10.1.2事件的关系和运算 课件（共24张PPT）

(共24张PPT)
第十章 概率
10.1.2 事件的关系和运算
学习目标
1.了解事件的并、交与互斥的含义
2.结合具体实例进行随机事件的交、并运算
数学学科素养
数学抽象：事件的关系和运算
学习 重难点
理解事件的并、交与互斥的含义
温故知新
1.随机试验
把对随机现象的实现和对它的观察称为_________ (简称试验),常用字母E表示．
随机试验
可重复性
可预知性
随机性
特点:
温故知新
2.样本点和样本空间
定义 字母表示
样本 点 我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点 用 表示样本点
样本 空间 全体样本点的集合称为试验E的样本空间 用 表示样本空间
有限 样本 空间 如果一个随机试验有n个可能结果ω1,ω2,…,ωn,则称样本空间Ω={ω1,ω2,…,ωn}为有限样本空间 Ω={ω1,ω2,…,ωn}
温故知新
3.三种事件的定义
随机 事件 我们将样本空间Ω的子集称为E的随机事件,简称事件,并把只包含一个样本点的事件称为基本事件,随机事件一般用大写字母A,B,C等表示.在每次试验中,当且仅当A中某个样本点出现时,称为事件A发生
必然 事件 Ω作为自身的子集,包含了所有的样本点,在每次试验中总有一个样本点发生,所以Ω总会发生,我们称Ω为必然事件
不可 能事 件 空集 不包含任何样本点,在每次试验中都不会发生.我们称 为不可能事件
在一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件.
在一定条件下必然要发生的事件叫必然事件.
在一定条件下不可能发生的事件叫不可能事件
探究一
在掷骰子试验中,观察骰子朝上面的点数,可以定义许多随机事件
例如：Ci=“点数为i”,i=1,2,3,4,5,6;
D1=“点数不大于3”；D2=“点数大于3”；
E1=“点数为1或2”；E2=“点数为2或3”；
F=“点数为偶数”；G=“点数为奇数”；
请用集合的形式表示这些事件,借助集合与集合的关系和
运算,你能发现这些事件之间的联系吗？
新知讲授
我们借助集合与集合的关系和运算以及事件的相关定义,我们发现这些事件之间有着奇妙的联系,可以分为以下几种情况.
Ω
若事件A发生,则事件B一定发生,反之也成立,则称这两个事件相等。
若BA且AB,则称事件A与事件B相等
对于事件A与事件B,如果事件A发生,那么事件B一定发生,则称事件B包含事件A,(或称事件A包含于事件B）.记作BA（或AB）
用集合的形式表示事件C1=“点数为1”和事件G=“点数为奇数”,它们分别是C1={1}和G={1,3,5}.显然,如果事件C1发生,那么事件G一定发生,事件之间的这种关系用集合的形式表示,就是{1} {1,3,5},即C1 G. 这时我们说事件G包含事件C1.
新知讲授
注意
1.不可能事件记作φ
2.任何事件都包含不可能事件
B
A
新知讲授
一般地,事件A与事件B至少有一个发生,这样的一个事件中的样本点或者在事件A中,或者在事件B中,我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件）,记作AUB(或A+B).
D1="点数不大于3"={1,2,3};E1="点数为1或2"={1,2}; E2="点数为2或3"={2,3},可以发现,事件E1,和事件E2,至少有一个发生,相当于事件D1发生.
事件之间的这种关系用集合的形式表示,就是{1,2}U{2,3}={1,2,3}即E1UE2 =D1这时我们称事件D1为事件E1和事件E2的并事件.
Ω
B
A
新知讲授
可以发现,事件E1和E2同时发生,相当于C2发生,事件之间的这种关系用集合的形式表示,就是{1,2}∩ {2,3}={2}. 即E1∩E2= C2,我们称事件C2为事件E1和E2的交事件。
一般地,事件A与事件B同时发生,这样的一个事件中的样本点既在事件A中,也在事件B中,我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件）,记作A∩B(或AB).
Ω
B
A
新知讲授
用集合的形式表示事件C3=“点数为3”和事件C4=“点数为4”. 它们分别C3={3},C4={4}.显然,事件C3与事件C4不可能同时发生,用集合的形式表示这种关系,就是{3}∩{4}=Φ,即C3∩ C4=Φ,这时我们称事件C3与事件C4互斥.
一般地,如果事件A与事件B不能同时发生,也就是说A∩ B是一个不可能事件,即A∩B=Φ,则称事件A与事件B互斥(或互不相容）.
其含义是,事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生．
Ω
B
A
Ω
新知讲授
用集合的形式表示事件F=“点数为偶数”、事件G= “点数为奇数”,它们分别是F={2,4,6},G={1,3,5}.在任何一次试验中,事件F与事件G两者只能发生其中之一,而且也必然发生其中之一.事件之间的这种关系,用集合的形式可以表示为{2,4,6}∪{1,3,5}={1,2,3,4,5,6},即F∪G=Ω,且{2,4,6}∩(1,3,5}=Φ,即F∩G= Φ.此时我们称事件F与事件G互为对立事件.事件D1与D2也有这种关系.
一般地,如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生,即 A∪B=Ω,且A∩B=Φ,那么称事件A与事件B互为对立.
事件A的对立事件记为,其含义是：事件A与事件在任何一次试验中有且仅有一个发生
A
新知讲授
综上所述,事件的关系或运算的含义,以及相应的符号表示如下
事件的关系或运算 含义 符号表示
包含 A发生导致B发生 A B
并事件(和事件) A与B至少一个发生 AUB或A+B
交事件(积事件) A与B同时发生 A∩B或AB
互斥(互不相容) A与B不能同时发生 A∩B=Φ
互为对立 A与B有且仅有一个发生 A∩B=Φ,AUB=Ω
类似地,我们可以定义多个事件的和事件以及积事件.
例如,对于三个事件A,B,C,AUBUC(或A+B+C)发生当且仅当A,B,C中至少一个发生,A∩B∩C(或ABC)发生当且仅当A,B,C同时发生,等等.
例一
解析
(1)用x1,x2分别表示甲、乙两个元件的状态,则可以用(x1,x2)表示这个并联电路的状态,以1表示元件正常,0表示元件失效,则样本空间为Ω={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}.
如图,由甲、乙两个元件组成一个并联电路,每个元件可能正常或失效.设事件A=“甲元件正常”,B=“乙元件正常”.
(1)写出表示两个元件工作状态的样本空间；
(2)用集合的形式表示事件A,B以及它们的对立事件；
(3)用集合的形式表示事件A∪B和事件A∩B,并说明它们的含义及关系.
分析：注意到试验由甲、乙两个元件的状态组成,所以可以用数组(x1,x2)表示样本点.这样,确定事件A,B所包含的样本点时,不仅要考虑甲元件的状态,还要考用乙元件的状态.
例一
解析
（2）A={(1,0),(1,1)}, B={(0,1),(1,1)},
={(0,0),(0,1)}, ={(0,0),(1,0)}.
（3）A∪B={(0,1),(1,0),(1,1)}, A∩B={(0,0)};
A∪B表示电路工作正常,∩ 表示电路工作不正常；
A∪B和∩互为对立事件.
如图,由甲、乙两个元件组成一个并联电路,每个元件可能正常或失效.设事件A=“甲元件正常”,B=“乙元件正常”.
(1)写出表示两个元件工作状态的样本空间；
(2)用集合的形式表示事件A,B以及它们的对立事件；
(3)用集合的形式表示事件A∪B和事件A∩B,并说明它们的含义及关系.
变式练习1
1.某人打靶时连续射击两次,下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是（ ）
(A)至多一次中靶
(B)两次都中靶
(C)只有一次中靶
(D)两次都没有中靶
解析
连续射击两次中靶的情况如下:①两次都中靶，②只有一次中靶，③两次都没中靶;设事件P:至少一次中靶，则P={①，②}
A选项:事件A:至多一次中靶，则A ={②，③}，P∩A={②}，不互斥，不对立，B选项:事件B:两次都中靶，则B={①},P∩B={①}，不互斥，不对立，
C选项:事件C:只有一次中靶，则C={②},P∩C={②}，不互斥，不对立，
D选项:事件D:两次都没中靶;则D{③},P∩D =，且PUD= {①，②，③},互斥且对立，故选:D.
D
变式练习1
2.抛掷一颗质地均匀的骰子,有如下随机事件:
Ci=“点数为i”,其中i=1,2,3,4,5,6;
D1=“点数不大于2”,D2=“点数大于2”,D3=“点数大于4”;
E=“点数为奇数”,F=“点数为偶数”.
判断下列结论是否正确.
(1)C1与C2互斥; (2)C2,C3为对立事件; (2)C3D2 (4)D3D2;
(5)D3D2=Ω，D1D2(7）E=C1UC3UC5;
(8）E,F为对立事件; (9) D2UD3=D2 ; (10) D2∩D3=D3.
例二
一个袋子中有大小和质地相同的4个球,其中有2个红色球(标号为1和2),2个绿色球(标号为3和4),从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件R1=“第一次摸到红球”,R2=“第二次摸到红球”,R=“两次都摸到红球”,G=“两次都摸到绿球”,M=“两个球颜色相同”,N=“两个球颜色不同”
(1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；
(2)事件R与R1，R与G，M与N之间各有什么关系？
(3)事件R与事件G的并事件与事件M有什么关系？事件R1与事件R2的交事件与事件R有什么关系？
例二
解析
用数组(x1,x2)表示可能的结果,x1是第一次摸到的球的标号,x2是第二次摸到的球的标号,则Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)}
事件R1=“第一次摸到红球”,即x1=1或2,于是R1={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4) };
事件R2=“第二次摸到红球”,即x2=1或2,于是R2={(2,1),(3,1),(4,1),(1,2),(3,2),(4,2)}.
同理R={(1,2),(2,1)},G={(3,4),(4,3)},M={(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)},
N={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2) }.
一个袋子中有大小和质地相同的4个球,其中有2个红色球(标号为1和2),2个绿色球(标号为3和4),从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件R1=“第一次摸到红球”,R2=“第二次摸到红球”,R=“两次都摸到红球”,G=“两次都摸到绿球”,M=“两个球颜色相同”,N=“两个球颜色不同”
(1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；
例二
解析
(2)因为R R1,所以事件R1包含事件R因为R∩G=Φ,所以事件R与事件G互斥；因为M∪N=Ω,M∩N=Φ,所以事件M与事件N互为对立事件.
(3)因为R∪G=M,所以事件M是事件R与事件G的并事件；因为R1∩R2=R,所以事件R是事件R1与事件R2的交事件.
一个袋子中有大小和质地相同的4个球,其中有2个红色球(标号为1和2),2个绿色球(标号为3和4),从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件R1=“第一次摸到红球”,R2=“第二次摸到红球”,R=“两次都摸到红球”,G=“两次都摸到绿球”,M=“两个球颜色相同”,N=“两个球颜色不同”
(1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；
(2)事件R与R1，R与G，M与N之间各有什么关系？
(3)事件R与事件G的并事件与事件M有什么关系？事件R1与事件R2的交事件与事件R有什么关系？
变式练习2
抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币反面朝上”.
(1)写出样本空间，并列举A和B包含的样本点;
(2)下列结论中正确的是（ ）.
(A)A 与B互为对立事件 (B)A与B互斥
(C)A 与B相等 (D)P(A)=P(B)
解析
(1)样本空间可表示为={ (正，反),(正，正)，(反，反)，(反，正)}，A包含的样本点:(正，正)，(正，反),B包含的样本点:(正，反），(反，反),
(2)A、由于事件A，B能同时发生，则事件A，B不为对立事件，
B、由于事件A，B能同时发生，则事件A，B不为互斥事件，
C、由于事件A，B中有不同的样本点，则事件A，B不相等，
D、P(A)==，P(B)=，故P(A) = P(B),故选D.
课堂检测
1．给出事件A与B的关系示意图，如图所示，则(　　)
A．A B B．A B
C．A与B互斥 D．A与B互为对立事件
对于A，A与B之间不存在包含关系，故A错误;
对于B，A与B之间不存在包含关系，故B错误;
对于C，A与B不能同时发生，从而A与B是互斥，故C正确;
对于D，. AUB≠U，..A与B不互为对立事件，故D错误.
故选:C.
C
Ω
B
A
课堂检测
2．已知100件产品中有5件次品，从这100件产品中任意取出3件，设A表示事件“3件产品全不是次品”，B表示事件“3件产品全是次品”，C表示事件“3件产品中至少有1件次品”，则下列结论正确的是(　　)
A．B与C互斥 B．A与C互斥
C．A，B，C任意两个事件均互斥
D．A，B，C任意两个事件均不互斥
根据题意,从这100件产品任意取出3件，A表示事件“三件产品全不是次品”，即“三件产品都是正品”B表示事件“三件产品全是次品”，C表示事件“三件产品至少有一件是次品”，有3种情况:“三件次品”、“1件正品两件次品”“2件正品1件次品”;
对于A，事件B和事件C可以同时发生，不是互斥事件，A、C错误，
对于B，事件A和事件C不会同时发生，是互斥事件，B正确，D错误，
故选:B.
B
课堂检测
3．抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为(　　)
A．至多有2件次品 B．至多有1件次品
C．至多有2件正品 D．至少有2件正品
事件A为“至少有2件次品”的对立事件为“至多有1件次品”.
故选B.
B
课堂小结
(1)包含关系、相等关系的判定
①事件的包含关系与集合的包含关系相似；
②两事件相等的实质为相同事件，即同时发生或同时不发生．
(2)判断事件是否互斥的两个步骤
第一步，确定每个事件包含的结果；
第二步，确定是否有一个结果发生会意味着两个事件都发生，若是，则两个事件不互斥，否则就是互斥的．
(3)判断事件是否对立的两个步骤
第一步，判断是互斥事件；
第二步，确定两个事件必然有一个发生，否则只有互斥，但不对立．