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3.简谐运动的回复力和能量
第二章
2022
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
课堂小结
04
随堂练习
课标定位
素养阐释
1.了解弹簧振子中小球的受力特点。
2.知道简谐运动的回复力及其表达式。
3.知道简谐运动是一种理想化的振动。
4.会定性分析位移、速度、加速度、回复力、动能、势能及机械能的变化情况。
1.理解回复力的概念及来源,形成物理观念。
2.体会简谐运动是一种理想化的振动模型,形成科学思维。
3.通过分析简谐运动中各物理量的变化情况,培养科学的研究态度。
自主预习 新知导学
一、简谐运动的回复力
1.回复力
(1)定义:根据牛顿运动定律,可以作出以下判断,做简谐运动的物体偏离平衡位置向一侧运动时,一定有一个力迫使物体的运动速度逐渐减小直到减为0,然后,物体在这个力的作用下,运动速度又由0逐渐增大并回到平衡位置;物体由于具有惯性,到达平衡位置后会继续向另一侧运动,这个力使它再一次回到平衡位置。正是在这个力的作用下,物体在平衡位置附近做往复运动。我们把这样的力称为回复力。
(2)方向:总是指向平衡位置。
(3)表达式:F= -kx 。
2.简谐运动
如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比,并且总是指向平衡位置,质点的运动就是简谐运动。
3.做简谐运动的质点,速度增大时,其加速度如何变化
提示:减小。
二、简谐运动的能量
1.能量转化
弹簧振子运动的过程就是动能和势能互相转化的过程。
(1)小球运动到最大位移时,动能为零,势能最大;
(2)小球在平衡位置时,动能最大,势能为零。
2.能量特点
在弹簧振子运动的任意位置,系统的动能与势能之和都是一定的,遵守
机械能守恒定律,而实际运动都有一定的能量损耗,所以简谐运动是一种
理想化的模型。
【思考讨论】
1.判断下列说法的正误。
(1)简谐运动回复力总是指向平衡位置。( )
(2)回复力的方向总是与加速度的方向相反。( )
(3)水平弹簧振子运动到平衡位置时,回复力为零,因此振子的机械能一定为零。( )
(4)回复力的大小与速度大小无关,速度增大时,回复力可能增大,也可能减小。( )
√
×
×
×
2.如图所示,一弹簧振子在M、N间沿光滑水平杆做简谐运动,坐标原点O为平衡位置,lMN=8 cm。从小球向右经过图中O点时开始计时,到第一次经过N点的时间为0.2 s,规定水平向右为正方向,则小球的振动周期为 s,振动方程为x= 。
3.如图所示,弹簧劲度系数为k,在弹簧下端挂一个重物,质量为m,重物静止。在竖直方向将重物下拉一段距离(没超过弹簧弹性限度),然后无初速度释放,重物在竖直方向上下振动。
试分析重物上下振动回复力的来源(不计空气阻力)。
提示:重物在竖直方向上下振动过程中,在竖直方向上受到了重力和弹簧弹力的作用,振动的回复力是重力与弹簧弹力的合力。
合作探究 释疑解惑
知识点一
简谐运动的回复力
【问题引领】
下图为弹簧振子的模型,请分析并回答下列问题:
(1)请分别讨论振子在平衡位置右侧和左侧时,所受
的弹力F的方向是怎样的 位移x的方向是怎样的 F与
x的方向有什么关系
(2)振子在运动过程中,弹力F与位移x之间存在着什么样的关系
提示:(1)当振子在平衡位置右侧时,弹力F的方向向左,位移x的方向向右,F与x的方向相反;当振子在平衡位置左侧时,弹力F的方向向右,位移x的方向向左,F与x的方向相反。
(2)弹力F与位移x的关系为F=-kx。
【归纳提升】
1.对回复力的理解
(1)回复力是指将振动物体拉回到平衡位置的力,它可以是物体所受的合外力,也可以是一个力或某一个力的分力,而不是一种新的性质力。
(2)简谐运动的回复力:F=-kx。
①k是比例系数,并非弹簧的劲度系数(水平弹簧振子中k恰好为弹簧的劲度系数),其值由振动系统决定,与振幅无关。
②负号表示回复力的方向与偏离平衡位置的位移的方向相反。
③x是指物体对平衡位置的位移,不一定是弹簧的伸长量或压缩量。
④回复力的作用总是把物体拉向平衡位置。
2.简谐运动的加速度
据牛顿第二定律,a= x,表明简谐运动的加速度大小也与位移大小成正比,加速度方向与位移方向相反。
【典型例题】
【例题1】 (多选)如图所示,弹簧振子在光滑水平杆
上的A、B之间做往复运动,下列说法正确的是( )
A.弹簧振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用
B.弹簧振子运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力的作用
C.振子由A向O运动过程中,回复力逐渐增大
D.振子由O向B运动过程中,回复力的方向指向平衡位置
答案:AD
解析:回复力是根据效果命名的力,它是由物体受到的具体的力所提供的,在此情景中弹簧的弹力充当回复力,故A项正确,B项错误;回复力与位移的大小成正比,由A向O运动过程中位移的大小在减小,故此过程回复力逐渐减小,C项错误;回复力总是指向平衡位置,故D项正确。
科学思维 分析物体做简谐运动的回复力时,要明确回复力是效果力,等于物体在振动方向上所受的合力。
【变式训练1】 如图所示,弹簧振子B上放一个物块A,在A与B一起做简谐运动的过程中,下列关于A受力的说法正确的是( )
A.物块A受重力、支持力及弹簧对它的恒定的弹力
B.物块A受重力、支持力及弹簧对它的大小和方向
都随时间变化的弹力
C.物块A受重力、支持力及B对它的恒定的摩擦力
D.物块A受重力、支持力及B对它的大小和方向都随时间变化的摩擦力
答案:D
解析:物块A受到重力、支持力和摩擦力的作用。摩擦力提供A做简谐运动所需的回复力,其大小和方向都随时间变化,故D项正确。
【问题引领】
知识点二
简谐运动的能量
下图为水平弹簧振子,振子在A、B之间往复运动。
(1)从A到B的运动过程中,振子的动能如何变化 弹簧弹性势能如何变化 振动系统的总机械能是否变化
(2)如果把振子振动的振幅增大,振子回到
平衡位置的动能是否增大 振动系统的机械
能是否增大
提示:(1)振子的动能先增大后减小;弹簧的弹性势能先减小后增大;总机械能保持不变。
(2)振子回到平衡位置的动能增大;系统的机械能增大。
【归纳提升】
1.若不考虑阻力,弹簧振子在振动过程中只有弹力做功,故在任意时刻的动能与势能之和不变,即机械能守恒。
2.简谐运动中的能量跟振幅有关,振幅越大,振动的能量越大。在简谐运动中,振动的能量保持不变,所以振幅保持不变,因此简谐运动又称等幅振动,只要没有能量损耗,它将永不停息地振动下去。
3.在一个振动周期内,动能和势能完成两次周期性变化。经过平衡位置时动能最大,势能最小;经过最大位移处时,势能最大,动能最小。
4.振子经过平衡位置两侧的对称点时,具有相等的动能和相等的势能。
【典型例题】
【例题2】 (多选)把一个小球套在光滑细杆上,球与轻弹簧相连组成弹簧振子,小球沿杆在水平方向做简谐运动,它围绕平衡位置O在A、B间振动,如图所示,下列结论正确的是( )
A.小球在O位置时,动能最大,加速度最小
B.小球在A、B位置时,势能最大,加速度最大
C.小球从A经O到B的过程中,回复力一直做正功
D.小球从B到O的过程中,振动的能量不断增加
答案:AB
解析:小球在平衡位置时动能最大,加速度为零,因此A项正确;小球在A、B位置时,势能最大,加速度最大,因此B项正确;小球衡位置时,回复力做正功;远离平衡位置时,回复力做负功。振动过程中总能量不变,因此C、D项错误。
科学思维 在分析简谐运动的能量问题时,要弄清运动质点的受力情况和所受力的做功情况,弄清是什么能之间的转化及转化关系等。
【变式训练2】 下图为某个弹簧振子做简谐运动的振动图像,由图像可知( )
A.在0.1 s时,由于位移为零,所以振动能量为零
B.在0.2 s时,振子具有最大势能
C.在0.35 s时,振子具有的能量尚未达到最大值
D.在0.4 s时,振子的动能最大
答案:B
解析:弹簧振子做简谐运动,振动能量不变,选项A错;在0.2 s时位移最大,振子具有最大势能,选项B对;弹簧振子的振动能量不变,在0.35 s时振子具有的能量与其他时刻相同,选项C错;在0.4 s时振子的位移最大,动能为零,选项D错。
【问题引领】
知识点三
简谐运动中各物理量的变化
如图所示的弹簧振子,O为平衡位置,B、C为最大位移位置,以向右的方向为正方向,则振子从B运动到O的过程中,位移方向为 ,大小逐渐 ;回复力方向为 ,大小逐渐 ;振子速度方向为 ,大小逐渐 ;动能逐渐 ;势能逐渐 。(均选填“正”“负”“增大”或“减小”)
提示:正 减小 负 减小 负 增大 增大 减小
【归纳提升】
1.下图为水平的弹簧振子示意图,振子运动过程中各物理量的变化情况如表所示。
振子的运动 A→O O→A' A'→O O→A
位移 减小 增大 减小 增大
回复力 减小 增大 减小 增大
加速度 减小 增大 减小 增大
速度 增大 减小 增大 减小
动能 增大 减小 增大 减小
势能 减小 增大 减小 增大
机械能 不变 不变 不变 不变
2.几点说明:
(1)简谐运动中各个物理量对应关系不同。位置不同,则位移不同,加速度、回复力不同,但是速度、动能、势能可能相同,也可能不同。
(2)位移增大时,回复力、加速度和势能增大,速度和动能减小;位移减小时,回复力、加速度和势能减小,速度和动能增大。
【典型例题】
【例题3】 如图甲所示,弹簧振子以O点为平衡位置,在A、B两点之间做简谐运动。取向右为正方向,振子的位移x与时间t的关系图像如图乙所示,下列说法正确的是( )
A.t=0.8 s时,振子的速度方向向右
B.t=0.2 s时, 振子在O点右侧6 cm处
C.t=0.4 s和t=1.2 s时,振子的加速度
相同
D.从t=0.4 s到t=0.8 s的时间内,振子的动能逐渐增大
答案:D
解析:由题图乙知,t=0.8 s时,图像切线的斜率为负,说明振子的速度为负,即振子的速度方向向左,A项错误。在0~0.4 s内,振子做减速运动,不是匀速运动,所以t=0.2 s时,振子不在O点右侧6 cm处,B项错误。t=0.4 s和t=1.2 s时,振子的位移大小相等、方向相反,由a=- ,知加速度大小相等、方向相反, C项错误。t=0.4 s到t=0.8 s的时间内,振子的位移减小,正向平衡位置靠近,速度逐渐增大,动能逐渐增大,D项正确。
科学思维 分析简谐运动的技巧
1.分析简谐运动中各物理量的变化情况时,一定要以位移为桥梁,位移增大时,振动质点的回复力、加速度、势能均增大,速度、动能均减小;反之,则产生相反的变化。另外,各矢量均在其值为零时改变方向。
2.分析过程中要特别注意简谐运动的周期性和对称性。
【变式训练3】 弹簧振子在光滑的水平面上做简谐运动,在振子向着平衡位置运动的过程中( )
A.振子所受的回复力逐渐增大
B.振子相对平衡位置的位移逐渐增大
C.振子的速度逐渐增大
D.振子的加速度逐渐增大
答案:C
解析:在振子向着平衡位置运动的过程中,振子所受的回复力逐渐减小,振子相对平衡位置的位移逐渐减小,振子的速度逐渐增大,振子的加速度逐渐减小,选项C正确。
课堂小结
随堂练习
1.(简谐运动的回复力)下列关于振动的回复力的说法正确的是( )
A.回复力方向不一定总是指向平衡位置
B.回复力是按效果命名的
C.回复力一定是物体受到的合力
D.回复力由弹簧的弹力提供
答案:B
解析:回复力是按效果命名的,是指向平衡位置使振动物体回到平衡位置的力,可以由某个力或某几个力的合力提供,也可以由某个力的分力提供,故A错误,B正确,C错误;在水平弹簧振子中弹簧的弹力提供回复力,但在其他振动中,不一定由弹簧弹力提供,D错误。
2.(简谐运动的能量)右图为一水平弹簧振子的振动图像,由图可知( )
A.在t1时刻,振子的动能最大,所受的弹力最大
B.在t2时刻,振子的动能最大,所受的弹力最小
C.在t3时刻,振子的动能最大,所受的弹力最小
D.在t4时刻,振子的动能最大,所受的弹力最大
答案:B
解析:t2和t4时振子在平衡位置处,t1和t3时振子在最大位移处,根据弹簧振子振动的特征,弹簧振子在平衡位置时的速度最大,加速度为零,即弹力为零;在最大位移处,速度为零,加速度最大,即弹力为最大,所以B项正确。
3.(简谐运动各物理量的变化)一质点做简谐运动,
其位移和时间关系如图所示。
(1)在t=1.5×10-2 s到2×10-2 s的振动过程中,质点
的位移、回复力、速度、动能、势能如何变化
(2)在t=0到8.5×10-2 s时间内,质点的路程、位移各为多大
答案:(1)变大 变大 变小 变小 变大
(2)34 cm 2 cm
解析:(1)由题图可知在1.5×10-2~2×10-2 s内,质点的位移变大,回复力变大,速度变小,动能变小,势能变大。
(2)在0~8.5×10-2 s时间内为 个周期,质点的路程为s=17A=34 cm,质点0时刻在负的最大位移处,8.5×10-2 s时刻质点在平衡位置,故位移为2 cm。
本 课 结 束3.简谐运动的回复力和能量
基础巩固
1.(多选)物体做简谐运动的过程中,下列物理量中保持不变的是( )
A.振幅 B.动能
C.势能 D.机械能
答案:AD
解析:物体做简谐运动的过程中,机械能守恒,振幅不变,选项A、D正确;当物体向平衡位置运动时,动能增加,势能减少;当物体远离平衡位置运动时,动能减少,势能增加,选项B、C错误。
2.一个做简谐运动的物体,每次势能相同时,下列说法正确的是( )
A.有相同的动能
B.有相同的位移
C.有相同的加速度
D.有相同的速度
答案:A
解析:做简谐运动的物体机械能守恒,当势能相同时,动能一定相同,A正确;当势能相同时,物体位移的大小相同,但方向无法确定,同理,加速度与速度的方向关系也无法确定,故B、C、D错误。
3.对于弹簧振子的回复力与位移的关系图像,下列图像正确的是( )
答案:C
解析:根据公式F=-kx,可判断回复力与位移的关系图像是一条直线,斜率为负值,故C正确。
4.做简谐运动的弹簧振子质量为0.2 kg,当它运动到平衡位置左侧20 cm时,受到的回复力为4 N;当它运动到平衡位置右侧40 cm时,它的加速度为( )
A.20 m/s2,向右
B.20 m/s2,向左
C.40 m/s2,向右
D.40 m/s2,向左
答案:D
解析:当振子运动到平衡位置右侧40 cm时,加速度方向指向平衡位置,因此方向向左。由力和位移的大小关系F=-kx可知,当x=40 cm时,F=-8 N,a==-40 m/s2,故加速度大小为40 m/s2。
5.(多选)一质点做简谐运动的图像如图所示,则该质点( )
A.在0~0.01 s内,速度与加速度同向
B.在0.01~0.02 s内,速度与回复力同向
C.在0.025 s时,速度为正,加速度为正
D.在0.04 s时,速度最大,回复力为零
答案:AC
解析:F、a与x始终反向,所以由x的正负就能确定a的正负。在x-t图像上,图线各点切线的斜率表示该点的速度,由斜率的正负便可确定v的正负,由此判断A、C正确。
6.如图所示,在竖直悬挂的劲度系数为k的轻弹簧下端挂一个质量为m的小球,用一个竖直向下的力将小球竖直拉向下方,当小球静止时,拉力的大小为F,若撤去拉力,小球便在竖直面内做简谐运动,求:
(1)小球在最低点受到弹簧对它的弹力的大小;
(2)小球经过平衡位置时弹簧的伸长量;
(3)小球在振动过程中通过最高点时的加速度的大小和方向。
答案:(1)F+mg (2) (3) 竖直向下
解析:(1)由于撤去F前小球静止,
故弹簧的弹力FT=F+mg。
(2)小球在平衡位置时弹力等于重力,
故弹簧的伸长量为Δx=。
(3)小球振动过程中在最高点和最低点的加速度大小相等,方向相反,而在最低点,其合外力为F,故在最高点时,加速度a=,加速度方向竖直向下。
能力提升
1.如图甲所示,一弹簧振子在A、B间做简谐运动,O为平衡位置,图乙是弹簧振子做简谐运动时的位移—时间图像,则关于弹簧振子的加速度随时间的变化规律,下列四个图像正确的是( )
答案:C
解析:加速度与位移的关系为a=-,而x=Asin ωt,所以a=-sin ωt,则可知C选项正确。
2.如图所示,两根完全相同的弹簧和一根张紧的细线将甲、乙两物块束缚在光滑水平面上,已知甲的质量大于乙的质量。当细线突然断开后,两物块都开始做简谐运动,在运动过程中( )
A.甲的振幅大于乙的振幅
B.甲的振幅小于乙的振幅
C.甲的最大速度小于乙的最大速度
D.甲的最大速度大于乙的最大速度
答案:C
解析:当细线突然断开时,甲、乙两物块的速度为零,均位于简谐运动的最大位移处,此时两弹簧的弹力相等,由F=-kx可知,两物体离平衡位置的位移相等,即振幅相等,两弹簧振子的弹性势能相等,由此可知它们到平衡位置的动能相等。由Ek=mv2,m甲>m乙可知,v甲3.(多选)右图为某一质点的振动图像,由图可知,在t1和t2两时刻|x1|>|x2|,质点速度v1、v2与加速度a1、a2的关系为( )
A.v1B.v1C.a1>a2,方向相同
D.a1>a2,方向相反
答案:AD
解析:v1、v2均沿-x方向,t1时刻,质点离平衡位置较远,速度较小,v1|x2|,x1与x2方向相反,故a1>a2,且a1、a2方向相反,C错,D对。
4.如图所示,虚线和实线分别为甲、乙两个弹簧振子做简谐运动的图像,则下列说法正确的是( )
A.任意时刻,甲振子的位移都比乙振子的位移大
B.t=0时,甲、乙两振子的振动方向相反
C.前2 s内,甲、乙两振子的加速度均为正值
D.第2 s末,甲的加速度达到其最大值,乙的速度达到其最大值
答案:B
解析:简谐运动的图像反映了振子的位移与时间的关系,甲振子的位移与乙振子的位移相比,有时大,有时小,有时二者相等,故A错误;根据切线斜率的正负表示速度的方向可知,t=0时,甲、乙两振子的振动方向相反,故B正确;由a=-分析可知,前2 s内乙振子的加速度为正值,甲振子的加速度为负值,故C错误;第2 s末甲的位移等于零,加速度为零,通过平衡位置,速度达到其最大值,乙的位移达到最大值,加速度达到其最大值,速度为零,故D错误。
5.如图所示,倾角为α的斜面体(斜面光滑且足够长)固定在水平地面上,斜面顶端与劲度系数为k、自然长度为l的轻质弹簧相连,弹簧的另一端连接着质量为m的物块。压缩弹簧,使其长度为l时将物块由静止开始释放(物块做简谐运动),重力加速度为g。
(1)求物块处于平衡位置时弹簧的长度。
(2)物块做简谐运动的振幅是多少
答案:(1)l+ (2)
解析:(1)物块平衡时,受重力、支持力和弹簧的弹力。
根据平衡条件,有mgsin α=k·Δx
解得Δx=
故弹簧的长度为l+。
(2)物块做简谐运动的振幅为A=Δx+l=。
6.右图为一弹簧振子的振动图像,试完成以下问题:
(1)写出该振子简谐运动的位移表达式。
(2)在第2 s末到第3 s末这段时间内,弹簧振子的加速度、速度、动能和弹性势能各是怎样变化的
(3)该振子前100 s的总位移是多少 路程是多少
答案:(1)x=5sin t (cm) (2)见解析 (3)0 5 m
解析:(1)简谐运动图像的一般表达式是x=Asin(ωt+φ0),由振动图像可得振幅A=5 cm,初相φ0=0,周期T=4 s,则角速度ω= rad/s
故该振子简谐运动的表达式为x=5sin t (cm)。
(2)由题图可知,在t=2 s时,振子恰好通过平衡位置,此时加速度为零,随着时间的延续,位移为负值且不断增大,即离开平衡位置的距离变大,回复力变大,加速度指向平衡位置且变大,速度不断变小,动能不断减小,弹性势能逐渐增大。当t=3 s时,加速度达到最大,速度等于零,动能等于零,弹性势能达到最大值。
(3)振子经一周期位移为零,路程为4×5 cm=20 cm,前100 s刚好经过了25个周期,所以前100 s振子位移x=0,振子路程s=25×20 cm=500 cm=5 m。
