10.2事件的相互独立性 课件（共41张PPT）

(共41张PPT)
2022
第十章概率
10.2事件的相互独立性
目录
CONTENTS
01
知识回顾
03
典型例题
02
事件的相互独立性
04
课堂总结
01
知识回顾
1.事件的关系和运算？
事件的关系或运算 含义 符合表示
包含 A发生导致B发生 A B或B A
并事件(和事件) A与B至少一个发生 A∪B或A＋B
交事件(积事件) A与B同时发生 A∩B或AB
互斥(互不相容) A与B不能同时发生 A∩B=
互为对立 A与B有且只有一个发生 A∩B= ，A∪B=Ω
思考
积事件AB就是事件A与事件B同时发生. 因此，积事件AB发生的概率一定与事件A、B发生的概率有关. 那么，这种关系会是怎样的呢
下面我们来讨论一类与积事件有关的特殊问题.
前面我们研究过互斥事件、对立事件的概率性质,还研究过和事件的概率计算方法.对于积事件的概率，还有什么值得研究的问题
思考1：已知随机事件A和B，事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗
试验1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A=“第一枚硬币正面朝上”，B=“第二枚硬币反面朝上”.
对于试验1，因为两枚硬币分别抛掷，第一枚硬币的抛掷结果与第二枚硬币的抛掷结果互相不受影响，所以事件A发生与否不影响事件B发生的概率.
思考2: 以上试验中事件AB与A和B的概率有何联系
用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，
样本空间Ω={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)}.
A={(1,1),(1,0)},B={(1,0),(0,0)},
所以AB={(1,0)}.
积事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)与P(B)的乘积.
于是P(AB)=P(A)P(B).
思考1：已知随机事件A和B，事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗
试验2：一个袋子中装有标号分别是1, 2, 3, 4的4个球，除标号外没有其他差异，采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球. 设A=“第一次摸到球的标号小于3”, B=“第二次摸到球的标号小于3”.
对于试验2，因为是有放回摸球，第一次摸球的结果与第二次摸球的结果互相不受影响，所以事件A发生与否也不影响事件B发生的概率.
思考2：该试验中事件AB与A和B的概率有何联系
样本空间Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4}}包含16个等可能的样本点.
而A={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)},共8个样本点；
B={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}, 共8个样本点；AB={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)},共4个样本点；
积事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)与P(B)的乘积.
于是P(AB)=P(A)P(B).
02
事件的相互独立性
事件相互独立的定义
注：一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响
必然事件一定发生，不受任何事件是否发生的影响；
不可能事件一定不会发生，不受任何事件是否发生的影响，
当然，他们也不影响其他事件的发生．
因此，必然事件Ω、不可能事件 与任意事件相互独立．
P(AΩ)=P(A)=P(A)P(Ω)，P(A )=P( )=P(A)P( )
定义：对任意两个事件A与B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，
则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.
思考 ：必然事件Ω、不可能事件 与任意事件相互独立吗？
事件A与B相互独立 P(AB)=P(A)P(B)．
思考： 互为对立的两个事件是非常特殊的一种事件关系. 如果事件A与事件B相互独立，那么它们的对立事件是否也相互独立
典例1：下列事件A，B是相互独立事件的是(　　)A．一枚硬币拋掷两次，A表示“第一次为正面”，B表示“第二次为反面”B．袋中有2 个白球，2 个黑球，不放回地摸球两次，每次摸一球，A表示“第一次摸到白球”，B表示“第二次摸到白球”C．掷一枚骰子，A表示“出现点数为奇数”，B表示“出现点数为偶数”D．A表示“一个灯泡能用1 000小时”，B表示“一个灯泡能用2 000小时”
A
典例2：一个袋子中有标号分别为1, 2, 3, 4的4个球, 除标号外没有其他差异. 采用不放回方式从中任意摸球两次. 设事件A=“第一次摸出球的标号小于3”,事件B=“第二次摸出球的标号小于3”, 那么事件A与事件B是否相互独立
B={(1,2), (2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2)}，
解：样本空间Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4}, 且m≠n}，共12个样本点.
A={(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4)}，
AB={(1,2), (2,1)}.
P(A)=P(B)=1/2，P(AB)=1/6
P(AB)≠P(A)P(B)
因此，事件A与事件B不独立.
判断两个事件是否相互独立的方法：
3.转化法：由判断事件A与事件B是否相互独立, 转化为判断
是否具有独立性.
1.直接法：直接判断一个事件发生与否是否影响另一事件发生的概率.2.定义法：判断P(AB)=P(A)P(B)是否成立.
典例3：有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）
A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立
C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立
B
思考： 我们知道，如果三个事件A, B, C两两互斥，那么概率加法公式
P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)成立；
但三个事件A, B, C两两独立时，等式P(ABC)=P(A)P(B)P(C)不一定成立.
三个事件A, B, C相互独立时，等式P(ABC)=P(A)P(B)P(C)一定成立.
A，B，C相互独立 P(AB)=P(A)P(B)，
P(AC)=P(A)P(C)，
P(BC)=P(B)P(C)，
P(ABC)=P(A)P(B)P(C)。
A，B，C两两独立：P(AB)=P(A)P(B)，P(AC)=P(A)P(C)，P(BC)=P(B)P(C)
典例4：样本空间Ω={a, b, c, d}含有等可能的样本点，A={a, b}, B={a, c}, C={a, d}. 请验证A, B, C三个事件两两独立，但P(ABC)≠P(A)P(B)P(C).
解: A={a, b}, B={a, c}, C={a, d},
AB={a}, AC={a}, BC={a}, ABC={a}.
∴P(A)=P(B)=P(C)=1/2, P(AB)=P(AC)=P(BC)=1/4.
P(A)P(B)P(C)=1/8, P(ABC)=1/4.
∴P(AB)= P(A)P(B), P(AC)= P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C),
即A,B,C三个事件两两独立, 但P(ABC)≠P(A)P(B)P(C).
03
典型例题
例1：甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8， 乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率:
(1)两人都中靶；
例1：甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8， 乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率:
(2)恰好有一人中靶；
例1：甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8， 乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率:
(3)两人都脱靶；
例1：甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8， 乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率:
(4)至少有一人中靶.
方法总结：
1. 求相互独立事件同时发生的概率的步骤：
(1)首先确定各事件之间是相互独立的；
(2)确定这些事件可以同时发生；
(3)求出每个事件的概率，再求积．　
方法总结：
已知两个事件A, B, 那么:
(1) A,B中至少有一个发生为事件A+B.
2. 对事件分解时，要明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”
“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义.
(2) A,B中至多有一个发生为事件 .
(3) A,B恰好有一个发生为事件 .
(5)A,B都不发生为事件 .
(4)A,B都发生为事件AB.
(6)A,B不都发生为事件 .
例3：天气预报元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，计算在这段时间内:
(1)甲、乙两地都降雨的概率;
(2)甲、乙两地都不降雨的概率;
(3)至少一个地方降雨的概率.
解析：(1)甲、乙两地都降雨的概率为0.2×0.3= 0.06.
(2)甲、乙两地都不降雨的概率为( 1-0.2)×( 1-0.3)= 0.8×0.7= 0.56.
(3)解法一: 至少一个地方降雨的概率为
0.2×0.3+(1-0.2)×0.3+0.2×( 1-0.3)= 0.44.
解法二: 由(2)知,甲、乙两地都不降雨的概率为0.56, 所以至少一个地方降雨的概率为1-0.56=0.44.
例4：某机械厂制造一种汽车零件，已知甲机床的正品率是0.96，乙机床的次品率是0.05，现从它们制造的产品中各任意抽取一件，试求：(1)两件产品都是正品的概率；
例4：某机械厂制造一种汽车零件，已知甲机床的正品率是0.96，乙机床的次品率是0.05，现从它们制造的产品中各任意抽取一件，试求：(2)恰有一件是正品的概率；(3)至少有一件是正品的概率．
04
课堂总结
课堂总结
1.事件相互独立的判断；
2.事件相互独立的概率的计算.
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