2.4.2圆的一般方程 课件（共17张PPT）

(共17张PPT)
第二章　直线和圆的方程
2.4.2圆的一般方程（1）
圆的标准方程的形式是怎样的？
从中可以看出圆心和半径各是什么？
复习引入
圆的标准方程的两种求法
(1)几何法：它是利用图形的几何性质,如圆的性质等,直接求出圆的圆心和半径,代入圆的标准方程,从而得到圆的标准方程.
(2)待定系数法：由三个独立条件得到三个方程,解方程组以得到圆的标准方程中三个参数,从而确定圆的标准方程.它是求圆的方程最常用的方法,一般步骤是:
①设——设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2;
②列——由已知条件,建立关于a,b,r的方程组;
③解——解方程组,求出a,b,r;
④代——将a,b,r代入所设方程,得所求圆的方程.
学习新知
2、那么我们能否将形式写得更简单一点呢？
学习新知
把方程：x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
配方可得：
（1）当D2+E2-4F>0时，表示以（ ）为圆心，以( )为半径的圆
（3）当D2+E2-4F＜0时，方程（1）无实数解，所以不表示任何图形
所以形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2+E2-4F>0)可表示圆的方程
圆的一般方程:
圆的一般方程与标准方程的关系：
没有xy这样的二次项.
（2）标准方程易于看出圆心与半径
一般方程突出形式上的特点：
x2与y2系数相同并且不等于0；
学习新知
【例1】若方程 x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0 表示圆，求实数 m 的取值范围，并写出圆心坐标和半径.
典型例题
解:由表示圆的条件,得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，
形如 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法：
（1）由圆的一般方程的定义，令 D2＋E2－4F > 0 成立，则表示圆，否则不表示圆.
（2）将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解.
注意：所给方程是不是 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解.
判断下列方程能否表示圆的方程, 若能写出圆心与半径.
（1）x2+y2-2x+4y-4=0
（2）2x2+2y2-12x+4y=0
（3）x2+2y2-6x+4y-1=0
（4）x2+y2-12x+6y+50=0
（5）x2+y2-3xy+5x+2y=0
是
圆心（1，-2）半径3
是
不是
不是
不是
巩固练习
1.下列方程各表示什么图形
巩固练习
2.求下列各圆的半径和圆心坐标.
例2.求过三点O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径.
典型例题
分析：将点O,M1,M2的坐标分别代入圆的一般方程，可得一个三元一次方程组，解方程组即可求出圆的方程.
求圆的方程常用待定系数法，其大致步骤是：
(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；
(2)根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组；
(3)解出a,b,r或D,E,F,得到标准方程或一般方程.
圆的一般方程与圆的标准方程在运用上的比较
(1) 若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.
(2) 若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数法求解.
方法总结
巩固练习
D
对于一般的二元二次方程
表示圆的充分必要条件是什么
(提示)此时,配方可得下式:
学习新知
①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.
(1)本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为
(用配方法求解)
(3)给出圆的一般方程,如何求圆心和半径
(2)圆的一般方程与圆的标准方程的联系
一般方程
标准方程(圆心,半径)
(4)要学会根据题目条件,恰当选择圆方程形式:
②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数法求解.
归纳总结
1.二元二次方程要想表示圆,需x2和y2的系数相同且不为0,没有xy这样的二次项.
归纳总结
2.几个常见圆的一般方程
(1)过原点的圆的方程:x2+y2+Dx+Ey=0(D,E不全为0),
(2)圆心在y轴上的圆的方程:x2+y2+Ey+F=0(E2-4F>0);
(3)圆心在x轴上的圆的方程,x2+y2+Dx+F=0(D2-4F>0);
(4)圆心在x轴上且过原点的圆的方程:x2+y2+Dx=0(D≠0);
(5)圆心在y轴上且过原点的圆的方程:x2+y2+Ey=0(E≠0).
3.由圆的一般方程判断点与圆的位置关系及与圆有关的轨迹问题
（1）已知点M(x0,y0)和圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).
（2）点M的坐标(x,y)满足的等量关系式称为点M的轨迹方程.求符合某种条件的动点M的轨迹方程,实质上就是利用题设中的几何条件,通过“坐标化”将其转化为关于变量x,y之间的方程.
归纳总结
4.本节课用的数学方法和数学思想方法:
①数学方法:
②数学思想方法:
(求圆心和半径).
(原则是不重复,不遗漏)
配方法
(ⅰ) 问题转化和分类讨论的思想
(待定系数法)
(ⅱ)方程的思想
(ⅲ)数形结合的思想
作业
课本第88页
练习第1, 2, 3题
习题2.4第2, 3, 4题
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