2.3.1 两直线的交点坐标 导学案

2.3.1 两直线的交点坐标
1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.
2.会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系.
重点：能用解方程组的方法求两直线的交点坐标
难点：会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系
一、自主导学
两条直线的交点
1.已知两条直线的方程是l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,设这两条直线的交点为P,则点P既在直线l1上,也在直线l2上.所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x+B1y+C1=0,也满足直线l2的方程A2x+B2y+C2=0,即点P的坐标就是方程组的解.
2.
方程组的解 一组 无数组 无解
直线l1和l2公共点的个数 一个 无数个 零个
直线l1和l2的位置关系 相交 重合 平行
点睛：如果两条直线相交,则交点坐标分别适合两条直线的方程,即交点
坐标是两直线方程所组成方程组的解.
二、小试牛刀
1.直线 x+y=5与直线x-y=3交点坐标是(　　)
A.(1,2) B.(4,1) C.(3,2) D.(2,1)
一、问题导学
在平面几何中，我们对直线做了定性研究，引入平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式，这样我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，例如求两条直线的交点，坐标平面内与点直线相关的距离问题等。
二、典例解析
例1.直线l过直线x＋y－2＝0和直线x－y＋4＝0的交点，且与直线3x－2y＋4＝0平行，求直线l的方程．
求过两直线交点的直线方程的方法
1解本题有两种方法：一是采用常规方法，先通过解方程组求出两直线交点，再根据平行关系求出斜率，由点斜式写出直线方程；二是设出过两直线交点的方程，再根据平行条件待定系数求解.
2过两条相交直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线方程可设为A1x＋B1y＋C1＋λA2x＋B2y＋C2＝0不含直线l2.
跟踪训练1．三条直线ax＋2y＋7＝0,4x＋y＝14和2x－3y＝14相交于一点，求a的值．
例2.分别判断下列直线是否相交,若相交,求出它们的交点.
(1)l1:2x-y=7和l2:3x+2y-7=0;
(2)l1:2x-6y+4=0和l2:4x-12y+8=0;
(3)l1:4x+2y+4=0和l2:y=-2x+3.
跟踪训练2 已知直线5x+4y=2a+1与直线2x+3y=a的交点位于第四象限,则a的取值范围是　　　　　.
例3 (1)求经过点P(1,0)和两直线l1:x+2y-2=0,l2:3x-2y+2=0交点的直线方程;
(2)无论实数a取何值,方程(a-1)x-y+2a-1=0表示的直线恒过定点,试求该定点.
利用直线系方程求直线的方程
经过两直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0交点的直线方程可写为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(它不能表示直线l2).反之,当直线的方程写为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0时,直线一定过直线l1:A1x+B1y+C1=0与直线l2:A2x+B2y+C2=0的交点.
跟踪训练3 已知直线l经过原点,且经过另两条直线2x+3y+8=0,
x-y-1=0的交点,则直线l的方程为(　　)
A.2x+y=0 B.2x-y=0 C.x+2y=0 D.x-2y=0
例4 光线通过点A(2,3)在直线l:x+y+1=0上反射,反射光线经过点B(1,1),试求入射光线和反射光线所在直线的方程.
点关于直线的对称点的求法
点P(x,y)关于直线Ax+By+C=0的对称点P0(x0,y0),满足关系解方程组可得点P0的坐标.
跟踪训练4 直线y=2x是△ABC的一个内角平分线所在的直线,若A,B两点的坐标分别为A(-4,2),B(3,1),求点C的坐标.
金题典例 过点P(3,0)作一直线分别交直线2x-y-2=0和x+y+3=0于点A,B,且点P恰好为线段AB的中点,求此直线的方程.
1.直线2x+y+8=0和直线x+y-1=0的交点坐标是(　　)
A.(-9,-10) B.(-9,10) C.(9,10) D.(9,-10)
2.直线2x+3y-k=0和直线x-ky+12=0的交点在x轴上,则k的值为(　　)
A.-24 B.24 C.6 D.± 6
3.已知直线l1:ax+y-6=0与l2:x+(a-2)y+a-1=0相交于点P,若l1⊥l2,则点P的坐标为　　　　　　.
4.求证:不论m为何值,直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5都通过一定点.
5．已知两直线l1：x＋8y＋7＝0和l2：2x＋y－1＝0.
(1)求l1与l2的交点坐标；
(2)求过l1与l2交点且与直线x＋y＋1＝0平行的直线方程.
参考答案：
知识梳理
二、小试牛刀
1.解析:解方程组因此交点坐标为(4,1).
答案:B
学习过程
例1. [解]　法一：联立方程解得即直线l过点(－1,3)．
因为直线l的斜率为，
所以直线l的方程为y－3＝(x＋1)，即3x－2y＋9＝0.
法二：因为直线x＋y－2＝0不与3x－2y＋4＝0平行，
所以可设直线l的方程为x－y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，
整理得(1＋λ)x＋(λ－1)y＋4－2λ＝0，
因为直线l与直线3x－2y＋4＝0平行，
所以＝≠，解得λ＝，
所以直线l的方程为x－y＋＝0，即3x－2y＋9＝0.
跟踪训练1． [解]　解方程组
得
所以两条直线的交点坐标为(4,－2)．
由题意知点(4,－2)在直线ax＋2y＋7＝0上，将(4,－2)代入，
得a×4＋2×(－2)＋7＝0，解得a＝－.
例2.思路分析:直接将两直线方程联立方程组,根据方程组解的个数判断两直线是否相交.
解:(1)方程组的解为
因此直线l1和l2相交,交点坐标为(3,-1).
(2)方程组有无数个解,
这表明直线l1和l2重合.
(3)方程组无解,
这表明直线l1和l2没有公共点,故l1∥l2.
跟踪训练2 解析:由
由∴-答案:-,2
例3 思路分析:(1)设所求直线方程为x+2y-2+λ(3x-2y+2)=0,再将x=1,y=0代入求出λ,即得所求直线方程.
(2)将直线方程改写为-x-y-1+a(x+2)=0.
解方程组得直线所过定点.
解:(1)设所求直线方程为x+2y-2+λ(3x-2y+2)=0.
∵点P(1,0)在直线上, ∴1-2+λ(3+2)=0.
∴λ=.∴所求方程为x+2y-2+(3x-2y+2)=0,
即x+y-1=0.
(2)由(a-1)x-y+2a-1=0,得-x-y-1+a(x+2)=0.
所以,已知直线恒过直线-x-y-1=0与直线x+2=0的交点.
解方程组
所以方程(a-1)x-y+2a-1=0表示的直线恒过定点(-2,1).
跟踪训练3 解析:(方法1)解方程组得交点为(-1,-2).又直线l经过原点,由两点式得其方程为,即2x-y=0.
(方法2)设直线l的方程为2x+3y+8+λ(x-y-1)=0,因其过原点,
所以8+(-λ)=0,λ=8,直线l的方程为2x-y=0.
答案:B
例4 思路分析:求点A关于直线l的对称点A'→求反射光线所在直线的方程→求入射光线与反射光线的交点坐标→求入射光线所在的直线方程
解:设点A(2,3)关于直线l的对称点为A'(x0,y0),
则
解之,得A'(-4,-3).
由于反射光线经过点A'(-4,-3)和B(1,1),
所以反射光线所在直线的方程为y-1=·(x-1),
即4x-5y+1=0.
解方程组得反射点P(-,-).
所以入射光线所在直线的方程为y-3=·(x-2),即5x-4y+2=0.
跟踪训练4 解:把A,B两点坐标代入y=2x知,A、B不在直线y=2x上,因此y=2x为角C的平分线,设点A(-4,2)关于y=2x的对称点为A'(a,b),则
,线段AA'的中点坐标为(,
则解得∴A'(4,-2),
∵y=2x是角C平分线所在直线的方程,
∴A'在直线BC上,
∴直线BC的方程为,即3x+y-10=0,由解得∴C(2,4).
金题典例 解:分析一:设出直线的方程,求出交点的坐标,再用中点坐标公式.
解法一:若直线斜率不存在,则方程为x=3.
由得A(3,4).
由得B(3,-6).
由于=-1≠0,∴P不为线段AB的中点.
若直线斜率存在,设为k,则方程为y=k(x-3).
由得A().
由得B(,-).
∵P(3,0)为线段AB的中点,
∴∴
∴k=8.
∴所求直线方程为y=8(x-3),即8x-y-24=0.
分析二:设出A(x1,y1),由P(3,0)为AB的中点,易求出B的坐标,而点B在另一直线上,从而求出x1、y1的值,再由两点式求直线的方程.
解法二:设A点坐标为(x1,y1),则由P(3,0)为线段AB的中点,得B点坐标为(6-x1,-y1).
∵点A,B分别在已知两直线上,
∴解得
∴A.∵点A,P都在直线AB上,
∴直线AB的方程为,
即8x-y-24=0.
分析三:由于P(3,0)为线段AB的中点,可对称地将A,B坐标设为(3+a,b),(3-a,-b),
代入已知方程.
∴∴
∴直线AB的斜率即直线AP的斜率,值为=8.
∴所求直线的方程为y=8(x-3),即8x-y-24=0.
点睛:解法三这种对称的设法需要在平常学习中加以积累,以上三种解法各有特点,要善于总结,学习其简捷解法,以提高解题速度.
解法三:∵P(3,0)为线段AB的中点,∴可设A(3+a,b),B(3-a,-b).
∵点A,B分别在已知直线上,
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1.解析:解方程组得即交点坐标是(-9,10).
答案:B
2.解析:∵直线2x+3y-k=0和直线x-ky+12=0的交点在x轴上,可设交点坐标为(a,0),
∴解得故选A.
答案:A
3.解析:∵直线l1:ax+y-6=0与l2:x+(a-2)y+a-1=0相交于点P,且l1⊥l2,
∴a×1+1×(a-2)=0,解得a=1,
联立方程易得x=3,y=3,
∴点P的坐标为(3,3).
答案:(3,3)
4.证明:将原方程按m的降幂排列,整理得(x+2y-1)m-(x+y-5)=0,
此式对于m的任意实数值都成立,根据恒等式的要求,m的一次项系
数与常数项均等于零,故有解得
∴m为任意实数时,所给直线必通过定点(9,-4).
5． 解析： (1)联立两条直线的方程： 解得x＝1，y＝－1.
所以l1与l2的交点坐标是(1，－1)．
(2)设与直线x＋y＋1＝0平行的直线l方程为x＋y＋c＝0，
因为直线l过l1与l2的交点(1,－1)，所以c＝0.
所以直线l的方程为x＋y＝0.