人教版八年级数学 下册 第十九章 19.1.1 变量与函数 课件（共36张PPT）

(共36张PPT)
19.1.1　变量与函数
人教版八年级数学 下册
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1．探究变量与常量、自变量、函数、
函数值的概念。
2．会初步分析简单实际问题中函数关系，讨论变量的变化情况。
3.会用解析式法和列表法，表示简单实际问题中的函数关系。
万物皆变
目标导学一：常量与变量
y
x
s
　　如图，小球在斜坡上滚动，请观察这一运动变化过
程，你注意到了什么变化？
万物皆变
关注其中数量的变化，用数量变化描述变化规律
从数学角度 研究变化过程
　　变化的量：
　　小球在斜坡上滚动的路程s，小球离起点的水平距离
x；小球离水平面的高度y．
　　不变的量：
　　斜坡高度，斜坡长度，斜坡水平长度等．
如图，小球在斜坡上滚动，请观察这一运动变化 过程，你注意到了什么变化？
y
x
s
数值发生
变化的量
变量
数值始终
不变的量
常量
　　上述运动变化过程中出现的数量，你认为可以怎样分类？
思考归纳
例1
根据常量和变量的定义分析．由于三角形的面积是边长与该边上的高的长度的乘积的一半，已知边长，可以得出常量是边长的一半，变量是高和面积．
常量是6，变量是h和S.
已知三角形的一边长为12，这边上的高是h，则三角形的面积S＝ ×12·h，即S＝6h.在这个式子中常量和变量分别是什么？
解：
判断一个量是常量还是变量的方法：
看在这个量所在的变化过程中，该量的值是否发生改变 (或者说是否会取不同的数值)，其中在变化过程中不变的量是常量,可以取不同数值的量是变量．
总 结
1、指出下列问题中的变量和常量：
（1）某市的自来水价为4元/t.现要抽取若干户居民调查水费支出情况，记某户月用水量为xt，月应交水费为y元.
（2）某地手机通话费为0.2元/min.李明在手机话费卡中存入30元，记此后他的手机通话时间为tmin，话费卡中的余额为w元.
变量：x， y ； 常量：4
变量：t, w ； 常量：0.2 , 30
新课讲解
练一练
问题1：根据销售记录，某型号的服装每天的售价x（元/件）与当日的销售量y（件）的变化关系如下表：
在这个变化过程中，有哪些变量？是哪一个量随哪一个量的变化而变化？请大胆猜想它们之间的变化规律，用关系式表示你猜想的变化规律，并指出关系式中的常量.
每天的销售价 x（元/件） 200 190 180 170 160 150 140 …
每天的销售量 y（件） 80 90 100 110 120 130 140 …
问题探究：
变量有：服装每天的售价x（元/件）和当日的销售量y（件），
当日的销售量y随服装每天的售价x的变化而变化.
变化规律满足：y=280－x，关系式中的常量是：数字280.
目标导学二：确定两个变量之间的关系
怎样用含重物质量m（kg）的式子表示受力后的弹簧长度 L(cm)
例2 弹簧的长度与所挂重物有关．如果弹簧原长为10cm，每1kg重物使弹簧伸长0.5cm，试填下表：
解：由题意可知m每增加1，L增加0.5，所以L=10+0.5m.
重物的质量(kg) 1 2 3 4 5
弹簧长度(cm)
10.5
11
11.5
12
12.5
想一想，如果你坐在摩天轮上，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的？
情景一
目标导学三：函数的相关概念
下图反映了摩天轮上的一点的高度h (m)与旋转时间t(min) 之间的关系.
t/min 0 1 2 3 4 5 …
h/m …
(1)根据左图填表：
(2)对于给定的时间t ，相应的高度h能确定吗？
11
37
45
37
3
10
行驶时间 t/h 1 3 3.4 4 9 …
行驶里程s/km …
60
180
204
240
540
　汽车以60 km/h 的速度匀速行驶，行驶的时间
为t h，行驶的路程为s km；
情景二：
1下面的问题中各有几个变量？
2变量之间有什么联系？
发现：
当时间t每取定一个值时，路程S就随之
____________________
有唯一确定的值与其对应
S=60t
一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到
-273℃，则气体的压强为零.因此，物理学把-273℃作为热力学温度的零度.热力学温度T(K)与摄氏温度t(℃)之间有如下数量关系：T=t+273，T≥0.
(1)当t分别等于-43，-27，0，18时，相应的热力学温度T是多少？
(2)给定任一个大于-273 ℃的摄氏温度t值，相应的热力学温度T确定吗？有几个T值和它对应？
230K、246K 、273K、291K
唯一一个T值
解：当t=-43时，
T=-43+273
=230（K）
情景三
思考：上面的三个问题中，各变量之间有什么共同特点？
①时间 t 、相应的高度 h ；
②路程S、时间t；
③摄氏温度t 、热力学温度T.
共同特点：都有两个变量，给定其中某一个变量的值，相应地就确定了另一个变量的值.
如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。
思考：上面问题中哪些是自变量,哪些是自 变量的函数？
在一个变化过程中，
如果有两个变量x与y,
并且对于x的每一个确定的值，y都有唯 一确定的值与其对应，
那么我们就说x是自变量 ，
y是x的函数。
函数的概念
函数一语，起用于公元1692 年，最早见自德国数
学家莱布尼兹的著作. 他
是德国最重要的自然科学
家、数学家、物理学家、
历史学家和哲学家，一个
举世罕见的科学天才，和
牛顿同为微积分的创建人
他博览群书，涉猎百科，对丰富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献。
知识拓展
练一练
（1）
（2）
（3）
问题1：下列式子中的y是x的函数吗？为什么？若y不是x的函数，怎样改变，才能使y是x的函数？
问题2：变量x与y的对应关系如下表所示：
x 1 4 9 16 25 …
y ±1 ±2 ±3 ±4 ±5 …
问：变量y是x的函数吗？为什么？若要使y是x的函数，可以怎样改动表格？
（1）、（2）中y是x的函数，因为对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应；（3）中，y不是x的函数，因为对于x的每一个确定的值，y都有两个确定的值与其对应.将关系式改为 或 ，都能使y是x的函数.
y不是x的函数，因为对于x的每一个确定的值，y都有两个确定的值与其对应. 要使y是x的函数，可以将表格中y的每一个值中的“±”改为“＋”或“－”.
问题3：下列曲线中，表示y不是x的函数是（ ），怎样改动这条曲线，才能使y是x的函数？
A
x
y
O
B
x
y
O
C
x
y
O
D
x
y
O
练一练
选B. 将第一象限或第三象限的曲线去掉等，只要满足“对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应”，都能使y是x的函数.
　　问题：请用含自变量的式子表示下列问题中的函数关系：
　 （1）汽车以60 km/h 的速度匀速行驶，行驶的时间为 t（单位：h），行驶的路程为 s（单位：km）；
　 （2）多边形的边数为 n，内角和的度数为 y．
问题（1）中，t 取-2 有实际意义吗？
问题（2）中，n 取2 有意义吗？
目标导学四：确定自变量的取值范围
　　根据刚才问题的思考，你认为函数的自变量可以取任意值吗？
　　在实际问题中，函数的自变量取值范围往往是有限制的，在限制的范围内，函数才有实际意义；超出这个范围，函数没有实际意义，我们把这种自变量可以取的数值范围叫函数的自变量取值范围．
例3 汽车的油箱中有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶里程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km.
（1）写出表示y与x的函数关系的式子.
解:(1) 函数关系式为: y = 50－0.1x
0.1x表示的意义是什么？
叫做函数的解析式
（2）指出自变量x的取值范围；
(2) 由x≥0及50－0.1x ≥0　
得　0 ≤ x ≤ 500
∴自变量的取值范围是
0 ≤ x ≤ 500
确定自变量的取值范围时，不仅要考虑使函数解析式有意义，而且还要注意各变量所代表的实际意义.
归纳
汽车行驶里程，油箱中的油量均不能为负数！
例4、求出下列函数中自变量的取值范围
（1）y=2x
（2）
（3）
解: 自变量 x 的取值范围:x为任何实数
解: 由n-1≥0得n≥1　∴自变量 n 的取值范围: n≥1
解:由x+2 ≠ 0得 x≠－2　∴自变量 n 的取值范围: x≠－2
解:自变量的取值范围是: k≤1且k ≠－1
（4）
函数自变量的取值范围必须满足的条件
1、使分母不为零
2、使二次根式中被开方式非负
3、使实际有意义
教你一招：
1.下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数？试写出函数的解析式.
（2）每分向一水池注水0.1m3，注水量y（单位：m3）随注水时间x（单位：min）的变化而变化。
（1）改变正方形的边长x，正方形的面积s随之改变。
解：边长x是自变量 ，面积S是x的函数
函数解析式为 s=x2
解：时间x是自变量, 水量y是x的函数
函数解析式为 y=0.1x
新课讲解
练一练
强化训练
2、在y=3x+1中，如果__是自变量，那么__ 是x的函数。
3、梯形的上底长2㎝，高3㎝,下底长x㎝大于上底长但不超过5㎝。写出梯形面积S关于x的函数解析式及自变量x的取值范围.
x
y
解：函数解析式为S=
自变量x的取值范围 2＜x≤5
即s=3+1.5x
练一练
4、小明用30元钱去购买每件价格为5元的某种商品，求他剩余的钱y（元）与购买这种商品的件数x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围
解: 依题意得 y=30-5x
0≤x≤6
对于反映实际问题的函数关系，自变量的取值应使实际问题有意义
且x是自然数
∴x的取值范围是
练一练
课堂小结
常量与变量
常量与变量的概念
列出变量之间的关系式
常量：数值始终不变的量
变量：数值发生变化的量
函数
概念：函数在某个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么x是自变量，y是x的函数.
函数值
自变量的取值范围
1.使函数解析式有意义
2.符合实际意义
课堂小结
强化训练
1、若矩形的宽为xcm，面 积36 ，则这个矩形的长y随x的变化而变化，其中常量是____，变量是______.
2、分别指出下列各式中的常量与变量.
(1)圆的面积公式 ；
(2)正方形的周长 ；
(3)大米的单价为2.50元/千克，则购买的大米
的数量 x(kg)与金额y的关系为y=2.5x.
36
x, y
常量：π；变量：S、r
常量：4；变量：l、a
常量：2.5；变量：y、x
目标检测
3.下面各题中分别有几个变量？你能将其中某个变量看成是另一个变量的函数吗？为什么？如果能，请写出它们的关系式。
（1）每一个同学购一本代数书，书的单价为2元，则 x 个同学共付 y 元。
（2）计划购买50元的乒乓球，则所购的总数y（个）与单价x （元）的关系。
（3）一个铜球在0 ℃的体积为1000cm3，加热后温度每增加1℃，体积增加0.051cm3，t ℃时球的体积为 V cm3 。
解:y是x的函数.其关系式为: y=2x
解: y是x的函数,其关系式为:
解: v是 t 的函数,其关系式为: v = 0.051t+1000
目标检测
4. 求下列函数中自变量x的取值范围：
（1） y＝3x－1 （2） y＝2x2＋7
（3） y = （4） y＝
（1）
（4）
解：
任意实数
（2）
任意实数
（5）
x≠-2
x≥2
（3）
任意实数
目标检测
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