沪科版八年级数学下册19.3矩形、菱形、正方形（第2课时）教案

第19章 四边形
19.3 矩形、菱形、正方形
第2课时　矩形的判定
教学目标 1.让学生经历矩形判定定理的猜想与证明过程. 2.让学生理解并掌握矩形的判定定理. 3.让学生能应用矩形的判定定理解决简单的证明题和计算题. 教学重难点 重点：理解并掌握矩形的判定定理. 难点：矩形判定定理的应用. 教学过程 导入新课 一位很有名望的木工师傅，招收了两名徒弟，一天，师傅有事外出，两徒弟就在家练习用两块四边形的废料各做了一扇矩形的门，做完之后，两人都说对方的门不是矩形，而自已做的门是矩形. 问题 你能想一个办法确定谁做的门是矩形吗？ 除了矩形的定义外，有没有其他判定矩形的方法呢？ 探究新知 探究一 用上、下一样长,左、右一样长的四根木条,长对长,短对短,首尾相接,做成一个木条框一定是矩形吗 还要满足什么条件 【结论】有一个角是直角的平行四边形是矩形. 几何语言： ∵ 在□ABCD中,∠B＝90°, ∴ 四边形ABCD是矩形. 探究二 一个平行四边形的木条框,拉动一对不相邻的顶点,平行四边形的形状会发生变化.思考以下问题： (1)随着∠α的变化,两条对角线的长度将会发生怎样的变化 (2)当两条对角线的长度相等时,平行四边形有什么特征 由此你能得到一个怎样的猜想 【结论】对角线相等的平行四边形是矩形.引导学生对结论进行证明. 【教师活动】分析题目的已知和求证，引导学生利用平行四边形的对边相等及三角形的全等证明∠ADC =∠BCD，再由两直线平行同旁内角互补得∠ADC +∠BCD = 180°，进而得到有一个角是90°，根据矩形的定义得出结论. 【学生活动】根据题意画出图形并写出已知和求证，先独立完成证明过程，再在小组内交流、纠正，最后用几何语言描述判定定理. 已知：如图,在□ABCD中, AC=DB. 求证：□ABCD是矩形. 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD=BC. ∵ DC=CD,AC=DB, ∴ △ADC≌△BCD ,∴ ∠ADC =∠BCD. ∵ ∠ADC +∠BCD = 180°, ∴ ∠ADC =∠BCD= 90°, ∴ □ABCD是矩形（矩形的定义）. 几何语言： ∵ 在□ABCD中，AC＝BD， ∴ □ABCD是矩形. 探究三 有一个角是直角的四边形是矩形吗？ 有两个角是直角的四边形是矩形吗？ 有三个角是直角的四边形是矩形吗？ 【结论】有三个角是直角的四边形是矩形 .引导学生对结论进行证明. 已知：如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°. 求证：四边形ABCD是矩形. 证明：∵∠A＝∠B ＝∠C ＝90°， ∴ ∠B＋∠C＝180°,∠A＋∠B＝180°， ∴ AB∥CD， AD∥BC， ∴ 四边形ABCD是平行四边形. ∵ ∠A＝90°， ∴ 四边形ABCD是矩形. 【教师活动】分析题目的已知和求证，引导学生先证明四边形是平行四边形，再证明有一个角是90°，根据矩形的定义得出结论. 【学生活动】根据题意画出图形并写出已知和求证，先独立完成证明过程，再用几何语言描述判定定理. 几何语言： ∵ 在四边形ABCD中, ∠A＝∠B＝∠C＝90°， ∴ 四边形ABCD是矩形. 例题讲解 【例1】已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是AC的中点，直线AE∥BC，过点D作直线EF∥AB，分别交AE，BC于点E，F. 求证：四边形AECF是矩形. 【证明】∵ AE∥BC，∴ ∠1=∠2. 在△ADE和△CDF中， ∵ ∠1＝∠2，∠ADE＝∠CDF，AD＝CD， ∴ △ADE≌△CDF.∴ AE＝CF. ∴ 四边形AECF是平行四边形. 又∵ 四边形ABFE是平行四边形, ∴ EF ＝ AB. ∵ AC＝AB,∴ EF＝AC. ∴ 四边形AECF是矩形. 【教师活动】分析题目的条件，引导学生书写证明过程，巡视学生做题过程，纠正学生做题中出现的问题. 【学生活动】在老师的指导下，先自己整理证题过程，整理完在小组内交流，对出现的错误及时纠正. 【点评】此题考察了平行四边形的性质、矩形的判定，难度不大，注意掌握数形结合思想的应用. 跟踪训练 1.已知：矩形ABCD的对角线AC，BD相交于O，E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO上的一点，AE=BF=CG=DH. 求证：四边形EFGH是矩形. 证明：∵ 四边形ABCD是矩形, ∴ AO=BO=CO=DO. 又∵ AE=BF=CG=DH, ∴ OE=OF=OG=OH, ∴ 四边形EFGH是平行四边形. 又∵ EO+OG=FO+OH, 即EG=FH, ∴ 四边形EFGH是矩形. 【例2】如图，□ABCD的四个内角的平分线分别相交于E，F，G，H. 求证：四边形 EFGH为矩形． 【证明】在□ABCD中，AD∥BC, ∴ ∠DAB+∠ABC=180°. ∵ AE与BG分别为∠DAB，∠ABC的平分线, ∴ ∠BAE+∠ABF = ∠DAB+ ∠ABC=90°. ∴ ∠AFB=90°.∴ ∠GFE=90°. 同理可证∠AED=∠EHG=90°， ∴ 四边形EFGH是矩形． 【教师活动】巡视学生做题过程，纠正学生做题中出现的错误. 【学生活动】先独立完成证明，由一名学生在黑板上完成，再在小组内交流，对出现的错误及时纠正. 【总结】平行四边形的性质两组对角的角平分线，两两相交，构成一个矩形. 跟踪训练 2.如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于点D，AE平分△BAC的外角，且∠AEB＝90°． 求证：四边形ADBE是矩形． 证明：如下图，∵ AD是∠BAC的平分线，∴ ∠1＝∠2. ∵ AE是∠BAF的平分线，∴ ∠3＝∠4. ∵ ∠1+∠2+∠3+4＝180°， ∴ ∠2+∠3＝90°， 即∠DAE＝90°. ∵ AB＝AC，∠1＝∠2，∴ AD⊥BC， 即∠ADB＝90°. ∵ ∠AEB＝90°，∴ 四边形ADBE是矩形． 【例3】已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，AN是△ABC的外角平分线，CE⊥AN，垂足为点E. （1）求证：四边形ADCE为矩形. （2）连接DE，交AC于点F，请判断四边形ABDE的形状，并证明. （3）线段DF与AB有怎样的关系？请证明. 【教师活动】分析：（1）在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，可得AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD.又AN为△ABC的外角平分线，可得∠DAE＝90°.又由CE⊥AN，即可证得四边形ADCE为矩形. （2）利用矩形的对角线相等推知AC＝DE，结合已知条件可以推知AB＝DE，AE＝BD，则可判定四边形ABDE是平行四边形. （3）由四边形ADCE为矩形，可得AF＝CF.又AD是BC边的中线，即可得DF是△ABC的中位线，则可得DF∥AB，DF＝. 【学生活动】分析证题思路，书写证题过程，小组内合作完成. （1）【证明】∵ 在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线， ∴ AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD， ∴ ∠ADC＝90°. ∵ AN为△ABC的外角平分线， ∴ ∠MAN＝∠CAN， ∴ ∠DAE＝90°. ∵ CE⊥AN， ∴ ∠AEC＝90°， ∴ 四边形ADCE为矩形. （2）【解】四边形ABDE是平行四边形.证明如下： 由（1）知，四边形ADCE为矩形， 则AE＝CD，AC＝DE. 又∵ AB＝AC，BD＝CD， ∴ AB＝DE，AE＝BD， ∴ 四边形ABDE是平行四边形. （3）【解】DF∥AB，DF＝AB. 证明如下： ∵ 四边形ADCE为矩形， ∴ AF＝CF. ∵ BD＝CD， ∴ DF是△ABC的中位线， ∴ DF∥AB，DF＝AB. 【点评】此题考查了矩形的判定与性质、等腰三角形的三线合一以及三角形中位线定理.此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用. 跟踪训练 3.如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD.连接BF. (1)BD与DC有什么数量关系？请说明理由. (2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？请说明理由. 【教师活动】（1）根据“两直线平行，内错角相等”得出∠AFE＝∠DCE，然后利用“AAS”证明△AEF和△DEC全等.根据“全等三角形的对应边相等”可得AF＝CD，再利用等量代换即可得BD＝DC. （2）先利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形AFBD是平行四边形，再根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”证明四边形AFBD是矩形，所以∠ADB＝90°.由等腰三角形三线合一的性质可知△ABC满足的条件是AB＝AC. 【学生活动】独立完成证明过程，总结矩形的判定方法，总结探究性问题的解题方法，对证题中出现的错误及时纠正. 解：（1）BD＝CD.理由如下： ∵ AF∥BC，∴ ∠AFE＝∠DCE. ∵ E是AD的中点，∴ AE＝DE. 又∵ ∠AEF＝∠DEC， ∴ △AEF≌△DEC(AAS)，∴ AF＝DC. ∵ AF＝BD，∴ BD＝DC. （2）当△ABC满足AB＝AC时，四边形AFBD是矩形.理由如下： ∵ AF∥BD，AF＝BD，∴ 四边形AFBD是平行四边形. ∵ AB＝AC，BD＝DC，∴ ∠ADB＝90°， ∴ 四边形AFBD是矩形. 课堂练习 1.下列说法正确的是(　　) (1)对角线相等的四边形是矩形; (2)对角线互相平分且相等的四边形是矩形; (3)有一个角是直角的四边形是矩形; (4)有三个角是直角的四边形是矩形; (5)四个角都相等的四边形是矩形; (6)对角线相等且互相垂直的四边形是矩形. A.(1)(2)(3) B.(2)(4)(5) C.(4)(5)(6) D.(3)(4)(6) 2.如图所示，工人师傅做铝合金窗框分下面几个步骤进行: (1)先截出两对符合规格的铝合金窗料，如图①所示，即AB＝CD，EF＝GH. (2)摆放成如图②的四边形，这时窗框的形状是　　　　　　 根据的数学道理是　　　　 . (3)将直角尺靠紧窗框的一个角(如图③)调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时(如图④)，说明窗框合格.这时窗框的形状是 ，根据的数学道理是 . 3.如图所示，在□ABCD中，AB＝6，BC＝8，AC＝10,求证：四边形ABCD是矩形. 4.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长OA到点N，使ON＝OB，再延长OC到点M，使 CM＝AN.求证：四边形NDMB为矩形. 5.如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB ＝ 4 cm，求□ABCD的面积. 参考答案 1.B　 2.(2)平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 (3)矩形 有一个角是直角的平行四边形是矩形 3.证明： ∵ 在△ABC中， AB＝6，BC＝8，AC＝10， ∴ AC 2＝AB 2+BC 2， ∴ ∠ABC＝90°. ∵ 四边形ABCD是平行四边形, ∴ 四边形ABCD是矩形. 4.证明：∵ 四边形ABCD为平行四边形， ∴ OA＝OC，OD＝OB. ∵ AN＝CM，ON＝OB， ∴ ON＝OM＝OD＝OB， ∴ MN＝BD， ∴ 四边形NDMB为矩形. 5.分析：根据等边三角形的性质求出OA＝OB＝AB＝4，根据平行四边形的性质求出OA＝OC，OB＝OD，得出AC＝BD＝8，证出四边形ABCD是矩形，由勾股定理求出BC的长即可解决问题. 解：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ OA＝OC，OB＝OD. 又∵ △ABO是等边三角形， ∴ OA＝OB＝AB＝4. ∴ OA＝OB＝OC＝OD＝4. ∴ AC＝BD＝2OA＝2×4＝8. ∴ 四边形ABCD是矩形.（对角线相等的平行四边形是矩形） ∴ ∠ABC＝90°.（矩形的四个角都是直角） 在Rt△ABC中，由勾股定理，得, ∴ . ∴ . 课堂小结 矩形的判定思路： 布置作业 教材第89页练习. 板书设计 第2课时　矩形的判定 1.定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形. 2.判定定理 定理1：对角线相等的平行四边形是矩形. 定理2：有三个角是直角的四边形是矩形.