a-1)+(1-a)(2a+3)=0.
解得a=±1.故当a=1或a=-1时,l1⊥l2.
反思感悟 利用直线的方程判定两条直线的平行或垂直关系是这部分内容常涉及的题型.求解时,可以利用斜率之间的关系判定.若方程都是一般式,知道平行或垂直关系,求参数的值时也可以用如下方法:
直线l1:A1x+B1y+C1=0;l2:A2x+B2y+C2=0,
(1)当l1∥l2时,可令A1B2-A2B1=0,解得参数的值后,再代入方程验证,排除重合的情况;
(2)当l1⊥l2时,可利用A1A2+B1B2=0直接求参数的值.
【变式训练2】 已知直线l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0,分别求m的值,使得:
(1)l1与l2相交;(2)l1,l2重合.
解:(1)当m=0时,l1与l2相交.
所以,当m≠-1,且m≠3时,l1与l2相交.
(2)由(1)知,m≠0.
当m=-1时,l1∥l2;当m=3时,l1与l2重合.
所以,当m=3时,l1与l2重合.
专题三
求圆的方程
分析:利用待定系数法设出圆的标准方程,根据条件列式求解.
解法一:设圆的方程是(x-a)2+(y-b)2=10.
因为圆心在直线y=2x上,所以b=2a.①
解由①②组成的方程组,得a=2,b=4或a=-2,b=-4.
故所求圆的方程为(x-2)2+(y-4)2=10或(x+2)2+(y+4)2=10.
解法二:设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=10,
又因为b=2a,所以可得a=2,b=4或a=-2,b=-4.
故所求圆的方程为(x-2)2+(y-4)2=10或(x+2)2+(y+4)2=10.
反思感悟 利用待定系数法求圆的方程的一般步骤为:
第一步:选择圆的方程的某一形式;
第二步:由题意得a,b,r(或D,E,F)的方程(组);
第三步:解出a,b,r(或D,E,F);
第四步:代入圆的方程.
注:解题时充分利用圆的几何性质可获得解题途径,减少运算量,例如:圆的切线垂直于经过切点的半径;圆心与弦中点的连线垂直平分弦;两圆相交时,两圆圆心的连线垂直平分两圆的公共弦;两圆相切时,两圆圆心的连线过切点等.
专题四
直线与圆、圆与圆的位置关系
【例4】 已知点M(3,1),直线ax-y+4=0及圆(x-1)2+(y-2)2=4.
(1)求过点M的圆的切线方程;
(2)若直线ax-y+4=0与圆相交于A,B两点,且弦AB的长为2 ,求a的值.
分析:(1)分切线的斜率存在与不存在两种情况讨论.
(2)构造直角三角形求解.
解:(1)由圆的方程,知圆心C(1,2),半径r=2.
因为(3-1)2+(1-2)2>4,所以点M(3,1)在圆外.
当直线的斜率不存在时,直线方程为x=3.
由圆心C(1,2)到直线x=3的距离d=3-1=2=r,知直线与圆相切.
当直线的斜率存在时,设直线方程为y-1=k(x-3),
即kx-y+1-3k=0.
即3x-4y-5=0.
故过点M的圆的切线方程为x=3或3x-4y-5=0.
(2)已知弦AB的长为2 ,圆的半径为2,则圆心到弦AB的距离为1,
即圆心(1,2)到直线ax-y+4=0的距离为1.
反思感悟 1.求过某点的圆的切线问题时,应首先确定点与圆的位置关系,再求直线方程.若点在圆上(即为切点),则过该点的切线只有一条;若点在圆外,则过该点的切线有两条,此时应注意切线的斜率不存在的情况.
2.求直线被圆所截得的弦长时,通常利用半径长、弦心距和弦长的一半满足勾股定理来解决问题.
【变式训练3】 已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2 ,则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是( )
A.内切 B.相交
C.外切 D.相离
答案:B
专题五
数形结合思想
在本例条件下,代数式2x+y的取值范围为 .
解析:代数式2x+y的几何意义是直线2x+y=b与半圆有交点时在y轴上的截距,如图所示.
反思感悟 “数形结合”是把代数中的“数”与几何上的“形”结合起来认识问题、理解问题并解决问题的思维方法,是人们一种普遍思维习惯在数学上的具体表现.数形结合一般包括两个方面,即以“形”助“数”,以“数”解“形”.形如u= 的最值问题,可借助于图形分析转化为直线斜率的最值问题;形如t=ax+by的最值问题,可借助图形分析转化为动直线截距的最值问题;形如z=(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可借助于图形分析转化为动点到定点距离平方的最值问题.
【变式训练4】 当曲线y=1+ 与直线y=k(x-2)+4有两个相异交点时,实数k的取值范围是( )
其中A(-2,1),B(2,1).直线y=k(x-2)+4是过定点(2,4)的直线,如图所示.
设切线PC的斜率为k0,则切线PC的方程为y=k0(x-2)+4.
答案:C
高考体验
考点一
直线的方程与距离
解析:直线l的普通方程为4(x-1)-3(y-2)=0,即4x-3y+2=0,
答案:D
2.(2016·上海高考)l1:2x+y-1=0,l2:2x+y+1=0,则l1,l2的距离为 .
考点二
圆的方程
3.(2018·天津高考)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为 .
解析:设点O,A,B的坐标分别为(0,0),(1,1),(2,0),则AO=AB,所以点A在线段OB的垂直平分线上.又因为OB为该圆的一条弦,所以圆心在线段OB的垂直平分线上,可设圆心坐标为(1,y),所以(y-1)2=1+y2,解得y=0,所以该圆的半径为1,其方程为(x-1)2+y2=1,即x2+y2-2x=0.
答案:x2+y2-2x=0
考点三
直线与圆的位置关系
4.(2018·全国Ⅲ高考)直线x+y+2=0分别与x轴、y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是( )
答案:A
5.(2018·全国Ⅰ高考)直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点,则|AB|= .
解析:圆的方程可化为x2+(y+1)2=4,
6.(2019·浙江高考)已知圆C的圆心坐标是(0,m),半径长是r.若直线2x-y+3=0与圆C相切于点A(-2,-1),则m= ,r= .
8.(2018·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,A为直线l:y=2x上在第一象限内的点,B(5,0),以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若 =0,则点A的横坐标为 .
答案:3
考点四
最值问题
9.(2018·北京高考)在平面直角坐标系中,记d为点P(cos θ,sin θ)到直线x-my-2=0的距离.当θ,m变化时,d的最大值为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
答案:C
10.(2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,A(-12,0),B(0,6),点P在圆O:x2+y2=50上.若 ≤20,则点P的横坐标的取值范围是 .
本 课 结 束第2课时 直线和圆的方程
课后训练巩固提升
1.直线x-2y+5=0与直线2x-y+15=0的位置关系是( )
A.平行 B.重合
C.相交但不垂直 D.垂直
解析:由于两直线的斜率分别为,2,故两直线相交但不垂直.
答案:C
2.两条平行直线5x+12y+3=0与10x+24y+5=0间的距离是( )
A. B.
C. D.
解析:直线方程10x+24y+5=0可化为5x+12y+=0,
故两条平行直线间的距离d=.
答案:C
3.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程为( )
A.x2+(y-2)2=1 B.x2+(y+2)2=1
C.(x-1)2+(y-3)2=1 D.x2+(y-3)2=1
解析:设圆心坐标为(0,b).
由题意知=1,解得b=2.
故圆的方程为x2+(y-2)2=1.
答案:A
4.圆x2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a=( )
A.4 B.-4
C.2 D.-2
解析:圆的标准方程为(x+1)2+(y-1)2=2-a,则a<2,r2=2-a.
圆心(-1,1)到直线x+y+2=0的距离为.
由22+()2=2-a,得a=-4.
答案:B
5.若圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x-8y+m=0外切,则m=( )
A.21 B.19
C.9 D.-11
解析:易知圆C1的圆心坐标为(0,0),半径r1=1.
将圆C2的方程化为标准方程(x-3)2+(y-4)2=25-m(m<25),
则圆C2的圆心坐标为(3,4),半径r2=(m<25).
由两圆相外切,得|C1C2|=r1+r2,即1+=5,解得m=9.故选C.
答案:C
6.若ab>0,ac<0,则直线ax+by+c=0不经过第 象限.
解析:由已知得,b≠0.
直线的斜截式方程为y=-x-.
∵ab>0,ac<0,
∴斜率-<0,在y轴上的截距->0.
∴直线ax+by+c=0不经过第三象限.
答案:三
7.由直线y=x+1上的点向圆(x-3)2+(y+2)2=1引切线,则切线长的最小值为 .
解析:若使切线长最小,则直线上的点到圆心的距离d最小,最小值为圆心到直线的距离,即dmin==3,此时切线长为.
答案:
8.已知圆C过点(1,0),且圆心在x轴的正半轴上,直线l:y=x-1被圆C所截得的弦长为2,则过圆心,且与直线l垂直的直线的方程为 .
解析:设圆心C(a,0)(a>0),则圆C的半径r=|a-1|.
由圆心C到弦的距离、弦长的一半、半径满足勾股定理,得+()2=|a-1|2,
解得a=3,则圆心C(3,0).
∵所求直线与直线l垂直,∴斜率为-1.
∴所求直线的方程为x+y-3=0.
答案:x+y-3=0
9.已知直线l的倾斜角为135°,且经过点P(1,1).
(1)求直线l的方程;
(2)求点A(3,4)关于直线l的对称点A'的坐标.
解:(1)∵k=tan 135°=-1,
∴直线l的方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.
(2)设A'(a,b),则
解得∴点A'的坐标为(-2,-1).
10.已知圆(x-1)2+y2=25,直线ax-y+5=0与圆相交于不同的两点A,B.
(1)求实数a的取值范围;
(2)若弦AB的垂直平分线l过点P(-2,4),求实数a的值.
解:(1)圆(x-1)2+y2=25的圆心坐标为(1,0),半径为5.
由题意知,圆心(1,0)到弦AB的距离小于半径5,
即<5,即12a2-5a>0,解得a<0或a>.
所以,实数a的取值范围是(-∞,0)∪.
(2)由题意知,弦AB的垂直平分线l过圆心(1,0)及点P(-2,4),
∴kl==-.又kAB=a,且AB⊥l,
∴-a=-1,解得a=.
又a∈,∴a=符合题意.
