24.4.1三角形的中位线
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文档简介
三角形的中位线
教学目标:
１、经历三角形中位线的性质定理的性质定理形成过程，掌握此定理，并能利用它们解决简单的问题。
２、通过命题的教学了解常用的辅助线的作法,并能灵活运用它们解题。
3、通过学习，进一步培养自主探究和合作交流的学习习惯。
教学重点:
经历三角形中位线的性质定理和梯形中位线的性质定理形成过程，掌握两个定理，并能利用它们解决简单的问题。
教学难点:
进一步训练说理的能力。
教学过程:
一、创设情境，引入新课
同学们，我们的家乡周围有很多池塘，现在有一个这样的问题，A、B两点被池塘隔开，如何测量A、B两点的距离？
答：可以利用三角形全等的性质来测量A、B两点的距离。在池塘外某一处取一点C，连结AB、AC，并延长，在AC、BC上分别取D、E两点，使EC＝AC，DC＝BC，连结DE；那么△ABC≌△DEC，这时我们只要测出DE的长度，就可以知道AB的长度了。
还可以利用三角形相似的性质来测量AB的长度。
问：还有没有其它更简单的方法呢？这就是我们这节课要学习的知识，三角形的中位线
二、探究新知，进行新课
1、如图24．4．1，△ABC中， D是AB的中点时，点E是AC的中点。则DE就是△ABC的一条中位线。中位线就是三角形两点中点的连线。
2、画出一个三角形，并画出它所有的中位线。想一想，一个三角形有几条中位线？
3、我们之前还学了三角形的中线。请问同学们中线与中位线有什么样的区别和联系？
4、中位线AB和DE有会么样的位置关系和数量关系？
㈠猜想
从画出的图形看，可以猜想： DE∥BC，且DE＝BC．
㈡证明：如图24．4．2，△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点，
∴ ．
∵ ∠A＝∠A，
∴ △ADE∽△ABC（如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似），
∴ ∠ADE＝∠ABC，（相似三角形的对应角相等，对应边成比例），
∴ DE∥BC且
思考：本题还有其它的解法吗？
已知： 如图所示，在△ABC中，AD＝DB，AE＝EC。
求证： DE∥BC，DE＝BC。
分析: 要证DE∥BC，DE ＝BC，可延长DE到F，使EF＝DE，于是本题就转化为证明DF＝BC，DE∥BC，
故只要证明四边形BCFD为平行四边形。
还可以作如下的辅助线作法。
㈢概括
我们把连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，并且有
三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半。
介绍三角形的中位线时，强调指出它与三角形中线的区别。
5、回到我们前面的问题，在池塘外某一处取一点C，连结AB、AC，分别取AB、AC的中点D、E，现测得DE长为36CM，求AB长。
三、应用
例1 求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分。
已知： 如图24．4．3所示，在△ABC中，AD＝DB，BE＝EC，AF＝FC。
求证： AE、DF互相平分。
证明 连结DE、EF．因为AD＝DB，BE＝EC
所以DE∥AC（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半）
同理EF∥AB
所以四边形ADEF是平行四边形
因此AE、DF互相平分（平行四边形的对角线互相平分）
［同步训练］ 如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点．求证：四边形ADEF是菱形。
小结与作业
小结：谈一下你有哪些收获？
作业：Ｐ70 练习 习题24.4
教学目标:
１、经历三角形中位线的性质定理的性质定理形成过程，掌握此定理，并能利用它们解决简单的问题。
２、通过命题的教学了解常用的辅助线的作法,并能灵活运用它们解题。
3、通过学习，进一步培养自主探究和合作交流的学习习惯。
教学重点:
经历三角形中位线的性质定理和梯形中位线的性质定理形成过程，掌握两个定理，并能利用它们解决简单的问题。
教学难点:
进一步训练说理的能力。
教学过程:
一、创设情境，引入新课
同学们，我们的家乡周围有很多池塘，现在有一个这样的问题，A、B两点被池塘隔开，如何测量A、B两点的距离？
答：可以利用三角形全等的性质来测量A、B两点的距离。在池塘外某一处取一点C，连结AB、AC，并延长，在AC、BC上分别取D、E两点，使EC＝AC，DC＝BC，连结DE；那么△ABC≌△DEC，这时我们只要测出DE的长度，就可以知道AB的长度了。
还可以利用三角形相似的性质来测量AB的长度。
问：还有没有其它更简单的方法呢？这就是我们这节课要学习的知识，三角形的中位线
二、探究新知，进行新课
1、如图24．4．1，△ABC中， D是AB的中点时，点E是AC的中点。则DE就是△ABC的一条中位线。中位线就是三角形两点中点的连线。
2、画出一个三角形，并画出它所有的中位线。想一想，一个三角形有几条中位线？
3、我们之前还学了三角形的中线。请问同学们中线与中位线有什么样的区别和联系？
4、中位线AB和DE有会么样的位置关系和数量关系？
㈠猜想
从画出的图形看，可以猜想： DE∥BC，且DE＝BC．
㈡证明：如图24．4．2，△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点，
∴ ．
∵ ∠A＝∠A，
∴ △ADE∽△ABC（如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似），
∴ ∠ADE＝∠ABC，（相似三角形的对应角相等，对应边成比例），
∴ DE∥BC且
思考：本题还有其它的解法吗？
已知： 如图所示，在△ABC中，AD＝DB，AE＝EC。
求证： DE∥BC，DE＝BC。
分析: 要证DE∥BC，DE ＝BC，可延长DE到F，使EF＝DE，于是本题就转化为证明DF＝BC，DE∥BC，
故只要证明四边形BCFD为平行四边形。
还可以作如下的辅助线作法。
㈢概括
我们把连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，并且有
三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半。
介绍三角形的中位线时，强调指出它与三角形中线的区别。
5、回到我们前面的问题，在池塘外某一处取一点C，连结AB、AC，分别取AB、AC的中点D、E，现测得DE长为36CM，求AB长。
三、应用
例1 求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分。
已知： 如图24．4．3所示，在△ABC中，AD＝DB，BE＝EC，AF＝FC。
求证： AE、DF互相平分。
证明 连结DE、EF．因为AD＝DB，BE＝EC
所以DE∥AC（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半）
同理EF∥AB
所以四边形ADEF是平行四边形
因此AE、DF互相平分（平行四边形的对角线互相平分）
［同步训练］ 如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点．求证：四边形ADEF是菱形。
小结与作业
小结：谈一下你有哪些收获？
作业：Ｐ70 练习 习题24.4