2.4.2 圆的一般方程 导学案
文档属性
| 名称 | 2.4.2 圆的一般方程 导学案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 162.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-04-29 20:49:13 | ||
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文档简介
2.4.2圆的一般方程
1.理解圆的一般方程及其特点.
2.掌握圆的一般方程和标准方程的互化.
3.会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题．
重点： 掌握圆的一般方程并会求圆的一般方程
难点：与圆有关的简单的轨迹方程问题
一、圆的一般方程
（1）当D2+E2-4F>0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0
表示以(-,-)为圆心,为半径的圆,
将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，配方可得
（2）当D2+E2-4F=0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，表示一个点(-,-)
（3）当D2+E2-4F<0时,方程不表示任何图形.
1.二元二次方程要想表示圆,需x2和y2的系数相同且不为0,没有xy这样的二次项.
2.几个常见圆的一般方程
(1)过原点的圆的方程:x2+y2+Dx+Ey=0(D,E不全为0),
(2)圆心在y轴上的圆的方程:x2+y2+Ey+F=0(E2-4F>0);
(3)圆心在x轴上的圆的方程,x2+y2+Dx+F=0(D2-4F>0);
(4)圆心在x轴上且过原点的圆的方程:x2+y2+Dx=0(D≠0);
(5)圆心在y轴上且过原点的圆的方程:x2+y2+Ey=0(E≠0).
二、由圆的一般方程判断点与圆的位置关系及与圆有关的轨迹问题
1.已知点M(x0,y0)和圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).
点M在圆外 +Dx0+Ey0+F>0;点M在圆上 +Dx0+Ey0+F=0;点M在圆内 +Dx0+Ey0+F<0.
2.点M的坐标(x,y)满足的等量关系式称为点M的轨迹方程.求符合某种条件的动点M的轨迹方程,实质上就是利用题设中的几何条件,通过“坐标化”将其转化为关于变量x,y之间的方程.
三、小试牛刀
1.圆x2+y2-6x=0的圆心坐标是 .
2. 若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以(2,-4)为圆心,以4为半径的圆,则F= .
3.二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆需要满足哪些条件
4.判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)任何一个圆的方程都能写为一个二元二次方程.( )
(2)方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆心为-,-a,半径为的圆.( )
(3)若点M(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外,则+Dx0+Ey0+F>0.( )
情境导学
前面我们已讨论了圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,现将其展开
可得：x2+y2-2ax-2bx+a2+b2-r2=0.可见,任何一个圆的方程都可以变形x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式.
请大家思考一下,形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程表示的曲线是不是圆 下面我们来探讨这一方面的问题.
例如,对于方程对其进行配方，得,因为任意一点的坐标 都不满足这个方程，所以这个方程不表示任何图形，所以形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程不一定能通过恒等变换为圆的标准方程，这表明形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程不一定是圆的方程.
二、典例解析
例1 判断方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=0能否表示圆.若能表示圆,求出圆心和半径.
二元二次方程表示圆的判断方法
任何一个圆的方程都可化为x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式,但形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程不一定表示圆.判断它是否表示圆可以有以下两种方法:
(1)计算D2+E2-4F,若其值为正,则表示圆;若其值为0,则表示一个点;若其值为负,则不表示任何图形.
(2)将该方程配方为(x+)2+(y+)2=,根据圆的标准方程来判断.
跟踪训练1若方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圆,求:
(1)实数m的取值范围;
(2)圆心坐标和半径.
例2 圆C过点A(1,2),B(3,4),且在x轴上截得的弦长为6,求圆C的方程.
圆的方程的求法
求圆的方程时,如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题,一般采用圆的标准方程,再用待定系数法求出a,b,r;如果已知条件与圆心和半径都无直接关系,一般采用圆的一般方程,再用待定系数法求出常数D,E,F.
跟踪训练2圆心在直线y=x上,且过点A(-1,1),B(3,-1)的圆的一般方程是 .
例3 已知等腰三角形的顶点是A(4,2),底边一个端点是B(3,5),求另一个端点C的轨迹方程,
并说明它的轨迹是什么图形.
变式： 求本例中线段AC中点M的轨迹方程.
求动点的轨迹方程的常用方法
1.直接法:能直接根据题目提供的条件列出方程;
2.代入法:找到所求动点与已知动点的关系,代入已知动点所在的方程.
跟踪训练3 两个定点的距离为6,点M到这两个定点的距离的平方和为26,求点M的轨迹方程.
跟踪训练4 已知圆(x+1)2+y2=2上动点A,x轴上定点B(2,0),将BA延长到M,使AM=BA,
求动点M的轨迹方程.
跟踪训练5 已知两点P(-2,2),Q(0,2)以及一条直线l:y=x,设长为 的线段AB在直线l移动,求直线PA与QB的交点M的轨迹方程.
1.方程x2+y2-2x-4y+6=0表示的轨迹为( )
A.圆心为(1,2)的圆 B.圆心为(2,1)的圆
C.圆心为(-1,-2)的圆 D.不表示任何图形
2.若圆x2+y2-2kx-4=0关于直线2x-y+3=0对称,则k等于( )
A. B.- C.3 D.-3
3.已知一动点M到点A(-4,0)的距离是它到点B(2,0)的距离的2倍,则动点M的轨迹方程是 .
4.已知点A(2,2),B(5,3),C(3,-1),求过A,B,C的圆的方程.
参考答案：
知识梳理
三、小试牛刀
1.答案:(3,0)
2. 答案:4
3.答案:(1)A=C,且均不为0; (2)B=0;(3)D2+E2-4AF>0.
4.答案:(1)√ (2)× (3)√
学习过程
例1思路分析:可直接利用D2+E2-4F>0是否成立来判断,也可把左端配方,看右端是否为大于零的常数.
解:(方法1)由方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=0
可知D=-4m,E=2m,F=20m-20,
∴D2+E2-4F=16m2+4m2-80m+80=20(m-2)2.
因此,当m=2时,它表示一个点;
当m≠2时,原方程表示圆,
此时,圆的圆心为(2m,-m),
半径为r=|m-2|.
(方法2)原方程可化为(x-2m)2+(y+m)2=5(m-2)2,
因此,当m=2时,它表示一个点;
当m≠2时,原方程表示圆,
此时,圆的圆心为(2m,-m),半径为r=|m-2|.
跟踪训练1解:(1)据题意知D2+E2-4F=(2m)2+(-2)2-4(m2+5m)>0,
即4m2+4-4m2-20m>0,解得m<,
故m的取值范围为-∞,.
(2)将方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0
写成标准方程为(x+m)2+(y-1)2=1-5m,
故圆心坐标为(-m,1),半径r=.
例2思路分析:由条件知,所求圆的圆心、半径均不明确,故设出圆的一般方程,用待定系数法求解.
解:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.
∵圆C过A(1,2),B(3,4),∴D+2E+F=-5,①
3D+4E+F=-25.②
令y=0,得x2+Dx+F=0.设圆C与x轴的两个交点的横坐标为x1,x2,则x1+x2=-D,x1x2=F.
∵|x1-x2|=6,∴(x1+x2)2-4x1x2=36,
即D2-4F=36.③
由①②③得D=12,E=-22,F=27,或D=-8,E=-2,F=7.
故圆C的方程为x2+y2+12x-22y+27=0或x2+y2-8x-2y+7=0.
跟踪训练2解析:设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则圆心是(-,-),
由题意知,解得D=E=-4,F=-2,
即所求圆的一般方程是x2+y2-4x-4y-2=0.
答案:x2+y2-4x-4y-2=0
例3思路分析:设出点C的坐标,根据|AB|=|AC|列出方程并化简.
解:设另一端点C的坐标为(x,y).
依题意,得|AC|=|AB|.由两点间距离公式,得
,
整理,得(x-4)2+(y-2)2=10.
这是以点A(4,2)为圆心,以为半径的圆,如图所示.
又因为A,B,C为三角形的三个顶点,
所以A,B,C三点不共线,即点B,C不能重合,
所以点C的横坐标x≠3,且点B,C不能为一直径的两端点,所以
≠4,即点C的横坐标x≠5.
故端点C的轨迹方程是(x-4)2+(y-2)2=10(x≠3,且x≠5),
即另一个端点C的轨迹是以A(4,2)为圆心,为半径的圆,但除去(3,5)和(5,-1)两点.
变式：解:设M(x,y),又A(4,2),M为线段AC的中点,∴C(2x-4,2y-2).
∵点C在圆(x-4)2+(y-2)2=10(x≠3,且x≠5)上,∴(2x-4-4)2+(2y-2-2)2=10,
∴(x-4)2+(y-2)2=.
由2x-4≠3,得x≠;由2x-4≠5,得x≠.
∴中点M的轨迹方程为(x-4)2+(y-2)2=(x≠,且x≠).
跟踪训练3 解:以两定点A,B所在直线为x轴,线段AB的中垂线为y轴,建立直角坐标系,
设A(-3,0),B(3,0),M(x,y),
则|MA|2+|MB|2=26,
∴(x+3)2+y2+(x-3)2+y2=26,
化简得M点的轨迹方程为x2+y2=4
跟踪训练4 解:设A(x1,y1),M(x,y),∵AM=BA,且M在BA的延长线上,
∴A为线段MB的中点,
由中点坐标公式得
∵A在圆上运动,将点A的坐标代入圆的方程,
得+12+2=2,
化简得(x+4)2+y2=8,∴点M的轨迹方程为(x+4)2+y2=8.
跟踪训练5 解:∵线段AB在直线y=x上移动,且|AB|=,
∴可设点A(a,a),B(a+1,a+1).
∴直线PA的方程为y-2=(x+2)(a≠-2)①,
直线QB的方程为y-2=x(a≠-1)②,
当a=0时,直线PA与QB平行,两直线无交点,
当a≠0时,直线PA与QB相交,设交点为M(x,y).由②式可得
a=,将其代入①式,整理,得x2-y2+2x-2y+8=0③,
当a=-2或a=-1时,直线PA和QB的交点也满足③,
∴所求轨迹方程为x2-y2+2x-2y+8=0.
达标检测
1. 解析:因为x2+y2-2x-4y+6=0等价于(x-1)2+(y-2)2=-1,
即方程无解,所以该方程不表示任何图形,故选D.
答案:D
2.解析:由题意知,直线2x-y+3=0过圆心.∵圆心坐标为(k,0),∴2k+3=0,k=-.
答案:B
3.解析:设动点M的坐标为(x,y),则|MA|=2|MB|,即=2,
整理,得x2+y2-8x=0.故所求动点M的轨迹方程为x2+y2-8x=0.
答案:x2+y2-8x=0
4. 解:设这个圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),
把三点坐标A(2,2),B(5,3),C(3,-1)代入得方程组
解得
所以这个圆的方程为x2+y2-8x-2y+12=0.
1.理解圆的一般方程及其特点.
2.掌握圆的一般方程和标准方程的互化.
3.会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题．
重点： 掌握圆的一般方程并会求圆的一般方程
难点：与圆有关的简单的轨迹方程问题
一、圆的一般方程
（1）当D2+E2-4F>0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0
表示以(-,-)为圆心,为半径的圆,
将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，配方可得
（2）当D2+E2-4F=0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，表示一个点(-,-)
（3）当D2+E2-4F<0时,方程不表示任何图形.
1.二元二次方程要想表示圆,需x2和y2的系数相同且不为0,没有xy这样的二次项.
2.几个常见圆的一般方程
(1)过原点的圆的方程:x2+y2+Dx+Ey=0(D,E不全为0),
(2)圆心在y轴上的圆的方程:x2+y2+Ey+F=0(E2-4F>0);
(3)圆心在x轴上的圆的方程,x2+y2+Dx+F=0(D2-4F>0);
(4)圆心在x轴上且过原点的圆的方程:x2+y2+Dx=0(D≠0);
(5)圆心在y轴上且过原点的圆的方程:x2+y2+Ey=0(E≠0).
二、由圆的一般方程判断点与圆的位置关系及与圆有关的轨迹问题
1.已知点M(x0,y0)和圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).
点M在圆外 +Dx0+Ey0+F>0;点M在圆上 +Dx0+Ey0+F=0;点M在圆内 +Dx0+Ey0+F<0.
2.点M的坐标(x,y)满足的等量关系式称为点M的轨迹方程.求符合某种条件的动点M的轨迹方程,实质上就是利用题设中的几何条件,通过“坐标化”将其转化为关于变量x,y之间的方程.
三、小试牛刀
1.圆x2+y2-6x=0的圆心坐标是 .
2. 若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以(2,-4)为圆心,以4为半径的圆,则F= .
3.二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆需要满足哪些条件
4.判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)任何一个圆的方程都能写为一个二元二次方程.( )
(2)方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆心为-,-a,半径为的圆.( )
(3)若点M(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外,则+Dx0+Ey0+F>0.( )
情境导学
前面我们已讨论了圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,现将其展开
可得：x2+y2-2ax-2bx+a2+b2-r2=0.可见,任何一个圆的方程都可以变形x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式.
请大家思考一下,形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程表示的曲线是不是圆 下面我们来探讨这一方面的问题.
例如,对于方程对其进行配方，得,因为任意一点的坐标 都不满足这个方程，所以这个方程不表示任何图形，所以形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程不一定能通过恒等变换为圆的标准方程，这表明形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程不一定是圆的方程.
二、典例解析
例1 判断方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=0能否表示圆.若能表示圆,求出圆心和半径.
二元二次方程表示圆的判断方法
任何一个圆的方程都可化为x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式,但形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程不一定表示圆.判断它是否表示圆可以有以下两种方法:
(1)计算D2+E2-4F,若其值为正,则表示圆;若其值为0,则表示一个点;若其值为负,则不表示任何图形.
(2)将该方程配方为(x+)2+(y+)2=,根据圆的标准方程来判断.
跟踪训练1若方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圆,求:
(1)实数m的取值范围;
(2)圆心坐标和半径.
例2 圆C过点A(1,2),B(3,4),且在x轴上截得的弦长为6,求圆C的方程.
圆的方程的求法
求圆的方程时,如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题,一般采用圆的标准方程,再用待定系数法求出a,b,r;如果已知条件与圆心和半径都无直接关系,一般采用圆的一般方程,再用待定系数法求出常数D,E,F.
跟踪训练2圆心在直线y=x上,且过点A(-1,1),B(3,-1)的圆的一般方程是 .
例3 已知等腰三角形的顶点是A(4,2),底边一个端点是B(3,5),求另一个端点C的轨迹方程,
并说明它的轨迹是什么图形.
变式： 求本例中线段AC中点M的轨迹方程.
求动点的轨迹方程的常用方法
1.直接法:能直接根据题目提供的条件列出方程;
2.代入法:找到所求动点与已知动点的关系,代入已知动点所在的方程.
跟踪训练3 两个定点的距离为6,点M到这两个定点的距离的平方和为26,求点M的轨迹方程.
跟踪训练4 已知圆(x+1)2+y2=2上动点A,x轴上定点B(2,0),将BA延长到M,使AM=BA,
求动点M的轨迹方程.
跟踪训练5 已知两点P(-2,2),Q(0,2)以及一条直线l:y=x,设长为 的线段AB在直线l移动,求直线PA与QB的交点M的轨迹方程.
1.方程x2+y2-2x-4y+6=0表示的轨迹为( )
A.圆心为(1,2)的圆 B.圆心为(2,1)的圆
C.圆心为(-1,-2)的圆 D.不表示任何图形
2.若圆x2+y2-2kx-4=0关于直线2x-y+3=0对称,则k等于( )
A. B.- C.3 D.-3
3.已知一动点M到点A(-4,0)的距离是它到点B(2,0)的距离的2倍,则动点M的轨迹方程是 .
4.已知点A(2,2),B(5,3),C(3,-1),求过A,B,C的圆的方程.
参考答案：
知识梳理
三、小试牛刀
1.答案:(3,0)
2. 答案:4
3.答案:(1)A=C,且均不为0; (2)B=0;(3)D2+E2-4AF>0.
4.答案:(1)√ (2)× (3)√
学习过程
例1思路分析:可直接利用D2+E2-4F>0是否成立来判断,也可把左端配方,看右端是否为大于零的常数.
解:(方法1)由方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=0
可知D=-4m,E=2m,F=20m-20,
∴D2+E2-4F=16m2+4m2-80m+80=20(m-2)2.
因此,当m=2时,它表示一个点;
当m≠2时,原方程表示圆,
此时,圆的圆心为(2m,-m),
半径为r=|m-2|.
(方法2)原方程可化为(x-2m)2+(y+m)2=5(m-2)2,
因此,当m=2时,它表示一个点;
当m≠2时,原方程表示圆,
此时,圆的圆心为(2m,-m),半径为r=|m-2|.
跟踪训练1解:(1)据题意知D2+E2-4F=(2m)2+(-2)2-4(m2+5m)>0,
即4m2+4-4m2-20m>0,解得m<,
故m的取值范围为-∞,.
(2)将方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0
写成标准方程为(x+m)2+(y-1)2=1-5m,
故圆心坐标为(-m,1),半径r=.
例2思路分析:由条件知,所求圆的圆心、半径均不明确,故设出圆的一般方程,用待定系数法求解.
解:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.
∵圆C过A(1,2),B(3,4),∴D+2E+F=-5,①
3D+4E+F=-25.②
令y=0,得x2+Dx+F=0.设圆C与x轴的两个交点的横坐标为x1,x2,则x1+x2=-D,x1x2=F.
∵|x1-x2|=6,∴(x1+x2)2-4x1x2=36,
即D2-4F=36.③
由①②③得D=12,E=-22,F=27,或D=-8,E=-2,F=7.
故圆C的方程为x2+y2+12x-22y+27=0或x2+y2-8x-2y+7=0.
跟踪训练2解析:设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则圆心是(-,-),
由题意知,解得D=E=-4,F=-2,
即所求圆的一般方程是x2+y2-4x-4y-2=0.
答案:x2+y2-4x-4y-2=0
例3思路分析:设出点C的坐标,根据|AB|=|AC|列出方程并化简.
解:设另一端点C的坐标为(x,y).
依题意,得|AC|=|AB|.由两点间距离公式,得
,
整理,得(x-4)2+(y-2)2=10.
这是以点A(4,2)为圆心,以为半径的圆,如图所示.
又因为A,B,C为三角形的三个顶点,
所以A,B,C三点不共线,即点B,C不能重合,
所以点C的横坐标x≠3,且点B,C不能为一直径的两端点,所以
≠4,即点C的横坐标x≠5.
故端点C的轨迹方程是(x-4)2+(y-2)2=10(x≠3,且x≠5),
即另一个端点C的轨迹是以A(4,2)为圆心,为半径的圆,但除去(3,5)和(5,-1)两点.
变式：解:设M(x,y),又A(4,2),M为线段AC的中点,∴C(2x-4,2y-2).
∵点C在圆(x-4)2+(y-2)2=10(x≠3,且x≠5)上,∴(2x-4-4)2+(2y-2-2)2=10,
∴(x-4)2+(y-2)2=.
由2x-4≠3,得x≠;由2x-4≠5,得x≠.
∴中点M的轨迹方程为(x-4)2+(y-2)2=(x≠,且x≠).
跟踪训练3 解:以两定点A,B所在直线为x轴,线段AB的中垂线为y轴,建立直角坐标系,
设A(-3,0),B(3,0),M(x,y),
则|MA|2+|MB|2=26,
∴(x+3)2+y2+(x-3)2+y2=26,
化简得M点的轨迹方程为x2+y2=4
跟踪训练4 解:设A(x1,y1),M(x,y),∵AM=BA,且M在BA的延长线上,
∴A为线段MB的中点,
由中点坐标公式得
∵A在圆上运动,将点A的坐标代入圆的方程,
得+12+2=2,
化简得(x+4)2+y2=8,∴点M的轨迹方程为(x+4)2+y2=8.
跟踪训练5 解:∵线段AB在直线y=x上移动,且|AB|=,
∴可设点A(a,a),B(a+1,a+1).
∴直线PA的方程为y-2=(x+2)(a≠-2)①,
直线QB的方程为y-2=x(a≠-1)②,
当a=0时,直线PA与QB平行,两直线无交点,
当a≠0时,直线PA与QB相交,设交点为M(x,y).由②式可得
a=,将其代入①式,整理,得x2-y2+2x-2y+8=0③,
当a=-2或a=-1时,直线PA和QB的交点也满足③,
∴所求轨迹方程为x2-y2+2x-2y+8=0.
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1. 解析:因为x2+y2-2x-4y+6=0等价于(x-1)2+(y-2)2=-1,
即方程无解,所以该方程不表示任何图形,故选D.
答案:D
2.解析:由题意知,直线2x-y+3=0过圆心.∵圆心坐标为(k,0),∴2k+3=0,k=-.
答案:B
3.解析:设动点M的坐标为(x,y),则|MA|=2|MB|,即=2,
整理,得x2+y2-8x=0.故所求动点M的轨迹方程为x2+y2-8x=0.
答案:x2+y2-8x=0
4. 解:设这个圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),
把三点坐标A(2,2),B(5,3),C(3,-1)代入得方程组
解得
所以这个圆的方程为x2+y2-8x-2y+12=0.