2.简谐运动的描述
基础巩固
1.(多选)关于振幅的概念,下列叙述正确的是( )
A.振幅是振动物体离开平衡位置的最大位移,它是矢量
B.振幅是表示振动强弱的物理量
C.振幅增大,周期也必然增大,而频率减小
D.做简谐运动的物体,其频率是固定的,与振幅无关
答案:BD
解析:振幅是指振动物体离开平衡位置的最大距离,是标量,振幅越大,表明物体振动越强。周期、频率与振幅无关。
2.有一个在光滑水平面内的弹簧振子,第一次用力把弹簧压缩x后释放让它振动,第二次把弹簧压缩2x后释放让它振动,则先后两次振动的周期之比和振幅之比分别为( )
A.1∶1 1∶1 B.1∶1 1∶2
C.1∶4 1∶4 D.1∶2 1∶2
答案:B
解析:弹簧的压缩量即为振子振动过程中偏离平衡位置的最大距离,即振幅,故振幅之比为1∶2,而对同一振动系统,其周期由振动系统自身的性质决定,与振幅无关,周期之比为1∶1。
3.如图所示,弹簧振子在A、B间做简谐运动,O为平衡位置,A、B间距离是20 cm,从A到B运动时间是2 s,则( )
A.从O→B→O振子做了一次全振动
B.振动周期为2 s,振幅是10 cm
C.从B开始经过6 s,振子通过的路程是60 cm
D.从O开始经过3 s,振子处在平衡位置
答案:C
解析:振子从O→B→O只完成了半个全振动,A错误;从A→B振子也只是完成了半个全振动,所以振动周期是4 s,B错误;振幅A= cm=10 cm,6 s=T,所以振子经过的路程为6A=60 cm,C正确;从O开始经过3 s,振子处在最大位移处(A或B),D错误。
4.一质点做简谐运动,其位移x与时间t的关系图像如图所示,由图可知( )
A.质点振动的频率是4 Hz,振幅是2 cm
B.质点经过1 s通过的路程总是2 cm
C.0~3 s内,质点通过的路程为6 cm
D.t=3 s时,质点的振幅为零
答案:C
解析:由题图可以直接看出振幅为2 cm,周期为4 s,所以频率为0.25 Hz,所以A错误;质点在1 s即个周期内通过的路程不一定等于一个振幅,所以B错误;因为t=0时质点在最大位移处,0~3 s为T,质点通过的路程为3A=6 cm,所以C正确;振幅等于质点偏离平衡位置的最大距离,与质点的位移有着本质的区别,t=3 s时,质点的位移为零,但振幅仍为2 cm,所以D错误。
5.(多选)某质点做简谐运动,其位移随时间变化的关系式为x=Asin t(m),则质点( )
A.第1 s末与第3 s末的位移相同
B.第1 s末与第3 s末的速度相同
C.第3 s末与第5 s末的位移方向相同
D.第3 s末与第5 s末的速度方向相同
答案:AD
解析:根据x=Asin t(m)可求得该质点振动周期为T=8 s,则该质点振动图像如图所示,图像切线的斜率为正,表示速度为正,反之为负,由图可以看出第1 s末和第3 s末的位移相同,但切线的斜率一正一负,故速度方向相反,选项A正确,B错误;第3 s末和第5 s末的位移方向相反,但两点切线的斜率均为负,故速度方向相同,选项C错误,D正确。
6.两个简谐运动的表达式分别为x1=4asin(m),x2=2asin(m)。求它们的振幅之比及各自的频率。
答案:2∶1 频率均为2b
解析:它们的振幅之比;
它们的频率相同,都是f==2b。
7.如图所示,弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点之间做简谐运动,B、C相距20 cm,当振子经过B点时开始计时,经过0.5 s,振子首次到达C点。求:
(1)振子的振幅和频率;
(2)振子在5 s内通过的路程。
答案:(1)10 cm 1 Hz (2)200 cm
解析:(1)B、C关于O点对称,B、C之间的距离为2A,由于2A=20 cm,故振幅A=10 cm。振子从B→O→C仅完成了半次全振动,所以周期T=2×0.5 s=1 s,频率f==1 Hz。
(2)振子在一次全振动中通过的路程为4A=40 cm,5 s内完成5次全振动,故振子在5 s内通过的路程为5×40 cm=200 cm。
能力提升
1.一位游客在千岛湖边欲乘坐游船,当日风浪较大,游船上下浮动。可把游船浮动简化成竖直方向的简谐运动,振幅为20 cm,周期为3.0 s。当船上升到最高点时,甲板刚好与码头地面平齐。地面与甲板的高度差不超过10 cm时,游客能舒服地登船。在一个周期内,游客能舒服登船的时间是( )
A.0.5 s B.0.75 s
C.1.0 s D.1.5 s
答案:C
解析:设振动图像的表达式为y=Asin ωt,
由题意可知ωt1=,ωt2=π,
其中ω=π rad/s,
解得t1=0.25 s,t2=1.25 s,
则游客舒服登船时间Δt=t2-t1=1.0 s。
2.(多选)一个质点做简谐运动的图像如图所示,下列叙述正确的是( )
A.质点的振动频率为4 Hz
B.在10 s内质点经过的路程为20 cm
C.在5 s末,质点做简谐运动的相位为π
D.t=1.5 s和t=4.5 s两时刻质点的位移大小相等,都是 cm
答案:BD
解析:由题图振动图像可直接得到周期T=4 s,频率f==0.25 Hz,故A错误;做简谐运动的质点一个周期内经过的路程是4A=8 cm,10 s为2.5个周期,故质点经过的路程为20 cm,故B正确;由图像知位移与时间的关系为x=2sin t (cm),当t=5 s时,其相位为×5=π,故C错误;在1.5 s和4.5 s两时刻,质点位移相同,x'=2sin cm= cm,故D正确。
3.(多选)一弹簧振子A的位移x随时间t变化的关系式为x=0.1sin 2.5πt (m),时间t的单位为s。下列说法正确的是( )
A.弹簧振子的振幅为0.2 m
B.弹簧振子的周期为1.25 s
C.在t=0.2 s时,振子的运动速度为零
D.质点在0.1 s末与0.3 s末的位移相同
答案:CD
解析:由振动方程为y=0.1sin 2.5πt(m),可读出振幅A=0.1 m,圆频率ω=2.5π rad/s,故周期T= s=0.8 s,故A、B错误;在t=0.2 s时,振子的位移最大,故速度最小,为零,故C正确;表达式对应的振动图像如图所示。根据图像的对称性,质点在0.1 s末与0.3 s末的位移相等,故D正确。
4.(多选)如图所示,轻弹簧上端固定,下端连接一小物块,物块沿竖直方向做简谐运动。以竖直向上为正方向,物块做简谐运动的表达式为x=0.1sin 2.5πt(m)。t=0时刻,一小球从距物块平衡位置h高处自由落下;t=0.6 s时,小球恰好与物块处于同一高度。重力加速度的大小g取10 m/s2。以下判断正确的是( )
A.h=1.7 m
B.简谐运动的周期是0.8 s
C.0.6 s内物块运动的路程是0.2 m
D.t=0.4 s时,物块与小球运动方向相反
答案:AB
解析:t=0.6 s时,物块的位移为x=0.1sin(2.5π×0.6) m=-0.1 m,则对小球h+|x|=gt2,解得h=1.7 m,选项A正确;简谐运动的周期是T= s=0.8 s,选项B正确;0.6 s内物块运动的路程是3A=0.3 m,选项C错误;t=0.4 s=,此时物块在平衡位置向下振动,则此时物块与小球运动方向相同,选项D错误。
5.某个质点的简谐运动图像如图所示。
(1)求振动的振幅和周期。
(2)写出简谐运动的表达式。
答案:(1)10 cm 8 s
(2)x=10sin t (cm)
解析:(1)由题图读出振幅A=10 cm
简谐运动方程x=Asin t
代入数据解得T=8 s。
(2)x=Asin t=10sin t(cm)。
6.一个小球和轻质弹簧组成的系统,按x1=5sin(cm)的规律振动。
(1)求该振动的周期、频率、振幅和初相。
(2)另一简谐运动表达式为x2=5sin(cm),求它们的相位差。
答案:(1)0.25 s 4 Hz 5 cm
(2)π
解析:(1)已知ω=8π rad/s,由ω=得T=0.25 s,f==4 Hz。
由x1=5sin (cm)知A=5 cm,φ1=。
(2)由Δφ=(ωt+φ2)-(ωt+φ1)=φ2-φ1
得Δφ=π-=π。(共41张PPT)
2.简谐运动的描述
第二章
2022
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
课堂小结
04
随堂练习
课标定位
素养阐释
1.知道什么是振动的振幅、周期、频率及相位。
2.知道简谐运动的数学表达式,知道描述简谐运动的基本物理量。
3.理解周期和频率的关系,能够结合简谐运动的图像进行有关判断。
1.通过学习振动的振幅、周期、频率及相位的概念,形成物理观念。
2.理解简谐运动的数学表达式及其运用,形成科学思维。
3.运用简谐运动图像分析问题,培养科学态度。
自主预习 新知导学
一、描述简谐运动的物理量
1.振幅:振动物体离开平衡位置的最大距离。
2.全振动(如图所示)
类似于O→B→O→C→O的一个完整的振动过程。
3.周期和频率
(1)周期
①定义:做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间,叫作振动的周期。
②单位:国际单位是秒(s)。
(2)频率
①定义:物体完成全振动的次数与所用时间之比叫作振动的频率,数值等于单位时间内完成全振动的次数。
②单位:赫兹(Hz)。
4.相位:从x=Asin(ωt+φ)可以发现,当(ωt+φ)确定时,sin(ωt+φ)的值也就确定了,所以(ωt+φ)代表了做简谐运动的物体此时正处于一个运动周期中的哪个状态。物理学中把(ωt+φ)叫作相位。
5.简谐运动的周期、频率与振幅有关吗
提示:无关。
二、简谐运动的表达式
简谐运动的一般表达式为x=Asin(ωt+φ)。
1.x表示振动物体相对于平衡位置的位移,t表示时间。
2.A表示简谐运动的振幅。
3.ω叫作简谐运动的“圆频率”,表示简谐运动的快慢,ω= =2πf(与周期T和频率f的关系)。
4.ωt+φ代表简谐运动的相位,φ表示t=0时的相位,叫作初相位,或初相。
5.相位差
若两个简谐运动的表达式为x1=A1sin(ωt+φ1),x2=A2sin(ωt+φ2),且φ1>φ2,则相位差为Δφ=(ωt+φ1)-(ωt+φ2)= φ1-φ2 。
【思考讨论】
1.判断下列说法的正误。
(1)在机械振动的过程中,振幅是不断变化的。( )
(2)简谐运动的快慢可以用频率和振幅来描述。( )
(3)简谐运动的振幅大,振动物体的周期一定大。( )
(4)按x=5sin (cm)(t的单位是秒)的规律振动的弹簧振子的振动周期为0.25 s。( )
×
×
×
√
2.用锤敲锣一下,锣发出响亮的声音,锣声很快变小,但音调没变,锣声变小是什么发生了变化 音调没变又是为什么
提示:锣声变小是锣面的振动强度变弱了,即振幅变小了。音调没变是因为锣的振动快慢没变,即频率没变。
3.有一个弹簧振子,振幅为0.8 cm,周期为0.5 s,初始时(t=0)具有正的最大位移,请写出它的振动方程。
合作探究 释疑解惑
知识点一
描述简谐运动的物理量
【问题引领】
下图为理想弹簧振子,O点为它的平衡位置,
其中A、A'点关于O点对称。
(1)振子从某一时刻经过O点计时,至下一次再经过O点的时间为一个周期吗
(2)先后将振子拉到A点和B点由静止释放,两种情况下振子振动的周期相同吗 振子完成一次全振动通过的位移相同吗 路程相同吗
提示:(1)不是。经过一个周期振子一定从同一方向经过O点。
(2)周期相同,振动的周期决定于振动系统本身,与振幅无关。位移相同,均为零。路程不相同,一个周期内振子通过的路程与振幅有关。
【归纳提升】
1.对全振动的理解
(1)全振动的定义:振动物体以相同的速度相继通过同一位置所经历的过程,称为一次全振动。
(2)一次全振动的四个特征:
①物理量特征:位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同。
②时间特征:历时一个周期。
③路程特征:振幅的4倍。
④相位特征:增加2π。
2.对周期和频率的理解
(1)周期(T)和频率(f)都是标量,反映了振动的快慢,T= ,即周期越大,频率越小,振动越慢。
(2)一个振动系统的周期、频率由振动系统决定,与振幅无关。
3.对振幅的理解
(1)振动物体离开平衡位置的最大距离。
(2)振幅与位移的区别
①振幅等于最大位移的大小。
②对于一个给定的振动,振动物体的位移是时刻变化的,但振幅是不变的。
③位移是矢量,振幅是标量。
(3)路程与振幅的关系
①振动物体在一个周期内的路程为四个振幅。
②振动物体在半个周期内的路程为两个振幅。
③振动物体在四分之一个周期内的路程不一定等于一个振幅。
温馨提示 连续两次通过同一位置不一定完成一次全振动,必须是以相同的速度连续两次通过同一位置。
【典型例题】
【例题1】 (多选)下图为一质点的振动图像,曲线满足正弦变化规律,则下列说法正确的是( )
A.该振动为简谐运动
B.该振动的振幅为10 cm
C.质点在前0.12 s内通过的路程为20 cm
D.0.04 s末,质点的振动方向沿x轴负方向
答案:AD
解析:该图像表示质点的位移随时间周期性变化的规律,是简谐运动,故A项正确;由题图可知该振动的振幅为5 cm,故B项错误;由题图可知质点振动的周期为0.08 s,0.12 s=1 T,质点通过的路程为6A=30 cm,故C项错误;根据振动规律可知,0.04 s末质点的振动方向沿x轴负方向,故D项正确。
模型建构 求解简谐运动问题时,要紧紧抓住一个模型——水平方向振动的弹簧振子,熟练掌握振子的振动过程以及振子振动过程中各物理量的变化规律,看到振动图像,头脑中立即呈现出一幅弹簧振子振动的情景,再把问题一一对应、分析求解。
【变式训练1】 如图所示,弹簧振子在BC间振动,O为平衡位置,BO=OC =5 cm,若振子从B到C的运动时间为1 s,则下列说法正确的是( )
A.振子从B经O到C完成一次全振动
B.振动周期是1 s,振幅是10 cm
C.经过两次全振动,振子通过的路程是20 cm
D.从B开始经过3 s,振子通过的路程是30 cm
答案:D
解析:振子从B→O→C仅完成了半次全振动,所以周期T=2×1 s=2 s,振幅A=lBO=5 cm,A、B错误;振子在一次全振动中通过的路程为4A=20 cm,所以两次全振动振子通过的路程为40 cm,C错误;3 s的时间为1.5T,所以从B开始经过3 s,振子通过的路程为30 cm,D正确。
【问题引领】
知识点二
简谐运动的表达式
我们知道做简谐运动的物体的振动位移随时间是按正弦函数规律变化的,在数学课上我们学习过正弦函数为y=Asin ωt,你知道A、ω与简谐运动的基本物理量之间的关系吗
提示:A代表简谐运动的振幅;ω叫作简谐运动的圆频率,它与周期T的关系为ω= 。
【归纳提升】
1.简谐运动表达式的理解
做简谐运动的物体位移x随时间t变化的表达式为x=Asin(ωt+φ), 由简谐运动的表达式可以直接读出振幅A、圆频率ω和初相φ。据ω= 或ω=2πf可求周期T或频率f,可以求某一时刻质点的位移x。
2.简谐运动的相位及相位差
(1)ωt+φ表示相位,描述做周期性运动的物体在各个不同时刻所处的不同状态,是描述不同振动的振动步调的物理量。它是一个随时间变化的量,相当于一个角度,相位每增加2π,意味着物体完成了一次全振动。
(2)相位差是指两个相位之差,在实际应用中经常用到的是两个具有相同频率的简谐运动的相位差,它反映出两个简谐运动的步调差异。
设两频率相同的简谐运动A、B的振动方程分别为x1=A1sin(ωt+φ1),x2=A2sin(ωt+φ2),它们的相位差Δφ=(ωt+φ1)-(ωt+φ2)=φ1-φ2。可见,其相位差恰好等于它们的初相之差,因为初相是确定的,所以频率相同的两个简谐运动有确定的相位差。
(3)若Δφ=φ1-φ2>0,则称A的相位比B的相位超前Δφ或B的相位比A的相位落后Δφ; 若Δφ=φ1-φ2<0,则称A的相位比B的相位落后|Δφ|或B的相位比A的相位超前|Δφ|。
①同相:表明两个振动物体步调相同,相位差Δφ=0;
②反相:表明两个振动物体步调完全相反,相位差|Δφ|=π。
【典型例题】
A.振幅是矢量,A的振幅是6 m,B的振幅是10 m
B.周期是标量,A、B周期相等为100 s
C.A振动的频率fA等于B振动的频率fB
D.A振动的频率fA大于B振动的频率fB
答案:C
解析:振幅是标量,A、B的振动范围分别是6 m、10 m,但振幅分别是3 m、5 m,A项错误;周期是标量,A、B的周期T= s=6.28×10-2 s,B项错误;因为TA=TB,故fA=fB,C项正确,D项错误。
1.首先要明确表达式中各物理量的意义。
2.根据ω= =2πf确定描述振动快慢的三个物理量的关系。
3.根据表达式求解某时刻的位移。
4.对于同一质点的振动,不同形式位移表达式初相位并不相同。
【变式训练2】 有一个弹簧振子,振幅为0.8 cm,周期为0.5 s,初始时具有负方向的最大加速度,则它的运动表达式是( )
答案:A
【问题引领】
知识点三
简谐运动的周期性和对称性
物体做简谐运动,其图像如图所示,请问在t1和t2两时刻,物体的速度、位移是否相同
提示:相同 不同
【归纳提升】
1.周期性
做简谐运动的物体经过一个周期或几个周期后,能回复到原来的状态。
2.对称性
如图所示,物体在A和B之间运动,O点为平衡位置,C和D两点关于O点对称,则:
(1)时间的对称。
①振动质点来回通过相同的两点间经过的时间相等,如tDB=tBD;
②质点经过关于平衡位置对称的等长的两线段时间相等,图中tOB=tBO= tOA=tAO,tOD=tDO=tOC=tCO。
(2)速度的对称。
①物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等,方向相反;
②物体经过关于O点对称的两点(如C与D)的速度大小相等,方向可能相同,也可能相反。
【典型例题】
【例题3】 如图所示,弹簧振子以O点为平衡位置,在B、C两点间做简谐运动,在t=0时刻,振子从O、B间的P点以速度v向B点运动;在t=0.2 s时,振子速度第一次变为-v;在t=0.5 s时,振子速度第二次变为-v,已知B、C之间的距离为25 cm。
(1)求弹簧振子的振幅A;
(2)求弹簧振子的振动周期T和频率f。
答案:(1)12.5 cm (2)1 s 1 Hz
解析:(1)弹簧振子以O点为平衡位置,在B、C两点间做简谐运动,
(2)由简谐运动的对称性可知从P到B的时间与从B返回到P的时间是相等的,
科学思维 简谐运动是一种周而复始的周期性的运动,按其周期性可作如下判断:
1.若t2-t1=nT,则t1、t2两时刻振动物体在同一位置,运动情况相同。
【变式训练3】 如图所示,一个做简谐运动的质点,先后以同样的速度通过相距10 cm的A、B两点,历时0.5 s;过B点后再经过t=0.5 s,质点以大小相等、方向相反的速度再次通过B点;则质点从离开O点到再次回到O点历时(O点为AB的中点)( )
A.0.5 s B.1.0 s
C.2.0 s D.4.0 s
答案:B
解析:根据题意,由振动的对称性可知,AB的中点为平衡位置,A、B两点对称分布在O点两侧,质点从平衡位置O点向右运动到B点的时间应为tOB= ×0.5 s=0.25 s。质点从B点向右到达右方极端位置(D点)的时间tBD= × 0.5 s=0.25 s。所以质点从离开O点到再次回到O点的时间t=2tOD=2×(0.25+0.25) s=1.0 s,故正确选项为B。
课堂小结
随堂练习
1.(描述简谐运动的物理量)(多选)下列关于简谐运动的振幅、周期和频率的说法正确的是( )
A.振幅是矢量,方向从平衡位置指向最大位移处
B.周期和频率的乘积是一个常数
C.振幅增加,周期必然增加,而频率减小
D.做简谐运动的物体,其频率固定,与振幅无关
答案:BD
解析:振幅是标量,A错误;周期和频率互为倒数,即Tf=1,B正确;简谐运动的周期、频率由系统本身决定,与振幅没有关系,所以C错误,D正确。
2.(简谐运动的分析)周期为2 s的简谐运动,在半分钟内通过的路程是60 cm,则在此时间内振子经过平衡位置的次数和振子的振幅分别为( )
A.15次,2 cm B.30次,1 cm
C.15次,1 cm D.60次,2 cm
答案:B
解析:已知该简谐运动的周期为2 s,半分钟为15个周期,一个周期的路程为4倍的振幅,故半分钟内振子经过平衡位置的次数为30次;15个周期的路程为60A,即60A=60 cm,故A=1 cm,B正确。
3.(简谐运动的周期性和对称性)一质点做简谐运动,它从最大位移处经0.3 s第一次到达某点M处,再经0.2 s第二次到达M点,则其振动频率为( )
A.0.4 Hz B.0.8 Hz
C.2.5 Hz D.1.25 Hz
答案:D
解析:由题意知,从M位置沿着原路返回到起始最大位移处的时间也为0.3 s,故完成一个全振动的时间为T=0.3 s+0.2 s+0.3 s=0.8 s,故频率为f= =1.25 Hz,D正确。
4.(简谐运动的表达式)右图为A、B两质点做简谐运动的位移—时间图像。请根据图像回答。
(1)A的振幅是 cm,周期是 s;
B的振幅是 cm,周期是 s;
(2)写出A质点的位移随时间变化的关系式;
(3)在t=0.05 s时A质点的位移是多少
答案:(1)0.5 0.4 0.2 0.8
(2)xA=0.5sin 5πt (cm)
解析:(1)由题图知,A的振幅是0.5 cm,周期是0.4 s;B的振幅是0.2 cm,周期是0.8 s。
(2)t=0时刻A质点从平衡位置开始沿正方向振动,
由T=0.4 s,得ω= =5π rad/s。则简谐运动的表达式为xA=0.5sin 5πt (cm)。
(3)将t=0.05 s代入A的表达式中得
本 课 结 束
