(共25张PPT)
4.2.1 直接提公因式法
北师版 八年级下册
新知导入
（1）因式分解的意义是什么？
（2）因式分解与整式乘法的关系是什么？
思考：
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解.
因式分解与整式乘法互为逆变形.
新知讲解
一块场地由三个长方形组成，这些长方形的长分别为 宽都是 ，求这个场地的面积.
方法一：
方法二：
你能发现什么？
新知讲解
如果一块场地由三个长方形组成，这三个长方形的长分别为a，b，c，宽都是m，那么这块场地的面积为_______________________________，可以用等号来连接，即：____________________________.
观察这个等式，等式左边的每一项有什么特点？各项之间有什么联系？等式右边的项有什么特点？
等式左边的每一项都含有因式m，等式右边是m与多项式a+b+c的乘积，从左边到右边的过程是因式分解.
ma+mb+mc或m(a+b+c)
ma+mb+mc=m(a+b+c)
新知讲解
多项式 ab+bc 各项都含有相同的因式吗？
多项式3x2+x 呢？
多项式mb2+nb-b 呢？
含有相同因式b
含有相同因式x
含有相同因式b
多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式.
例如b就是多项式ab+bc各项的公因式．
新知讲解
多项式2x2+6x3中各项的公因式是什么？
2x2 + 6x3
系数的
最大公因数
2
x
相同
字母
字母的
最小指数
2
公因式是2x2
新知讲解
思考：多项式中的公因式是如何确定的？
找公因式的一般步骤：
（1）若各项系数是整数，取系数的最大公因数；
（2）对于相同的字母，取字母的指数最低的；
（3）对于相同的多项式，取多项式的指数最低的；
（4）所有这些因式的乘积即为公因式.
新知讲解
你能尝试将多项式2x2+6x3因式分解吗？
如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出
来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式．
这种因式分解的方法叫做提公因式法．
2x2+6x3
=2x2 · 1+2x2 · 3x
=2x2 （1+3x）
新知讲解
提公因式法因式分解的步骤：
第一步，找出公因式；
第二步，提取公因式，即用公因式去除这个多项式，所得的商式作为另一个因式；
第三步，分解因式，将多项式化为两个因式的积.
思考：多项式如何因式分解？
新知讲解
【例1】把下列各式因式分解:
(1)3x+x3; (2)7x3-21x2;
解:(1)3x+x3=x · 3+x · x2=x (3+x2)
(2)7x3-21x2=7x2 · x-7x2 · 3=7x2 (x-3).
新知讲解
【例1】把下列各式因式分解:
(3)8a3b2-12ab3c+ab; (4)-24x3+12x2-28x.
(3)8a3b2-12ab3c+ab
=ab·8a2b-ab·12b2c+ab·1
=ab(8a2b-12b2c+1).
(4)-24x3+12x2-28x
=-(24x3-12x2+28x)
=-(4x·6x2-4x·3x+4x·7)
=-4x(6x2-3x+7).
新知讲解
(1)各项都含有的字母的最低次幂的积是公因式的字母部分;
(2)因式分解后括号内的多项式的项数与原多项式的项数相同;
(3)将分解因式后的式子再进行整式的乘法运算，其积应与原式相等.
【拓展提高】
(4)当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“-”号，使括号内
第一项的系数成为正数．在提出“-”号时，多项式的各项都要变号．
新知讲解
想一想
提公因式法因式分解与单项式乘多项式有什么关系？
逆用乘法分配律
提公因式法与单项式乘多项式是互逆关系.
a·b+a·c=a(b+c)
课堂练习
1.多项式-6ab2+18a2b2-12a3b2c的公因式是 ( )
A.-6ab2c
B.-ab2
C.-6ab2
D.-6a3b2c
C
课堂练习
2.下列用提公因式法分解因式正确的是 ( )
A. 12abc-9a2b2=3abc(4-3ab)
B. 3x2y-3xy+6y=3y(x2-x+2y)
C. -a2+ab-ac=-a(a-b+c)
D. x2y+5xy-y=y(x2+5x)
C
课堂练习
3.下列多项式中应提取的公因式为5a2b的是 ( )
A. 15a2b-20a2b2
B. 30a2b3-15ab4-10a3b2
C. 10a2b-20a2b3+50a4b
D. 5a2b4-10a3b3+15a4b2
A
课堂练习
4.填空.
(1) 5a3+4a2b-12abc=a( );
(2) 多项式32p2q3-8pq4m的公因式是 ;
(3) 3a2-6ab+a= (3a-6b+1);
(4) 因式分解:km+kn= ;
(5) -15a2+5a= (3a-1);
5a2+4ab-12bc
8pq3
a
k(m+n)
-5a
拓展提高
5.把下列各式因式分解.
(1)3x2y-6xy;
(2)5x2y3-25x3y2;
(3)-4m3+16m2-26m;
(4)15x3y2+5x2y-20x2y3.
解：(1)3xy(x-2).
(2)5x2y2(y-5x).
(3)-2m(2m2-8m+13).
(4)5x2y(3xy+1-4y2).
中考链接
6.【中考·达州】如图，正方体的每条棱上放置相同数目的小球，设每条棱上的小球数为m，下列代数式表示正方体上小球总数，则表达错误的是( )
A．12(m－1)
B．4m＋8( m－2)
C．12( m－2)＋8
D．12m－16
A
中考链接
7.【中考·武汉】把a2－2a分解因式，正确的是( )
A．a(a－2)
B．a(a＋2)
C．a(a2－2)
D．a(2－a)
A
课堂总结
本节课你学到了什么？
1.提公因式法分解因式的一般形式，如:
ma+mb+mc=m(a+b+c).
2.提公因式法分解因式的关键在于发现多项式的公因式.
3.找公因式的一般步骤:
(1)若各项系数是整数，则取系数的最大公约数;
(2)取各项中相同的字母，字母的指数取最低的;
(3)所有这些因式的乘积即为公因式.
板书设计
课题：4.2.1 直接提公因式法
教师板演区
学生展示区
一、公因式定义
二、提公因式法分解因式的概念
三、例题讲解
作业布置
课本 P96 练习题
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北师版八年级下册数学4.2.1 直接提公因式法教学设计
课题 4.2.1 直接提公因式法 单元 第四单元 学科 数学 年级 八
学习目标 1.使学生了解因式分解的意义,了解因式分解和整式乘法是整式的两种相反方向的变形.2.让学生会确定多项式中各项的公因式,会用提公因式法进行因式分解.3.通过与因数分解的类比,让学生感悟数学中数与式的共同点,体验数学的类比思想.4.通过对因式分解的教学,培养学生“换元”的意识.
重点 因式分解的概念及提公因式法的应用
难点 正确找出多项式中各项的公因式
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 教师提问：思考：（1）因式分解的意义是什么？把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解.（2）因式分解与整式乘法的关系是什么？因式分解与整式乘法互为逆变形. 学生思考回答问题。 激发学生学习动机和兴趣，吸引学生注意力，为引进新知识的学习做好心理准备。
讲授新课 一块场地由三个长方形组成，这些长方形的长分别为宽都是，求这个场地的面积.方法一：方法二：你能发现什么？如果一块场地由三个长方形组成，这三个长方形的长分别为a，b，c，宽都是m，那么这块场地的面积为ma+mb+mc或m(a+b+c)，可以用等号来连接，即：ma+mb+mc=m(a+b+c).观察这个等式，等式左边的每一项有什么特点？各项之间有什么联系？等式右边的项有什么特点？等式左边的每一项都含有因式m，等式右边是m与多项式a+b+c的乘积，从左边到右边的过程是因式分解.（1）多项式 ab+bc 各项都含有相同的因式吗？（2）多项式3x2+x 呢？（3）多项式mb2+nb-b 呢？（1）含有相同因式b（2）含有相同因式x（3）含有相同因式b多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式.例如b就是多项式ab+bc各项的公因式．多项式2x2+6x3中各项的公因式是什么？公因式是2x2思考：多项式中的公因式是如何确定的？找公因式的一般步骤：（1）若各项系数是整系数，取系数的最大公因数；（2）对于相同的字母，取字母的指数最低的；（3）对于相同的多项式，取多项式的指数最低的；（4）所有这些因式的乘积即为公因式.你能尝试将多项式2x2+6x3因式分解吗？2x2+6x3==2x2 · 1+2x2 · 3x=2x2 （1+3x）如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式．这种因式分解的方法叫做提公因式法．思考：多项式如何因式分解？提公因式法因式分解的步骤：第一步，找出公因式；第二步，提取公因式，即用公因式去除这个多项式，所得的商式作为另一个因式；第三步，分解因式，将多项式化为两个因式的积.【例1】把下列各式因式分解:(1)3x+x3; (2)7x3-21x2;(3)8a3b2-12ab3c+ab; (4)-24x3+12x2-28x.解:(1)3x+x3=x·3+x·x2=x (3+x2)(2)7x3-21x2=7x2·x-7x2·3=7x2 (x-3).(3)8a3b2-12ab3c+ab=ab·8a2b-ab·12b2c+ab·1=ab(8a2b-12b2c+1).(4)-24x3+12x2-28x=-(24x3-12x2+28x)=-(4x·6x2-4x·3x+4x·7)=-4x(6x2-3x+7).【拓展提高】(1)各项都含有的字母的最低次幂的积是公因式的字母部分;(2)因式分解后括号内的多项式的项数与原多项式的项数相同;(3)将分解因式后的式子再进行整式的乘法运算，其积应与原式相等.(4)当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“-”号，使括号内第一项的系数成为正数．在提出“-”号时，多项式的各项都要变号．想一想提公因式法因式分解与单项式乘多项式有什么关系？提公因式法与单项式乘多项式是互逆关系.a·b+a·c=a(b+c)逆用乘法分配律 学生用不同的方法求这个场地的面积。学生发现规律。学生在教师的引导下总结公因式的定义。通过教师引导学会寻找公因式。总结找公因式的一般步骤。学生找出公因式后提取公因式分解因式。学生做练习。 让学生通过利用乘法分配律的逆运算这一特殊算法,运用类比思想自然地过渡到提公因式法的概念上,从而为提公因式法的掌握打下基础.通过实例的教学,使学生明白什么是公因式和用提公因式法分解因式.从让学生找出几个简单多项式的公因式,再到让学生尝试将多项式分解因式,使学生理解公因式以及提公因式法分解因式的概念.经历用提公因式法进行因式分解的过程,在教师的启发与指导下,学生自己归纳出提公因式的步骤及提取公因式时容易出现的类似问题,为提取公因式积累经验.通过练习来巩固、强化课堂上所学的知识，并且培养学生综合运用所学的知识和技能解决问题的能力，培养学生的应用意识。
4.填空.
(1) a3+4a2b-12abc=a( );
(2) 多项式32p2q3-8pq4m的公因式是 ;
(3) 3a2-6ab+a= (3a-6b+1);
(4) 因式分解:km+kn= ;
(5) -15a2+5a= (3a-1); 答案：（1）5a2+4ab-12bc（2）8pq3（3）a（4）k(m+n)（5）-5a5.把下列各式因式分解.(1)3x2y-6xy;(2)5x2y3-25x3y2;(3)-4m3+16m2-26m;(4)15x3y2+5x2y-20x2y3.解：(1)3xy(x-2). (2)5x2y2(y-5x). (3)-2m(2m2-8m+13). (4)5x2y(3xy+1-4y2).6.【中考·达州】如图，正方体的每条棱上放置相同数目的小球，设每条棱上的小球数为m，下列代数式表示正方体上小球总数，则表达错误的是( A )A．12(m－1)B．4m＋8( m－2)C．12( m－2)＋8D．12m－167.【中考·武汉】把a2－2a分解因式，正确的是( A )A．a(a－2) B．a(a＋2)C．a(a2－2) D．a(2－a) 学生做练习，教师讲解。 通过各种形式的练习，进一步提高学生学习兴趣，使 学生的认知结构更加完善。同时强化本课的教学重点，突破教学难点。
课堂小结 本节课你学到了什么？1.提公因式法分解因式的一般形式，如:ma+mb+mc=m(a+b+c).2.提公因式法分解因式的关键在于发现多项式的公因式.3.找公因式的一般步骤:(1)若各项系数是整系数，则取系数的最大公约数;(2)取各项中相同的字母，字母的指数取最低的;(3)所有这些因式的乘积即为公因式. 课堂上以由教师引导，学生回顾的方式进行总结，目的是充分发挥学生的主体作用，有助于学生在理解新知识的基础上，及时把知识系统化，条理化。
板书 课题：4.2.1 直接提公因式法一、公因式定义二、提公因式法分解因式的概念三、例题讲解
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