(共28张PPT)
第一章
整式的乘除
1.1 同底数幂的乘法
授课人：XXXX
七年级数学北师版·下册
教学目标
1、经历探索同底数幂乘法运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力.
2、了解同底数幂乘法的运算性质，并能解决一些实际问题.
新课导入
光在真空中的速度大约是 3×108m/s．太阳系以外距离地球最近的恒星是比邻星，它发出的光到达地球大约需要4.22年．一年以3×107秒计算，比邻星与地球的距离约为多少？
3×108×3×107×4.22= 37.98× (108×107)．
108×107等于多少呢？
108×107=1015.
新课导入
1．计算下列各式：
（1）102×103 ；
（2）105×108 ；
（3）10m×10n（m，n 都是正整数）．
= 10×10×10×10×10
=105
102 × 103
（1）
=102+3
新知探究
新知探究
= 10×10×···×10
13个10
=10
13
10 × 10
5
8
（2）
=105+8
新知探究
= 10×10×···×10
(m+n)个10
=10
m+n
10 × 10
m
n
（3）
新知探究
2．2m×2n等于什么？
( )m× ( )n 呢？
（m，n都是正整数)
新知探究
= 2m+n.
m个2
n个2
2m×2n
=（2×2×···×2）×（2×2×···×2）
新知探究
=
=
m+n
m个
n个
这个结论是否具有一般性？如果底数同样也是字母呢？
新知探究
猜想 : am · an = (当m，n都是正整数).
am · an =
m个a
n个a
= a ·a· ··· ·a
= am+n.
(m+n)个a
即:
（a· a· ··· · a）
·（a· a· ··· ·a）
am+n
（乘方的意义）
（乘法结合律）
（乘方的意义）
证明：
am · an = am+n (当m，n都是正整数).
新知探究
同底数幂相乘，
底数 ，指数 .
不变
相加
同底数幂的乘法公式：
思考：当三个或三个以上同底数幂相乘时，同底数幂的乘法公式是否也适用呢？怎样用公式表示？
am·an·ap= am+n+p
（m，n，p都是正整数）.
am · an = am+n (当m，n都是正整数).
新知探究
例1.计算：
（1）(-3)7×(-3)6；
（2）( )3×( ) ；
（3）-x3·x5 ；
（4）b2m ·b2m+1 ．
新知探究
解：（1）(-3)7×(-3)6 =(-3)7+6 =(-3)13.
（2）( )3×( ) =( )3 +1 =( ) 4.
（3）-x3·x5 = -x3+5 = -x8.
（4）b2m ·b2m+1 =b2m+ 2m+1=b4m+1 .
同底数幂（底数相同的幂）的乘法法则：
同底数幂相乘，底数不变，指数相加 .
用字母表示：
am· an =am+n （m，n是正整数）.
新知探究
例2.光在真空中的速度约为 3×10 8 m/s，太阳光照射到地球上大约需要5×102 s．地球距离太阳大约有多远？
分析：
1.因为速度乘以时间等于距离，所以用光的速度乘以所有的时间即得地球和太阳的距离.
2.所得结果要用科学记数法来表示.
注意科学记数法表示数的形式
新知探究
解： 3×108× 5×102
= 15×1010
= 1.5×1011（m）.
答：地球距离太阳大约有 1.5×1011m．
新知探究
1、a · a9 = a2 · a8 = a3 · （ ）
=（ ） · （ ）=（ ） · （ ）
2、am+n = （ ）· an
3、am+n+2 = （ ）· an · （ ）
逆用同底数幂的乘法性质时，可把一个幂分成两个或多个同底数幂的乘积，底数与原底数相同，指数的和等于原来幂的指数.
a7
a4
a6
a5
a5
am
am
a2
同底数幂的乘法性质的逆运用：
新知探究
1．计算：
（1）52×57 ； （2）7×73×72 ；
（3）- x2 · x3 ； （4）( -c) 3 · (-c) m ．
新知探究
1．解：
（1）5 2 × 5 7 = 5 2+7 = 5 9 .
（2）7 × 7 3 × 7 2 = 7 1+3+2 = 7 6 .
（3）- x 2 · x 3 = - x2+3 = - x5 .
（4）( - c ) 3 · ( - c ) m = ( - c ) 3 +m．
同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
2．一种电子计算机每秒可做 4×109 次运算，它工作 5×102 s 可做多少次运算？
解： (4×109 )×(5×102)=20×1011 =2×1012.
答：工作 5×102 s 可做2×1012次运算.
新知探究
新知探究
同底数幂乘法公式的应用及注意事项
三点应用：
1.可把一个幂写成几个相同底数幂的乘积.
2.可逆用同底数幂的乘法公式进行计算或说理.
3.可把一些实际问题转化为同底数幂的乘法进行求解.
两点注意：
1.转化过程中要时刻注意幂的底数相同.
2.解题中要注意整体思想的应用.
新知探究
填空：
（1） 16 = 2x，则 x = ；
（2） 8× 4 = 2x，则 x = ；
（3） 3×27×9 = 3x，则 x = .
4
5
6
课堂小结
1．同底数幂的乘法表达式：
2．法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
am · an = am+n (当m，n都是正整数).
am · an · ap = am+n+p
（m，n，p都是正整数）.
课堂小测
1. (2a)3 · (2a)m等于（ ）
A．3(2a)m-4 B．(2a)m-1
C．(2a)m+3 D．(2a)m+1
解析： (2a)3 · (2a)m=(2a)m+3.
C
课堂小测
2. an · am 等于（ ）
A．am-n B．amn
C．am+a+n D．am+n
解析： an · am= am+n .
D
课堂小测
3. xa+n 可以写成（ ）
A．xa · xn B．xa +xn
C．x+xn D．axn
解析： xa · xn = xa+n .
A
课堂小测
4. -a · (-a)4 · (-a)b = a8，则b=_______.
分析：根据同底数幂的乘法法则可完成此题.
3
解答：-a · (-a)4 · (-a)b = (-a)1+4+b = a8，故b=3.(共19张PPT)
第一章
整式的乘除
七年级数学北师版·下册
1.6.1 完全平方公式的认识
授课人：XXXX
教学目标
1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释.（重点）
2.运用完全平方公式进行计算.（难点）
新课导入
情景导入
一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加 b 米.形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图). 用不同的形式表示实验田的总面积, 并进行比较.
直接求：总面积=(a+b)(a+b)
间接求：总面积=a2+ab+ab+b2
你发现了什么？
(a+b)2=a2+2ab+b2
a
a
b
b
问题1 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
（1） (p+1)2=(p+1)(p+1)= ；
p2+2p+1
（2） (m+2)2=(m+2)(m+2)= ；
m2+4m+4
（3） (p-1)2=(p-1)(p-1)= ；
p2-2p+1
（4） (m-2)2=(m-2)(m-2)= .
m2-4m+4
问题2 根据你发现的规律，你能写出下列式子的答案吗？
(a+b)2= .
a2+2ab+b2
(a-b)2= .
a2-2ab+b2
合作探究：
完全平方公式
新知探究
知识要点
完全平方公式
(a+b)2= .
a2+2ab+b2
(a-b)2= .
a2-2ab+b2
也就是说，两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式.
简记为：
“首平方，尾平方，积的2倍放中央”
新知探究
问题3 你能根据图①和图②中的面积说明完全平方公式吗
新知探究
b
a
a
b
b
a
b
a
图
①
图
②
新知探究
几何解释:
a
a
b
b
=
+
+
+
a2
ab
ab
b2
(a+b)2= .
a2+2ab+b2
和的完全平方公式：
新知探究
几何解释:
(a-b)2= .
a2-2ab+b2
差的完全平方公式：
a
a
b
b
-
-
a2
ab
b(a-b)
(a-b)2
=
-
-
a2-2ab+b2
新知探究
(a+b)2= a2+2ab+b2.
(a-b)2= a2-2ab+b2.
问题4 观察下面两个完全平方式，比一比，回答下列问题：
1.说一说积的次数和项数.
2.两个完全平方式的积有相同的项吗？与a,b有什么关系？
3.两个完全平方式的积中不同的是哪一项？与 a,b有什么关系？它的符号与什么有关？
二次
二次三项式
三项式
平方
乘积的2倍
新知探究
公式特征：
4.公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式.
1.积为二次三项式；
2.积中两项为两数的平方和；
3.另一项是两数积的2倍，且与两数中间的符号相同；
新知探究
想一想：下面各式的计算是否正确？如果不正确,应当怎样改正？
(1)(x+y)2=x2 +y2；
(2)(x -y)2 =x2 -y2；
(3) (-x +y)2 =x2+2xy +y2；
(4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2.
×
×
×
×
(x +y)2 =x2+2xy +y2
(x -y)2 =x2 -2xy +y2
(-x +y)2 =x2 -2xy +y2
(2x +y)2 =4x2+4xy +y2
新知探究
典例精析
运用完全平方公式计算：
解: (4m+n)2=
= 16m2
(1)(4m+n)2；
(a + b)2= a2 + 2ab + b2
(4m)2
+2 (4m) n
+n2
+ 8mn
+n2.
新知探究
(a - b)2 = a2 - 2 ab + b2
y2
=y2
-y
+
+
-2 y
(2)
解： =
新知探究
1. 利用完全平方公式计算：
(1)(5－a)2； (2)(－3m－4n)2； (3)(－3a＋b)2.
针对训练：
(3)(－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2.
解：(1)(5－a)2＝25－10a＋a2.
(2)(－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2.
新知探究
2. 利用平方差公式计算：
针对训练：
(1) ( x + 2y )( x – 2y) =______ ;
(2) (– x+y)(– x – y)=______ ;
(3) (mn – 3)(mn +3)= ______ ;
(4) (– 2x+y)(2x+y)= ______ .
x2 –4y2
x2 –y2
m2n2 –9
y2 –4x2
课堂小结
完全平方公式
法则
(a±b)2= a2 ±2ab+b2
公式特征
4.公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式.
1.积为二次三项式；
2.积中两项为两数的平方和；
3.另一项是两数积的2倍，且与两数中间的符号相同；
课堂小测
2.下列计算结果为2ab－a2－b2的是( )
A．(a－b)2 B．(－a－b)2
C．－(a＋b)2 D．－(a－b)2
1.运用乘法公式计算(a-2)2的结果是（ ）
A．a2-4a+4 B．a2-2a+4
C．a2-4 D．a2-4a-4
A
D
课堂小测
3.运用完全平方公式计算:
(1) (6a+5b)2=_______________；
(2) (4x-3y)2=_______________ ；
(3) (2m-1)2 =_______________；
(4) (-2m-1)2 =_______________.
36a2+60ab+25b2
16x2-24xy+9y2
4m2+4m+1
4m2-4m+1
4.由完全平方公式可知：32＋2×3×5＋52＝(3＋5)2＝64，运用这一方法计算：4.3212＋8.642×0.679＋0.6792＝________．
25(共19张PPT)
第一章
整式的乘除
七年级数学北师版·下册
1.5.2 平方差公式的运用
授课人：XXXX
教学目标
1.掌握平方差公式，熟练运用平方差公式.（重点）
2.灵活运用平方差公式进行计算和解决实际问题.（难点）
(a+b)(a b)=
a2 b2
两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差.
公式变形:
1.(a – b ) ( a + b) = a2 - b2
2.(b + a )( -b + a ) = a2 - b2
知识回顾
平方差公式
新课导入
新课导入
复习引入
计算：(1)(4x＋5 )(4x－5 ) ；
(2)(-2x+3y)(-2x-3y).
(2) 原式＝ (-2x)2 - (3y)2
＝4x2 - 9y2.
解: (1) 原式=(4x)2－52
=16x2－25.
新知探究
方法总结：应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；
(3)公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式．
新知探究
例1 计算:
(1) 102×98 ;
(2) (y+2) (y-2) – (y-1) (y+5) .
解: (1) 102×98
(2) (y+2)(y-2)- (y-1)(y+5)
= 1002-22
= 10000 – 4
= (100＋2)(100－2)
= 9996.
= y2-22-(y2+4y-5)
= y2-4-y2-4y+5
= - 4y + 1.
通过合理变形，利用平方差公式，可以简化运算.
不符合平方差公式运算条件的乘法，按乘法法则进行运算.
新知探究
针对训练
计算:
(1) 51×49; (2)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2) .
解: (1) 原式= (50＋1)(50－1)
= 502-12
= 2500 – 1
= 2499.
(2) 原式= (3x)2-42-(6x2+5x-6)
= 9x2-16-6x2-5x+6
= 3x2-5x-10.
新知探究
例2 先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2.
原式＝5×12－5×22＝－15.
解：原式＝4x2－y2－(4y2－x2)
＝4x2－y2－4y2＋x2
＝5x2－5y2.
当x＝1，y＝2时，
新知探究
例3 对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的整数倍吗？
即(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值是10的倍数．
解：原式＝9n2－1－(9－n2)
＝10n2－10.
因为(10n2－10)÷10=n2-1，
n为正整数，
所以n2-1为整数，
新知探究
方法总结：对于平方差中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式，在
探究整除性或倍数问题时，一般先将代数式化为最简，然后根据结果的特征，判
断其是否具有整除性或倍数关系．
新知探究
例4 王大伯把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
因为a2＞a2－16，
解：李大妈吃亏了．
理由：原正方形的面积为a2，
改变边长后面积为(a＋4)(a－4)＝a2－16.
所以李大妈吃亏了．
新知探究
方法总结：解决实际问题的关键是根据题意列出算式，然后根据公式
化简算式，解决问题．
课堂小结
1、平方差公式中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或者是多项式，在探究整除性或倍数问题时，一般先将代数式化为最简，然后根据结果的特征，判断其是否具有整除性或倍数关系．
2、解决实际问题的关键是根据题意列出算式，然后根据公式化简算式，解决问题．
课堂小测
1.计算： 20152 － 2014×2016.
解：
20152 － 2014×2016
= 20152 － (2015－1)(2015+1)
= 20152
－ (20152－12 )
= 20152
－ 20152+12
= 1.
课堂小测
2.利用平方差公式计算:
(1) (a-2)(a+2)(a2 + 4)
解:原式=(a2-4)(a2+4)
=a4-16.
(2) (x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4).
解：原式=(x2-y2)(x2+y2)(x4+y4)
=(x4-y4)(x4+y4)
=x8-y8.
课堂小测
3.先化简，再求值：(x＋1)(x－1)＋x2(1－x)＋x3，其中x＝2.
解：原式=x2－1＋x2－x3＋x3
=2x2－1.
将x＝2代入上式，
原式=2×22-1=7.
课堂小测
4.已知x≠1，计算：(1－x) (1＋x) ＝1－x2，(1－x)(1＋x＋x2)＝1－x3，(1－x)(1＋x＋x2＋x3)＝1－x4．
(2)根据你的猜想计算：
①(1－2)(1＋2＋22＋23＋24＋25)＝________；
②2＋22＋23＋…＋2n＝________(n为正整数)；
③(x－1)(x99＋x98＋x97＋…＋x2＋x＋1)＝________.
1－xn+1
-63
2n＋1－2
x100－1
(1)观察以上各式并猜想：(1－x)(1＋x＋x2＋…＋xn)＝________(n为正整数)；
课堂小测
(3)通过以上规律请你进行下面的探索：
①(a－b)(a＋b)＝________；
②(a－b)(a2＋ab＋b2)＝________；
③(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝________．
a2－b2
a3－b3
a4－b4 (共19张PPT)
第一章
整式的乘除
七年级数学北师版·下册
1.7.2 多项式除以单项式
授课人：XXXX
教学目标
1.经历探索整式除法运算法则的过程，进一步体会类比方法的作用，发展运算能力．
2.会进行多项式除以单项式的除法运算．
3.理解除法运算的算理，发展有条理的思考及表达能力.
新课导入
单项式相除, 把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.
情景导入
单项式除以单项式的运算法则：
计算：(1)(2a2b2c)4z÷(－2ab2c2)2；(2)(3x3y3z)4÷(3x3y2z)2÷x2y6z．
解：(1)原式＝16a8b8c4z÷4a2b4c4＝4a6b4z.
(2)原式＝81x12y12z4÷9x6y4z2÷x2y6z＝9x4y2z.
问题1 一幅长方形油画的长为(a+b)，宽为m，求它的面积.
面积为(a+b)m = am+bm
问题2 若已知油画的面积为(am+bm)，宽为m，如何求它的长？
(am+bm)÷m
新知探究
多项式除以单项式
新知探究
问题3 如何计算（am+bm) ÷m
计算（am+bm) ÷m就是相当于求（ ） ·m=am+bm,因此不难想到括里应填a+b.
又知am ÷m+bm ÷m=a+b，
即 (am+bm) ÷m=am ÷m+bm ÷m.
多项式除以单项式
新知探究
知识要点
多项式除以单项式的法则
多项式除以单项式，就是用多项式的 除以这个 ，再把所得的商 .
单项式
每一项
相加
关键：
应用法则是把多项式除以单项式转化为单项式除以单项式.
新知探究
典例精析
例1 计算(12a3-6a2+3a) ÷3a.
解： (12a3-6a2+3a) ÷3a
=12a3÷3a+(-6a2) ÷3a+3a÷3a
=4a2+(-2a)+1
=4a2-2a+1.
方法总结：多项式除以单项式，实质是利用乘法的分配律，将多项式除以单项式问题转化为单项式除以单项式问题来解决．计算过程中，要注意符号问题.
新知探究
计算：(1)(6x3y4z－4x2y3z＋2xy3)÷2xy3；
(2)(72x3y4－36x2y3＋9xy2)÷(－9xy2)．
针对训练：
(2)原式＝72x3y4÷(－9xy2)＋(－36x2y3)÷(－9xy2)＋9xy2÷(－9xy2)
＝－8x2y2＋4xy－1.
解：(1)原式=6x3y4z÷2xy3－4x2y3z÷2xy3＋2xy3÷2xy3
=3x2yz－2xz＋1.
新知探究
例2 先化简，后求值：[2x(x2y－xy2)＋xy(xy－x2)]÷x2y，其中x＝2015，y＝2014.
解：原式＝[2x3y－2x2y2＋x2y2－x3y]÷x2y，
原式＝x－y
＝2015－2014
＝1.
＝x－y.
把x＝2015，y＝2014代入上式，得
新知探究
新知探究
1. 下列计算正确的是（ ）
C
练习：
新知探究
2. 计算：[(x＋2y)2－(x＋y)(3x－y)－5y2]÷2x .
解：原式 ＝ [x2＋4xy＋4y2－(3x2－xy＋3xy－y2)－5y2]÷2x
＝ (x2＋4xy＋4y2－3x2＋xy－3xy＋y2－5y2)÷2x
＝ (－2x2＋2xy)÷2x
＝ －x＋y.
新知探究
3. 计算：
新知探究
(x - 1)
课堂小结
多项式除以单项式的法则
多项式除以单项式，就是用多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.
关键：
方法总结：
应用法则是把多项式除以单项式转化为单项式除以单项式.
多项式除以单项式，实质是利用乘法的分配律，将多项式除以单项式问题转化为单项式除以单项式问题来解决．计算过程中，要注意符号问题.
1．小亮在计算(6x3y－3x2y2)÷3xy时，错把括号内的减号写成了加号，那么正确结果与错误结果的乘积是( )
A．2x2－xy B．2x2＋xy
C．4x4－x2y2 D．无法计算
2．任意给定一个非零数m，按下列箭头顺序执行方框里相应运算，得出结果后，再进行下一方框的相应运算，最后得到的结果是( )
A．m B．m2
C．m＋1 D．m－1
平方
结果
C
C
课堂小测
3．现有两张铁皮，长方形铁皮的长为x＋2y，宽为x－2y(x－2y>0)，正方形铁皮的边长为2(x－y)，现根据需要，要把两张铁皮切割后焊成一张长方形铁皮，要求新铁皮长为6x，请你求出新铁皮的宽．
课堂小测
课堂小测
4.先化简，再求值：(x＋y)(x－y)－(4x3y－8xy3)÷2xy，其中x＝1，y＝－3.
解：原式＝x2－y2－2x2＋4y2
原式＝－12＋3×(－3)2＝－1＋27＝26.
当x＝1，y＝－3时，
＝－x2＋3y2.(共19张PPT)
第一章
整式的乘除
七年级数学北师版·下册
1.5.1 平方差公式的认识
授课人：XXXX
教学目标
1.经历平方差公式的探索及推导过程，掌握平方差公式的结构特征.（重点）
2.能应用平方差公式进行简单的计算.（难点）
新课导入
情境引入
多项式与多项式是如何相乘的？
(x ＋ 3)( x＋5)
=x2
＋5x
＋3x
＋15
=x2
＋8x
＋15
(a+b)(m+n)
= am
+ an
+ bm
+ bn
新课导入
探究发现
a
5
5
a
(a-5)
你发现了什么？
平方差公式
(a-5)
a2 － 52
(a＋5)(a－5)
=
新课导入
①(x ＋ 1)( x－1)；
②(m ＋ 2)( m－2)；
③(2m＋ 1)(2m－1)；
④(5y ＋ z)(5y－z).
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
算一算：看谁算得又快又准.
新知探究
②(m＋ 2)( m－2)；
③(2m＋ 1)( 2m－1)；
④(5y ＋ z)(5y－z).
①(x ＋1)( x－1)；
想一想：这些计算结果有什么特点？
=x2 － 12
=m2－22
=(2m)2 － 12
=(5y)2 － z2
新知探究
(a+b)(a b)=
a2 b2
两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差.
公式变形:
1.(a – b ) ( a + b) = a2 - b2
2.(b + a )( -b + a ) = a2 - b2
知识要点
平方差公式
新知探究
平方差公式
注：这里的两数可以是两个单项式也可以是两个多项式．
(a+b)(a-b)=(a)2-(b)2
相同为a
相反为b，-b
适当交换
合理加括号
新知探究
(1+x)(1-x)
(-3+a)(-3-a)
(0.3x-1)(1+0.3x)
(1+a)(-1+a)
填一填：
a
b
a2-b2
1
x
-3
a
12-x2
(-3)2-a2
a
1
a2-12
0.3x
1
( 0.3x)2-12
(a-b)(a+b)
新知探究
练一练：计算下列各题：
(l) (-a+b)(a+b)=_________；
(2) (a-b)(b+a)= __________；
(3) (-a-b)(-a+b)= ________；
(4) (a-b)(-a-b)= _________.
a2-b2
a2-b2
b2-a2
b2-a2
新知探究
典例精析
计算：(1) (3x＋2 )( 3x－2 ) ；
(2) (-x+2y)(-x-2y).
(2) 原式＝ (-x)2 - (2y)2
＝x2 - 4y2.
解: (1) 原式=(3x)2－22
=9x2－4.
新知探究
方法总结：应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；
(3)公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式．
新知探究
利用平方差公式计算：
(1)(3x－5)(3x＋5)； (2)(－2a－b)(b－2a)；
(3)(－7m＋8n)(－8n－7m)．
针对训练
解：(1)原式=(3x)2－52＝9x2－25.
(2)原式=(－2a)2－b2＝4a2－b2.
(3)原式=(－7m)2－(8n)2＝49m2－64n2.
课堂小结
平方差公式
内容
注意
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差
1.符号表示：(a+b)(a-b)=a2-b2
2.紧紧抓住 “一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；对于不能直接应用公式的，可能要经过变形才可以应用
课堂小测
(1) (a+b)( a b) ；
(2) (a b)(b a) ;
(3) (a+2b)(2b+a) ;
(4) (a b)(a+b) ;
(5) ( 2x+y)(y 2x) .
(不能)
1. 下列式子可用平方差公式计算吗 如果能够，请写出结果.
(不能)
(不能)
(能)
(a2 b2)=
a2 + b2 ;
(不能)
课堂小测
2. 填空：
(1) ( x+2y) ( -x+2y) = __________________；
(2) (3m-5n)(5n+3m) = __________________；
(3) (-1+x )(-1- x ) = __________________；
(4) (-2b- 5) (2b -5) = ___________________.
4y2-x2
9m2-25n2
1 - x2
25 - 4b2
课堂小测
3. 下列运算中，可用平方差公式计算的是( )
A．(x＋y)(x＋y) B．(－x＋y)(x－y)
C．(－x－y)(y－x) D．(x＋y)(－x－y)
C
4. 计算（2x+1）（2x-1）等于（ ）
A．4x2-1 B．2x2-1 C．4x-1 D．4x2+1
A
5. 两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是________．
10
课堂小测
（1）(a+3b)(a- 3b)；
=4a2－9.
=4x4－y2.
原式=(2a+3)(2a-3)
=a2－9b2 .
=(2a)2－32
原式=(-2x2 )2－y2
原式=(a)2－(3b)2
（2）(3+2a)(－3+2a)；
（3）(－2x2－y)(－2x2+y).
6. 利用平方差公式计算：(共19张PPT)
第一章
整式的乘除
七年级数学北师版·下册
1.4.1 单项式与单项式相乘
授课人：XXXX
教学目标
1.掌握单项式与单项式相乘的运算法则.（重点）
2.能够灵活地进行单项式与单项式相乘的运算.（难点）
新课导入
复习引入
1.幂的运算性质有哪几条？
同底数幂的乘法法则：am·an=am+n ( m，n都是正整数).
幂的乘方法则：(am)n=amn ( m，n都是正整数).
积的乘方法则：(ab)n=anbn ( m，n都是正整数).
2.计算：(1) x2 · x3 · x4= ; (2)(x3)6= ;
(3) (-2a4b2)3= ; (4) (a2)3 · a4= ；
(5) (-0.04) ×(-25) = .
x9
x18
-8a12b6
a10
1
新课导入
问题1： 光的速度约为3×105km/s，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102s，你知道地球与太阳的距离约是多少吗
地球与太阳的距离约是(3×105)×(5×102)km.
单项式与单项式相乘
新课导入
(3×105)×(5×102)
= (3×5)×(105×102)
= 15×107.
乘法交换律、结合律
同底数幂的乘法
这种书写规范吗？
不规范，应为1.5×108.
想一想：怎样计算（3 ×105）×（5 ×102）？计算过程中用到了哪些运算律及运算性质？
新课导入
问题2： 如果将上式中的数字改为字母，比如ac5 ·bc2,怎样计算这个式子？
根据以上计算，想一想如何计算单项式乘以单项式？
ac5 ·bc2= (a · b) · (c5 · c2) (乘法交换律、结合律）
= abc5+2 (同底数幂的乘法）
= abc7.
新知探究
单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
知识要点
单项式与单项式的乘法法则
（1）系数相乘；
（2）相同字母的幂相乘；
（3）其余字母连同它的指数不变，作为积的因式.
注意
新知探究
典例精析
例1 计算：
(1) (-5a2b)(-3a)； (2) (2x)3(-5xy3).
解：(-5a2b)(-3a)
= [(-5)×(-3)](a2 · a)b
= 15a3b.
解：(2x)3(-5xy3)
= 8x3 · (-5xy3)
= [8×(-5)] · (x3 · x)y3
= -40x4y3.
单项式与单项式相乘
有理数的乘法与同底数幂的乘法
乘法交换律和结合律
转化
单项式相乘的结果仍是单项式
新知探究
方法总结：
(1)在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；
(2)注意按顺序运算；
(3)不要漏掉只在一个单项式里含有的字母因式；
(4)此性质对于多个单项式相乘仍然成立．
新知探究
计算：
(1) 3x2 ·5x3 ； (2)4y ·(-2xy2)；
(3) (-3x)2 ·4x2 ； (4)(-2a)3(-3a)2.
解：(1)原式=(3×5)·(x2·x3)=15x5；
(2)原式=[4×(-2)]·(y·y2) ·x=-8xy3；
(3) 原式=9x2·4x2 =(9×4)·(x2·x2)=36x4；
(4)原式=-8a3·9a2 =[(-8)×9]·(a3·a2)=-72a5.
单独因式 x 别漏乘漏写
有乘方运算，先算乘方，再算单项式相乘.
注意
针对训练：
新知探究
下面计算结果对不对？如果不对，应当怎样改正？
(1)3a3 ·2a2=6a6 ； ( ) 改正： .
(2) 2x2 ·3x2=6x4 ； ( ) 改正： .
(3)3x2 ·4x2=12x2 ； ( ) 改正： .
(4) 5y3·3y5=15y15 . ( ) 改正： .
3a3 ·2a2=6a5
3x2 ·4x2=12x4
5y3·3y5=15y8
×
×
×
练一练：
新知探究
例2 已知－2x3m＋1y2n与7xn－6y－3－m的积与x4y是同类项，求m2＋n的值．
解：因为－2x3m＋1y2n与7xn－6y－3－m的积与x4y是同类项，
所以 m2＋n＝7.
解得
方法总结：单项式乘以单项式就是把它们的系数和同底数幂分别相乘，结合同类项的定义，列出二元一次方程组求出参数的值，然后代入求值即可．
所以
课堂小结
单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
单项式与单项式的乘法法则
（1）系数相乘；
（2）相同字母的幂相乘；
（3）其余字母连同它的指数不变，作为积的因式.
注意
课堂小测
1.判断正误
×
×
×
×
（1）4a2 2a4 = 8a8 ；（ ）
（2）6a3 5a2=11a5 ；（ ）
（3）(-7a) (-3a3) = -21a4 ； （ ）
（4）3a2b 4a3=12a5. （ ）
系数相乘.
同底数幂的乘法，底数不变，指数相加.
只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里，防止遗漏.
求系数的积，应注意符号.
课堂小测
2.计算 3a2·2a3的结果是（ ）
A.5a5 B.6a5 C.5a6 D.6a6
3.计算（-9a2b3)·8ab2的结果是（ ）
A.-72a2b5 B.72a2b5 C.-72a3b5 D.72a3b5
4.若（ambn）· (a2b)=a5b3 那么m+n=( )
A.8 B.7 C.6 D.5
B
C
D
课堂小测
5. 计算：
（1） 3x2y （－2xy3）；
（2）（－5a2b3） （－4b2c）.
解： （ 1）3x2y （－2xy3）
＝ [3 （－2）] （x2 x） （y y3）
＝ －6x3y4.
（2）（－5a2b3） （－4b2c）
＝ [（－5） （－4）] a2 （b3 b2） c
＝ 20a2b5c.
课堂小测
-9x3y2
a2bxn+2
a6nb6n
2×1012
6. 计算：
(5)
(4)
;
(3)
;
(2)
;
(1)
;
课堂小测
7. 计算：
解：
;
.(共19张PPT)
第一章
整式的乘除
1.3.2 用科学记数法表示绝对值小于1的数
授课人：XXXX
七年级数学北师版·下册
教学目标
1、进一步了解负整数指数幂的意义；
2、会利用10的负整数次幂，用科学记数法表示绝对值小于1的数.
新课导入
绝对值大于10的数记成a×10n的形式，其中1≤a<10，n是正整数.
忆一忆：
例如，864000可以写成 .
怎样把0.0000864用科学记数法表示？
8.64×105
想一想：
科学记数法
新知探究
探一探：
因为
所以， 0.0000864=8.64 ×0.00001=8.64 ×10-5.
类似地，我们可以利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成a×10- n的形式，其中n是正整数，1≤∣a∣＜10.
0.001
= = .
新知探究
算一算：
10－2= ___________; 10－4= ___________;
10－8= ___________.
议一议：指数与运算结果的0的个数有什么关系？
一般地，10的-n次幂，在1前面有_________个0.
想一想：10－21的小数点后的位数是几位？1前面有几个零？
0.01
0.0001
0.00000001
通过上面的探索，你发现了什么？
n
21
21
新知探究
用科学记数法表示一些绝对值小于1的数的方法：
即利用10的负整数次幂，把一个绝对值小于1的数表示成a×10-n的形式，其中n是正整数， 1≤│a│ <10 . n等于原数第一个非零数字前所有零的个数（特别注意：包括小数点前面的零）.
知识要点
新知探究
例1 用小数表示下列各数：
(1)2×10－7； (2)3.14×10－5；
(3)7.08×10－3； (4)2.17×10－1.
解析：小数点向左移动相应的位数即可．
解：(1)2×10－7＝0.0000002；
(2)3.14×10－5＝0.0000314；
(3)7.08×10－3＝0.00708；
(4)2.17×10－1＝0.217.
新知探究
例2 纳米（nm）是非常小的长度单位，1nm=10-9m.把1nm3的 物体放到乒乓球上，就如同把乒乓球放到地球上.1mm3的空间
可以放多少个1nm3的物体（物体之间隙忽略不计）？
答：1mm3的空间可以放1018个1nm3的物体.
1018是一个非常大的数，它是1亿（即108）的100亿（即1010）倍.
解：
,
.
新知探究
练一练 1. 用科学记数法表示下列各数：
(1) 0.3； (2) -0.00078；
(3) 0.00002009.
= 3×10－1
= -7.8×10－4
= 2.009×10－5
2. 下列是用科学记数法表示的数，试写出它的原数：
(1) 4.5×10－8 =_________________；
(2) -3.14×10－6 =_________________.
0.000000045
-0.00000314
新知探究
3. 用科学记数法把0.0000000855表示成8.55×10n，那么n= .
4. 2007年4月，全国铁路进行了第六次大提速，提速后的线路时速达200千米 .共改造约6000千米的提速线路，总投资约296亿元人民币，平均每千米提速线路的投资约 亿元人民币（用科学记数法，保留三位有效数字）.
-8
4.93×10－2
新知探究
5. 下列各数是用科学记数法表示的数是（ ）
A. -2×10-2 B. 0.12×103
C. 12.3×10-4 D. 541×10-2
A
注意： 1≤│a│<10.
新知探究
6. 人体中成熟的红细胞的平均直径为0.0000077m，用科学记数法表示为（ ）
A. 7.7×10-5m B. 77×10-6m
C. 77×10-5m D. 7.7×10-6m
D
注意： 1≤│a│<10，
n等于原数第一个非零数字前所有零的个数.
课堂小结
用科学记数法表示一些绝对值小于1的数的方法：
即利用10的负整数次幂，把一个绝对值小于1的数表示成a×10-n的形式，其中n是正整数， 1≤│a│ <10 . n等于原数第一个非零数字前所有零的个数（特别注意：包括小数点前面的零）.
把a×10－n还原成原数时，只需把a的小数点向左移动n位.
课堂小测
1.用科学记数法表示：
（1）0.00003； （2）-0.0000064；
（3）0.0000314；
2.用科学记数法填空：
（1）1 s是1 μs的1000000倍，则1 μs＝______s；
（2）1 mg＝______kg；（3）1 μm ＝______m；
（4）1 nm＝______ μm ；（5）1 cm2＝______ m2 ；
（6）1 mL ＝______m3.
课堂小测
3. 下列是用科学记数法表示的数，写出原来的数.
（1）2×10－8； （2）7.001×10－6.
答案:（1）0.00000002 （2）0.000007001
4. 比较大小：
（1）3.01×10－4_______9.5×10－3；
（2）3.01×10－4________3.10×10－4.
<
<
5. 用科学记数法把0.000009405表示成9.405×10n，那么n= .
-6
课堂小测
6. 2.12×10-3写成小数形式为（ ）
A. 2120 B. 212000
C. 0.00212 D. 0.000212
C
把a×10－n还原成原数时，只需把a的小数点向左移动n位.
课堂小测
7. 已知空气的单位体积质量是0.001239g/cm3，则用科学记数法表示该数为（ ）
A. 1.239×10-3g/cm3 B. 1.239×10-2g/cm3
C. 0.1239×10-2g/cm3 D. 12.39×10-4g/cm3
注意： 1≤│a│<10，
n等于原数第一个非零数字前所有零的个数.
A
课堂小测
8. 2.4×10-3则所表示的小数是 .
点拨：
1、数清数中左起第一个非0的数字前面有几个0，用科学记数法表示时10的指数就是负几；
2、n=-3，还原后的数中2前面有3个0（包括整数部分的那个0），可得结果.
2.4×10-3=0.0024 .
0.0024(共17张PPT)
第一章
整式的乘除
七年级数学北师版·下册
1.6.2 完全平方公式的运用
授课人：XXXX
教学目标
1.进一步掌握完全平方公式.（重点）
2.灵活运用完全平方公式进行计算.（难点）
新课导入
情景导入
a2+2ab+b2
(a+b)2= .
(a-b)2= .
a2-2ab+b2
“首平方，尾平方，积的2倍放中央”
复习完全平方公式
(1) (-x-y)2 =x2-2xy +y2
(2) (4x+y)2 =16x2 +4xy +y2
×
×
(-x -y)2 =x2 +2xy +y2
(4x +y)2 =16x2+8xy +y2
下面各式的计算是否正确？
新知探究
典例精析
例1 运用完全平方公式计算：
解: (5m+n)2=
= 25m2+ 10mn+n2.
（1）(5m+n)2；
(a + b)2= a2 + 2ab + b2
(5m)2
+2 (5m) n
+n2
新知探究
=( )2 32
a+b
=a2 +2ab+b2-9.
解：原式=
[ (a+b) +3] [ (a+b) -3]
（2）(a+b+3)(a+b-3)；
温馨提示：
将(a+b)看作一个整体
新知探究
= a2 - (b - c)2
= a2 - (b2 - 2bc+c2)
温馨提示：
将(b-c)看作一个整体.
解：原式=
[ a+ (b - c)] [ a - (b - c)]
（3）(a+b-c)(a-b+c).
= a2 - b2+2bc - c2.
新知探究
(1) 1022；
解：(1) 1022
= (100+2)2
= 10000+400+4
= 10404.
(2) 992.
(2)992
= (100 -1)2
= 10000 -200+1
= 9801.
例2 运用完全平方公式计算：
方法总结：运用完全平方公式进行简便计算，要熟记完全平方公式的特征，将原式转化为能利用完全平方公式的形式．
新知探究
解 : (3) 4982 = (500-2)2
= 5002-2×500×2+22
= 250000-2000+4
= 248004.
(4)79.82 = (80-0.2)2
=802-2×80×0.2+0.22
= 6400-32+0.04
= 6368.04.
(3) 4982；
(4) 79.82 .
新知探究
利用乘法公式计算：
(1)982－101×99； (2)20162－2016×4030＋20152.
针对训练：
＝(2016－2015)2
＝1.
解：(1)原式＝(100－2)2－(100＋1)(100－1)
＝1002－400＋4－1002＋1
＝－395.
(2)原式＝20162－2×2016×2015＋20152
新知探究
例3 已知x－y＝6，xy＝－8.求: (1) x2＋y2的值； (2)(x+y)2的值.
＝36－16
＝20.
解：(1)因为x－y＝6，xy＝－8，
(x－y)2＝x2＋y2－2xy，
所以x2＋y2＝(x－y)2＋2xy
(2)因为x2＋y2＝20，xy＝－8，
所以(x+y)2＝x2＋y2＋2xy
＝20－16
＝4.
新知探究
方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的变式
变式一：a2+b2=(a+b)2-2ab
变式二：a2+b2=(a-b)2+2ab
变式五：(a+b)2-(a-b)2=4ab
变式三：(a+b)2=(a-b)2+4ab
变式四：(a-b)2=(a+b)2-4ab
课堂小结
完全平方公式
法则
注意
(a±b)2= a2 ±2ab+b2
1.项数、符号、字母及其指数；
常用
结论
2.弄清完全平方公式和平方差公式不同（从公式结构特点及结果两方面）.
a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab;
4ab=(a+b)2-(a-b)2.
课堂小测
1. 填空:
（1）( 2x + y)2 = 4x2 + ( _____ ) + y2；
（2）(x _____)2 = x2 – (_____) + 25y2；
（3）(___ b )2 = 9a2 (___ ) + (____)2.
4xy
5y
10xy
3a
b
6ab
课堂小测
2. 已知(a-b)2＝13，ab= 3，则a+b= .
3. 已知(a+b)2＝5，(a-b)2＝6，则a2+b2= .
(a+b)2=(a-b)2+4ab=13+12=25，
a+b=±5.
±5
(a+b)2+(a-b)2=2a2 +2b2 =5+6=11，
课堂小测
4. 若a+b=5,ab=-6, 求a2+b2与a2-ab+b2的值.
解： a2+b2
= (a+b)2-2ab
= 52-2×(-6)
= 37；
a2-ab+b2
= a2+b2-ab
= 37-(-6)
= 43.
课堂小测
5.已知x+y=8,x-y=4,求xy的值.
解：因为x+y=8, 所以(x+y)2=64,
即x2+y2+2xy=64①.
因为x-y=4, 所以(x-y)2=16,
即x2+y2-2xy=16②.
由①-②得
4xy=48，
所以xy=12.(共19张PPT)
第一章
整式的乘除
1.2.1 幂的乘方
授课人：XXXX
七年级数学北师版·下册
教学目标
1、理解并掌握幂的乘方法则；（重点）
2、掌握幂的乘方法则的推导过程并能灵活应用.（难点）
新课导入
地球、木星、太阳可以近似地看做是球体 .木星、太阳的半径分别约是地球的10倍和102倍，它们的体积分别约是地球的多少倍？
V球= —πr3 ，
其中V是球的体积、r是球的半径.
3
4
103倍
(102)3倍
新课导入
计算下列各式，并说明理由 .
(1) (62)4 ; (2) (a2)3 ; (3) (am)2 ; (4) (am)n .
解：(1) (62)4
(2) (a2)3
(3) (am)2
= 62×62× 62×62
= 62+2+2+2
= 68，
= a2 · a2 · a2
= a2+2+2
= a6，
= am · am
= am+m，
猜想
= 62×4 ;
(62)4
= a2×3 ;
(a2)3
= a2m ;
(am)2
底数
指数
不变
相乘
新课导入
(4) (am)n
=am · am · … · am
个am
=am+m+ … +m
=amn.
（幂的意义）
（同底数幂的乘法性质）
（乘法的意义）
n
个m
n
新知探究
【例】计算：
(1) (102)3 ; (2) (b5)5 ; (3) (an)3;
(4) -(x2)m ; (5) (y2)3 · y ; (6) 2(a2)6 － (a3)4 .
新知探究
(6) 2(a2)6 – (a3)4
=102×3
=106 ;
(1) (102)3
解：
(2) (b5)5
= b5×5
= b25 ;
(3) (an)3
= an×3
=a3n ;
(4) -(x2)m
= -x2×m
= -x2m ;
(5) (y2)3 · y
= y2×3 · y
= y6 · y
=2a2×6 - a3×4
=2a12-a12
=a12.
= y7;
新知探究
109
-a10
x14
x6
a6
0
1. 计算：
(1) (103)3 ; (2) -(a2)5 ; (3) (x3)4 · x2 ;
(4) [(-x)2 ]3 ; (5) (-a)2 · (a2)2 ; (6) x · x4 – x2 · x3 .
新知探究
(am)n=amn (m，n都是正整数).
幂的乘方，
幂的乘方法则
底数
指数
不变
相乘
a可以是单项式，多项式.
[(am)n ]p=
amnp (m，n，p都是正整数).
新知探究
x9
a10
同底数幂乘法的运算性质：
am · an
=
am+n
（m,n都是正整数）.
(am)n=amn (m,n都是正整数).
幂的乘方的运算性质：
2. 判断下面计算是否正确？若有错误请改正.
(1) (x3)3 = x6 ; (2)a6 · a4 = a24 .
新知探究
amn = (am)n = (an)m (m,n都是正整数).
4
6
9
a4
a6
公式的逆运用
a12 ＝(a3) ＝(a2)
＝( )3 ＝( )2
＝a3 ·a
新知探究
1. 已知24×8n=213，那么n的值是 .
3
2. 已知10x=m，10y=n，则102x+3y 等于 .
m2n3
24×8n=24×(23)n=24×23n=24+3n
4+3n=13
n=3.
102x+3y=102x×103y=(10x)2× (10y)3=m2n3.
课堂小结
同底数幂乘法的运算性质：
am·an=am+n(m,n都是正整数).
底数 ，
指数 .
幂的乘方的运算性质：
(am)n = amn (m,n 都是正整数).
底数 ，
指数 .
相加
相乘
不变
不变
幂的意义
课堂小测
（2） 32 · 9m ＝3( ).
（3） y3n ＝3, y9n ＝ .
（4） 若4 · 8m · 16m ＝29 ，则m＝ .
2m+2
27
1
1. 填空题
（1）（a2）m+1 ＝ .
a2m+2
课堂小测
2.若 =x8，则m=_________.
3.若[(x3)m]2=x12，则m=________.
4.若xm · x2m=2，求x9m的值.
5.若a2n=3，求(a3n)4的值.
6.已知am=2,an=3,求a2m+3n的值.
解：xm · x2m=x3m=2 , x9m=(x3m)3=23=8.
4
2
(a3n)4=a12n=(a2n)6=36=729.
a2m+3n=a2m · a3n=(am)2 · (an)3=22×33=108.
课堂小测
解：因为
所以
即
7. 若 比较a、b、c 的大小．
课堂小测
8.下列计算中，正确的有（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.4个
9.若644×83=2n，则n的值是（ ）
A.11 B.18 C.30 D.33
A
D
644= （26）4=224
83= （23）3=29
n=24+9=33
课堂小测
11.已知x3n=2，求x6n+x4nx5n的值．
解：x6n+x4nx5n
=x6n+x9n
= (x3n)2+(x3n)3
= 22+23
=4+8
=12
10.若x+4y=4，求2x·16y 的值.
解：2x·16y=2x·24y=2(x+4y)=24=16.(共19张PPT)
第一章
整式的乘除
1.3.1 同底数幂的除法
授课人：XXXX
七年级数学北师版·下册
教学目标
1、经历探索同底数幂的除法的运算性质的过程，进一步体会幂的意义．
2、了解同底数幂的除法的运算性质，并能解决一些实际问题.
新课导入
你能计算下列两个问题吗(填空)？
2
2
2
2
2
2
2
2
2
5-3
（4）能不能证明你的结论呢？
a
a
a
a
a
1
3-2
（3）猜想： am÷an=a（ ） (a≠0) ；
m-n
(m－n)个a
m个a
n个a
猜想: (a≠0，m , n 都是正整数，且m>n).
新知探究
新知探究
同底数幂相除，底数不变，指数相减．
同底数幂的除法法则:
条件：①除法 ②同底数幂
结果：①底数不变 ②指数相减
注意:
即 (a≠0，m , n 都是正整数，且m>n).
新知探究
【例1】计算：
(1) a7÷a4 ; (2) (-x)6÷(-x)3;
(3) (xy)4÷(xy) ; (4) b2m+2÷b2 .
注意：
最后结果中幂的形式应是最简的.
① 幂的指数、底数都应是最简的；
幂的底数是积的形式时，要再用一次(ab)n=an bn.
②底数中系数不能为负；
a3
-x3
x3y3
b2m
新知探究
(1)a9÷a3
=a9-3 = a6；
(2)212÷27
=212-7=25=32；
(3)(- x)4÷(- x)
=(- x)4-1=(- x)3= - x3；
注意：
1、首先要判定是同底数幂相除，指数才能相减.
2.题目没有特殊说明结果形式要求的，都要化到最简.
练习：
(4)s7÷s3
=s4；
.
新知探究
(1) (-3)6÷(-3)6
(4) a100÷a100
=1
50=1
指数相等的同底数幂相除，商为1 .
=1
计算：
(2) 53÷53
=1
(-3)6÷(-3)6=(-3)6-6=(-3)0
53÷53=53-3=50
(3) (-5)8÷(-5)8
=1
(-3)0=1
(-5)8÷(-5)8=(-5)8-8=(-5)0
(-5)0=1
a100÷a100=a100-100=a0
a0=1
你得出了什么结论？
底数不能为0.
新知探究
任何不等于零的数的零次幂都等于1.
零次幂的运算法则：
a0=1
(a≠0) .
用字母表示为:
新知探究
【例2】计算:
7
=(- 4 )0 – 1 = 1 – 1 = 0 ;
.
新知探究
判断：下列计算对吗？
（1）（-7）0 = -1；
（2）（-1）0 = -1；
（3） 00 = 1；
（4） 20090 = 1.
（-7）0 = 1
（-1）0 = 1
底数为 0 没有意义.
×
×
×
√
新知探究
(2) 102÷105
(1) 33÷35
计算:
(3) a2÷a5=
1
a( )
3
(a≠0).
1
3
2
=
( )
1
3×3
=
35
33
=
105
102
=
( )
1
10×10×10
=
1
10
3
=
1
9
= ；
1
1000
= ；
33÷35=33-5=3-2
102÷105=102-5=10-3
a2÷a5=a2-5=a-3
负整数指数幂
新知探究
任何不等于零的数的-n(n是正整数)次幂，等于这个数的n次幂的倒数.
(a≠0，n是正整数).
负整数指数幂的运算法则：
新知探究
【例3】用分数或整数表示下列各负整数指数幂的值:
(1) 10-3
(2) (-5)-3
(3) (-3)-4
.
课堂小结
1.同底数幂相除的法则：
2.注意a≠0，m，n都是正整数，且m>n.
3.幂的四个运算法则：
同底数幂相乘：指数相加.
幂的乘方：指数相乘.
积的乘方：
同底数幂相除：指数相减.
同底数幂相除，底数不变，指数相减．
课堂小测
（1） a6÷ a3 = a2；
( )
×
a6÷ a3 = a3
（2）a5÷ a = a5；
( )
×
a5÷ a = a4
( )
（3） -a6÷ a6 = -1；
（-c）4 ÷ （-c）2 ＝c2
（4）（-c）4 ÷ （-c）2 ＝－c2.
( )
×
1. 判断并改错
√
2. 用小数或分数表示下列各数：
（1）10-3； （2）-3-3；
（3）1.6×10-4.
课堂小测
4
3. 计算：
（1） 950×（-5）-1
（2） 3.6 ×10-3
（3） a3÷（-10）0
（4）（-3）5÷36
= a3 ÷1= a3 ；
课堂小测
.(共20张PPT)
第一章
整式的乘除
1.2.2 积的乘方
授课人：XXXX
七年级数学北师版·下册
教学目标
1.知识技能：了解积的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题.
2.过程与方法：经历探索积的乘方运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力.
新课导入
2.同底数幂的乘法运算法则：
1.乘方的意义：
a·a· ··· ·a
求几个相同因数的积的运算 .
=an
am · an
=
am+n 同底数幂相乘，底数不变，指数相加 .
3.幂的乘方运算法则:
(am)n= (m，n都是正整数).
幂的乘方，底数不变，指数相乘 .
amn
复习导入
n个a
新课导入
那么， (6×103)3 =？
这种运算有什么特征？
地球可以近似地看做是球体，如果用V, r 分别代表球的体积和半径，那么 . 地球的半径约为6×103 千米，它的体积大约是多少立方千米
V= —πr3
3
4
×(6×103)3
V= —πr3
3
4
= —π
3
4
新课导入
探索交流:
(1) 根据乘方的意义，(ab)3表示什么
=a · a · a · b · b · b
=a3· b3.
(2)由 (ab)3=a3b3 出发, 你能想到更为一般的公式吗
猜想
(ab)n=
anbn
(ab)3=
ab · ab · ab
不妨先思考(ab)3=？
新知探究
(ab)n = ab·ab· ··· ·ab ( )
=(a·a· ··· ·a) (b·b· ··· ·b) ( )
=an · bn． ( )
乘方的意义
乘法交换律、结合律
乘方的意义
n个ab
n个a
n个b
新知探究
积的乘方
乘方的积
积的乘方法则
积的乘方,等于积中每一因式分别乘方的积.
(ab)n =
an·bn
（n是正整数）.
新知探究
知识拓展：
三个或三个以上的积的乘方，是否也具有上面的性质
怎样用公式表示
(abc)n=an · bn · cn.
具有
新知探究
例1 计算：
(1) (3x)2 ; (2) (-2b)5 ;
(3) (-2xy)4 ; (4) (3a2)n .
新知探究
=32x2
= 9x2 ;
(1) (3x)2
解：
(2) (-2b)5
= (-2)5b5
= -32b5 ;
(3) (-2xy)4
= (-2)4 x4 y4
(4) (3a2)n
= 3n (a2)n
= 3n a2n .
=16x4 y4 ；
新知探究
(立方千米).
9.05×1011
≈
地球可以近似地看做是球体，如果用V, r 分别代表球的体积和半径，那么 . 地球的半径约为6×103 千米，它的体积大约是多少立方千米
V= —πr3
3
4
×(6×103)3
解：V= —πr3
3
4
= —π
3
4
×63×109
= —π
3
4
新知探究
练习：
1.下面的计算是否正确？如有错误请改正：
(1) (ab4)4 = ab8 ; (2) (-3pq)2 = –6p2q2 .
(ab4)4
(-3pq)2
=a4(b4)4
=a4b16.
=(-3)2p2q2
=9p2q2.
×
×
新知探究
2. 计算：
(1) (- 3n)3 ; (2) (5xy)3 ; (3) –a3 +(–4a)2 a .
解：(1) (- 3n)3 = (- 3)3· n3 = - 27n3.
(2) (5xy)3 = 53x3y3 = 125x3y3.
(3) –a3 +(–4a)2 a = –a3 +(–4)2a2·a = –a3 +16a2·a = –a3 +16a3 =15a3.
新知探究
公式逆用
(ab)n = an·bn
（m，n都是正整数）.
反向使用:
an·bn = (ab)n .
计算:
(1) 23×53 ;
(2) 28×58 ;
(3) (-5)16 × (-2)16 ;
(4) 24 × 44 ×(-0.125)4 ;
(5) 0.25100×4100 ； (6)812×0.12512 .
新知探究
计算:
(1) 23×53
(2) 28×58
(3) (-5)16 × (-2)16
(4) 24 × 44 ×(-0.125)4
(5) 0.25100×4100
(6) 812×0.12512
= （2×5）3
= 103 ；
= （2×5）8
= 108；
=[ (-5)×(-2)]16
= 1016；
= [2 × 4 ×(-0.125)]4
= [8×(-0.125)]4
= 1；
= （0.25×4）100
= 1；
= （8×0.125）12
= 1 .
课堂小结
同底数幂的乘法运算法则：
am · an
=
幂的乘方运算法则:
(am)n= (m，n都是正整数).
乘方的意义:
a·a· ··· ·a
n个a
(ab)n =
an·bn
（n是正整数）.
积的乘方运算法则
am+n
amn
(m，n都是正整数).
=an.
课堂小测
1. 计算
(2) 816 × 0.12515
(1) (-2xy)3
(3) (-3x2y4)3
(4) (-xy) 3 +(-4xy)2 · xy+2x3y ·3y2
= (-2)3x3y3
= -8x3y3.
= 8×815 × 0.12515
= 8× (8×0.125)15
= 8.
= (-3)3(x2)3( y4) 3
= -27x6y12.
= -x3y3 +16x2y2 · xy+6x3y3
= -x3y3 +16x3y3+6x3y3
= 21x3y3 .
课堂小测
2. 计算：
(1) (-6m)3 ; (2) (4x2y)3 ; (3) -b5 +(-3b2)2·b .
解：
(1)(-6m)3
(2) (4x2y)3
(3) -b5 +(-3b2)2·b
= (-6)3m3
= -216m3.
= 43(x2)3y3
= 64x6y3.
= -b5 +(-3)2(b2)2·b
= -b5 +9b5
= 8b5 .
= -b5 +9b4·b
课堂小测
3. 已知x20y15z5=32 , 求x8y6z2的值 .
解： x20y15z5 = (x4y3z)5，
32= 25，
所以 x4y3z=2.
x8y6z2=(x4y3z)2,
将x4y3z=2代入可得，
x8y6z2=22=4 .(共19张PPT)
第一章
整式的乘除
七年级数学北师版·下册
1.7.1 单项式除以单项式
授课人：XXXX
教学目标
1.经历探索整式除法运算法则的过程，进一步体会类比方法的作用，发展运算能力．
2.会进行简单的整式除法运算(单项式除以单项式)．
3.理解除法运算的算理，发展有条理的思考及表达能力.
新课导入
我们以前已经学习了同底数幂除法的相关知识，那么像上面这种整式之间的除法，我们应该怎么来解答呢？这一讲，我们就一起来学习一下！
计算：
探究发现
（1）计算：4a2x3·3ab2= ;
（2）计算：12a3b2x3 ÷ 3ab2= .
12a3b2x3
4a2x3
解法2：原式=4a2x3 · 3ab2 ÷ 3ab2=4a2x3.
理解：上面的商式4a2x3的系数4=12 ÷3；a的指数2=3-1，b的指数0=2-2，而b0=1, x的指数3=3-0.
解法1：12a3b2x3 ÷ 3ab2相当于求（ ）·3ab2=12a3b2x3.
由（1）可知括号里应填4a2x3.
新知探究
单项式除以单项式
单项式相除, 把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.
知识要点
单项式除以单项式的法则
理解
商式＝系数 同底数幂 被除式里单独有的幂
底数不变，
指数相减.
保留在商里
作为因式.
被除式的系数
除式的系数
新知探究
新知探究
典例精析
例 计算：
（1）28x4y2 ÷7x3y；
（2）-5a5b3c ÷15a4b.
=4xy.
（2）原式=(-5÷15)a5-4b3-1c
解:（1）原式=（28 ÷7）x4-3y2-1
= ab2c.
新知探究
下列计算错在哪里？怎样改正？
（1）4a8 ÷2a 2= 2a 4 ; ( )
（2）10a3 ÷5a2=5a; ( )
（3）(-9x5) ÷(-3x) =-3x4; ( )
（4）12a3b ÷4a2=3a. ( )
2a6
2a
3x4
7ab
×
×
×
×
系数相除
同底数幂的除法，底数不变，指数相减.
只在一个被除式里含有的字母，要连同它的指数写在商里，防止遗漏.
求商的系数，应注意符号.
练一练：
新知探究
针对训练
1. 计算：
(1)(2a2b2c)4z÷(－2ab2c2)2；
(2)(3x3y3z)4÷(3x3y2z)2÷x2y6z．
解：(1)原式＝16a8b8c4z÷4a2b4c4＝4a6b4z.
(2)原式＝81x12y12z4÷9x6y4z2÷x2y6z＝9x4y2z.
方法总结：掌握整式的除法的运算法则是解题的关键，注意在计算过程中，有乘方的先算乘方，再算乘除．
新知探究
解：原式=
（2）
解：原式=
2. 计算：
（1）
;
新知探究
解：原式=
解：原式=
解：原式=
3. 计算：
新知探究
4. 计算：
解：原式=
新知探究
5．下列计算正确的是( )
A．a3n＋2÷a3n－1＝a
B．－15x2y3÷(－5xy3)＝3xy
C．(－x7y3)÷(2x5y3)＝－2x2
D．(6×108)÷(2×103)＝3×105
D
新知探究
6．小明在进行两个单项式的除法计算时，不小心把除以15a2b2错抄成乘以15a2b2，结果得到－9a6b5c4，则正确的结果是多少？
解：正确结果为
课堂小结
整式的
除法
注意
1.系数相除；
2.同底数幂相除；
3.只在被除式里的因式照搬作为商的一个因式.
单项式除
以单项式
单项式相除, 把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.
课堂小测
2.下列算式中，不正确的是( )
A．(－12a5b)÷(－3ab)＝4a4 B．9xmyn－1÷3xm－2yn－3＝3x2y2
C．4a2b3÷2ab＝2ab2 D．x(x－y)2÷(y－x)＝x(x－y)
1．下列说法正确的是 ( )
A．(π－3.14)0没有意义 B．任何数的0次幂都等于1
C．(8×106)÷(2×109)＝4×103 D．若(x＋4)0＝1，则x≠－4
D
D
课堂小测
5. 已知一个单项式与单项式-7x5y4 的积为21x5y7，则这个单项式是 .
-3y3
4.一个长方形的面积为a4b5，若一边长为a2b，则另一边长为_____.
a2b4
3.已知28a3bm÷28anb2=b2，那么m，n的取值为（ ）
A．m=4，n=3 B．m=4，n=1
C．m=1，n=3 D．m=2，n=3
A
课堂小测
6.计算：
（1）6a3÷2a2； （2）24a2b3÷3ab； （3）-21a2b3c÷3ab.
解：（1） 6a3÷2a2
＝（6÷2）（a3÷a2）
= 3a.
（2） 24a2b3÷3ab
= (24÷3)a2-1b3-1
= 8ab2.
（3）-21a2b3c÷3ab
= (-21÷3)a2-1b3-1c
= -7ab2c.
课堂小测
7.(1)若32 92x+1÷27x+1=81，求x的值;
解：(1)32 34x+2÷33x+3=81，
即 3x+1=34，
解得x=3.
(3)已知2x-5y-4=0，求4x÷32y的值．
(3)因为2x-5y-4=0，移项，得2x-5y=4，
所以4x÷32y=22x÷25y=22x-5y=24=16.
(2)已知5x=36，5y=2，求5x-2y的值;
(2)52y=（5y）2=4，
5x-2y=5x÷52y=36÷4=9.
拓展提升：(共19张PPT)
第一章
整式的乘除
七年级数学北师版·下册
1.4.3 多项式与多项式相乘
授课人：XXXX
教学目标
1.多项式与多项式的乘法法则；（重点）
2.多项式与多项式的乘法法则的推导及综合运用．（难点）
新课导入
任务1.请利用所学知识计算下列式子
之前，我们已经学习了整式乘法运算的两种类型：单项式乘单项式
和单项式乘多项式的相关知识，今天我们来一起学习整式乘法运算的第
三种类型——多项式乘多项式的相关知识！
任务2.你能试着计算下面这些式子吗？
新知探究
育阳中学校园中间有一个长方形的花坛，花坛长m米，宽a米，学校计划扩大这个花坛的面积，要将长增加n米，宽增加b米，你能用几种方法表示出扩大后花坛的面积？
新知探究
扩大后花坛的面积：
1、可以将扩大后的花坛看成四个小的长方形：
2、可以将扩大后的花坛看成两个稍大的长方形：
沿紫线分开：
沿红线分开：
3、可以将扩大后的花坛直接看成一个大的长方形：
新知探究
这四个式子都是表示扩大后花坛的面积，
你现在能得出哪些结论？
新知探究
计算这一类式子时，可以先将其中一个多
项式，比如 看成一个整体，然后
运用单项式与多项式相乘的法则进行运算
多项式与多项式相乘：
先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加 .
①
②
①
③
②
③
④
④
【例1】计算下面的式子：
解：原式＝
解：原式＝
＋
＝
＝
＝
＝
①
②
③
④
新知探究
＋
＋
多项式与多项式相乘：
先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的
每一项，再把所得的积相加 .
归纳总结
新知探究
新知探究
【例2】计算：
解：
＝
＝
1、找准多项式的每一项，不要漏乘；
2、每一项都要包括符号；
3、有同类项的要合并同类项.
注意：
多项式与多项式相乘法则的运用
【例3】计算： .
解：原式＝
＝
＝
新知探究
【例4】化简求值：
解：原式＝
＝
原式＝
＝-7.
新知探究
【例5】填空：
观察上面这些等式，你有什么发现？
你能依据你的发现解决下面的问题吗？
新知探究
课堂小结
多项式与多
项式相乘
注意事项
运算法则
先用一个多项式的每一项乘以另一个多项
式的每一项，再把所得的积相加 .
1、找准多项式的每一项，不要漏乘；
2、每一项都要包括符号；
3、有同类项的要合并同类项.
课堂小测
【提示】依据多项式乘多项式的运算法则进行计算，再对照一次项系数
即可解题.
解：
＝
＝
A
1. 若 ＝ ，则 的值为（ ）
可得 .
课堂小测
2. 确定下列各式中 的值.
课堂小测
解：
由题意乘积中不含 的项可知：
3. 如果 的乘积中不含 的项，求 .
,
,
,
课堂小测
4. 求不等式 的正整数解.
解：
,(共19张PPT)
第一章
整式的乘除
七年级数学北师版·下册
1.4.2 单项式与多项式相乘
授课人：XXXX
教学目标
1.掌握单项式与多项式相乘的运算法则.（重点）
2.能够灵活地进行单项式与多项式相乘的运算.（难点）
新课导入
复习引入
计算：
=(-x5)·(-8y3)+(4x2y2)·(-x3y)
=8x5y3-4x5y3
=4x5y3.
新知探究
问题 如图，试求出三块草坪的总面积是多少？
p
p
a
b
p
c
单项式与多项式相乘
新知探究
p
p
a
b
p
c
如果把它看成三个小长方形，那么它们的面积可分别表示为_____、_____、_____.
pa
pb
pc
新知探究
c
b
a
p
如果把它看成一个大长方形，那么它的边长为________,面积可表示为_________.
p(a+b+c)
(a+b+c)
新知探究
如果把它看成三个小长方形，那么它们的面积可分别表示为_____、_____、_____.
如果把它看成一个大长方形，那么它的面积可表示为_________.
c
b
a
p
pa
pc
pb
p(a+b+c)
pa+pb+pc
p(a+b+c)
新知探究
pa+pb+pc
p(a+b+c)
p (a + b+ c)
pb
+
pc
pa
+
根据乘法的分配律
新知探究
知识要点
单项式乘以多项式的法则
单项式与多项式相乘，就是用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
（1）依据是乘法分配律
（2）积的项数与多项式的项数相同.
注意
p
b
p
a
p
c
新知探究
例3 计算：
(1)(-4x)·(2x2+3x-1)；
解：(1)(-4x)·(2x2+3x-1)
＝
＝-8x3-12x2+4x；
(-4x)·(2x2)
(-4x)·3x
(-4x)·(-1)
+
+
典例精析
(2)原式
单项式与多项式相乘
单项式与单项式相乘
乘法分配律
转化
新知探究
例4 先化简，再求值：3a(2a2－4a＋3)－2a2(3a＋4)，其中a＝－2.
当a＝－2时，
解：3a(2a2－4a＋3)－2a2(3a＋4)
＝6a3－12a2＋9a－6a3－8a2
＝－20a2＋9a.
原式＝－20×4－9×2＝－98.
方法总结：在做乘法计算时，一定要注意单项式的符号和多项式中每一项的符号，不要搞错．
新知探究
例5 如果(－3x)2(x2－2nx＋2)的展开式中不含x3项，求n的值．
方法总结：在整式乘法的混合运算中，要注意运算顺序.注意当要求多项式中不含有哪一项时，则表示这一项的系数为0.
解：(－3x)2(x2－2nx＋2)
＝9x2(x2－2nx＋2)
＝9x4－18nx3＋18x2.
因为展开式中不含x3项，所以n＝0.
课堂小结
单项式乘
多项式
实质上是转化为单项式×单项式
四点注意
（1）计算时,要注意符号问题,多项式中每一项都包
括它前面的符号,单项式分别与多项式的每一
项相乘时，同号相乘得正，异号相乘得负；
（2）不要出现漏乘现象； （3）运算要有顺序：先乘方，再乘除，最后加减；
（4）对于混合运算，注意最后应合并同类项.
课堂小测
= 2a – 2ab + b .
2
2
解: 原式= 2a –2ab –2ab+b +2ab
2
2
因为 a=2 , b= -3，
所以原式= 2a – 2ab + b
2
2
= 8 + 12+ 9
= 29.
= 2×22－2×2×(-3)＋(-3)2
2a(a-b)-b(2a-b)+2ab，其中a=2,b= -3 .
1. 先化简，再求值：
课堂小测
(1)4(a-b+1)=___________________；
4a-4b+4
(2)3x(2x-y2)=___________________；
6x2-3xy2
(3)(2x-5y+6z)(-3x) =___________________；
-6x2+15xy-18xz
(4)(-2a2)2(-a-2b+c)=___________________.
-4a5-8a4b+4a4c
2. 计算
课堂小测
3. 计算：－2x2·(xy+y2)-5x(x2y-xy2).
解：原式= ( -2x2) ·xy+(-2x2) ·y2+(-5x) ·x2y+(-5x) ·(-xy2)
= -2x3 y+(-2x2y2)+(-5x3y)+5x2y2
= -7x3 y+3x2y2.
4. 解方程：8x（5－x）=34－2x（4x－3）.
解得 x=1.
解：去括号，得40x－8x2=34－8x2+6x，
移项，得40x－6x=34，
合并同类项，得 34x=34，
课堂小测
住宅用地
人民广场
商业用地
3a
3a+2b
2a-b
4a
5. 如图，一块长方形地用来建造住宅、广场、商厦，求这块地的面积.
解：4a[(3a+2b)+(2a-b)]
＝4a(5a+b)
＝4a·5a+4a·b
＝20a2+4ab.
答：这块地的面积为20a2+4ab.
课堂小测
6. 某同学在计算一个多项式乘以－3x2时，算成了加上－3x2，得到的答案是x2－2x＋1，那么正确的计算结果是多少？
拓展提升
解：设这个多项式为A，
所以A＝4x2－2x＋1，
所以A · (－3x2)＝(4x2－2x＋1) · (－3x2)
则A＋(－3x2)＝x2－2x＋1，
＝－12x4＋6x3－3x2.
