华师大版 八年级上册 13.4尺规作图 课件(共48张PPT)

(共48张PPT)
13.4 尺规作图
第13章 全等三角形
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
尺规作图
作一条线段等于已知线段
作一个角等于已知角
作已知角的平分线
经过一已知点作已知直线的垂线
作已知线段的垂直平分线
知识点
尺规作图
知1－讲
感悟新知
1
1. 尺规作图的定义：我们把只能使用圆规和没有刻度的直尺这两种工具作几何图形的方法称为尺规作图.
特别解读
●直尺的作用：(1)过两点画一条直线；
(2)将线段向两端无限延长.
圆规的作用 ：以定点为圆心、定长为半径画圆或画弧.
●作图时，也可以使用带有刻度的直尺，但是不能使用它的度量功能.
●几何作图问题一般都是由若干个基本作图组合而成的.
知1－讲
感悟新知
2. 最基本、最常用的尺规作图，通常称为基本作图.
常见的五种基本作图：
(1)作一条线段等于已知线段；
(2)作一个角等于已知角；
(3)作已知角的平分线；
(4)经过一已知点作已知直线的垂线；
(5)作已知线段的垂直平分线.
感悟新知
知1－练
下列属于尺规作图的是( )
A. 用量角器画出∠ AOB 的平分线OC
B. 已知线段a，求作线段AB，使AB=2a
C. 作线段AC=3 cm
D. 平移法作线段AB 的平行线CD
例 1
解题秘方：紧扣尺规作图的工具及常见的五种基本作图类型进行识别.
感悟新知
知1－练
解：选项A 中，用量角器作角平分线，不是尺规作图；选项C 中，需要用刻度尺测量，不是尺规作图；选项D 中，需要用到的工具是直尺和三角板，也不是尺规作图；选项B 中，可以通过使用圆规和没有刻度的直尺来完成，故属于尺规作图.
答案：B
感悟新知
知1－练
D
1-1. 在下列各项中，属于尺规作图的是( )
A. 利用三角尺画45°角
B. 用直尺和三角尺画平行线
C. 用直尺画一工件边缘的垂线
D. 用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段
知识点
作一条线段等于已知线段
知2－讲
感悟新知
2
步骤 已知：线段a.
求作：线段AB，使AB=a.
作法：(1)作射线AP；
(2)在射线AP 上截取AB=a，则线段AB 就是要求作的线段.
图示
知2－讲
感悟新知
特别解读
作一条线段等于已知线段，也可以用度量方法截取，但由于度量时会有误差，故选择尺规作图更精确.
感悟新知
知2－练
如图13.4-1，已知线段a、b(a>b)，求作一条线段AB，使AB=2(a－b).
例2
解题秘方：灵活运用线段的和、差来转化线段之间的数量关系.
感悟新知
知2－练
解：如图13.4-2，线段AB 即为所求.
感悟新知
知2－练
作法：(1)作射线OP；
(2)在射线OP 上顺次截取OM=MB=a；
(3)在线段OB 上顺次截取ON=NA=b，则线段AB 就是所求作的线段.
感悟新知
知2－练
2-1. 如图，已知线段a和b(a ＞ b).求作：线段c，使c=a－b.
感悟新知
知2－练
解：如图，线段BC即为所求．
感悟新知
知2－练
作法：(1)作射线AM；
(2)在射线AM上截取线段AB＝a；
(3)在线段AB上截取AC＝b，
则线段BC就是所求作的线段c.
知识点
作一个角等于已知角
知3－讲
感悟新知
3
作一个角等于已知角
已知∠ AOB(如图13.4-3 ①)，求作∠ A′O′B′，使
∠ A′O′B′= ∠ AOB.
特别解读
作一个角等于已知角，是利用尺规作一个三角形与已知三角形全等，利用的判定方法是“S.S.S.”，然后利用三角形全等的性质——对应角相等，说明作出的角等于已知角.
知3－讲
感悟新知
作法：(1)以点O 为圆心、任意长为半径画弧，分别交
OA、OB 于点C、D(如图13.4-3 ①)；
(2)画一条射线O′A′，以点O′为圆心、OC 长为半径画弧，交O′A′于点C′；
(3)以点C′为圆心、CD 长为半径画弧，
交前弧于点D′；
(4)过点D′画射线O′B′，则∠ A′O′B′即
为所求作的角(如图13.4-3 ②).
感悟新知
知3－练
如图13.4-4 ①，过点C 作直线DE，使DE ∥ AB.
解题秘方：通过作一对内错角相等来作已知直线的平行线.
例 3
感悟新知
知3－练
解：作法如下：
(1)过点C 作直线MN 与AB 相交，交点为F；
(2)在直线MN 的右侧作∠ FCE，使∠ FCE= ∠ AFC；
(3)反向延长CE 得到CD，则
直线DE 即为所求(如图
13.4-4 ②).
感悟新知
知3－练
3-1. 如图，已知∠α，求作∠AOB， 使∠AOB=3 ∠α .(写出作法)
解：如图所示．
感悟新知
知3－练
作法：(1)作射线OA，分别以∠α的顶点和点O为圆心，
以相等的任意长为半径作弧，分别交∠α的两边于点M、N，交OA于点E；
(2)以点E为圆心，以线段MN的长为半径作弧，两弧交于点F；
(3)过点F作射线OC，则∠AOC＝∠α；
(4)同理，以OC为一边，在∠AOC 的外部，作∠COD＝∠α，再以OD为一边，在∠AOD的外部，作∠BOD ＝ ∠α，则∠AOB＝3∠α.∠AOB就是所求作的角．
知识点
作已知角的平分线
知4－讲
感悟新知
4
尺规作图步骤与图示
已知：∠ AOB(如图13.4-5).
求作：∠ AOB 的平分线.
作法：(1)以点O 为圆心、适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB 于点N.
(2)分别以点M 和点N 为圆心、大于 MN 的长为半径画弧，两弧在∠ AOB 的内部交于点C.
(3)画射线OC. 射线OC 即为所求(如图13.4-5).
知4－讲
感悟新知
知4－讲
感悟新知
特别解读
●“适当长为半径画弧”的目的是方便作图，不能太长也不能太短.
●“以大于 MN的长为半径画弧”是因为若以小于 MN的长为半径画弧，则画出的两弧不能相交.
●“画射线OC”不能叙述为“连结OC”，因为角平分线是射线而不是线段.
●连结MC、NC，依据作图可知△OMC≌△ONC(S.S.S.)，所以OC 平分∠ AOB.
感悟新知
知4－练
如图13.4-6，已知∠ AOB，求作：∠ AOM= ∠ AOB.
解题秘方：利用尺规作图作两次角平分线，可将已知角四等分.
例4
感悟新知
知4－练
解：作法：(1)以点O 为圆心、适当长
为半径画弧，交OA 于点E，交OB 于点F；
(2)分别以点E 和点F 为圆心、大于 EF 的长为半径画弧，两弧在∠ AOB 的内部交于点C；
(3)画射线OC；
感悟新知
知4－练
(4)同理，作∠ AOC 的平分线OM. 则∠ AOM 即为所求作的角(如图13.4-6).
感悟新知
知4－练
4-1. 已知：∠ AOB(如图).
求作：∠ AOB 的补角的平分线.
解：如图，射线OD即为所求．
感悟新知
知4－练
知识点
经过一已知点作已知直线的垂线
知5－讲
感悟新知
5
1. 经过已知直线上一点作已知直线的垂线
步骤 已知：直线AB 和AB 上一点P.
求作：直线PQ，且PQ ⊥ AB.
作法：(1)以点P 为圆心、适当长为半径画弧，交直线AB 于点M、N；
(2)分别以点M 和点N 为圆心、大于 MN 的长为半径画弧，两弧交于点Q；
(3)过点P 和点Q 作直线PQ，则直线PQ 就是要求作的垂线.
知5－讲
感悟新知
图示
知5－讲
感悟新知
2. 经过已知直线外一点作已知直线的垂线
步骤 已知：直线AB 和AB 外一点P.
求作：直线PQ，且PQ ⊥ AB.
作法：(1)以点P 为圆心、适当长为半径画弧，交直线AB 于点M、N；
(2)分别以点M 和点N 为圆心、大于 MN 的长为半径画弧，两弧交于点Q；
(3)过点P 和点Q 作直线PQ，则直线PQ 就是要求作的垂线.
知5－讲
感悟新知
图示
知5－讲
感悟新知
特别解读
1. 过已知直线上一点作已知直线的垂线，实质是作一个平角的平分线，并反向延长.
2. 过已知直线外一点作已知直线的垂线，实质是作等腰三角形顶角的平分线.
感悟新知
知5－练
如图13.4-7，已知直角三角形ABC，∠C=90°，试
利用尺规作图作出斜边AB 上的高.
解题秘方：紧扣“经过已知直线外一点作已知直线的垂线”的步骤，将作高转化为作垂线.
例 5
感悟新知
知5－练
解：如图13.4-8 所示.
感悟新知
知5－练
作法：(1)以点C 为圆心、适当长为半径画弧，交AB于点M 和点N；(2)分别以点M 和点N 为圆心、大于
MN的长为半径画弧，两弧交于点P；(3)作射线CP 交AB 于点D，则线段CD 是AB 边上的高.
感悟新知
知5－练
5-1. 如图， 已知： 点P和直线l，求作：点P 关于直线l 的对称点P′ .
解：如图所示．
感悟新知
知5－练
作法：(1)过点P作直线l的垂线，垂足为O；
(2)在直线PO上截取线段OP′＝OP，则点P′就是点P关于直线l的对称点．
知识点
作已知线段的垂直平分线
知6－讲
感悟新知
6
步骤 已知：线段AB.
求作：线段AB 的垂直平分线.
作法：(1)分别以点A 和点B 为圆心、大于
AB 的长为半径画弧，两弧分别交于点C 和点D；(2)过点C 和点D 作直线CD，则直线CD 就是要求作的线段AB 的垂直平分线.
知6－讲
感悟新知
图示
知6－讲
感悟新知
特别解读
1. 作线段的垂直平分线时，一定要注意两点：一是画弧的半径要大于线段的一半长；二是线段的垂直平分线是一条直线.
2. 作已知线段的垂直平分线的理论依据是三角形全等的判定定理“S.S.S.”.
感悟新知
知6－练
如图13.4-9，已知线段AB 和直线l，试在l 上找一点P，使得点P 在线段AB 的垂直平分线上.
解题秘方：利用作线段的垂直平分线的步骤找线段的垂直平分线与直线l 的交点.
例6
感悟新知
知6－练
解：如图13.4-9 所示.
感悟新知
知6－练
作法：(1)分别以点A 和点B 为圆心、适当的长为半径画弧，两弧交于点E 和点F；(2)过点E 和点F 作直线交直线l 于点P，则点P 就是所求作的点.
感悟新知
知6－练
6-1. 如图， △ ABC 是等腰直角三角形， 且∠ C=90° . 作AB 边的垂直平分线DE， 其与AB 边交于点D，并写出图中的相等线段.
感悟新知
知6－练
课堂小结
尺规作图
尺规
作图
没有刻度的
直尺、圆规
工具
作线段
三角形全等
作角
作角的平分线
作垂线
作线段的垂直平分线
依据