华师大版 八年级上册 13.3.2等腰三角形的判定 课件(共29张PPT)

(共29张PPT)
13.3 等腰三角形
第13章 全等三角形
13.3.2 等腰三角形的判定
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
等腰三角形的判定
等边三角形的判定
知识点
等腰三角形的判定
知1－讲
感悟新知
1
1. 判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”).
几何语言：如图13.3-18，在△ ABC 中，
∵∠ B= ∠ C，∴ AB=AC.
知1－讲
感悟新知
2. 等腰三角形的性质与判定的异同
相同点：使用的前提都是“在同一个三角形中”.
不同点：性质：两边相等→这两边所对的角相等.
判定：两角相等→这两角所对的边相等.
知1－讲
感悟新知
特别提醒
等腰三角形的定义也是一种判定方法，判定定理就是转化为定义再判断，也是证明在同一个三角形中两条线段相等的方法.
感悟新知
知1－练
如图13.3-19，在△ ABC 中，P 是BC 边上一点，过点P 作BC 的垂线，交AB 于点Q，交CA 的延长线于点R，若AQ=AR，则△ ABC 是等腰三角形吗？
请说明理由.
例 1
解题秘方：利用“等角对等边”判定等腰三角形，只需证明三角形两个内角相等即可.
感悟新知
知1－练
解：△ ABC 是等腰三角形. 理由如下：
∵ AQ=AR，∴∠ R= ∠ AQR.
又∵∠ BQP= ∠ AQR，∴∠ R= ∠ BQP.
∵ RP ⊥ BC，∴∠ RPB= ∠ RPC=90°.
∴∠ B+ ∠ BQP=90°，∠ C+ ∠ R=90°，
∴∠ B= ∠ C. ∴ AB=AC.
∴△ ABC 是等腰三角形.
感悟新知
知1－练
1-1. 如图，点E 在△ ABC的AC 边的延长线上，点D 在AB 边上，DE 交BC于点F，DF=EF，BD=CE，过点D作DG∥AC交BC于点G.
求证：△ ABC 是等腰三角形.
感悟新知
知1－练
证明：∵DG∥AC，
∴∠DGB＝∠ACB，∠DGF＝∠ECF.
又∵∠DFG＝∠EFC，DF＝EF，
∴△GDF≌△CEF(A.A.S.)．∴DG＝EC.
∵BD＝CE，∴BD＝DG.∴∠DGB＝∠B.
∵∠DGB＝∠ACB，∴∠B＝∠ACB.
∴AC＝AB，即△ABC是等腰三角形．
知识点
等边三角形的判定
知2－讲
感悟新知
2
1. 判定定理1 三个角都相等的三角形是等边三角形.
几何语言：如图13.3-20，在△ ABC 中，
∵∠ A= ∠ B= ∠ C，∴△ ABC 是等边三角形.
知2－讲
感悟新知
2. 判定定理2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
几何语言：如图13.3-20，在△ ABC 中，
∵ AB=AC， ∠ A=60 °
(或∠ B=60 °或∠ C=60°)，
∴△ ABC 是等边三角形.
知2－讲
感悟新知
3. 证明等边三角形的思维导图
知2－讲
感悟新知
特别解读
1. 在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，判定定理2 都成立.
2. 等边三角形的判定方法：
(1)若已知三边关系，一般选用定义判定；
(2)若已知三角关系，一般选用判定定理1 判定；
(3)若已知该三角形是等腰三角形，一般选用判定定理2 判定.
感悟新知
知2－练
如图13.3-21，在等边三角形ABC 中，∠ ABC 和
∠ ACB 的平分线相交于点O，OB、OC 的垂直平分线分别交BC 于点E、F，连结OE、OF.
求证：△ OEF 是等边三角形.
例2
解题秘方：利用等边三角形的判定定理1，通过求∠ OEF=∠ OFE= ∠EOF=60°，得△ OEF 是等边三角形.
感悟新知
知2－练
证明：∵△ ABC 是等边三角形，
∴∠ ABC= ∠ ACB=60°.
∵ CO、BO 分别平分∠ ACB、∠ ABC，
∴∠ OBE= ∠ OCF=30°.
由OB、OC 的垂直平分线分别交BC 于点E、F，易证△ OGE ≌△ BGE，△ OHF ≌△ CHF，
∴ OE=BE，OF=CF.
感悟新知
知2－练
∴∠ BOE= ∠ OBE=30°，∠ COF= ∠ OCF=30°.
∴ ∠ OEF= ∠ BOE+ ∠ OBE=60 °，
∠ OFE= ∠ COF+∠ OCF=60°.
∴∠ OEF= ∠ OFE=60°. ∴∠ EOF=60°.
∴△ OEF 是等边三角形.
感悟新知
知2－练
教你一招：1. 从角的角度证明三角形是等边三角形，一是证明三角形的三个内角相等；二是求出三角形的三个内角度数都是60°.
2. 在已知的等边三角形内部判定某个三角形是等边三角形，原等边三角形的三个内角为60°，为求新三角形的内角度数提供了条件.
感悟新知
知2－练
2-1. 如图， △ ABC 是等边三角形，点E、F、G 分别在AB、BC、CA上， 且AE=BF=CG.求证：△ EFG 是等边三角形.
感悟新知
知2－练
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝∠C＝60°.
∵AE＝BF＝CG，∴AB－AE＝BC－BF＝AC－CG，
即BE＝CF＝AG.
∴△AEG≌△BFE≌△CGF(S.A.S.)．
∴EG＝EF＝FG.∴△EFG是等边三角形．
感悟新知
知2－练
2-2. 如图， △ ABC为等边三角形， ∠ 1=∠ 2= ∠ 3. 求证：△ DEF 是等边三角形.
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ABC，AB＝AC.
∵∠1＝∠2，
∴∠BAC－∠1＝∠ABC－∠2，
即∠CAF＝∠ABD.
感悟新知
知2－练
感悟新知
知2－练
如图13.3-22，点C 为线段AB 上一点，△ ACM、△ CBN 都是等边三角形，AN、MC 相交于点E，BM、CN 相交于点F，连结EF. 求证：
(1)AN=BM；
(2)△CEF 是等边三角形.
例 3
感悟新知
知2－练
解题秘方：(1)要证AN=BM，只需证△ ACN ≌△ MCB；
(2)根据已知条件，易求∠ ECF=60°，故证明△ ECF为等腰三角形即可.
感悟新知
知2－练
证明：(1)∵△ ACM，△ CBN 都是等边三角形，
∴ AC=CM，CN=BC，∠ ACM= ∠ BCN=60°.
∴∠ ACM+ ∠ MCN= ∠ BCN+ ∠ MCN，
即∠ ACN= ∠ MCB.
在△ ACN 和△ MCB 中，
∴△ ACN ≌△ MCB(S.A.S.). ∴ AN=BM.
感悟新知
知2－练
(2)∵△ ACN ≌△ MCB，∴∠ ENC= ∠ FBC.
∵∠ ECN=180°－∠ ACM－∠ NCB=60°，
∴∠ ECN= ∠ FCB.
在△ ECN 和△ FCB 中，
∴△ ECN ≌△ FCB(A.S.A.).∴ CE=CF.
又∵∠ ECF=60°，∴△ CEF 是等边三角形.
感悟新知
知2－练
3-1. 如图， △ ABC 为等边三角形，D 为BC边上的一点. 在△ ABC的外角的平分线CE 上取点E，使CE=BD，连结AD、AE、DE. 请判断△ ADE 的形状，并说明理由.
感悟新知
知2－练
感悟新知
知2－练
又∵BD＝CE，∴△ABD≌△ACE(S.A.S.)．
∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE.
∵∠DAE＝∠DAC＋∠CAE＝
∠DAC＋∠BAD＝∠BAC＝60°，
∴△ADE是等边三角形．
课堂小结
等腰三角形的判定
等边三角
形的判定
有一个角
等于60°
等角对等边
等腰三角
形的判定
三个角都相等