沪科版数学七年级下册 8.3 完全平方公式 教案
文档属性
| 名称 | 沪科版数学七年级下册 8.3 完全平方公式 教案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 167.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-04-30 20:52:20 | ||
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文档简介
8.3 完全平方公式
◆ 课标要求：能推导乘法公式：，了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单计算。
◆ 内容分析：本课教学内容是完全平方公式及其应用。乘法公式是在学习了单项式乘法、多项式乘法之后学习的，是特殊形式的多项式乘法结果的一种归纳和总结，并且将这种结果应用于形式相同的多项式相乘，达到简化计算的目的。对于公式的学习在小学阶段就已经接触过，小学主要侧重直观感知，初中侧重于理性认识和全面学习。乘法公式是初中代数中运用推理方法进行代数式恒等变换形的开端，也是学习因式分解和分式运算的重要基础,因此本节课起着承上启下的作用。
◆ 学情分析：这个学段的学生抽象思维能力、逻辑思维能力、数学化能力有限，理解完全平方公式的几何解释、推导过程、结构特点有一定困难，模仿力强，思维更多依赖具体直观的形象。所以教学中应突出完全平方公式的探索过程，让学生参与其中，自主探索出完全平方公式的基本形式，并用语言表述其结构特征，避免去死记硬背公式。要引导学生分析公式的结构特征，在练习中逐步加深对公式中字母a,b的抽象认识，进一步发展学生的推理能力、合作交流能力和数形结合能力。
◆ 教学目标：
1.经历探索完全平方公式的过程，发展学生观察、交流、归纳、猜测、验证等能力。
2.能推导公式；了解公式的几何背景，熟练运用公式进行计算。
3.进一步体会数形结合的数学思想和方法。
4.通过小组合作研究，培养学生合作交流意识和探索精神，培养学生应用数学的意识，激发学生的学习兴趣。
◆ 教学重点：完全平方公式的应用。
◆ 教学难点：掌握公式的结构特征和字母表示的广泛含义，正确运用公式进行计算。
◆ 教学方法：启发讲授，探究讨论，合作交流等。
◆ 教学过程：
一、温故知新
1.同学们，上节课我们学习了多项式乘多项式的相关知识，那么多项式乘多项式的法则是什么？
2.例如（a+b）(m+n)等于？
3.如图，正方形ABCD是一块边长为a米的田地，现将其边长增加b米，求田地现在的面积。你能想出几种方法呢？
学生回答，教师补充：有以上4种方法（如上右图），这里课件当中设置触发器，学生想到哪种方法就出示哪种方法。其中方法一学生最容易想到，要求学生利用多项式乘多项式的方法计算出结果。其他几种方法通过对图形的分割进行计算。
【设计意图】 首先回顾多项式乘多项式的乘法法则，既为解决引入问题中的方法一的计算做了铺垫，又为后续感悟完全平方公式的简便性提供对比材料。引入问题与生活息息相关，调动学生学习兴趣，且解题方法多样，培养学生发散思维能力。
二、探究新知
1.通过以上四种方法我们得到一个式子，那么这里的a,b可以表示什么？可以表示数，其他字母和式子。在此基础上提问：若用-b替换b，结果会怎样？这里会有两种方法，一种方法是直接将式子中的所有b直接用-b替换，还有一种方法是利用多项式乘多项式的方法计算出的值。
2.到此为止得到了两个式子：，，这就是两数和、两数差的完全平方公式。接着对以上探究过程进行回顾（参见下图）：我们先由面积问题入手，得到第一个式子，这是由“数”到“形”的过程，接着我们通过把第一个式子当中的b替换为-b，得到了第二个式子，这是由“数”到“数”的过程，那么请同学们思考对于式子能否仿造引例，从“数”再到“形，”用图形来解释两数差的完全平方公式呢？学生先独立思考，再小组合作交流，最后得出两数差的完全平方公式的图形表示。体会数形结合重要思想。
【设计意图】 通过探究活动，教师引导启发，学生参与完全平方公式的推导过程、理解公式的几何解释，感受数形结合的重要思想方法，培养学生思维的严密性，训练语言表达能力。
3.同学们进一步观察这两个公式有没有什么相同点和不同点？你能用文字语言叙述这个式子吗？
引导学生观察、比较、交流两个式子的结构特征，寻找异同点，并尝试用文字语言表述公式。在此基础上教师给出口诀帮助理解记忆。
【设计意图】通过观察、比较、归纳、总结，掌握公式的结构特征和字母表示的广泛含义。鼓励学生用自己的语言表达，并用口诀帮助记忆。
三、讲练结合
1.例1：利用乘法公式计算
(1)
(2)
【设计意图】 首先让学生说出每个式子中的a,b分别是多少，再根据公式将式子展开。用箭头表示，形象直观，便于学生对公式的理解和运用，补充的计算，让学生感受到完全平方公式对于计算起到的简化作用，以及转化思想的应用。
2.练习1：利用乘法公式计算
(2)(3)(4)
练习2：（脑力接力赛）判断下列计算是否正确，不正确的要改正。
【设计意图】练习1在学生独立思考计算的基础上，找学生代表板演，教师对发现的问题及时进行纠正；练习2以游戏活动的形式展开，在积极有趣的氛围中，加深对公式的理解和应用，在游戏中发现应用公式中的细节问题，增强学习的趣味性。
四、技能提升
1.已知，mn=1,求的值。
2.若二次三项式 是一个完全平方式，求k的值。
3.如图，是一张正方形的纸片，如果把它沿着各边都剪去3cm宽的一条，那么所得小正方形的面积比原正方形的面积减少84cm ,求原正方形的边长。
【设计意图】 设置变式训练，加深对知识的理解，拓展学生思维，注重知识的灵活运用，培养学生理性思维，最后一题让学生感受所学知识的实际应用性。
五、课堂小结
通过本节课的学习，你学习了什么知识？学会了什么方法？有什么感受？
【设计意图】 通过小结，回顾本课学习知识和历程，以填空的形式展示知识要点，便于学生构建知识系统，使知识结构化、逻辑化，以便形成新的认知体系。
六、课后作业
1.习题8.3，N1题。
2.想一想用b+c替换b会得到什么样的结论。
◆ 教学反思：
完全平方公式是第八章第三课时的内容，乘法公式是初中代数中运用推理方法进行代数式恒等变换形的开端，也是学习因式分解和分式运算的重要基础。本节课的目的是带领学生推导公式，了解其几何背景，并能用公式进行简单计算，笔者对于本节课起初的设想是利用多项式乘多项式的方法先计算得出两个公式，并通过引导启发，让学生以拼图的形式对这两个公式的几何背景加以解释。虽然这样设想符合学生的认知过程，但缺乏新意与趣味性，蕴含的数形结合思想体现的也不够充分。经其他老师建议遂成本文。其中有两个创新点，第一个是以面积问题激趣引入，让学生探究解题方法的多样性，培养发散思维，得到两数和的完全平方公式；第二个是将b替代成-b,使学生了解“两数和”与“两数差”的完全平方公式从本质上看是统一的。再引导学生设计图形解释“两数差”的完全平方公式，完成由“形”到“数”，由“数”到“数”，再由“数”到“形”的过程，充分渗透数形结合思想。学生参与推导过程，在对两个公式的观察对比中，理解公式的结构特征，在练习中用箭头标注，直观形象，是学生理解字母的广泛含义，拓展问题更是加深学生对公式的灵活运用。
◆ 专家点评：
本课教师紧扣课题开展教学，目标明确，条理清晰，详略得当，组织有序。课中运用旧的知识、新的问题，唤起学生对新知的探究欲望；教学中及时引导，善于启发，循序渐进，学生参与其中，理解公式实质，着重培养学生思维的严密性和自觉感知的能力；鼓励学生自我探究，充分渗透数形结合思想，课后问题用b+c替换b更为下节课做铺垫。设置的“技能提升”问题相对较难，可适当调整。
◆ 课标要求：能推导乘法公式：，了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单计算。
◆ 内容分析：本课教学内容是完全平方公式及其应用。乘法公式是在学习了单项式乘法、多项式乘法之后学习的，是特殊形式的多项式乘法结果的一种归纳和总结，并且将这种结果应用于形式相同的多项式相乘，达到简化计算的目的。对于公式的学习在小学阶段就已经接触过，小学主要侧重直观感知，初中侧重于理性认识和全面学习。乘法公式是初中代数中运用推理方法进行代数式恒等变换形的开端，也是学习因式分解和分式运算的重要基础,因此本节课起着承上启下的作用。
◆ 学情分析：这个学段的学生抽象思维能力、逻辑思维能力、数学化能力有限，理解完全平方公式的几何解释、推导过程、结构特点有一定困难，模仿力强，思维更多依赖具体直观的形象。所以教学中应突出完全平方公式的探索过程，让学生参与其中，自主探索出完全平方公式的基本形式，并用语言表述其结构特征，避免去死记硬背公式。要引导学生分析公式的结构特征，在练习中逐步加深对公式中字母a,b的抽象认识，进一步发展学生的推理能力、合作交流能力和数形结合能力。
◆ 教学目标：
1.经历探索完全平方公式的过程，发展学生观察、交流、归纳、猜测、验证等能力。
2.能推导公式；了解公式的几何背景，熟练运用公式进行计算。
3.进一步体会数形结合的数学思想和方法。
4.通过小组合作研究，培养学生合作交流意识和探索精神，培养学生应用数学的意识，激发学生的学习兴趣。
◆ 教学重点：完全平方公式的应用。
◆ 教学难点：掌握公式的结构特征和字母表示的广泛含义，正确运用公式进行计算。
◆ 教学方法：启发讲授，探究讨论，合作交流等。
◆ 教学过程：
一、温故知新
1.同学们，上节课我们学习了多项式乘多项式的相关知识，那么多项式乘多项式的法则是什么？
2.例如（a+b）(m+n)等于？
3.如图，正方形ABCD是一块边长为a米的田地，现将其边长增加b米，求田地现在的面积。你能想出几种方法呢？
学生回答，教师补充：有以上4种方法（如上右图），这里课件当中设置触发器，学生想到哪种方法就出示哪种方法。其中方法一学生最容易想到，要求学生利用多项式乘多项式的方法计算出结果。其他几种方法通过对图形的分割进行计算。
【设计意图】 首先回顾多项式乘多项式的乘法法则，既为解决引入问题中的方法一的计算做了铺垫，又为后续感悟完全平方公式的简便性提供对比材料。引入问题与生活息息相关，调动学生学习兴趣，且解题方法多样，培养学生发散思维能力。
二、探究新知
1.通过以上四种方法我们得到一个式子，那么这里的a,b可以表示什么？可以表示数，其他字母和式子。在此基础上提问：若用-b替换b，结果会怎样？这里会有两种方法，一种方法是直接将式子中的所有b直接用-b替换，还有一种方法是利用多项式乘多项式的方法计算出的值。
2.到此为止得到了两个式子：，，这就是两数和、两数差的完全平方公式。接着对以上探究过程进行回顾（参见下图）：我们先由面积问题入手，得到第一个式子，这是由“数”到“形”的过程，接着我们通过把第一个式子当中的b替换为-b，得到了第二个式子，这是由“数”到“数”的过程，那么请同学们思考对于式子能否仿造引例，从“数”再到“形，”用图形来解释两数差的完全平方公式呢？学生先独立思考，再小组合作交流，最后得出两数差的完全平方公式的图形表示。体会数形结合重要思想。
【设计意图】 通过探究活动，教师引导启发，学生参与完全平方公式的推导过程、理解公式的几何解释，感受数形结合的重要思想方法，培养学生思维的严密性，训练语言表达能力。
3.同学们进一步观察这两个公式有没有什么相同点和不同点？你能用文字语言叙述这个式子吗？
引导学生观察、比较、交流两个式子的结构特征，寻找异同点，并尝试用文字语言表述公式。在此基础上教师给出口诀帮助理解记忆。
【设计意图】通过观察、比较、归纳、总结，掌握公式的结构特征和字母表示的广泛含义。鼓励学生用自己的语言表达，并用口诀帮助记忆。
三、讲练结合
1.例1：利用乘法公式计算
(1)
(2)
【设计意图】 首先让学生说出每个式子中的a,b分别是多少，再根据公式将式子展开。用箭头表示，形象直观，便于学生对公式的理解和运用，补充的计算，让学生感受到完全平方公式对于计算起到的简化作用，以及转化思想的应用。
2.练习1：利用乘法公式计算
(2)(3)(4)
练习2：（脑力接力赛）判断下列计算是否正确，不正确的要改正。
【设计意图】练习1在学生独立思考计算的基础上，找学生代表板演，教师对发现的问题及时进行纠正；练习2以游戏活动的形式展开，在积极有趣的氛围中，加深对公式的理解和应用，在游戏中发现应用公式中的细节问题，增强学习的趣味性。
四、技能提升
1.已知，mn=1,求的值。
2.若二次三项式 是一个完全平方式，求k的值。
3.如图，是一张正方形的纸片，如果把它沿着各边都剪去3cm宽的一条，那么所得小正方形的面积比原正方形的面积减少84cm ,求原正方形的边长。
【设计意图】 设置变式训练，加深对知识的理解，拓展学生思维，注重知识的灵活运用，培养学生理性思维，最后一题让学生感受所学知识的实际应用性。
五、课堂小结
通过本节课的学习，你学习了什么知识？学会了什么方法？有什么感受？
【设计意图】 通过小结，回顾本课学习知识和历程，以填空的形式展示知识要点，便于学生构建知识系统，使知识结构化、逻辑化，以便形成新的认知体系。
六、课后作业
1.习题8.3，N1题。
2.想一想用b+c替换b会得到什么样的结论。
◆ 教学反思：
完全平方公式是第八章第三课时的内容，乘法公式是初中代数中运用推理方法进行代数式恒等变换形的开端，也是学习因式分解和分式运算的重要基础。本节课的目的是带领学生推导公式，了解其几何背景，并能用公式进行简单计算，笔者对于本节课起初的设想是利用多项式乘多项式的方法先计算得出两个公式，并通过引导启发，让学生以拼图的形式对这两个公式的几何背景加以解释。虽然这样设想符合学生的认知过程，但缺乏新意与趣味性，蕴含的数形结合思想体现的也不够充分。经其他老师建议遂成本文。其中有两个创新点，第一个是以面积问题激趣引入，让学生探究解题方法的多样性，培养发散思维，得到两数和的完全平方公式；第二个是将b替代成-b,使学生了解“两数和”与“两数差”的完全平方公式从本质上看是统一的。再引导学生设计图形解释“两数差”的完全平方公式，完成由“形”到“数”，由“数”到“数”，再由“数”到“形”的过程，充分渗透数形结合思想。学生参与推导过程，在对两个公式的观察对比中，理解公式的结构特征，在练习中用箭头标注，直观形象，是学生理解字母的广泛含义，拓展问题更是加深学生对公式的灵活运用。
◆ 专家点评：
本课教师紧扣课题开展教学，目标明确，条理清晰，详略得当，组织有序。课中运用旧的知识、新的问题，唤起学生对新知的探究欲望；教学中及时引导，善于启发，循序渐进，学生参与其中，理解公式实质，着重培养学生思维的严密性和自觉感知的能力；鼓励学生自我探究，充分渗透数形结合思想，课后问题用b+c替换b更为下节课做铺垫。设置的“技能提升”问题相对较难，可适当调整。