华师大版 八年级上册 12.3乘法公式 课件(共32张PPT)

(共32张PPT)
12.3 乘法公式
第12章 整数的乘除
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
两数和乘以这两数的差
两数和(差)的平方公式
知识点
两数和乘以这两数的差
知1－讲
感悟新知
1
1. 平方差公式 两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差，这个公式叫做两数和与这两数差的乘法公式，有时也简称为平方差公式.
即：用字母表示为(a+b)(a－b)=a2－b2.
知1－讲
感悟新知
特别解读
公式的特征：
1. 等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
2. 等号右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方减去相反项的平方；
3. 理解字母a、b的意义，平方差公式中的a、b既可代表一个单项式，也可代表一个多项式.
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2. 平方差公式的几种常见变化及应用
变化形式 应用举例
位置变化 (b+a)(－b+a)=(a+b)(a－b)=a2－b2
符号变化 (－a－b)(a－b)=(－b－a)(－b+a)=(－b)2－a2=b2－a2
系数变化 (3a+2b)(3a－2b)=(3a)2－(2b)2 =9a2－4b2
指数变化 (a3+b2)(a3－b2)=(a3)2－(b2)2 =a6－b4
增项变化 (a－b+c)(a－b－c)=(a－b)2－c2
连用公式 (a+b)(a－b)(a2+b2)=(a2－b2)(a2+b2)=a4－b4
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知1－练
计算：
(1)(5m－3n)(5m+3n)；(2)(－2a2+5b)(－2a2－5b)；
(3) (4)(－3y－4x)(3y－4x).
例 1
解题秘方：先确定公式中的“a”和“b”，然后根据平方差公式(a+b)(a－b)=a2－b2 进行计算.
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解法提醒：运用平方差公式计算的三个关键步骤：
第1 步，利用加法的交换律调整两个二项式中项的位置，使之与公式左边相对应，已对应的就不需调整，如(1)(2)不需调整，(3)(4)就必须调整.
第2步，找准公式中的a、b 分别代表哪个单项式或多项式.
第3 步，套用公式计算，注意将底数带上括号. 如(1)中(5m)2不能写成5m2.
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解：(1)(5m－3n)(5m+3n)=(5m)2－(3n)2=25m2－9n2.
(2)(－2a2+5b)(－2a2－5b)=(－2a2)2－(5b)2=4a4－25b2.
(4)(－3y－4x)(3y－4x)=(－4x－3y)( －4x+3y)=(－4x)2－(3y)2=16x2－9y2.
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1－1. 若(2－x)(2+x)·(4+x2)=16－xn， 则n的值等于( )
A. 6 B. 4 C. 3 D. 2
1－2. 若(2x+3y)(mx－ny)=9y2－4x2， 则( )
A. m=2， n=3 B. m=－2， n=－3
C. m=2， n=－3 D. m=－2， n=3
B
B
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1－3. 计算：
(1)(2－3b)(2a+3b)；
(2)(－2a－1)(－1+2a)；
(4)(1+a)(1－a)+a(a－2).
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解：(1)原式＝(2a)2－(3b)2＝4a2－9b2.
(2)原式＝(－1－2a)(－1＋2a)＝(－1)2－(2a)2＝1－4a2.
(4)原式＝1－a2＋a2－2a＝1－2a.
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计算：
(1)10.3×9.7；(2)2 022×2 024－2 0232.
解题秘方：找出平方差公式的模型，利用平方差公式进行计算.
例2
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解：(1)10.3×9.7
=(10+0.3)×(10－0.3)
=102－0.32
=100－0.09
=99.91.
10.3与9.7的平均数为10.
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(2)2 022×2 024－2 0232
=(2 023－1)×(2 023+1) －2 0232
=2 0232－1－2 0232
=－1.
2022与2024的平均数为2023.
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2－1. 运用平方差公式进行简便计算：
(1)9.8×10.2；
(2)1 007×993；
(3)129×127－1282.
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解：(1)原式＝(10－0.2)×(10＋0.2)＝102－0.22＝100－0.04＝99.96.
(2)原式＝(1 000＋7)×(1 000－7)＝1 0002－72＝1 000 000－49＝999 951.
(3)原式＝(128＋1)×(128－1)－1282＝1282－12－1282＝－1.
知识点
两数和(差)的平方公式
知2－讲
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2
1. 两数和(差)的平方公式(也称完全平方公式) 两数和(差)的平方，等于这两数的平方和加上(减去)它们的积的2 倍.
即： 用字母表示为(a+b)2=a2+2ab+b2，(a－b)2=
a2－2ab+b2.
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2. 两数和(差)的平方公式的几种常见变形公式
(1)a2+b2=(a+b)2－2ab=(a－b)2+2ab；
(2)(a+b)2=(a－b)2 +4ab；
(3)(a－b)2=(a+b)2－4ab；
(4)(a+b)2+(a－b)2=2(a2+b2)；
(5)(a+b)2 － (a－b)2 =4ab；
知2－讲
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(6)ab= ［(a+b)2－(a2+b2)］= ［(a+b)2－(a－b)2］；
(7)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
(8)a2+b2+c2+ab+ac+bc= ［(a+b)2+(b+c)2+(a+c)2 ］
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特别解读
1. 弄清公式的特征：公式的左边是一个二项式的平方，公式的右边是一个三项式，包括左边二项式的各项的平方和，另一项是这两项的乘积的2 倍.
2. 理解字母a、b 的意义：公式中的字母a、b 可以表示具体的数，也可以表示含字母的单项式或多项式.
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计算：
(1)(x+7y)2； (2)(－4a+5b)2；
(3)(－2m－n)2； (4)(2x+3y)(－2x－3y).
例 3
解题秘方：确定公式中的“a”和“b”，利用完全平方公式进行计算.
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解：(1)(x+7y)2
=x2+2·x·7y+(7y)2
=x2+14xy+49y2.
(2)(－4a+5b)2
=(5b－4a)2
=(5b)2－2·5b·4a+(4a)2
=25b2－40ab+16a2.
括号不能漏掉.
不能漏掉“2ab”项，且符号
与完全平方中的符号一致.
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(3)(－2m－n)2
=(2m+n)2
=(2m)2+2·2m·n+n2
=4m2+4mn+n2.
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(4)(2x+3y)(－2x－3y)
=－(2x+3y)2
=－［(2x)2+2·2x·3y+(3y)2］
=－(4x2+12xy+9y2)=－4x2－12xy－9y2.
两个二项式相乘，若有一项相同，另一项相反，则用平方差公式计算；若两项都相同或都相反，则用完全平方公式计算.
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3-1.[中考·怀化] 下列计算正确的是( )
A.(x+y)2=x2+y2
B.(x－y)2=x2－2xy－y2
C.(x+1)(x－1)=x2－1
D. (x－1)2=x2－1
C
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3-2. 计算：
(1)(2y－1)2；
(2)(3a+2b)2；
(3) (－x+2y)2；
(4)(－2xy－1)2.
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知2－练
解：(1)原式＝(2y)2－2·2y·1＋12＝4y2－4y＋1.
(2)原式＝(3a)2＋2·3a·2b＋(2b)2＝9a2＋12ab＋4b2.
(3)原式＝(－x)2＋2·(－x)·2y＋(2y)2＝x2－4xy＋4y2.
(4)原式＝(2xy＋1)2＝(2xy)2＋2·2xy·1＋12＝
4x2y2＋4xy＋1.
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计算：(1)9992；(2)
例4
解题秘方：将原数转化成符合完全平方公式的形式，再利用完全平方公式展开计算即可.
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解：(1)9992=(1 000－1)2=1 0002－2×1 000×1+12=
1 000 000－2 000+1=998 001.
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4-1. 运用完全平方公式进行简便计算：
(1)1022；
(2)99.82；
(3)
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知2－练
解：(1)原式＝(100＋2)2＝10 000＋400＋4＝10 404.
(2)原式＝(100－0.2)2＝10 000－40＋0.04＝9 960.04.
课堂小结
乘法公式
乘法
公式
平方差公式
两数和(差)
的平方公式