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第3课时 圆锥曲线的方程
复习课
2022
内容索引
01
02
03
知识梳理 构建体系
专题归纳 核心突破
高考体验
知识梳理 构建体系
【知识网络】
圆
锥
曲
线
的
方
程
圆
锥
曲
线
的
方
程
圆
锥
曲
线
的
方
程
【要点梳理】
1.椭圆的定义、图形和标准方程分别是什么 有哪些几何性质 请完成下表:
2.双曲线的定义、图形和标准方程分别是什么 有哪些几何性质 请完成下表:
3.抛物线的定义、图形和标准方程分别是什么 有哪些几何性质 请完成下表:
4.直线与圆锥曲线的位置关系有哪些 怎样判断其位置关系
提示:有相交、相切、相离三种.
将直线方程与圆锥曲线方程联立,化简后得到关于x(或y)的方程,根据方程解的情况判断即可.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)椭圆的焦点只能在坐标轴上.( × )
(4)平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹就是双曲线.( × )
(5)对于三个参数a,b,c,在椭圆的标准方程中,最大的是a,在双曲线的标准方程中,最大的是c.( √ )
(6)双曲线的焦点一定位于双曲线的实轴上.( √ )
(7)焦点在x轴上的双曲线与焦点在y轴上的双曲线不可能具有共同的渐近线.( × )
(9)双曲线的离心率越大,其渐近线斜率的绝对值就越大.( √ )
(10)抛物线y=6x2的焦点在x轴的正半轴上.( × )
(11)直线与圆锥曲线相交时,一定有两个公共点.( × )
(12)椭圆、双曲线与抛物线都既是轴对称图形,也是中心对称图形.( × )
(13)抛物线的顶点一定在过焦点且与准线垂直的直线上.( √ )
专题归纳 核心突破
专题一
圆锥曲线的定义及应用
【例1】 (1)已知动点M的坐标满足方程5 =|3x+4y-12|,则动点M的轨迹是( )
A.椭圆 B.双曲线
C.抛物线 D.以上都不对
(2)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为 .过F1的直线l交C于A,B两点,且△ABF2的周长为16,则C的方程为 .
则动点M到原点的距离与它到直线3x+4y-12=0的距离相等,故点M的轨迹是以原点为焦点,直线3x+4y-12=0为准线的抛物线.
因为AB过F1且A,B在椭圆上,如图所示,
则△ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|
=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=16,a=4.
反思感悟 “回归定义”解题的三点应用
应用一:在求轨迹方程时,若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义,则根据圆锥曲线的定义,写出所求的轨迹方程;
应用二:涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时,常用定义结合解三角形的知识来解决;
应用三:在求有关抛物线的最值问题时,常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离,结合几何图形,利用几何意义去解决.
提醒:应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件.
【变式训练1】 (1)若一动圆与两圆:x2+y2=1和x2+y2-6x+5=0都外切,则动圆圆心的轨迹为( )
A.抛物线 B.双曲线
C.双曲线的一支 D.椭圆
解析:x2+y2=1是圆心为原点,半径为1的圆,x2+y2-6x+5=0化为标准方程为(x-3)2+y2=4,是圆心为A(3,0),半径为2的圆.设所求动圆圆心为P,动圆半径为r,
结合图形(图略)可知,动圆圆心的轨迹为双曲线的一支.
答案:C
(2)已知点P是抛物线y2=8x上的任意一点,F是抛物线的焦点,点M的坐标是(2,3),求|PM|+|PF|的最小值,并求出此时点P的坐标.
解:抛物线y2=8x的准线方程是x=-2,
点P到焦点F的距离等于它到准线x=-2的距离,
过点P作PD垂直于准线x=-2,垂足为D,
那么|PM|+|PF|=|PM|+|PD|.
如图所示,根据平面几何知识,当M,P,D三点共线时,
|PM|+|PF|的值最小,且最小值为|MD|=2-(-2)=4,
所以|PM|+|PF|的最小值是4.
专题二
求圆锥曲线的方程
【例2】 (1)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于 ,则C的方程是( )
(2)已知抛物线y2=8x的准线过双曲线 (a>0,b>0)的一个焦点,且双曲线的离心率为2,则该双曲线的方程为 .
反思感悟 一般求已知曲线类型的曲线方程问题,可采用“先定形,后定式,再定量”的步骤.
(1)定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置.
(2)定式——根据“形”设方程的形式,注意曲线系方程的应用,如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时,可设方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0).
(3)定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系,通过解方程(组)得到量的大小.
【变式训练2】 (1)焦点在x轴上,右焦点到短轴端点的距离为2,到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是( )
(2)已知一双曲线与椭圆x2+4y2=64共焦点,它的一条渐近线方程为x- y =0,则双曲线的方程为 .
专题三
圆锥曲线的性质及应用
【例3】 (1)如图,椭圆C1,C2与双曲线C3,C4的离心率分别是e1,e2与e3,e4,则e1,e2,e3,e4的大小关系是( )
A.e2B.e2C.e1D.e1反思感悟 求解离心率的三种方法
(1)定义法:由椭圆(双曲线)的标准方程可知,不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上都有关系式a2-b2=c2(a2+b2=c2)以及e= ,已知其中的任意两个参数,可以求其他的参数,这是基本且常用的方法.
(2)方程法:建立参数a与c之间的齐次关系式,从而求出其离心率,这是求离心率的十分重要的思路及方法.
(3)几何法:求与过焦点的三角形有关的离心率问题,根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质,建立参数之间的关系,通过画出图形,观察线段之间的关系,使问题更形象、直观.
答案:A
解析:抛物线y2=4cx的焦点为(c,0),准线方程为x=-c,|PF1|=4a+c,
由双曲线的定义可得,|PF1|-|PF2|=2a,
所以|PF2|=2a+c.
由抛物线的定义可得|PF2|=xP+c=2a+c,
答案:A
专题四
直线与圆锥曲线的位置关系
(1)求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程;
(2)过N(1,2)的直线l与椭圆相交,求l被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程;
解:设弦的两端点为A(x1,y1),B(x2,y2),中点M(x0,y0),
则有x1+x2=2x0,y1+y2=2y0.
故所求的轨迹方程为x+4y=0(在已知椭圆的内部).
(2)不妨设l交椭圆于点A,B,弦中点为M(x,y).
反思感悟 直线与圆锥曲线相交,经常出现弦长、中点弦问题
(2)处理中点弦问题,一般有两种思路,思路一:联立方程组,消元,利用根与系数的关系进行设而不求;思路二:利用“点差法”.
【例5】 设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A,B两点,点C在抛物线的准线上,且BC∥x轴.证明:直线AC经过原点O.
反思感悟 圆锥曲线中的定值、定点问题
(1)定值问题的常见类型及解题策略:
①求代数式为定值.依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得出定值.
②求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,利用题设条件化简、变形求得.
③求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式,依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.
(2)定点问题的两种解法:
①引进参数法,引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点.
②特殊到一般法,根据动点或动线的特殊情况探索出定点,证明该定点与变量无关.
【例6】 已知椭圆E的中心在坐标原点,对称轴为坐标轴,且抛物线x2= -4 y的焦点是它的一个焦点,又点A(1, )在该椭圆上.
(1)求椭圆E的方程;
(2)若斜率为 的直线l与椭圆E交于不同的两点B,C,当△ABC的面积最大时,求直线l的方程.
分析:(1)利用待定系数法求解;(2)求出△ABC面积的表达式,利用基本不等式或函数思想求最值.
反思感悟 最值问题的常用解法
(1)代数法:若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可先建立目标函数再求这个函数的最值.求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、换元法、基本不等式法、单调性法.
(2)几何法:若题目的条件与结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用几何图形的性质来解决.
(1)若点A是椭圆E的一个顶点,求椭圆的方程;
(2)若线段AB上存在点P满足|PF1|+|PF2|=2a,求a的取值范围.
若线段AB上存在点P满足|PF1|+|PF2|=2a,则线段AB与椭圆E有公共点,等价于方程6y2-8y+4-a2=0在y∈[0,1]上有解.
设f(y)=6y2-8y+4-a2,
高考体验
考点一
圆锥曲线的标准方程
1.(2019·全国Ⅰ高考)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为( )
解析:如图,由已知可设|F2B|=n,|BF1|=m.
由|AB|=|BF1|,则|AF2|=m-n,|AB|=m.
又|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|,故|AF1|=2n.
由椭圆的定义及|AF2|=2|F2B|,
过点B作x轴的垂线,垂足为点P.
由题意可知△OAF2∽△PBF2.
又|AF2|=2|F2B|,∴|OF2|=2|F2P|.
答案:B
考点二
圆锥曲线的几何性质
答案:B
A.2 B.3
C.4 D.8
答案:D
答案:B
5.(2019·北京高考)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.则以F为圆心,且与l相切的圆的方程为 .
解析:抛物线y2=4x中,2p=4,p=2,焦点F(1,0),准线l的方程为x=-1,以F为圆心,且与x=-1相切的圆的方程为(x-1)2+y2=22,即为(x-1)2+y2=4.
答案:(x-1)2+y2=4
解析:∵a2=36,b2=20,∴c2=a2-b2=16,∴c=4.
由题意得,|MF1|=|F1F2|=2c=8.
∵|MF1|+|MF2|=2a=12,∴|MF2|=4.
设点M的坐标为(x0,y0)(x0>0,y0>0),
考点三
圆锥曲线的离心率问题
答案:D
答案:D
D
解析:如图,设PQ与x轴交于点A,由对称性可知PQ⊥x轴.
∵|PQ|=|OF|=c,
答案:A
答案:2
考点四
直线与圆锥曲线的位置关系
答案:D
13.(2018·全国Ⅱ高考)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.
(1)求l的方程.
(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.
解:(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>0).
设A(x1,y1),B(x2,y2),
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),
即y=-x+5.
设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),
14.(2019·全国Ⅰ高考)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为 的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.
(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;
交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).
(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;
(2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.
(1)解:由已知得F(1,0),l的方程为x=1.
(2)证明:当l与x轴重合时,∠OMA=∠OMB=0°,
当l与x轴垂直时,OM为AB的垂直平分线,所以∠OMA=∠OMB.
当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),
从而kMA+kMB=0,
故MA,MB的倾斜角互补,
所以∠OMA=∠OMB.
综上,∠OMA=∠OMB.
考点五
圆锥曲线中最值与范围问题
16.(2019·全国Ⅱ高考)已知F1,F2是椭圆C: (a>b>0)的两个焦点,P为C上的点,O为坐标原点.
(1)若△POF2为等边三角形,求C的离心率;
(2)如果存在点P,使得PF1⊥PF2,且△F1PF2的面积等于16,求b的值和a的取值范围.
解:(1)连接PF1.由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中,
(2)由题意可知,满足条件的点P(x,y)存在,
考点六
圆锥曲线中的定点与定值问题
17.(2019·北京高考)已知椭圆C: 的右焦点为(1,0),且经过点A(0,1).
(1)求椭圆C的方程;
(2)设O为原点,直线l:y=kx+t(t≠±1)与椭圆C交于两个不同点P,Q,直线AP与x轴交于点M,直线AQ与x轴交于点N.若|OM|·|ON|=2,求证:直线l经过定点.
(1)解:由题意得,b2=1,c=1.所以a2=b2+c2=2.
本 课 结 束第3课时 圆锥曲线的方程
课后训练巩固提升
1.双曲线3x2-y2=9的焦距为( )
A. B.2
C.2 D.4
解析:方程化为标准方程为=1,
∴a2=3,b2=9.
∴c2=a2+b2=12,∴c=2,∴2c=4.
答案:D
2.抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2-=1的渐近线的距离是( )
A. B. C.1 D.
解析:抛物线y2=4x的焦点为(1,0),到双曲线x2-=1的渐近线x-y=0的距离为,故选B.
答案:B
3.已知椭圆C:=1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为( )
A. B. C. D.
解析:因为椭圆C的一个焦点为(2,0),所以其焦点在x轴上,c=2,所以a2-4=c2,所以a2=8,a=2,所以椭圆C的离心率e=.
答案:C
4.已知定点A,B满足|AB|=4,动点P满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值是( )
A. B. C. D.5
解析:已知定点A,B满足|AB|=4,动点P满足|PA|-|PB|=3,则点P的轨迹是以A,B为左、右焦点的双曲线的右支,且a=,c=2,故|PA|的最小值是点A到右顶点的距离,即为a+c=2+,选C.
答案:C
5.若点O和点F(-2,0)分别为双曲线-y2=1(a>0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为( )
A.[3-2,+∞) B.[3+2,+∞)
C. D.
解析:因为双曲线左焦点的坐标为F(-2,0),所以c=2.
所以c2=a2+b2=a2+1,即4=a2+1,解得a=.
设P(x,y),则=x(x+2)+y2.
因为点P在双曲线-y2=1上,
所以x2+2x-1=-1.
又因为点P在双曲线的右支上,所以x≥.
所以当x=时,最小,且为3+2,
即的取值范围是[3+2,+∞).
答案:B
6.双曲线=1的两条渐近线的方程为 .
解析:由双曲线方程可知a=4,b=3,
故两条渐近线方程为y=±x.
答案:y=±x
7.已知F1,F2为椭圆=1的两个焦点,过F1的直线交椭圆于A,B两点.若|F2A|+|F2B|=12,则|AB|= .
解析:由题意,知(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=|AB|+|AF2|+|BF2|=2a+2a,又由a=5,可得|AB|+(|BF2|+|AF2|)=20,即|AB|=8.
答案:8
8.设F为抛物线C:y2=4x的焦点,过点P(-1,0)的直线l交抛物线C于A,B两点,点Q为线段AB的中点,若|FQ|=2,则直线l的斜率等于 .
解析:设直线l的方程为y=k(x+1),A(x1,y1),B(x2,y2).
由联立得k2x2+2(k2-2)x+k2=0,
∴x1+x2=-,
∴=-=-1+,
即Q.又|FQ|=2,F(1,0),
∴=4,解得k=±1.
答案:±1
9.已知F1,F2分别为椭圆=1(0(1)求|PF1|·|PF2|的最大值;
(2)若∠F1PF2=60°,且△F1PF2的面积为,求b的值.
解:(1)|PF1|·|PF2|≤=100(当且仅当|PF1|=|PF2|时取等号),故|PF1|·|PF2|的最大值为100.
(2)∵|PF1|·|PF2|sin 60°=,
∴|PF1|·|PF2|=.①
由题意知,
∴3|PF1|·|PF2|=400-4c2.②
由①②得c=6,∴b=8.
10.设抛物线y2=2px(p>0),Rt△AOB内接于抛物线,O为坐标原点,AO⊥BO,AO所在的直线方程为y=2x,|AB|=5,求抛物线的方程.
解:因为AO⊥BO,直线AO的斜率为2,
所以直线BO的斜率为-,即BO所在直线的方程为y=-x.
把直线y=2x代入抛物线方程解得A的坐标为,把直线y=-x代入抛物线方程解得B的坐标为(8p,-4p).
因为|AB|=5,所以+(p+4p)2=25×13,所以p2=4.
因为p>0,所以p=2.故抛物线方程为y2=4x.
