华师大版 八年级上册 13.3.1等腰三角形的性质 课件(共39张PPT)

(共39张PPT)
13.3 等腰三角形
第13章 全等三角形
13.3.1 等腰三角形的性质
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
等腰三角形的定义
等腰三角形的性质
等边三角形的定义及性质
知识点
等腰三角形的定义
知1－讲
感悟新知
1
1. 定义 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
几何语言：如图13.3-1，在△ ABC 中，
∵ AB=AC，∴△ ABC 为等腰三角形.
知1－讲
感悟新知
2. 相关概念 等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.
知1－讲
感悟新知
特别解读
1. 确定等腰三角形的两条腰时，应找三角形中相等的两边，腰与三角形本身的位置无关.
2. 等腰三角形的顶角可以是锐角、直角或钝角，但底角只能是锐角.
感悟新知
知1－练
若某个等腰三角形的两边长分别为4 和6，求这个
等腰三角形的周长.
例 1
解题秘方：根据等腰三角形的定义确定腰和底边的长，再利用三角形三边关系进行判断并计算.
感悟新知
知1－练
解：∵等腰三角形的底边长和腰长不确定，
∴需分两种情况讨论.
第一种情况：当4 为腰长时，该等腰三角形的三边长分别为4、4、6，
∵ 4+4>6，满足三角形的三边关系， ∴周长=4+4+6=14；
感悟新知
知1－练
第二种情况：当 6 为腰长时，该等腰三角形的三边长分别为4、6、6，
∵ 4+6>6，满足三角形的三边关系，
∴周长=6+6+4=16.
综上可知，这个等腰三角形的周长为14 或16.
感悟新知
知1－练
特别提醒：等腰三角形的边分腰和底边，若没有说明，则必须分类讨论，同时注意三角形的三边关系.
感悟新知
知1－练
1-1. 已知等腰三角形的一边长为5，周长为20，则该等腰三角形的腰长为 _________.
1-2. 已知三角形的三边长a、b、c 满足(a－b)·(b－c )(a－c ) =0， 则三角形的形状是______________ .
7.5
等腰三角形
知识点
等腰三角形的性质
知2－讲
感悟新知
2
1.性质1 等腰三角形的两底角相等.(简写成“等边对等角”)
几何语言：如图13.3-2，在△ ABC 中，
∵ AB=AC，∴∠ B= ∠ C.
特别提醒
●适用条件：必须在同一个三角形中.
●“等边对等角”是证明角相等的常用方法，应用它证角相等时可省去三角形全等的证明，因而更简便.
知2－讲
感悟新知
2. 性质2 等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线互相重合.(简称“三线合一”)
特别解读
●适用条件：
1.必须是等腰三角形；
2.必须是底边上的中线、底边上的高和顶角的平分线才互相重合.
●作用：是证明线段相等、角相等、线段垂直的重要依据.
知2－讲
感悟新知
几何语言：如图13.3-2，在△ ABC 中，
(1)∵ AB=AC，AD ⊥ BC 于D，
∴ AD 平分∠ BAC(或BD=CD)；
(2)∵ AB=AC，BD=DC，
∴ AD ⊥ BC(或AD 平分∠ BAC)；
(3)∵ AB=AC，AD 平分∠ BAC，
∴ BD=DC(或AD ⊥ BC)．
知2－讲
感悟新知
3. 对称性 等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(或底边上的高、底边上的中线)所在的直线是它的对称轴．
感悟新知
知2－练
如图13.3-3，在△ ABC 中，AB=AC，AD 平分∠BAC.
(1)求∠ ADB 的度数；
(2)若∠ BAC=100°，求∠ B、
∠ C 的度数；
(3)若BC=3 cm，求BD 的长.
例2
解题秘方：紧扣等腰三角形的性质进行解答.
感悟新知
知2－练
解：(1)∵ AB=AC，AD 平分∠ BAC，
∴ AD ⊥ BC. ∴∠ ADB=90°.
(2)在△ ABC 中，
∵ AB=AC，∠ BAC=100°，
∴∠ B= ∠ C= ×(180°－100°) =40°.
感悟新知
知2－练
(3)∵ AB=AC，AD 平分∠ BAC，
∴ AD 是BC 边上的中线.
∴ BD= BC= ×3=1.5(cm).
感悟新知
知2－练
2-1.[中考·泰安] 如图，在△ PAB 中，PA=PB，M、N、K 分别是PA，PB、AB 上的点， 且AM=BK，BN=AK. 若∠ MKN=44 °， 则∠ P的度数为( )
A. 44°
B. 66°
C. 88°
D. 92°
D
感悟新知
知2－练
如图13.3-4，已知AB=AC，AD=AE. 求证：BD=CE.
解题秘方：证明线段相等，可证明所在的三角形全等；条件中出现两个等腰三角形，也可利用等腰三角形的性质证明.
例 3
感悟新知
知2－练
证明：方法一 ∵ AB=AC ，AD=AE，
∴∠ B= ∠ C，∠ ADE= ∠ AED. ∴∠ BAD= ∠ CAE.
在△ ABD 和△ ACE 中，
∴△ ABD ≌△ ACE(A.S.A.). ∴ BD=CE.
感悟新知
知2－练
方法二 如图13.3-4，过点A 作AF ⊥ DE，垂足为F.
∵ AD=AE，∴ DF=EF. 又∵ AB=AC，∴ BF=CF.
∴ BF－DF=CF－EF，即BD=CE.
感悟新知
知2－练
3-1.[中考· 黄石]如图， 在△ ABC 中，∠ BAC=90°，E 为边BC上的点， 且AB=AE，D为线段 BE 的中点，过点E 作EF ⊥ AE， 过点A作AF ∥ BC，且AF、EF相交于点F. 求证：
感悟新知
知2－练
(1)∠ C= ∠ BAD.
证明：∵AB＝AE，∴△ABE是等腰三角形．
又∵ D为线段BE的中点，∴AD⊥BC.
∴∠C＋∠DAC＝90°.
又∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＋∠DAC＝90°.
∴∠C＝∠BAD.
感悟新知
知2－练
(2)AC=EF.
证明：∵AF∥BC，∴∠EAF＝∠AEB.
∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB.
∴∠EAF＝∠ABC.
又∵∠BAC＝∠AEF＝90°，AB＝AE，
∴△BAC≌△AEF(A.S.A.)．∴AC＝EF.
知识点
等边三角形的定义及性质
知3－讲
感悟新知
3
1. 定义 三条边都相等的三角形是等边三角形.
2. 性质 (1)等边三角形的三条边都相等.
(2)等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都等于60°.
(3)等边三角形是轴对称图形，它有3 条对称轴，分别为三边的垂直平分线.
(4)各边上的高、中线、对应的角平分线重合，且长度相等.
知3－讲
感悟新知
特别解读
等边三角形是特殊的等腰三角形，具备等腰三角形的所有性质：
任意两边都可以作为腰；
任意一个角都可以作为顶角；
任意一边上的高、中线及顶角的平分线都互相重合.
感悟新知
知3－练
如图13.3-5，△ ABC 是等边三角形，D、E、F 分
别是三边AB、AC、BC 上的点， 且DE ⊥ AC，EF ⊥ BC，DF ⊥ AB，请计算△ DEF 各个内角的度数.
解题秘方：紧扣等边三角形的三个内角都等于60°求解.
例4
感悟新知
知3－练
解：∵△ ABC 是等边三角形，
∴∠ A= ∠ B= ∠ C=60° .
∵ DE ⊥ AC，EF ⊥ BC，DF ⊥ AB，
∴∠ AED= ∠ EFC= ∠ FDB=90°.
∴∠ ADE=90°－∠ A=90°－60°=30°.
∴∠ EDF=180°－30°－90°=60°，
同理可得∠ DEF= ∠ EFD=60°，
∴△ DEF 各个内角的度数都是60°.
感悟新知
知3－练
4-1. 如图，一张等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α + ∠β 的度数是( )
A.180°
B.220°
C.240°
D.300°
C
感悟新知
知3－练
如图13.3-6，等边三角形ABC 的边长为3，D 是AC的中点，点E 在BC 的延长线上. 若DE=DB，求CE 的长.
解题秘方：紧扣一元二次方程根的定义进行判断.
例 5
感悟新知
知3－练
解: ∵△ ABC 是等边三角形，D 是AC的中点，
∴∠ ABC= ∠ ACB=60°，∠ DBE= ∠ABC=30°.
∵ DE=DB，∴∠ E= ∠ DBE=30°.
∵∠ ACB= ∠ CDE+ ∠ E，
∴∠ CDE= ∠ ACB－∠ E=30°.
∴∠ CDE= ∠ E.
感悟新知
知3－练
如图13.3-6，过点C 作CF ⊥ DE 于点F，
易证△ CDF ≌△ CEF，
∴ CD=CE.
∵等边三角形ABC 的边长为3，
∴ CE=CD= AC= .
感悟新知
知3－练
5-1. 如图，△ ABC 为等边三角形，AD ⊥ BC，AE=AD，则∠ ADE=_______°.
75
感悟新知
知3－练
如图13.3-7，已知△ ABC 为等边三角形，点D、E
分别在BC、AC 边上，且 AE=CD，AD 与BE 相交于点F.
(1)求证：△ ABE ≌△ CAD；
(2)求∠ BFD 的度数.
解题秘方：利用等边三角形中边相等、角相等且为60°的性质进行解答.
例6
感悟新知
知3－练
(1)证明：∵△ ABC 为等边三角形，
∴∠ BAE= ∠ ACD=60°，AB=AC.
在△ ABE 和△ CAD 中，
∴△ ABE ≌△ CAD(S.A.S.).
感悟新知
知3－练
(2)解：∵△ ABE ≌△ CAD，
∴∠ ABE= ∠ CAD.
∵∠ BFD= ∠ ABE+ ∠ BAF，
∴∠ BFD= ∠ DAC+ ∠ BAF= ∠ BAC=60°.
感悟新知
知3－练
6-1. 如图， △ ABC 为等边三角形，D 为边BA 延长线上一点， 连结CD， 以CD 为边作等边三角形CDE，连结AE， 判断AE 与BC 的位置关系，并说明理由.
感悟新知
知3－练
解：AE∥BC.理由如下：
∵△ABC与△CDE都为等边三角形，
∴BC＝AC，CD＝CE，∠B＝∠ACB＝∠DCE＝60°.
∴∠ACB＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，
即∠BCD＝∠ACE.
∴△BCD≌△ACE(S.A.S.)．∴∠B＝∠EAC.
∴∠EAC＝∠ACB.∴AE∥BC.
课堂小结
等腰三角形的性质
等腰
三角形
等边三角形
特殊
三边相等，三个内角相等
性质
两边相等
等边对等角
三线合一
特性
都具有