沪科版八年级数学下册 19.3矩形、菱形、正方形（第1课时）教案
文档属性
| 名称 | 沪科版八年级数学下册 19.3矩形、菱形、正方形（第1课时）教案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-04-30 08:59:45 | ||
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文档简介
第19章 四边形
19.3 矩形、菱形、正方形
第1课时 矩形的定义与性质
教学目标 1.了解矩形的有关概念，理解它与平行四边形之间的关系. 2.掌握矩形的有关性质，发展学生合情推理意识，掌握几何思维方法. 3.培养严谨的推理能力，以及自主合作精神；体会逻辑推理的思维价值. 教学重难点 重点：探索并证明矩形的性质定理. 难点：应用矩形的性质定理解决相关问题. 教学过程 导入新课 1.复习回顾 平行四边形的定义，平行四边形的性质. 2.活动 观察下列图片，找出你所熟悉的图形. 问题1 在观察图片后，你能从中发现你熟悉的图形吗？你认为它们有什么样的共同特征呢？ 问题2 请同学们观察，图中的平行四边形与□ABCD相比较，还有不同点吗？ 教师适时归纳总结，同学们观察的很仔细，这些平行四边形中有一个角是直角，像这样的平行四边形叫做矩形. 同学们，你们能举出一些生活中矩形的例子吗？与同伴交流. 探究新知 一、预习新知 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 问题 改变平行四边形活动框架，将框架夹角变为90°，平行四边形成为一个矩形，这说明平行四边形与矩形具有怎样的从属关系？ 矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，但平行四边形不一定是矩形. 二、合作探究 教师为了加深学生的理解，也为了继续研究矩形的性质，让大家拿出制作好的教具一起探究. 探究活动一 矩形四角的大小关系 问题 矩形是平行四边形的特例，属于平行四边形，因此它具有平行四边形的所有性质.矩形是否具有它独特的性质呢？ 【学生活动】测量一个矩形的四个角，发现四个角的度数分别是多少度. 【教师总结】矩形的四个角都是直角. 学生写出证明过程. 已知：矩形ABCD，如图. 求证：∠A=∠B=∠C=∠D. 证明：由定义知，矩形必有一个角是直角，设∠A=90°. ∵ AB∥DC, AD∥BC, ∴ ∠B =∠C=∠D=90°（两直线平行，同旁内角互补）. 即矩形ABCD的四个角都是直角. 探究活动二 对角线的数量关系 【师生活动】用橡皮筋做出两条对角线，让学生观察这两条对角线的关系. 【教师总结】矩形的两条对角线相等. 【学生活动】分析已知和求证，小组讨论证明过程，由一名学生口述证明过程. 已知：矩形ABCD，如图： 求证：AC=BD. 证明: ∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ ∠ABC=∠BCD=90°，AB＝DC， 在Rt△ABC和Rt△DCB中，, ∴ Rt△ABC≌Rt△DCB（SAS）, ∴ AC=BD. 探究活动三 直角三角形中斜边上的中线与斜边的数量关系 如图：矩形ABCD中，AO＝_____AC，BO＝______BD.BO是Rt△ABC的什么线？由此你可以得到什么结论？ 观察、思考后发现AO＝AC，BO＝BD，BO是Rt△ABC的中线. 【教师总结】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 例题讲解 【例】如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝120°，AD＝4 cm，求矩形对角线的长. 【解】∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ AC=BD，∴ OA＝OB. 又∠AOB＝120°， ∴ ∠OAB＝∠OBA＝=30°. 在Rt△ABD中，BD＝2AD＝8 cm. ∴ 矩形的对角线长为8 cm. 跟踪训练 如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，点E、点F分别在AO、DO上，且∠EBO＝∠FCO． （1）求证：OE＝OF； （2）若∠EBO＝∠ACB＝30°，BC＝，求△BEO的面积． 【教师活动】（1）欲证明OE＝OF，只要证明△EBO≌△FCO即可； （2）利用等腰三角形的性质得∠OBC＝30°，由三角形的内角和定理得∠BEO＝90°，再由直角三角形30°角的性质和三角形面积公式即可解决问题． 【学生活动】根据老师的分析，先小组交流证题思路，再独立完成证明过程，最后小组交流，纠正错误. （1）证明：∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ OB＝BD，OC＝AC，且AC＝BD， ∴ OB＝OC. 在△EBO和△FCO中， ∵ ∴ △EBO≌△FCO（ASA）， ∴ OE＝OF. （2）解：∵ OB＝OC， ∴ ∠OBC＝∠OCB. ∵∠EBO＝∠ACB＝30°， ∴ ∠OBC＝30°， ∴ ∠BEC＝180°﹣30°﹣30°﹣30°＝90°. ∵ BC＝2， ∴ BE＝BC＝. 在Rt△BEO中，∵ ∠EBO＝30°， ∴ OE＝1， ∴ △BEO的面积＝. 课堂练习 1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ） A.对角相等 B.对边相等 C.对角线相等 D.对角线互相平分 2.已知矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线所夹锐角的度数为 ( ) A．50° B．60° C．70° D．80° 3.如图，已知在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于O，∠ACB＝30°，AB＝5㎝，则AC＝ ㎝，BD＝ ㎝. 4.如图，在矩形ABCD中，点E，F在对角线BD上.请添加一个条件，使得结论“AE＝CF”成立，并加以证明. 5.如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，DF＝DC，DF⊥AE于F． （1）求证：AE＝BC； （2）如果AB＝3，AF＝4，求EC的长． 参考答案 1.C 2.D 3.10 10 4.解：添加条件：BE＝DF（或DE＝BF或AE∥CF或∠AEB＝∠DFC或∠DAE＝∠BCF或∠AED＝∠CFB或∠BAE＝∠DCF等）. 选择BE＝DF. 证明：在矩形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD， ∴ ∠ABE＝∠CDF. ∵ BE＝DF，∴ △ABE≌△CDF（SAS）. ∴ AE＝CF. 5.（1）证明：∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ ∠B＝90°，AB＝DC，AD＝BC，AD∥BC， ∴ ∠AEB＝∠DAF. ∵ DF⊥AE， ∴ ∠AFD＝90°＝∠B. ∵ DF＝DC， ∴ AB＝DF. 在△ABE和△DFA中， ∴ △ABE≌△DFA（AAS）， ∴ AE＝AD， ∴ AE＝BC. （2）解：由（1）得△ABE≌△DFA， ∴ BE＝AF＝4，AE＝BC. ∵ ∠B＝90°， ∴ AE＝＝＝5， ∴ BC＝5， ∴ EC＝BC﹣BE＝5﹣4＝1． 课堂小结 1.矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2.矩形的性质： （1）边：对边平行且相等. （2）角：四个角都是直角. （3）对角线：对角线互相平分且相等. 3. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 4.矩形性质的应用，将矩形的问题转化为三角形的问题. 布置作业 教材第88页练习. 板书设计 第1课时 矩形的定义与性质 1.矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2.矩形的性质定理： 矩形的四个角都是直角； 矩形的对角线相等. 3.直角三角形： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
19.3 矩形、菱形、正方形
第1课时 矩形的定义与性质
教学目标 1.了解矩形的有关概念，理解它与平行四边形之间的关系. 2.掌握矩形的有关性质，发展学生合情推理意识，掌握几何思维方法. 3.培养严谨的推理能力，以及自主合作精神；体会逻辑推理的思维价值. 教学重难点 重点：探索并证明矩形的性质定理. 难点：应用矩形的性质定理解决相关问题. 教学过程 导入新课 1.复习回顾 平行四边形的定义，平行四边形的性质. 2.活动 观察下列图片，找出你所熟悉的图形. 问题1 在观察图片后，你能从中发现你熟悉的图形吗？你认为它们有什么样的共同特征呢？ 问题2 请同学们观察，图中的平行四边形与□ABCD相比较，还有不同点吗？ 教师适时归纳总结，同学们观察的很仔细，这些平行四边形中有一个角是直角，像这样的平行四边形叫做矩形. 同学们，你们能举出一些生活中矩形的例子吗？与同伴交流. 探究新知 一、预习新知 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 问题 改变平行四边形活动框架，将框架夹角变为90°，平行四边形成为一个矩形，这说明平行四边形与矩形具有怎样的从属关系？ 矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，但平行四边形不一定是矩形. 二、合作探究 教师为了加深学生的理解，也为了继续研究矩形的性质，让大家拿出制作好的教具一起探究. 探究活动一 矩形四角的大小关系 问题 矩形是平行四边形的特例，属于平行四边形，因此它具有平行四边形的所有性质.矩形是否具有它独特的性质呢？ 【学生活动】测量一个矩形的四个角，发现四个角的度数分别是多少度. 【教师总结】矩形的四个角都是直角. 学生写出证明过程. 已知：矩形ABCD，如图. 求证：∠A=∠B=∠C=∠D. 证明：由定义知，矩形必有一个角是直角，设∠A=90°. ∵ AB∥DC, AD∥BC, ∴ ∠B =∠C=∠D=90°（两直线平行，同旁内角互补）. 即矩形ABCD的四个角都是直角. 探究活动二 对角线的数量关系 【师生活动】用橡皮筋做出两条对角线，让学生观察这两条对角线的关系. 【教师总结】矩形的两条对角线相等. 【学生活动】分析已知和求证，小组讨论证明过程，由一名学生口述证明过程. 已知：矩形ABCD，如图： 求证：AC=BD. 证明: ∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ ∠ABC=∠BCD=90°，AB＝DC， 在Rt△ABC和Rt△DCB中，, ∴ Rt△ABC≌Rt△DCB（SAS）, ∴ AC=BD. 探究活动三 直角三角形中斜边上的中线与斜边的数量关系 如图：矩形ABCD中，AO＝_____AC，BO＝______BD.BO是Rt△ABC的什么线？由此你可以得到什么结论？ 观察、思考后发现AO＝AC，BO＝BD，BO是Rt△ABC的中线. 【教师总结】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 例题讲解 【例】如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝120°，AD＝4 cm，求矩形对角线的长. 【解】∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ AC=BD，∴ OA＝OB. 又∠AOB＝120°， ∴ ∠OAB＝∠OBA＝=30°. 在Rt△ABD中，BD＝2AD＝8 cm. ∴ 矩形的对角线长为8 cm. 跟踪训练 如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，点E、点F分别在AO、DO上，且∠EBO＝∠FCO． （1）求证：OE＝OF； （2）若∠EBO＝∠ACB＝30°，BC＝，求△BEO的面积． 【教师活动】（1）欲证明OE＝OF，只要证明△EBO≌△FCO即可； （2）利用等腰三角形的性质得∠OBC＝30°，由三角形的内角和定理得∠BEO＝90°，再由直角三角形30°角的性质和三角形面积公式即可解决问题． 【学生活动】根据老师的分析，先小组交流证题思路，再独立完成证明过程，最后小组交流，纠正错误. （1）证明：∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ OB＝BD，OC＝AC，且AC＝BD， ∴ OB＝OC. 在△EBO和△FCO中， ∵ ∴ △EBO≌△FCO（ASA）， ∴ OE＝OF. （2）解：∵ OB＝OC， ∴ ∠OBC＝∠OCB. ∵∠EBO＝∠ACB＝30°， ∴ ∠OBC＝30°， ∴ ∠BEC＝180°﹣30°﹣30°﹣30°＝90°. ∵ BC＝2， ∴ BE＝BC＝. 在Rt△BEO中，∵ ∠EBO＝30°， ∴ OE＝1， ∴ △BEO的面积＝. 课堂练习 1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ） A.对角相等 B.对边相等 C.对角线相等 D.对角线互相平分 2.已知矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线所夹锐角的度数为 ( ) A．50° B．60° C．70° D．80° 3.如图，已知在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于O，∠ACB＝30°，AB＝5㎝，则AC＝ ㎝，BD＝ ㎝. 4.如图，在矩形ABCD中，点E，F在对角线BD上.请添加一个条件，使得结论“AE＝CF”成立，并加以证明. 5.如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，DF＝DC，DF⊥AE于F． （1）求证：AE＝BC； （2）如果AB＝3，AF＝4，求EC的长． 参考答案 1.C 2.D 3.10 10 4.解：添加条件：BE＝DF（或DE＝BF或AE∥CF或∠AEB＝∠DFC或∠DAE＝∠BCF或∠AED＝∠CFB或∠BAE＝∠DCF等）. 选择BE＝DF. 证明：在矩形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD， ∴ ∠ABE＝∠CDF. ∵ BE＝DF，∴ △ABE≌△CDF（SAS）. ∴ AE＝CF. 5.（1）证明：∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ ∠B＝90°，AB＝DC，AD＝BC，AD∥BC， ∴ ∠AEB＝∠DAF. ∵ DF⊥AE， ∴ ∠AFD＝90°＝∠B. ∵ DF＝DC， ∴ AB＝DF. 在△ABE和△DFA中， ∴ △ABE≌△DFA（AAS）， ∴ AE＝AD， ∴ AE＝BC. （2）解：由（1）得△ABE≌△DFA， ∴ BE＝AF＝4，AE＝BC. ∵ ∠B＝90°， ∴ AE＝＝＝5， ∴ BC＝5， ∴ EC＝BC﹣BE＝5﹣4＝1． 课堂小结 1.矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2.矩形的性质： （1）边：对边平行且相等. （2）角：四个角都是直角. （3）对角线：对角线互相平分且相等. 3. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 4.矩形性质的应用，将矩形的问题转化为三角形的问题. 布置作业 教材第88页练习. 板书设计 第1课时 矩形的定义与性质 1.矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2.矩形的性质定理： 矩形的四个角都是直角； 矩形的对角线相等. 3.直角三角形： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.