华师大版 八年级上册 11.1.1平方根 课件(共58张PPT)
文档属性
| 名称 | 华师大版 八年级上册 11.1.1平方根 课件(共58张PPT) |  | |
| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 1.9MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-04-30 09:48:30 | ||
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文档简介
(共58张PPT)
11.1 平方根与立方根
第11章 数的开方
11.1.1 平方根
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
平方根
平方根的性质
算术平方根
算术平方根的估算
知识点
平方根
知1－讲
1
1. 平方根 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.
2. 平方根的表示 若x2=a(a ≥ 0)，则x 叫做a 的平方根，记作± ，其中2 为根指数，通常省略不写，即记作± .a 读作“根号a”，其中a 称为被开方数.
特别解读
平方根的定义中a是非负数，即a ≥ 0.
感悟新知
知1－练
求下列各数的平方根：
(1)121；(2)2 ；(3)(－13)2；(4)0.004 9；(5) －(－4)3.
例 1
解题秘方：先根据平方运算找出平方等于这个数的数，然后根据平方根的定义确定.
感悟新知
知1－练
解：(1)因为(±11)2=121，所以121 的平方根是±11.
(2) 因为 所以2 的平方根是± .
(3)(－13)2=169.
因为(±13)2=169，所以(－13)2 的平方根是±13.
感悟新知
知1－练
(4)因为(±0.07)2=0.004 9，
所以0.004 9 的平方根是±0.07.
(5)－(－4)3=64.
因为(±8)2=64，所以－(－4)3 的平方根是±8.
感悟新知
知1－练
1-1. 下列说法中, 不正确的是( )
A.－11 是121 的一个平方根
B.11 是121 的一个平方根
C.121 的平方根是11
D.121 的平方根是±11
C
感悟新知
知1－练
1-2. 求下列各数的平方根：
(1)1；
(2) ；
解：1的平方根是±1.
感悟新知
知1－练
(3)1；
(4)(－3)2.
(－3)2＝9.
因为(±3)2＝9，所以(－3)2的平方根是±3.
知识点
平方根的性质
知2－讲
感悟新知
2
平方根的性质
(1)正数有两个平方根，它们互为相反数；
(2)0 的平方根是0；
(3)负数没有平方根.
特别解读
判断一个数是否有平方根，要先判断这个数是正数、负数还是0，负数没有平方根.
感悟新知
知2－练
求下列各式中x 的值：
(1)x2=361；(2)81x2－49=0；(3)(3x－1)2=(－5)2.
例2
解题秘方：若x2=a(a ≥ 0)，则x=± . 先把各题化为x2=a 的形式，再求x 的值.
感悟新知
知2－练
解：(1)因为x2=361，所以x=± =±19.
(2)整理81x2－49=0，得x2= ，所以x=
(3)因为(3x－1)2=(－5)2，所以3x－1=±5.
当3x－1=5 时，x=2；当3x－1=－5 时，x=－ .
综上所述，x=2 或x=－ .
感悟新知
知2－练
2-1. 求下列各式中x的值：
(1)9x2－25=0；
感悟新知
知2－练
(2)4(x－2)2－9=0.
感悟新知
知2－练
(1)一个正数的平方根是3a－5 和a－3，则这个正数是多少？
(2)已知2a－1 与－a+2 是m 的平方根，求m 的值.
解题秘方：根据平方根的性质，找出两个平方根之间的关系列方程求值.
例 3
感悟新知
知2－练
解：(1)根据题意，得(3a－5)+(a－3)=0，
解得a=2，所以这个正数为(3a－5)2=(3×2－5)2=1.
正数有两个平方根，它们互为相反数
感悟新知
知2－练
(2)根据题意，分以下两种情况：
当2a－1=－a+2 时，a=1，
所以m=(2a－1)2=(2×1－1)2=1；
当(2a－1)+(－a+2)=0 时，a=－1，
所以m=(2a－1)2=［2×(－1)－1］2=(－3)2=9.
故m 的值为1 或9.
已知a、b是m的平方根，则有a=b 或a+b=0.
感悟新知
知2－练
3-1. 已知一个正数x 的平方根是2a－3 与5－a，则a=_______ ，x=_______.
3-2. 已知2a－1 的平方根是±3，3a+b－1 的平方根是±4， 则a+b的平方根是_________ .
－2
49
知识点
算术平方根
感悟新知
3
1. 定义 正数a 的正的平方根，叫做a 的算术平方根.
规定：0 的算术平方根是0.
表示方法：a 的算术平方根记为 ，读作“根号a”，a 叫做被开方数.
知3－讲
感悟新知
特别解读：(1)算术平方根 具有双重非负性：
①被开方数a 是非负数，即a ≥ 0；
②算术平方根 是非负数，即 ≥ 0.
(2)算术平方根是它本身的数只有0 和1.
算术平方根 平方根
区
别 定义不同 正数a 的正的平方根，叫做a 的算术平方根 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a 的平方根
个数
不同 一个正数的算术平方根只有一个 一个正数的平方根有两个，它们互为相反数
表示方法不同 非负数a 的算术平方根表示为 非负数a 的平方根表示为
取值范围不同 正数的算术平方根一定是正数 正数的平方根是一正一负
知3－讲
感悟新知
3. 平方根与算术平方根的区别与联系
知3－讲
感悟新知
联系 具有包含关系 平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中正的那个(0 除外)
存在条件相同 平方根和算术平方根都只有非负数才有，0 的平方根与算术平方根都是0
知3－讲
感悟新知
特别提醒
1. 任何一个数的平方都是非负数，所以求算术平方根时，被开方数必须是非负数，它的算术平方根也一定是非负数.
2. 平方与开平方是互逆运算，平方的结果叫做幂，而开平方的结果叫做平方根.
知3－讲
感悟新知
3. 两个重要公式：
知3－讲
感悟新知
4. 比较 与 的关系：
式子
项目
区别 运算顺序 先开方再求平方 先求平方再开方
a 的取值范围 a ≥ 0 任意数
联系 当a ≥ 0 时，
感悟新知
知3－练
求下列各数的算术平方根：
(1)64； (2)2 ；(3)0.36；(4)52；(5)(－5)2；
(6)0；(7) ；(8)7；(9)－16.
解题秘方：先根据平方运算找出平方等于这个数的非负数，然后根据算术平方根的定义求出算术平方根.
例4
感悟新知
知3－练
解：(1)因为82=64，
所以64 的算术平方根是8，即 =8.
(2)因为
所以2 的算术平方根是
(3)因为0.62=0.36，
所以0.36 的算术平方根是0.6，即 =0.6.
感悟新知
知3－练
(4)52 的算术平方根是5，即 =5.
(5)因为5 2=(－5)2，
所以(－5)2 的算术平方根是5，即 =5.
(6)0 的算术平方根是0.
感悟新知
知3－练
(7)因为 =9，32=9，
所以9 的算术平方根是3，即 的算术平方根是3.
(8)7 的算术平方根是 .
(9)－16 没有算术平方根.
不要误认为是求81的算术平方根.
感悟新知
知3－练
4-1. 下列说法正确的是( )
A.5 是25 的算术平方根
B.±4 是16 的算术平方根
C.－6 是(－6)2 的算术平方根
D.0.01 是0.1 的算术平方根
感悟新知
知3－练
4-2. 求下列各数的算术平方根：
(1)225；
(2)52；
解：因为152＝225，
所以225的算术平方根是15.
52的算术平方根是5.
感悟新知
知3－练
(3)(－6)2；
(4) .
解：因为(－6)2＝36＝62，
所以(－6)2的算术平方根是6.
感悟新知
知3－练
已知a 的算术平方根是3，b 的算术平方根是4，求a+b 的算术平方根.
解题秘方：根据算术平方根与被开方数的关系求出a、b的值，然后求a+b 的算术平方根.
例 5
感悟新知
知3－练
解：因为a 的算术平方根是3，所以a=32=9.
因为b 的算术平方根是4，所以b=42=16.
所以a+b=9+16=25.
因为52=25，
所以25 的算术平方根是5，即a+b 的算术平方根是5.
感悟新知
知3－练
5-1. 已知 =5， =4，求 的值.
感悟新知
知3－练
求下列各式的值：
解题秘方：首先观察式子的结构特点，弄清式子所表示的意义，即要明确是求算术平方根还是求平方根，然后根据算术平方根或平方根的定义求解.
例6
感悟新知
知3－练
解：(1)± 表示 的平方根.
因为 所以 的平方根是±
(2) 表示0.81 的算术平方根， 表示0.04 的算术平方根.
因为0.92=0.81，0.22=0.04，所以 =0.9， =0.2.
所以 － =0.9－0.2=0.7.
感悟新知
知3－练
(3) 表示412－402 的算术平方根.
因为412－402=81，92=81，
所以 = =9.
要注意被开方数412－402是一个整体，首先要将412－402化简，再求它的算术平方根
感悟新知
知3－练
6-1. 下列语句写成数学式子正确的是( )
A.9 是81 的算术平方根：± =9
B.5 是(－5)2 的算术平方根： =5
C.±6 是36 的平方根： =±6
D.－2 是4 的负的平方根： =－2
B
感悟新知
知3－练
6-2. 求下列各式的值：
知识点
算术平方根
知4－讲
感悟新知
4
1. 求一个正数(非平方数)的算术平方根的近似值，一般采用夹逼法.“夹”就是从两边确定取值范围；“逼”就是一点一点加强限制，使其所处范围越来越小，从而达到理想的精确程度.
知4－讲
感悟新知
2. 大多数计算器都有 键，用它可以求出一个正有理数的算术平方根(或其近似值). 按键顺序：先按 键，再输入被开方数，最后按 键. 计算器上就会显示这个数的算术平方根(或其近似值).
知4－讲
感悟新知
特别解读
1. 求一个正数(非平方数)的算术平方根的近似值，通常有三种方法：
一是用计算器；
二是查平方根表；
三是估算.
2. 计算器里显示的数值中，许多都是近似值.
感悟新知
知4－练
已知a、b为两个连续整数，且a＜ ＜b，则a+b=___ .
解题秘方：找出与7 接近的两个平方数，确定7 的算术平方根的范围.
例 7
5
感悟新知
知4－练
解：因为a、b 为两个连续整数，a<所以a=2，b=3.则a+b=5.
感悟新知
知4－练
技巧点拨：确定 的整数部分、小数部分的方法：
首先确定 的整数部分，根据算术平方根的定义，有m2感悟新知
知4－练
7-1.[中考· 天津] 估计 的值在( )
A. 3 和4 之间
B. 4 和5 之间
C. 5 和6 之间
D. 6 和7 之间
B
感悟新知
知4－练
7-2. 的整数部分是_____ ，小数部分是________ .
3
感悟新知
知4－练
求下列各式的值：
解题秘方：(1)题可用平方法比较大小；(2)题可用作差法比较大小；(3)题可用比较被开方数大小法进行比较.
例8
感悟新知
知4－练
解：(1) =12，42=16.
因为12<16，所以 <4.
(2)
因为3<4，所以 <2.
所以 < 0，即
感悟新知
知4－练
(3)因为 =20，
所以 =3.75.
感悟新知
知4－练
8-1. 比较下列各组数的大小：
感悟新知
知4－练
感悟新知
知4－练
感悟新知
知4－练
已知 ≈2.676， ≈8.462.
(1) ≈________， ≈ ________ ；
(2) ≈ ________ ， ≈ ________ ；
(3)若 ≈26.76，则a 的值约是________ .
解题秘方：利用计算器求出各个算术平方根，对照被开方数和算术平方根寻找小数点移动的规律.
例 9
0.267 6
267.6
0.084 62
84.62
716
感悟新知
知4－练
规律总结：利用计算器探究发现，被开方数的小数点向左(或向右)移动两位，其算术平方根的小数点相应地向左(或向右)移动一位.
感悟新知
知4－练
9-1. 已知 ≈ 1.435,求下列各数的算术平方根：
(1)0.020 6；
(2)206；
(3)20 600.
课堂小结
平方根
平方根
算术平方根
性质
正数有两个互为
相反数的平方根
0的平方根是0
负数没有平方根
11.1 平方根与立方根
第11章 数的开方
11.1.1 平方根
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
平方根
平方根的性质
算术平方根
算术平方根的估算
知识点
平方根
知1－讲
1
1. 平方根 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.
2. 平方根的表示 若x2=a(a ≥ 0)，则x 叫做a 的平方根，记作± ，其中2 为根指数，通常省略不写，即记作± .a 读作“根号a”，其中a 称为被开方数.
特别解读
平方根的定义中a是非负数，即a ≥ 0.
感悟新知
知1－练
求下列各数的平方根：
(1)121；(2)2 ；(3)(－13)2；(4)0.004 9；(5) －(－4)3.
例 1
解题秘方：先根据平方运算找出平方等于这个数的数，然后根据平方根的定义确定.
感悟新知
知1－练
解：(1)因为(±11)2=121，所以121 的平方根是±11.
(2) 因为 所以2 的平方根是± .
(3)(－13)2=169.
因为(±13)2=169，所以(－13)2 的平方根是±13.
感悟新知
知1－练
(4)因为(±0.07)2=0.004 9，
所以0.004 9 的平方根是±0.07.
(5)－(－4)3=64.
因为(±8)2=64，所以－(－4)3 的平方根是±8.
感悟新知
知1－练
1-1. 下列说法中, 不正确的是( )
A.－11 是121 的一个平方根
B.11 是121 的一个平方根
C.121 的平方根是11
D.121 的平方根是±11
C
感悟新知
知1－练
1-2. 求下列各数的平方根：
(1)1；
(2) ；
解：1的平方根是±1.
感悟新知
知1－练
(3)1；
(4)(－3)2.
(－3)2＝9.
因为(±3)2＝9，所以(－3)2的平方根是±3.
知识点
平方根的性质
知2－讲
感悟新知
2
平方根的性质
(1)正数有两个平方根，它们互为相反数；
(2)0 的平方根是0；
(3)负数没有平方根.
特别解读
判断一个数是否有平方根，要先判断这个数是正数、负数还是0，负数没有平方根.
感悟新知
知2－练
求下列各式中x 的值：
(1)x2=361；(2)81x2－49=0；(3)(3x－1)2=(－5)2.
例2
解题秘方：若x2=a(a ≥ 0)，则x=± . 先把各题化为x2=a 的形式，再求x 的值.
感悟新知
知2－练
解：(1)因为x2=361，所以x=± =±19.
(2)整理81x2－49=0，得x2= ，所以x=
(3)因为(3x－1)2=(－5)2，所以3x－1=±5.
当3x－1=5 时，x=2；当3x－1=－5 时，x=－ .
综上所述，x=2 或x=－ .
感悟新知
知2－练
2-1. 求下列各式中x的值：
(1)9x2－25=0；
感悟新知
知2－练
(2)4(x－2)2－9=0.
感悟新知
知2－练
(1)一个正数的平方根是3a－5 和a－3，则这个正数是多少？
(2)已知2a－1 与－a+2 是m 的平方根，求m 的值.
解题秘方：根据平方根的性质，找出两个平方根之间的关系列方程求值.
例 3
感悟新知
知2－练
解：(1)根据题意，得(3a－5)+(a－3)=0，
解得a=2，所以这个正数为(3a－5)2=(3×2－5)2=1.
正数有两个平方根，它们互为相反数
感悟新知
知2－练
(2)根据题意，分以下两种情况：
当2a－1=－a+2 时，a=1，
所以m=(2a－1)2=(2×1－1)2=1；
当(2a－1)+(－a+2)=0 时，a=－1，
所以m=(2a－1)2=［2×(－1)－1］2=(－3)2=9.
故m 的值为1 或9.
已知a、b是m的平方根，则有a=b 或a+b=0.
感悟新知
知2－练
3-1. 已知一个正数x 的平方根是2a－3 与5－a，则a=_______ ，x=_______.
3-2. 已知2a－1 的平方根是±3，3a+b－1 的平方根是±4， 则a+b的平方根是_________ .
－2
49
知识点
算术平方根
感悟新知
3
1. 定义 正数a 的正的平方根，叫做a 的算术平方根.
规定：0 的算术平方根是0.
表示方法：a 的算术平方根记为 ，读作“根号a”，a 叫做被开方数.
知3－讲
感悟新知
特别解读：(1)算术平方根 具有双重非负性：
①被开方数a 是非负数，即a ≥ 0；
②算术平方根 是非负数，即 ≥ 0.
(2)算术平方根是它本身的数只有0 和1.
算术平方根 平方根
区
别 定义不同 正数a 的正的平方根，叫做a 的算术平方根 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a 的平方根
个数
不同 一个正数的算术平方根只有一个 一个正数的平方根有两个，它们互为相反数
表示方法不同 非负数a 的算术平方根表示为 非负数a 的平方根表示为
取值范围不同 正数的算术平方根一定是正数 正数的平方根是一正一负
知3－讲
感悟新知
3. 平方根与算术平方根的区别与联系
知3－讲
感悟新知
联系 具有包含关系 平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中正的那个(0 除外)
存在条件相同 平方根和算术平方根都只有非负数才有，0 的平方根与算术平方根都是0
知3－讲
感悟新知
特别提醒
1. 任何一个数的平方都是非负数，所以求算术平方根时，被开方数必须是非负数，它的算术平方根也一定是非负数.
2. 平方与开平方是互逆运算，平方的结果叫做幂，而开平方的结果叫做平方根.
知3－讲
感悟新知
3. 两个重要公式：
知3－讲
感悟新知
4. 比较 与 的关系：
式子
项目
区别 运算顺序 先开方再求平方 先求平方再开方
a 的取值范围 a ≥ 0 任意数
联系 当a ≥ 0 时，
感悟新知
知3－练
求下列各数的算术平方根：
(1)64； (2)2 ；(3)0.36；(4)52；(5)(－5)2；
(6)0；(7) ；(8)7；(9)－16.
解题秘方：先根据平方运算找出平方等于这个数的非负数，然后根据算术平方根的定义求出算术平方根.
例4
感悟新知
知3－练
解：(1)因为82=64，
所以64 的算术平方根是8，即 =8.
(2)因为
所以2 的算术平方根是
(3)因为0.62=0.36，
所以0.36 的算术平方根是0.6，即 =0.6.
感悟新知
知3－练
(4)52 的算术平方根是5，即 =5.
(5)因为5 2=(－5)2，
所以(－5)2 的算术平方根是5，即 =5.
(6)0 的算术平方根是0.
感悟新知
知3－练
(7)因为 =9，32=9，
所以9 的算术平方根是3，即 的算术平方根是3.
(8)7 的算术平方根是 .
(9)－16 没有算术平方根.
不要误认为是求81的算术平方根.
感悟新知
知3－练
4-1. 下列说法正确的是( )
A.5 是25 的算术平方根
B.±4 是16 的算术平方根
C.－6 是(－6)2 的算术平方根
D.0.01 是0.1 的算术平方根
感悟新知
知3－练
4-2. 求下列各数的算术平方根：
(1)225；
(2)52；
解：因为152＝225，
所以225的算术平方根是15.
52的算术平方根是5.
感悟新知
知3－练
(3)(－6)2；
(4) .
解：因为(－6)2＝36＝62，
所以(－6)2的算术平方根是6.
感悟新知
知3－练
已知a 的算术平方根是3，b 的算术平方根是4，求a+b 的算术平方根.
解题秘方：根据算术平方根与被开方数的关系求出a、b的值，然后求a+b 的算术平方根.
例 5
感悟新知
知3－练
解：因为a 的算术平方根是3，所以a=32=9.
因为b 的算术平方根是4，所以b=42=16.
所以a+b=9+16=25.
因为52=25，
所以25 的算术平方根是5，即a+b 的算术平方根是5.
感悟新知
知3－练
5-1. 已知 =5， =4，求 的值.
感悟新知
知3－练
求下列各式的值：
解题秘方：首先观察式子的结构特点，弄清式子所表示的意义，即要明确是求算术平方根还是求平方根，然后根据算术平方根或平方根的定义求解.
例6
感悟新知
知3－练
解：(1)± 表示 的平方根.
因为 所以 的平方根是±
(2) 表示0.81 的算术平方根， 表示0.04 的算术平方根.
因为0.92=0.81，0.22=0.04，所以 =0.9， =0.2.
所以 － =0.9－0.2=0.7.
感悟新知
知3－练
(3) 表示412－402 的算术平方根.
因为412－402=81，92=81，
所以 = =9.
要注意被开方数412－402是一个整体，首先要将412－402化简，再求它的算术平方根
感悟新知
知3－练
6-1. 下列语句写成数学式子正确的是( )
A.9 是81 的算术平方根：± =9
B.5 是(－5)2 的算术平方根： =5
C.±6 是36 的平方根： =±6
D.－2 是4 的负的平方根： =－2
B
感悟新知
知3－练
6-2. 求下列各式的值：
知识点
算术平方根
知4－讲
感悟新知
4
1. 求一个正数(非平方数)的算术平方根的近似值，一般采用夹逼法.“夹”就是从两边确定取值范围；“逼”就是一点一点加强限制，使其所处范围越来越小，从而达到理想的精确程度.
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2. 大多数计算器都有 键，用它可以求出一个正有理数的算术平方根(或其近似值). 按键顺序：先按 键，再输入被开方数，最后按 键. 计算器上就会显示这个数的算术平方根(或其近似值).
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特别解读
1. 求一个正数(非平方数)的算术平方根的近似值，通常有三种方法：
一是用计算器；
二是查平方根表；
三是估算.
2. 计算器里显示的数值中，许多都是近似值.
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已知a、b为两个连续整数，且a＜ ＜b，则a+b=___ .
解题秘方：找出与7 接近的两个平方数，确定7 的算术平方根的范围.
例 7
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解：因为a、b 为两个连续整数，a<
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技巧点拨：确定 的整数部分、小数部分的方法：
首先确定 的整数部分，根据算术平方根的定义，有m2
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7-1.[中考· 天津] 估计 的值在( )
A. 3 和4 之间
B. 4 和5 之间
C. 5 和6 之间
D. 6 和7 之间
B
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7-2. 的整数部分是_____ ，小数部分是________ .
3
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求下列各式的值：
解题秘方：(1)题可用平方法比较大小；(2)题可用作差法比较大小；(3)题可用比较被开方数大小法进行比较.
例8
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解：(1) =12，42=16.
因为12<16，所以 <4.
(2)
因为3<4，所以 <2.
所以 < 0，即
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(3)因为 =20，
所以 =3.75.
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8-1. 比较下列各组数的大小：
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已知 ≈2.676， ≈8.462.
(1) ≈________， ≈ ________ ；
(2) ≈ ________ ， ≈ ________ ；
(3)若 ≈26.76，则a 的值约是________ .
解题秘方：利用计算器求出各个算术平方根，对照被开方数和算术平方根寻找小数点移动的规律.
例 9
0.267 6
267.6
0.084 62
84.62
716
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规律总结：利用计算器探究发现，被开方数的小数点向左(或向右)移动两位，其算术平方根的小数点相应地向左(或向右)移动一位.
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9-1. 已知 ≈ 1.435,求下列各数的算术平方根：
(1)0.020 6；
(2)206；
(3)20 600.
课堂小结
平方根
平方根
算术平方根
性质
正数有两个互为
相反数的平方根
0的平方根是0
负数没有平方根