课件26张PPT。一．平面直角坐标系的建立思考:声响定位问题 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比其他两个观测点晚4s，已知各观测点到中心的距离都是1020m，试确定该巨响的位置。（假定当时声音传播的速度为340m/s，各相关点均在同一平面上） (2004年广东高考题)yxBACPo 以接报中心为原点O，以BA方向为x轴，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点， 设P（x,y）为巨响为生点，由B、C同时听到巨响声，得|PC|=|PB|，故P在BC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=－x，因A点比B点晚4s听到爆炸声，则 A(1020,0), B(－1020,0), C(0,1020)故|PA|－ |PB|=340×4=1360由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的
双曲线 上，
答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心 处.用y=－x代入上式，得 ，∵|PA|>|PB|, 解决此类应用题的关键：
1、建立平面直角坐标系
2、设点（点与坐标的对应）
3、列式（方程与坐标的对应）
4、化简
5、说明坐 标 法例1.已知△ABC的三边a,b,c满足 b2+c2=5a2,BE,CF分别为边AC,CF上的中线，建立适当的平面直角坐标系探究BE与CF的位置关系。yx 以△ABC的顶点Ａ为原点Ｏ，
边AB所在的直线x轴，建立直角
坐标系，由已知，点A、B、F的
坐标分别为解：A ( 0, 0 ) , B ( c ,0 ) , F ( ,0 ).因此，BE与CF互相垂直. 具体解答过程见书本P4
你能建立不同的直角坐标系解决这个问题吗？比较不同的直角坐标系下解决问题的过程，建立直角坐标系应注意什么问题？建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系。（1）如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；（2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；（3）使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。二.平面直角坐标系中的伸缩变换思考：（1）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x?xO?2?y=sinxy=sin2x 在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来的 ，就得到正弦曲线y=sin2x. 上述的变换实质上就是一个坐标的压缩变换，即：
设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来 ，得到点P’(x’,y’).坐标对应关系为：坐标对应关系为：（2）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?写出其坐标变换。设点P（x,y）经变换得到点为P’(x’,y’) 在正弦曲线上任取一点P（x,y），保持横坐标x不变，将纵坐标伸长为原来的3倍，就得到曲线y=3sinx。（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x? 写出其坐标变换。
在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来的 ，在此基础上，将纵坐标变为原来的3倍，就得到正弦曲线y=3sin2x.设点P（x,y）经变换得到点为P’(x’,y’)注 （1）
（2）把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到；
（3）在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。练习：
1.在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形。（1）2x+3y=0; (2)x2+y2=1课堂小结：
（1）体会坐标法的思想，应用坐标法解决几何问题；
（2）掌握平面直角坐标系中的伸缩变换。作业： P8 1, 4, 5
预习： 极坐标系（书本P9-P11）
课件24张PPT。§4.1.2 极坐标系(ρ,θ)问题情境军舰巡逻在海面上,发现前方有一群水雷,如何确定它们的位置以便将它们引爆？问题情境问题情境以107国道为X轴
以机荷高速线为Y轴...学生活动在上述两个问题中,采用直角坐标系,可行吗？简便吗?为了简便地表示上述两个问题中点的位置,应创建怎样的坐标系呢？从这向东走
2000米.意义建构请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？从这向东走2000米！出发点方向距离在生活中,人们经常用方向和距离来表示一点的位置. 意义建构类似地,水雷的位置也可以借助方向与距离来确定.意义建构那么,根据这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，我们应创建怎样的坐标系呢?意义建构一.极坐标系的建立在平面内取一个定点O，叫做极点.引一条射线OX，叫做极轴.再确定一个长度单位和计算角度的正方向（通常取逆时针方向）.这样就建立了一个极坐标系.O数学理论二.极坐标的定义对于平面上任意一点M，用?表示线段OM的长度，用?表示以OX为始边,OM为终边所成的角，?叫做点M的极径,?叫做点M的极角,
有序实数对（?，?）就叫做M的极坐标.数学理论显然, 这里?≥0.
特别规定：当M在极点时，它的极坐标是,极径?=0，极角?可以取任意值.例1：写出下图中各点的极坐标OA1GFEDCB解：图中各点的极坐标分别为数学应用①平面上一点的极坐标是否唯一？
②坐标不唯一是由什么引起的？
③点的极坐标有多少种表示方法？
是否可以写出统一表达式？想一想？学生活动三.点的极坐标表达式的探讨如图：OM的长度为4，
请说出点M的极坐标的统一表达式.本题点M的极坐标统一表达式：数学理论练习：说出下图中各点的极坐标统一表达式ABCDOX1四.关于极径取负值由极径的意义可知?≥0.但为了研究方便,极径?允许取负值,极角θ也可以取任意的正角或负角.当?＜0时,点M(?，?)位于极角终边的反向延长线上,且OM = ???.对于点M(?，?),极径取负值时的规定：数学理论如:在极坐标系中画出点 M（－3，?/4）的位置1.作射线OP，使?XOP= ?/4 2.在OP的反向延长线上取一点M，使?OM?= 3练习：当极径取正值和负值时,写出B、C、G点的极坐标O1GCB数学理论一般地,若 是点 M 的极坐标,那么
都可以作为点 M 的极坐标.小结：极径变为负，极角增加 ? .特别强调：若不作特别说明,一般情况下认为? ≥ 0. 而且,通常情况下,只需写出点的一个极坐标就可以了.五. 点与它的极坐标的对应情况1.给定（?,?）,能确定唯一的一点M.2.给定一点M，却有无数个极坐标与之对应.原因在于：极径有正有负；极角也可以取任意正角或负角.极坐标平面内的点和它的极坐标一一对应吗?数学理论数学应用例2：在极坐标中,
(1)已知两点 ,求线段PQ的长度;
(2)已知点M的极坐标为 ,且 ,说明满足上述条件的点M的位置. 解: (1) PQ = 5+1= 6(2) 点M在过极点且与极轴成 角的直线上. 数学运用例3：已知点 分别按下列条件求出点P的极坐标. (1)点P是点Q关于极点O的对称点;
(2)点P是点Q关于直线 的对称点.解: (1)点P的极坐标为3.点(极点除外)的极坐标有否统一的表达式？小结：
1.建立一个极坐标系需要哪些要素？极点；极轴；长度单位；计算角度的正方向.2.点(极点除外)的极坐标有多少种表示方法？无数种.极径可正可负，极角也可以任意.回顾小结有.作业：15页------8、10、11课件13张PPT。极坐标和直角坐标的互化教学目标:
掌握极坐标和直角坐标的互化关系式
2.会实现极坐标和直角坐标之间的互化
教学难点:
对极坐标和直角坐标的互化关系式
的理解
教学重点:
互化关系式的掌握在极坐标系中描出下列各点：问题:
极坐标系是怎样定义的?极坐标系与直角坐标系有何异同?在直角坐标系中,
以原点作为极点,
x轴的正半轴作为极轴,
并且两种坐标系中取相
同的长度单位点M的直角坐标为设点M的极坐标为(ρ,θ)极坐标与直角坐标的互化关系式:设点M的直角坐标是 (x, y)
极坐标是 (ρ,θ)x=ρcosθ, y=ρsinθ 互化公式的三个前提条件：
1. 极点与直角坐标系的原点重合;
2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半轴
重合;
3. 两种坐标系的单位长度相同.例1. 将点M的极坐标
化成直角坐标.练习: P12 习题1.2 1
写出图中A, B, C, D, E, F, G各点
的极坐标, 并化成直角坐标.已知下列点的极坐标，求它们的直
角坐标。例2. 将点M的直角坐标
化成极坐标.练习: 已知点的直角坐标, 求它们
的极坐标.作业:
书本P12 3, 4, 5《优化设计》P12-15课件14张PPT。 在平面直角坐标系中，平面曲线
Ｃ可以用方程f(x,y)=0表示．那么：在极坐标系中，平面曲线Ｃ是否
可以用方程f(ρ,θ)=0表示呢1、圆的极坐标方程1.3.1简单曲线的极坐标方程 问题.如图，半径为a的圆的圆心坐标(a,0)(a>0)，且过极点，求此圆的极
坐标方程．xC(a,0)O一、定义：如果曲线Ｃ上的点与方程f(?,?)=0有如下关系：
(１)曲线Ｃ上任一点的坐标(所有坐标中至少有一个)符合方程f(?,?)=0 ；
(２)方程f(?,?)=0的所有解为坐标的点都在曲线Ｃ上。
则方程f(?,?)=0叫做曲线Ｃ的极坐标方程．例1.已知圆O的半径为a，建立怎样的极坐标
系，可以使圆的极坐标方程更简单？练习1:求下列圆的极坐标方程
(１)圆心在极点，半径为2；
(２)圆心在Ｃ(a,0)，半径为a；
(３)圆心在C(a,?/2)，半径为a；
(４)圆心在Ｃ(?0,?０)，半径为a.
?＝2 ?＝2acos ? ?＝2asin ? ?2+ ?0 2 -2 ? ?0 cos( ?- ?０)= a2求曲线的极坐标方程的本质：
就是找出曲线上动点M的坐标?与?之间的关系，然后列出方f(?,?)=0 ．
（与直角坐标系里的情况类似）1、建系
2、设点
3、列式
4、化简练习2:极坐标方程分别是ρ＝cosθ和
ρ＝sinθ的两个圆的圆心距是多少？ 练习3:以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是（ ） C练习4..曲线 关于极轴对称的曲线是（ ）C极点对称呢？问：曲线上的点到极点的最大距离？ 小结
(1)曲线的极坐标方程概念
(2)怎样求曲线的极坐标方程
(3)圆的极坐标方程课件15张PPT。1、负极径的定义说明：一般情况下，极径都是正值；在某些必要情况下，极径也可以取负值。（？）对于点M（?，?）负极径时的规定：[1]作射线OP，使?XOP= ?[2]在OP的反向延长
线上取一点M，使?OM?= ? ? ?2、负极径的实例在极坐标系中画出点
M（－3，?/4）的位置[1]作射线OP，使?XOP= ?/4 [2]在OP的反向延长线上取一点M，使?OM?= 3负极径小结：极径变为负，极角增加 ? 。答：（－6， +π）或（－6，－ +π）特别强调：一般情况下（若不作特别说明时），认为? ≥ 0 。因为负极径只在极少数情况用。§1.3.2直线的极坐标方程新课引入：思考：在平面直角坐标系中1、过点(3,0)且与x轴垂直的直线方程为 ;过点(3,3)且与x轴垂直的直线方程为 x=3x=32、过点（a,b）且垂直于x轴的直线方程为_______x=a特点：所有点的横坐标都是一样，纵坐标可以取任意值。答：与直角坐标系里的情况一样，求曲线的极坐标方程就是找出曲线上动点Ｐ的坐标?与?之间的关系，然后列出方程?(?,?)=0 ，再化简并讨论。怎样求曲线的极坐标方程？例题1：求过极点，倾角为 的射线的极坐标方程。分析：如图，所求的射线上任一点的极角都是 ，其极径可以取任意的非负数。故所求直线的极坐标方程为新课讲授1、求过极点，倾角为 的射线的极坐标方程。易得思考：2、求过极点，倾角为 的直线的极坐标方程。 和前面的直角坐标系里直线方程的表示形式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？为了弥补这个不足，可以考虑允许通径可以取全体实数。则上面的直线的极坐标方程可以表示为或例题2、求过点A(a,0)(a>0)，且垂直于极轴的直线L的极坐标方程。解：如图，设点为直线L上除点A外的任意一点，连接OM在 中有 即可以验证，点A的坐标也满足上式。求直线的极坐标方程步骤1、根据题意画出草图；2、设点 是直线上任意一点；3、连接MO；4、根据几何条件建立关于 的方 程，并化简；5、检验并确认所得的方程即为所求。练习：设点P的极坐标为A ，直线 过点P且与极轴所成的角为 ,求直线 的极坐标方程。 解：如图，设点为直线 上异于的点连接OM，在 中有 即显然A点也满足上方程。例题3设点P的极坐标为 ，直线 过点P且与极轴所成的角为 ,求直线 的极坐标方程。 则 由点P的极坐标知 由正弦定理得显然点P的坐标也是它的解。小结：直线的几种极坐标方程1、过极点2、过某个定点，且垂直于极轴3、过某个定点，且与极轴成一定
的角度课件16张PPT。互化公式的三个前提条件：
1. 极点与直角坐标系的原点重合;
2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
轴重合;
3. 两种坐标系的单位长度相同.复习：极坐标与直角坐标的互化关系式:设点M的直角坐标是 (x, y)
极坐标是 (ρ,θ)x=ρcosθ, y=ρsinθ oxAB解：∠AOB = 用余弦定理求
AB的长即可.1、圆的极坐标方程1.3简单曲线的极坐标方程探 究如图，在极坐标系下半径为a的圆的圆心坐标为(a,0)(a>0)，你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标(?,?)满足的条件？O曲线的极坐标方程一、定义：如果曲线Ｃ上的点与方程f(?,?)=0有如下关系
(１)曲线Ｃ上任一点的坐标(所有坐标中至少有一个)符合方程f(?,?)=0 ；
(２)方程f(?,?)=0的所有解为坐标的点都在曲线Ｃ上。
则曲线Ｃ的方程是f(?,?)=0 。例1、已知圆O的半径为r，建立怎样的坐标系，可以使圆的极坐标方程更简单？求下列圆的极坐标方程
(１)中心在极点，半径为r；
(２)中心在Ｃ(a,0)，半径为a；
(３)中心在(a,?/2)，半径为a；
(４)中心在Ｃ(a,?０)，半径为a
?＝r ?＝2acos ? ?＝2asin ?圆心的极径与圆的半径相等练习以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是 C 极坐标方程分别是ρ＝cosθ和ρ＝sinθ的两个圆的圆心距是多少 例1:课件12张PPT。柱坐标系与球坐标系阅读课本P16---17 了解柱坐标系的定义, 以及如何用
柱坐标系描述空间中的点.一.柱坐标系 设P是空间任意一点，在oxy平面的射影为Q， 用(ρ,θ)(ρ≥0,
0≤θ＜2π)表示点Q
在平面oxy上的极坐标， 点P的位置可用有
序数组(ρ,θ,z)表示. 把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系. 有序数组(ρ,θ,Z)叫点P的柱
坐标，记作(ρ,θ,Z). 其中ρ≥0, 0≤θ＜ 2π, -∞＜Z＜+∞ 柱坐标系又称半极坐标系，它是由
平面极坐标系及空间直角坐标系中的
一部分建立起来的. 空间点P的直角坐标(x, y, z)与柱坐
标 (ρ,θ,Z) 之间的变换公式为试一试 设点的直角坐标为(1，1，1)，求它
在柱坐标系中的坐标.解得ρ= ，θ= 点在柱坐标系中的坐标为
（ ， ，1）. 注：求θ时要注意角的终边与点的
射影所在位置一致试一试 给定一个底面半径为r，高为h的圆
柱，建立柱坐标系，利用柱坐标描述
圆柱侧面以及底面上点的位置.注：坐标与点的位置有关二.球坐标系阅读课本P18 了解球坐标系的概念以及在球坐标
系中点的确定设P是空间任意一点，连接OP，记| OP |=r，OP与OZ轴正向所
夹的角为φ.在oxy平面的射影为Q， 设P
在oxy平面上的射影为Q， Ox轴按逆时
针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ. 这样点 P 的位置就可以用有序数
组(r,φ,θ)表示.(r,φ,θ) 我们把建立上述
对应关系的坐标系
叫做球坐标系 (或空间极坐标系) .有序数组(r,φ,θ)叫做点P的球坐标，其中 空间的点与有序数组(r,φ,θ)之间建立了一种对应关系. 空间点P的直角坐标(x, y, z)与球坐标
(r,φ,θ)之间的变换关系为试一试 设点的球坐标为(2， ， )，求
它的直角坐标.点在直角坐标系中的坐标为
（ －1 ，1 ，－ ）.数轴平面直角坐标系平面极坐标系空间直角坐标系球坐标系柱坐标系 坐标系是联系形与数的桥梁，利用
坐标系可以实现几何问题与代数问题
的相互转化，从而产生了坐标法.坐标系小结课件30张PPT。第72讲│坐标系第72讲│知识梳理极轴第72讲│知识梳理极坐标系极径极角极坐标第72讲│知识梳理ρ2＝x2＋y2ρ＝2acosθ第72讲│知识梳理第72讲│要点探究? 探究点1 平面直角坐标系中图象的变换 【思路】把中心不在原点的椭圆通过平移变换化为中心在原点的椭圆，再通过伸缩变换化为中心在原点的单位圆．第72讲│要点探究第72讲│要点探究 【点评】本题设计的目的是考查平面直角坐标系中图象的变换的基本应用．意在通过曲线图象的变换， 来表示对应的坐标伸缩变换．对于伸缩变换下图象对应的方程变化也是应该掌握的，但在本讲中只作了解. 第72讲│要点探究 【思路】通过坐标变换求出曲线的变换方程．第72讲│要点探究第72讲│要点探究 【点评】曲线的伸缩变换和平移变换在具体解题时往往要综合使用，两个步骤的变换，变换的顺序不同，变换的大小是不一样的，通过实例比较加以区别．第72讲│要点探究? 探究点2 极坐标与直角坐标的互化 【思路】利用极坐标和直角坐标的互化公式把极坐标方程化为直角坐标方程. 第72讲│要点探究 【点评】 极坐标和直角坐标的两组互化公式必须满足三个条件才能使用：(1)原点和极点重合；(2)x轴正半轴与极轴重合；(3)两坐标系中长度单位相同．极坐标和直角坐标的互化中，更要注意等价性，特别是两边同乘ρn时，方程增加了一个n重解ρ＝0，要判断它是否是方程的解，若不是要去掉该解．第72讲│要点探究第72讲│要点探究? 探究点3 极坐标方程的求解第72讲│要点探究 【答案】 ρ＝10＋20cosθ第72讲│要点探究 【点评】求曲线的极坐标方程，关键就是找出曲线上的点满足的几何条件，将它们用极坐标表示，通过解三角形得到．当然，直角坐标系中轨迹方程的求解方法，对极坐标方程的求解也适用，如直译法、定义法、动点转移法等．
第72讲│要点探究 【思路】 先把圆C的参数方程化为直角坐标方程，然后在所建的极坐标系中构造三角形．第72讲│要点探究图72－2 【点评】本题中极坐标极点与直角坐标系的原点不重合，不能用极坐标与直角坐标的互化公式求解，这是同学解题时易犯的错误，第72讲│要点探究第72讲│要点探究? 探究点4 简单的极坐标方程的应用 【思路】有两种解题思路，一是在极坐标系下联立方程组求解，另一种方法是化为直角坐标方程求解．第72讲│要点探究 【答案】第72讲│要点探究 【点评】本题有两种解法，一种是在极坐标系下，结合图形求解；另一种是先化成直角坐标，然后在直角坐标系下求解．由极坐标方程解决的问题，若不好处理，就直角坐标化；由直角坐标给出的问题，若用极坐标方法处理较为简便，就极坐标化.
第72讲│要点探究 【思路】 (1)利用直角坐标与极坐标的互化公式；(2)设极坐标求解．第72讲│要点探究第72讲│要点探究 【点评】本题在处理过椭圆中心的弦长时，用极坐标方法比直角坐标方法要简便的多. 第72讲│要点探究第72讲│要点探究? 探究点5 柱坐标和球坐标的应用 【答案】 第72讲│要点探究【点评】记住球坐标与直角坐标的互化公式才能应用．
第72讲│规律总结
