北师大版九年级数学下册3 垂径定理课件（共18张PPT）
文档属性
| 名称 | 北师大版九年级数学下册3 垂径定理课件（共18张PPT） |  | |
| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 2.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-04-30 22:51:42 | ||
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文档简介
(共18张PPT)
学习目标
情境引入
新知探究
课堂小结
随堂练习
经历探索并证明垂径定理及其逆定理的过程，发展推理能力.
如右图所示，“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺,问径几何.”用几何语言可表述为:CD为☉O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1寸，AB=10寸，则直径CD的长为多少
【问题】
当弦AB⊥CD时,你能得出哪些相等的线段 相等的弧 相等的角
垂径定理
【做一做】如右图所示，AB是☉O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M.
问题1
此图是轴对称图形吗 如果是,其对称轴是什么
这个图是轴对称图形,对称轴是直径CD所在的直线.
问题2
你发现图中有哪些等量关系 说一说你的理由.
将这个图沿着直径CD折叠,发现AM与BM重合,∠CMA与∠CMB重合, ∠DMA与∠DMB重合, 重合, 重合,所以等量关系有AM=BM, ∠CMA=∠CMB=90°,∠DMA=∠DMB=90°, , .
垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.
垂径定理的注意事项:
(1)条件中的“弦”可以是直径;
(2)结论中的“弧”指平分弦所对的劣弧、优弧.
符号语言:
∵CD是圆的直径,CD⊥AB于M,∴AM=BM,
如右图所示,已知AB是☉O的一条弦,CD是☉O的一条直径,并且CD⊥AB,垂足为M.求证AM=BM,
垂径定理的证明
证明:连接OA，OB，则OA=OB.
在Rt△OAM和Rt△OBM中，
∵OA=OB，OM=OM，
∴Rt△OAM≌Rt△OBM.
∴AM=BM，∠AOC=∠BOC.
∵∠AOD=180°－∠AOC，
∠BOD=180°－∠BOC，
∴∠AOD=∠BOD.
判断下列图形，能否使用垂径定理？
【解析】定理中两个条件（直径，垂直于弦）缺一不可，故前三个图均不能，仅第四个图可以！
·
·
·
·
垂径定理的逆定理
如右图所示，AB是☉O的弦(不是直径)，作一条平分AB的直径CD，交AB于M.
(1)此图是轴对称图形吗 如果是,其对称轴是什么
(2)你发现图中有哪些等量关系 说一说你的理由.
AM=BM，
OM=OM，
OA=OB,
△OAM≌△OBM.
∴∠AOC=∠BOC, ∠AMO=∠BMO=90°.
符号语言表示:
∵CD是圆的直径,CD平分AB (AB不是直径),
∴CD⊥AB,
思考下面的问题:
1.类比垂径定理的语言描述,你能总结得出结论吗
2.平分弦中的弦可以是直径吗
3.你得出的结论和垂径定理有什么区别
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.
垂径定理的逆定理:
平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.
知二推三：
①直径、
②垂直于弦、
③平分弦、
④平分优弧、
⑤平分劣弧
四个结论中,已知其中的两个结论就可以推导出其他的三个结论.
例 如右图所示,一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中 ，点O是 所在圆的圆心)，其中CD=600 m，E为 上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90 m.求这段弯路的半径.
〔解析〕连接OC,根据垂径定理可得CF=300 m,设圆弧的半径是R,OF=R-90,OC=R.
在Rt△OCF中,根据勾股定理可得OC的长,即可求得半径.
解:如图所示,连接OC,
设弯路的半径是R,则OF=(R-90)m.
∵OE⊥CD,
∴CF= CD= ×600=300(m).
在Rt△OCF中，根据勾股定理,
得OC2=CF2+OF2，
即R2=3002+(R-90)2，
解这个方程,得R=545.
所以这段弯路的半径是545 m.
1.如图所示，☉O的半径为5，弦AB的长为8，点M在线段AB(包括端点A,B)上移动，则OM的取值范围是 ( )
A.3≤OM≤5 B.3≤OM＜5
C.4≤OM≤5 D.4≤OM＜5
解析:当M与A或B重合时，OM达到最大值，即圆的半径5；当OM⊥AB时，OM取最小值，为 =3.故OM的取值范围是3≤OM≤5.故选A.
A
解析: ∵OC⊥弦AB于点C，
∴BC=AC= AB= ×4=2.
在Rt△OBC中，OC=1，BC=2，∴OB=
故填 .
2.如图所示，在☉O中，OC⊥弦AB于点C，AB=4，OC=1，则OB的长是 .
解析:连接OC，
∵CD⊥AB，CD=8，
∴PC= CD= ×8=4，
在Rt△OCP中，∵PC=4,OP=3，
∴OC=
故填5.
3.如图所示，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P. 若CD=8，OP=3，则☉O的半径为 .
5
根据勾股定理，得OC= =5 cm，
∴CD=OD－OC=8 cm.
∴油面高CD为8 cm.
4.如图(1)所示, 水平放置的一个油管的截面半径为13 cm, 其中有油部分油面宽AB为24 cm, 求截面上有油部分油面高CD.
解析:根据垂径定理,易知AC,BC的长,连接OA,根据勾股定理即可求出OC的长,进而可求出CD的值.
解:如图(2)所示，连接OA.根据垂径定理,得AC=BC=12 cm.
在Rt△OAC中，OA=13 cm，AC=12 cm.
1. 垂径定理及其逆定理；
2.怎样利用垂径定理解决相应的数学问题.
学习目标
情境引入
新知探究
课堂小结
随堂练习
经历探索并证明垂径定理及其逆定理的过程，发展推理能力.
如右图所示，“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺,问径几何.”用几何语言可表述为:CD为☉O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1寸，AB=10寸，则直径CD的长为多少
【问题】
当弦AB⊥CD时,你能得出哪些相等的线段 相等的弧 相等的角
垂径定理
【做一做】如右图所示，AB是☉O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M.
问题1
此图是轴对称图形吗 如果是,其对称轴是什么
这个图是轴对称图形,对称轴是直径CD所在的直线.
问题2
你发现图中有哪些等量关系 说一说你的理由.
将这个图沿着直径CD折叠,发现AM与BM重合,∠CMA与∠CMB重合, ∠DMA与∠DMB重合, 重合, 重合,所以等量关系有AM=BM, ∠CMA=∠CMB=90°,∠DMA=∠DMB=90°, , .
垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.
垂径定理的注意事项:
(1)条件中的“弦”可以是直径;
(2)结论中的“弧”指平分弦所对的劣弧、优弧.
符号语言:
∵CD是圆的直径,CD⊥AB于M,∴AM=BM,
如右图所示,已知AB是☉O的一条弦,CD是☉O的一条直径,并且CD⊥AB,垂足为M.求证AM=BM,
垂径定理的证明
证明:连接OA，OB，则OA=OB.
在Rt△OAM和Rt△OBM中，
∵OA=OB，OM=OM，
∴Rt△OAM≌Rt△OBM.
∴AM=BM，∠AOC=∠BOC.
∵∠AOD=180°－∠AOC，
∠BOD=180°－∠BOC，
∴∠AOD=∠BOD.
判断下列图形，能否使用垂径定理？
【解析】定理中两个条件（直径，垂直于弦）缺一不可，故前三个图均不能，仅第四个图可以！
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垂径定理的逆定理
如右图所示，AB是☉O的弦(不是直径)，作一条平分AB的直径CD，交AB于M.
(1)此图是轴对称图形吗 如果是,其对称轴是什么
(2)你发现图中有哪些等量关系 说一说你的理由.
AM=BM，
OM=OM，
OA=OB,
△OAM≌△OBM.
∴∠AOC=∠BOC, ∠AMO=∠BMO=90°.
符号语言表示:
∵CD是圆的直径,CD平分AB (AB不是直径),
∴CD⊥AB,
思考下面的问题:
1.类比垂径定理的语言描述,你能总结得出结论吗
2.平分弦中的弦可以是直径吗
3.你得出的结论和垂径定理有什么区别
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.
垂径定理的逆定理:
平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.
知二推三：
①直径、
②垂直于弦、
③平分弦、
④平分优弧、
⑤平分劣弧
四个结论中,已知其中的两个结论就可以推导出其他的三个结论.
例 如右图所示,一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中 ，点O是 所在圆的圆心)，其中CD=600 m，E为 上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90 m.求这段弯路的半径.
〔解析〕连接OC,根据垂径定理可得CF=300 m,设圆弧的半径是R,OF=R-90,OC=R.
在Rt△OCF中,根据勾股定理可得OC的长,即可求得半径.
解:如图所示,连接OC,
设弯路的半径是R,则OF=(R-90)m.
∵OE⊥CD,
∴CF= CD= ×600=300(m).
在Rt△OCF中，根据勾股定理,
得OC2=CF2+OF2，
即R2=3002+(R-90)2，
解这个方程,得R=545.
所以这段弯路的半径是545 m.
1.如图所示，☉O的半径为5，弦AB的长为8，点M在线段AB(包括端点A,B)上移动，则OM的取值范围是 ( )
A.3≤OM≤5 B.3≤OM＜5
C.4≤OM≤5 D.4≤OM＜5
解析:当M与A或B重合时，OM达到最大值，即圆的半径5；当OM⊥AB时，OM取最小值，为 =3.故OM的取值范围是3≤OM≤5.故选A.
A
解析: ∵OC⊥弦AB于点C，
∴BC=AC= AB= ×4=2.
在Rt△OBC中，OC=1，BC=2，∴OB=
故填 .
2.如图所示，在☉O中，OC⊥弦AB于点C，AB=4，OC=1，则OB的长是 .
解析:连接OC，
∵CD⊥AB，CD=8，
∴PC= CD= ×8=4，
在Rt△OCP中，∵PC=4,OP=3，
∴OC=
故填5.
3.如图所示，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P. 若CD=8，OP=3，则☉O的半径为 .
5
根据勾股定理，得OC= =5 cm，
∴CD=OD－OC=8 cm.
∴油面高CD为8 cm.
4.如图(1)所示, 水平放置的一个油管的截面半径为13 cm, 其中有油部分油面宽AB为24 cm, 求截面上有油部分油面高CD.
解析:根据垂径定理,易知AC,BC的长,连接OA,根据勾股定理即可求出OC的长,进而可求出CD的值.
解:如图(2)所示，连接OA.根据垂径定理,得AC=BC=12 cm.
在Rt△OAC中，OA=13 cm，AC=12 cm.
1. 垂径定理及其逆定理；
2.怎样利用垂径定理解决相应的数学问题.