华师大版 八年级上册 12.5因式分解 课件(共57张PPT)

(共57张PPT)
12.5 因式分解
第12章 整数的乘除
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
因式分解
公因式
提公因式法
用平方差公式分解因式
用完全平方公式分解因式
知识点
因式分解
知1－讲
感悟新知
1
1. 定义 把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
2. 整式乘法与因式分解的关系
(1)整式乘法与因式分解一个是积化和差，另一个是和差化积，是互逆的变形. 即：多项式 整式乘积.
(2)可以利用整式乘法检验因式分解的结果的正确性.
知1－讲
感悟新知
特别解读
1. 因式分解的对象是多项式，结果是整式的积.
2. 因式分解是恒等变形，形式改变但值不改变.
3. 因式分解必须分解到每个因式不能再分解为止.
感悟新知
知1－练
下列变形中属于因式分解的有( )
① 8xy3=2xy·4y2；② x2+1=x ；
③(x+5)(x－5)=x2－25；④ x2+2x－3=x(x+2)－3；
⑤ x2y+xy2=xy(x+y).
A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个
例 1
解题秘方：紧扣因式分解的定义进行识别.
感悟新知
知1－练
解：因为①中等号的左边不是多项式，所以①不是因式分解；因为②中 不是整式，所以x2+1=
不是因式分解；
③是整式的乘法，不是因式分解；
因为④中等号右边不是积的形式，所以④不是因式分解；
⑤符合因式分解的定义，是因式分解.
答案：D
感悟新知
知1－练
C
1－1.[中考· 盘锦]下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( )
A. x2+2x－1=x(x+2) －1
B.(a+b)(a－b)=a2－b2
C. x2+4x+4=(x+2)2
D. ax2－a=a(x2－1)
感悟新知
知1－练
[中考·毕节] 下列因式分解正确的是( )
A.x3y－2x2y+xy=xy(x2－2x)
B. x2－x+ =
C. x2－2x+4=(x－2)2
D. 4x2－y2=(4x+y)(4x－y)
解题秘方：根据因式分解与整式乘法之间的关系进行判断.
例2
感悟新知
知1－练
解：利用整式的乘法法则将各选项中等式的右边展开，与等式的左边相比较，左右两边相同的只有选项B.
答案：B
感悟新知
知1－练
D
2－1. 下列从左到右因式分解正确的是( )
A. x3+x2+x=x(x2+x)
B. －5t3+10t2－15t=5t·(t2+2t－3)
C. 4p3－6p2=2p(2p2－3p)=2p3
D. (x－y)2－ (y－x)=(y－x)(y－x－1)
感悟新知
知1－练
仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知把x2－4x+m 分解因式后有一个因式是x+3，
求其另一个因式及m 的值.
解：设另一个因式为x+n，则x2－4x+m=(x+3)(x+n)，
即x2－4x+m=x2+(n+3)x+3n.
所以 解得
所以另一个因式为x－7，m 的值为－21.
例 3
感悟新知
知1－练
问题：
(1)若x2－5x+6 可分解为(x－2)(x+a)，a=_______ ；
(2)若2x2+bx－5 可分解为(2x－1)(x+5)，b=______ ；
(3)仿照以上方法解答下面的问题：已知把2x2+5x－k分解因式后有一个因式为2x－3，求其另一个因式及k 的值.
解题秘方：利用因式分解与整式乘法是互逆变形，可以将因式分解的结果利用整式乘法算出多项式，并与已知多项式比较解决问题.
－3
9
感悟新知
知1－练
(3)设另一个因式为x+q，则2x2+5x－k=(2x－3)(x+q)，即2x2+5x－k=2x2+(2q－3)x－3q，
所以另一个因式为x+4，k 的值为12.
展开后对应项的系数相等.
感悟新知
知1－练
B
3－1.[中考·滨州] 把多项式x2+ax+b 分解因式，得(x+1)(x－3)，则a、b 的值分别是( )
A. a=2， b=3
B. a=－2， b=－3
C. a=－2， b=3
D. a=2， b=－3
3－2. 若将多项式x2+3x+a 分解为(x+1)·(x+2)，则a的值为( )
A. 2 B. 3 C. －3 D. －2
感悟新知
知1－练
A
知识点
公因式
知2－讲
感悟新知
2
1. 定义 多项式ma+mb+mc 中的每一项都含有一个相同的因式m，我们称之为公因式.
2. 公因式的确定
(1)确定公因式的系数：若多项式中各项系数都是整数，则取各项系数的最大公因数．
知2－讲
感悟新知
(2)确定字母及字母的指数：取各项都含有的相同字母作为公因式中的字母，各相同字母的指数取其中指数最低的.
(3)若多项式各项中含有相同的多项式因式，则应将其看成一个整体，不要拆开，作为公因式中的因式. 如3x(x－y)+x2(x－y)的公因式是x(x－y).
知2－讲
感悟新知
特别解读
1. 公因式必须是多项式中每一项都含有的因式.
2. 公因式可以是数，也可以是单项式或多项式.
3. 若多项式各项中含有互为相反数的因式，则可将互为相反数的因式统一成相同的因式.
感悟新知
知2－练
指出下列多项式各项的公因式：
(1)3a2y－3ay+6y；
(2)4xy3－8x3y2；
(3)a(x－y)3+b(x－y)2+(x－y)3；
(4)36a3b2－27a2b3+9a2b.
例4
解题秘方：紧扣公因式的定义求解.
感悟新知
知2－练
解：(1)中各项的公因式为3y.
(2)中各项的公因式为4xy2.
(3)中各项的公因式为(x－y)2.
(4)中各项的公因式为9a2b.
感悟新知
知2－练
B
4－1. 下列各组式子中没有公因式的是( )
A. 4a2bc 与8abc2
B.a3b2+1 与a2b3－1
C. b(a－2b)2 与a·(2b－a)2
D. x+1 与x2－1
知识点
提公因式法
知3－讲
感悟新知
3
1. 定义 把公因式提出来，多项式ma+mb+mc 就可以分解成两个因式m 和(a+b+c)的乘积了，像这种因式分解的方法，叫做提公因式法.
即：用字母表示为ma+mb+mc=m(a+b+c).
知3－讲
感悟新知
2. 提公因式法的一般步骤
(1)找出公因式，就是找出各项都含有的公共因式；
(2)确定另一个因式，另一个因式即多项式除以公因式所得的商；
(3)写成积的形式.
知3－讲
感悟新知
特别解读
1. 提公因式法实质上是逆用乘法的分配律.
2. 提公因式法就是把一个多项式分解成两个因式的积的形式，其中的一个因式是各项的公因式，另一个因式是多项式除以这个公因式所得的商.
感悟新知
知3－练
把下列多项式分解因式：
(1)6x3y2－8xy3z； (2)－4a3b2+12a2b－4ab.
解题秘方：紧扣提公因式法的步骤分解因式.
例 5
感悟新知
知3－练
解法提醒：1. 当多项式首项系数是负数时，一般应先提出“－”号，但要注意，此时括号内各项都要改变符号.
2. 4ab 与公因式相同，提取公因式后，此项为“1”，此时容易漏掉“1”这一项而导致错误．
感悟新知
知3－练
解：(1)6x3y2－8xy3z=2xy2·3x2－2xy2·4yz=2xy2(3x2－4yz).
(2)－4a3b2+12a2b－4ab
=－(4a3b2－12a2b+4ab)
=－(4ab·a2b－4ab·3a+4ab)
=－4ab(a2b－3a+1).
感悟新知
知3－练
B
5－1. 下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是( )
A. x2－y B. x2－2x C. x2+y2 D. x2－xy+y2
5－2. 把下列多项式分解因式：
(1)4x2－2x；
(2) －8x2y2－4x2y+2xy.
解：原式＝2x(2x－1)．
原式＝－2xy(4xy＋2x－1)．
知识点
用平方差公式分解因式
知4－讲
感悟新知
4
1. 平方差公式 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.
即：a2－b2=(a+b)(a－b).
知4－讲
感悟新知
2. 平方差公式的特点
(1)等号的左边是一个二项式，各项都是平方的形式且符号相反；
(2)等号的右边是两个二项式的积，其中一个二项式是两个数的和，另一个二项式是这两个数的差.
知4－讲
感悟新知
3. 运用平方差公式分解因式的步骤
一判：根据平方差公式的特点，判断是否为平方差，若负平方项在前面，利用加法的交换律把负平方项交换放在后面；
二定：确定公式中的a 和b，除a 和b 是单独一个数或字母外，其余不管是单项式还是多项式都必须用括号括起来，表示一个整体；
三套：套用平方差公式进行分解；
四整理：将每个因式去括号，合并同类项化成最简的.
知4－讲
感悟新知
特别解读
1. 因式分解中的平方差公式是乘法公式中的平方差公式逆用的形式.
2. 乘法公式中的平方差指的是符合两数和与两数差的积的条件后，结果写成平方差；而因式分解中的平方差公式指的是能写成平方差形式的多项式，可以分解成两个数的和乘以这两个数的差.
感悟新知
知4－练
把下列多项式分解因式：
(1)4x2－25y2； (2)(a+2)2－1；
(3) (4)16(a－b)2－25(a+b)2.
解题秘方：先确定平方差公式中的“a”和“b”，再运用平方差公式分解因式.
例6
感悟新知
知4－练
解：(1)4x2－25y2=(2x)2－(5y)2=(2x+5y)(2x－5y).
(2)(a+2)2－1=(a+2+1)(a+2－1)=(a+3)(a+1).
提醒：继续运用平方差公式分解.
感悟新知
知4－练
(4)16(a－b)2－25(a+b)2
=［4(a－b)+5(a+b)］［4(a－b)－5(a+b)］
=(4a－4b+5a+5b)(4a－4b－5a－5b)
=(9a+b)(－a－9b)
=－(9a+b)(a+9b).
感悟新知
知4－练
6－1. 把下列多项式分解因式：
(1)a2b2－16；
(2)100x2－9y2；
(3)a4－1；
(4)49x2－(5x－2)2.
感悟新知
知4－练
解：(1)原式＝(ab＋4)(ab－4)．
(2)原式＝(10x＋3y)(10x－3y)．
(3)原式＝(a2＋1)(a2－1)＝(a2＋1)(a＋1)·(a－1)．
(4)原式＝[7x＋(5x－2)][7x－(5x－2)]＝
(12x－2)(2x＋2)＝4(6x－1)(x＋1)．
知识点
用完全平方公式分解因式
知5－讲
感悟新知
5
1. 完全平方式 形如a2±2ab+b2 这样的式子叫做完全平方式.
完全平方式的条件：(1)多项式是二次三项式；
(2) 首末两项是两个数(或式子)的平方且符号相同，中间项是这两个数(或式子)的积的2 倍，符号可以是“+”，也可以是“－”.
知5－讲
感悟新知
2. 完全平方公式 两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2 倍，等于这两个数的和(或差)的平方.
即：a2±2ab+b2=(a±b)2.
3. 完全平方公式的特点 等号左边是一个完全平方式，右边是这两个数的和(或差)的平方.
知5－讲
感悟新知
4. 因式分解的一般步骤
(1)当多项式有公因式时，先提取公因式，当多项式没有公因式时(或提取公因式后)，若符合平方差公式或完全平方公式，就利用公式法分解因式；
知5－讲
感悟新知
(2)当不能直接提取公因式或不能用公式法分解因式时，可根据多项式的特点，把其变形为能提取公因式或能用公式法的形式，再分解因式；
(3)当乘积中每一个因式都不能再分解时，因式分解就结束了.
知5－讲
感悟新知
特别解读
1. 因式分解中的完全平方公式是整式乘法中的两数和(差)的平方公式的逆用.
2. 结果是和的平方还是差的平方由乘积项的符号确定，乘积项的符号可以是“+”，也可以是“－”，但两个平方项的符号必须相同，否则就不是完全平方式，不能用完全平方公式进行因式分解.
3. 用完全平方公式分解因式时，若多项式各项有公因式，要先提取公因式，再用完全平方公式分解因式.
感悟新知
知5－练
已知9a2+ka+16 是一个完全平方式， 则k 的值
是________ .
解题秘方：根据平方项确定乘积项，进而确定字母的值.
例 7
感悟新知
知5－练
解：因为9a2=(3a)2，16=42，9a2+ka+16 是一个完全平方式，
所以ka=±2×3a×4=±24a.
所以k=±24.
答案：±24
有和的完全平方式和差的完全平方式两种形式.
感悟新知
知5－练
D
7－1. 已知a2+ma+ 是一个完全平方式，则m 的值等于( )
感悟新知
知5－练
把下列多项式分解因式：
(1)x2－14x+49； (2)－6ab－9a2－b2；
(3) (4)(x2+6x)2+18(x2+6x)+81.
解题秘方：先确定完全平方公式中的“a”和“b”，再运用完全平方公式分解因式.
例8
感悟新知
知5－练
解：(1)x2－14x+49=x2－2·x·7+72 =(x－7)2.
(2)－6ab－9a2－b2=－(9a2+6ab+b2)=－［(3a)2+2·3a·b+b2］=－(3a+b)2.
感悟新知
知5－练
(4)(x2+6x)2+18(x2+6x)+81
=(x2+6x)2+2·(x2+6x)·9+92
=(x2+6x+9)2
=(x+3)4.
完全平方公式可以连续使用，因式分解的结果要彻底.
8－1. 因式分解4x2+4x+1，结果正确的是( )
A. 4x(x+1)+1
B.(4x+1)2
C.(2x+1)2
D.(2x－1)2
感悟新知
知5－练
C
感悟新知
知5－练
8－2. 把下列多项式分解因式：
(1) 4x2+y2－4xy；
(2) 9－12a+4a2；
(3)(m+n)2－6(m+n)+9.
感悟新知
知5－练
解：(1)原式＝4x2－4xy＋y2＝(2x－y)2.
(2)原式＝4a2－12a＋9＝(2a－3)2.
(3)原式＝[(m＋n)－3]2＝(m＋n－3)2.
感悟新知
知5－练
把下列多项式分解因式：
(1)－3a3b+48ab3； (2)x4－8x2+16；
(3)25x2(a－b)+36y2(b－a).
解题秘方：先观察是否有公因式，若有，先提取公因式，然后通过观察项数确定能用哪个公式分解因式.
例 9
感悟新知
知5－练
方法点拨：“一提、二套、三查”是分解因式的步骤：
即有公因式的先提取公因式，然后套用公式，若多项式是两项，则考虑用平方差公式；若多项式是三项，则考虑用完全平方公式，最后检查乘积中每一个多项式的因式是否分解彻底.
感悟新知
知5－练
解：(1)－3a3b+48ab3=－3ab(a2－16b2)=－3ab(a+4b)·(a－4b)；
(2)x4－8x2+16=(x2－4)2=[(x+2)(x－2)]2=(x+2)2(x－2)2；
(3)25x2(a－b)+36y2(b－a)
=25x2(a－b)－36y2(a－b)
=(a－b)(25x2－36y2)
=(a－b)(5x+6y)(5x－6y).
感悟新知
知5－练
C
9-1.[中考· 聊城] 把8a3－8a2+2a 进行因式分解，结果正确的是( )
A.2a(4a2－4a+1)
B.8a2(a－1)
C. 2a(2a－1)2
D.2a(2a+1)2
感悟新知
知5－练
9-2. 把下列多项式分解因式：
(1)[中考·绵阳] m2n+2mn2+n3=_____________ ；
(2)2x3y－8x2y +8xy=_____________ .
n(m＋n)2
2xy(x－2)2
课堂小结
因式分解
因式分解
概念
整式
乘法
提公因式法
公式法
互逆变形
检验