华师大版 八年级上册 12.1幂的运算 课件(共38张PPT)

(共38张PPT)
12.1 幂的运算
第12章 整数的乘除
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
同底数幂的乘法
幂的乘方
积的乘方
同底数幂的除法
知识点
同底数幂的乘法
知1－讲
感悟新知
1
1. 同底数幂的乘法法则 同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
即：用字母表示为am·an=am+n(m、n 为正整数).
知1－讲
感悟新知
2. 法则的拓展运用
(1)同底数幂的乘法法则对于三个及三个以上同底数幂相乘同样适用，即：am·an·…·ap=am+n+…+p(m、n、…、p 为正整数).
(2)同底数幂的乘法法则既可正用也可逆用，即：am+n=am·an(m、n 为正整数).
知1－讲
感悟新知
特别解读
1. 运用此法则有两个关键条件：一是底数相同；二是指数相加，两者缺一不可.
2. 指数相加的和作为积中幂的指数，即运算结果仍然是幂的形式.
3. 单个字母或数字可以看成指数为1 的幂，运算时易漏掉.
感悟新知
知1－练
计算：
(1)108×102；(2)x7·x；(3)an+2·an－1；
(4)－x2·(－x)8；(5)(x+3y)3·(x+3y)2·(x+3y)；
(6)(x－y)3·(y－x)4.
例 1
解题秘方：紧扣同底数幂的乘法法则的特征进行计算.
感悟新知
知1－练
解：(1)108×102=108+2=1010.
(2)x7·x=x7+1=x8.
(3)an+2·an－1=an+2+n－1=a2n+1.
(4)－x2·(－x)8=－x2·x8=－x10.
(5)(x+3y)3·(x+3y)2·(x+3y)=(x+3y)3+2+1=(x+3y)6.
(6)(x－y)3·(y－x)4=(x－y)3·(x－y)4=(x－y)7.
感悟新知
知1－练
特别提醒：
1. 当底数是多项式时，应将多项式看成一个整体进行计算.
2. 当底数互为相反数时，先结合指数的奇偶性，化成相同的底数，再按法则计算.
感悟新知
知1－练
1－1. 下列计算正确的是( )
A. y2·y3=y6
B. a3·a3=2a3
C. m5+m5=m10
D. x7·x2=x9
D
感悟新知
知1－练
1－2. 计算：
(1)10× 104×108= ________；
(2)(－ m ) · m ·(－m)2=_________ .
1013
－m4
感悟新知
知1－练
(1)若am=2，an=8，求am+n 的值.
(2)已知2x=3，求2x+3 的值.
解题秘方：逆用同底数幂的乘法法则，即am+n=am·an.
例2
解：因为am=2，an=8，所以am+n=am·an=2×8=16.
(2)因为2x=3，所以2x+3=2x·23=3×8=24.
感悟新知
知1－练
2－1 . 已知a m= 4 ，an=5，则am+n=______ .
20
知识点
幂的乘方
知2－讲
感悟新知
2
1. 幂的乘方法则 幂的乘方，底数不变，指数相乘 .
即：用字母表示为(am)n=amn(m、n 都是正整数).
2. 法则的拓展运用
(1)幂的乘方运算法则的推广：［(am)n］p=amnp(m、n、p都是正整数)；
(2)幂的乘方法则可以逆用，逆用时amn=(am)n=(an)m(m、n 都是正整数).
知2－讲
感悟新知
特别解读
1.“底数不变”是指幂的底数a不变，“指数相乘”是指幂的指数m 与乘方的指数n相乘.
2. 底数可以是一个单项式，也可以是一个多项式.
感悟新知
知2－练
计算：
(1)［(－x)3］4； (2)［(x－2y)3］4；
(3)(－a2)3； (4)x2·x4+(x2)3.
例 3
解题秘方：紧扣幂的乘方法则的特征进行计算.
感悟新知
知2－练
解：(1)［(－x)3］4=(－x)3×4=(－x)12=x12.
(2)［(x－2y)3］4=(x－2y)3×4=(x－2y)12.
(3)(－a2)3=－a2×3=－a6.
(4)x2·x4+(x2)3=x6+x6=2x6.
当出现混合运算时，先算乘方，再算乘法，最后算加法.
感悟新知
知2－练
3－1. 下列式子正确的是( )
A. a2·a2=(2a)2
B.(a3)2=a9
C. a12=(a5)7
D. (a8)2=(a2)8
D
感悟新知
知2－练
已知a2n=3，求a4n－a6n 的值.
例4
解题秘方：此题已知a2n=3，需逆用幂的乘方法则把a4na6n用a2n 表示，再把a2n=3 整体代入求值.
解：a4n－a6n=(a2n)2－(a2n)3=32－33=9－27=－18.
感悟新知
知2－练
方法提醒：逆用幂的乘方法则求式子值的方法：
把指数是积的形式的幂写成幂的乘方，如amn=(am)n=(an)m(m、n 都是正整数)，然后整体代入，求式子的值.
感悟新知
知2－练
4－1. 已知10m=3，10n=2， 求下列各式的值：
(1)103m；
(2)102n；
(3)103m+2n.
解：103m＝(10m)3＝33＝27.
102n＝(10n)2＝22＝4.
103m＋2n＝103m×102n＝27×4＝108.
知识点
积的乘方
知3－讲
感悟新知
3
1. 积的乘方法则
积的乘方，把积的
每一个因式分别乘方，
再把所得的幂相乘.
即：用字母表示为(ab)n=anbn(n 为正整数).
特别提醒
●在进行积的乘方运算时，要把底数中的每一个因式分别乘方，不要漏掉任何一项.
●积的乘方的底数为乘积的形式，若底数为和的形式则不能用，即(a+b)n≠an+bn.
知3－讲
感悟新知
2. 法则的拓展运用
(1)积的乘方法则的推广：(abc)n=anbncn(n 为正整数)；
(2)积的乘方法则可以逆用，逆用时anbn=(ab)n(n 为正整数).
感悟新知
知3－练
计算：
(1)(x·y3)2； (2)(－3×102)3；
(3) (4)(－a2b3)3.
解题秘方：运用积的乘方、幂的乘方的运算法则进行计算.
例 5
感悟新知
知3－练
解：(1)(x·y3)2=x2·(y3)2=x2y6.
(2)(－3×102)3=(－3)3×(102)3=－27×106=－2.7×107.
(4)(－a2b3)3=(－1)3·(a2)3·(b3)3=－a6b9.
5－1. 计算：
(1)(2ab)3；
(2)－ x 4；
(3)(xmyn)2；
(4)(－3×102)4.
感悟新知
知3－练
解：原式＝8a3b3.
原式＝x2my2n.
原式＝8.1×109.
感悟新知
知3－练
计算：
(1)48×0.258 ；(2)
解题秘方：紧扣“两底数互为倒数(或负倒数)，而指数又是相同的”这一特征，逆用积的乘方法则进行计算.
例6
感悟新知
知3－练
解：(1)48×0.258=(4×0.25)8=18=1.
解题秘方：当指数相同的两个或几个幂相乘时，如果底数的积容易求出，利用anbn=(ab)n(n 为正整数)可先把底数相乘再进行乘方运算，从而使运算简便.
6－1. 计算(－1.5)2 021× 的结果是 ( )
感悟新知
知3－练
C
知识点
同底数幂的除法
知4－讲
感悟新知
4
1. 同底数幂的除法法则 同底数幂相除，底数不变，指数相减 .
即：用字母表示为am÷an=am－n(a ≠ 0，m、n 都是正整数，并且m>n).
知4－讲
感悟新知
2. 法则的拓展运用
(1)法则的推广：适用于三个及三个以上的同底数幂相除，即am÷an÷ap=am－n－p(a ≠ 0，m、n、p 都是正整数，并且m>n+p)；
(2)同底数幂的除法法则也可以逆用， 逆用时am－n=
am÷an(a ≠ 0，m、n 都是正整数，并且m>n).
知4－讲
感悟新知
特别解读
1. 运用此法则要注意两点：一是底数相同，二是指数相减.
2. 底数a 可以是单项式，也可以是多项式，但底数a 不能为0.
感悟新知
知4－练
计算：
(1)(－x)8÷(－x)4；(2)(x－y)7÷(y－x)5.
解题秘方：同底数幂相除，底数不变，指数相减.
例 7
解：(1)(－x)8÷(－x)4=(－x)8－4=(－x)4=x4.
(2)(x－y)7÷(y－x)5=(x－y)7÷［－(x－y)5］
=－(x－y)7－5=－(x－y)2.
7－1.[中考· 玉林] 下列计算结果为a6 的是( )
A. a7－a
B. a2·a3
C. a8÷a2
D.(a4)2
感悟新知
知4－练
C
7－2. 计算：
(1)(－a)6÷(－a)2；
(2) x13÷x2÷x5；
(3)(x－y)5÷(y－x)2.
感悟新知
知4－练
解：原式＝(－a)4＝a4.
原式＝x6.
原式＝(x－y)5÷(x－y)2＝(x－y)3.
感悟新知
知4－练
已知xm=9，xn=27，求x3m－2n 的值.
解题秘方：逆用同底数幂的除法法则，即
am－n=am÷an(a ≠ 0，m、n 都是正整数，并且m>n)，进行变形求值.
解：x3m－2n=x3m÷x2n
=(xm)3÷(xn)2=93÷272=1.
例8
93÷272=(32)3÷(33)2=36÷36=1.
感悟新知
知4－练
方法点拨：逆向运用同底数幂的乘除法法则求值的方法：
当幂的指数是含有字母的加法时，通常转化为同底数幂的乘法；当幂的指数是含有字母的减法时，通常转化为同底数幂的除法，然后逆用法则并整体代入求值.
8-1. 若ax=5，ay=3，则ax－y= _____.
8-2. 已知2 x= 3 ，4y=5， 求23x－4y 的值.
感悟新知
知4－练
课堂小结
幂的运算
幂的运算
同底数幂的乘除法
幂的乘方
积的乘方
关键点
底数与指数的变化